罚函数法及改进算法
第二节 罚函数法
β ∈ (0,1) ，允许误差 ε > 0 ，置 k = 1 ；
k −1 x 为初点，求解无约束优化问题 Step2: 以
min G ( x, r ) = f ( x) + rB( x) s.t. x ∈ int S
设其极小点为 x ；
G ( x, r ) = f ( x) − r ∑ ln g i ( x)
m
-----对数障碍函数
由 G( x, r ) 的定义， r 取值越小，问题
min G ( x, r ) = f ( x) + rB( x) s.t. x ∈ int S
的最优解越接近约束优化问题的最优解。 2. 内点罚函数法的计算步骤
k min H ( x) x Step4: 以 为初始点求解无约束问题 x∈Sk k +1 的最优解
x k +1 ，其中
H k +1 ( x) = −∑ gi ( x) + rk +1 ∑ gi ( x)
i∈I k i∈J k
， Sk = {x | gi ( x) > 0, i ∈ J k }
令 rk + 2 = βrk +1 , k = k + 1, 返回 Step2. 注：该算法中，对于 k = 0,1,2,L ，有 I k +1 ⊂ I k , J k +1 ⊃ J k ，且 最后某个 I k = ∅ 。 三. 广义乘子法 1. 对于等式约束优化问题
φ ( x, y , ω , σ ) = f ( x ) − ∑ ω j ( g j ( x ) − y j ) +
2 j =1 l
罚函数-原理与应用
定理3.37
定理3.37 设对给定的参数μ,F(x,μ)的无约
束极小值为xμ。那么，xμ成为f(x)的约束极小点的
充要条件是：xμ是原问题的可行点。
罚函数法算法
2.罚函数算法
1) 取初始点X0为非可行点,μ0＞0(通常取μ0=1), ε＞0,c＞1(通常取
c=10),k=0
2) 以Xk为出发点，求解无约束极小化问题：
= 12 + 222 + 21 + (1 + 2 − 1)2
(, )
= 12 + 222 + 21
+ (1 + − 1)2
例题
= 2, 2 = 100
(1) = (−0.2,0.4), ( (1) ,μ0 ) = 1.5237
任选一种无约束极小化算法，可解得F(X, μ0)的
问题转化为：
minF(x)
min() = 12 + 222 + 21
..
(3-98)
基本原理
F(x)的等价表达式：
F(x,μ)=x+μ[max(0,-0+2)]²
其中，μ是一个充分大的正数。记
α(x)=[max(0,-x+2)]²
(3-98)
(3-99)
通常将μα(x)称之为罚函数，记为
点正是X=2
解题步骤
一般情况下：
设原问题为
minf(x)
(3-100)
s.t. gi(x)≤0,i=1,2,…,m (3-101)
hj(x)=0,j=1,2,…,l (3-102)
则可以构造无约束极小化问题：
minF(x,μ)=f(x)+μα(x) (3-103)
最优化方法 第三章(罚函数法)
这种惩罚策略，对于在无约束的求解过程中企图违反约
束的迭代点给予很大的目标函数值，迫使无约束问题的 极小点或者无限地向可行域D靠近，或者一直保持在可 行域D内移动，直到收敛到原来约束最优化问题的极小 点。
不改变可行域局部极小值，可以将 约束域之外的局部极小值变大。
p ( x) 0, x D p ( x) 0, x D
k k
k 1
k 1
xk 1是F x, M k 1 的最优解.
k 1 k k 1 k 0 M k 1 M k p ( x ) p ( x ) p ( x ) p ( x )
M k 1 M k
(3) f ( x k 1 ) M k p( x k 1 ) F ( x k 1 , M k ) F ( x k , M k ) f ( x k ) M k p( x k )
gi ( x) gi ( x) max gi ( x), 0 = 罚函数p(x)的构造 2 m l p( x) (max gi ( x), 0) 2 h 2 j ( x)
i 1 j 1
(1) p(x)连续 (2) p( x) 0, x D (3) p( x) 0, x D
二、外点法 外点罚函数法算法步骤 1：给定初始点 x 0 ，初始罚因子M1 0 (可取M1 1 ), 精度 0, k : 1. 2：以 x k 1初始点，求解无约束优化问题
min F ( x, M k ) f ( x) M k p( x)
得到极小点 x* ( M k )，记为 x k ， 其中
p( x) (max gi ( x), 0) h 2 j ( x)
2 i 1 j 1 m l
优化设计3——惩罚函数法
罚函数的求解过程是： 定义G[gi(X)]和H[hj(X)]的形式， 选择罚因子的序列r1(k)和r2(k)，每调整一次罚因子的值， 即对罚函数P作一次无约束优化，可得一个无约束最优解； 随着罚因子的不断调整，无约束最优解不断逼近有约束最 优解。 这是一种序列求优过程，故罚函数又称为“序列无约 束极小化方法”（Sequential Unconstrained Minization Technique），简称为SUMT法。
为了便于在计算机上利用直接寻优方法进行迭代计算，一 般引入函数
L 2 p Z ( ) [h j ( X )]2 i 1 xi j 1
n
然后对Z函数求极小值，即可求得原问题的最优解。
2015-4-29
19
对于不等式约束优化问题，可设法引入松弛变量，使不等式 变成等式，即可按等式约束优化问题求解。 例如：对于下面不等式约束条件 g(X)=ax1+bx2+c ≥0
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10
（7）终止判别：反复执行上述过程中，随着反射系数α
的不断减半，复合形逐渐向最优点收缩，复合形越来越小， 直到满足 k 1 2 1 { [ f ( X i ) f ( X c ] } 2 1 (a) k i 1
时，迭代结束。此时复合形中目标函数值最小的顶点 （或用X(C0)点）即为最优解。式中XC 为复合形所有顶点的 点集中心，即 k
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28
除上式外，常用的内点罚函数形式还有：
P( X , r ( k ) ) f ( X ) r ( k ) ln[ gi ( X )] P( X , r
(k ) m
) f (X ) r
第八组惩罚函数法
2.外点惩罚函数法的一般形式
考虑不等式约束优化设计时：对
min f ( X ),
k
xR
n
st.
m k
gu ( X ) 0, (u 1,2m)
( X )}
2
构造一般形式的外点惩罚函数为：
P( X , r ) f ( X ) r
{min[0, g
u 1
u
其中： （1）当满足所有约束条件时惩罚项为0，即
k
p
k
[h
v 1
p
v
( X )]
2
同样，若X满足所有等式约束则惩罚项为0； 若不能满足，则 v 1 因子的增大而增大；
r k [hv ( X )]2 0
且随着惩罚
综合等式约束和不等式约束情况，可以得到一般 约束优化问题的外点罚函数公式为：
P k {[min( , g u ( X ))2 [hv ( X )]2 } 0
r1 , r2
加权因子(惩罚因子)
原约束优化问题转化为无约束优化问题:
min ( x, r1 , r2 ) f ( x) r1 G[ g j ( x)]
j 1
m
r2 H [hk ( x)]
k 1
l
改变惩罚因子r1, r2的值,就会得到一系列的无约束优 化问题,求解得到一系列的无约束最优解(系列迭代点),这些 最优解逐渐的逼近原约束优化问题的最优解.
为了克服外点惩罚函数法的这一缺点对那些必须严格满足的约束如强度刚度等性能约束引入约束裕度即将这些约束边界向可行域内紧缩移动一个微量得到这样用重新定义的约束函数来构造惩罚函数得到最优设计方案
第五节 惩罚函数法
一 基本原理
机械优化设计第五节约束优化-惩罚函数法3-5
外点法求解时，惩罚函数的形式为：
(k ) ( x, r ) f ( x) r max 0, gu ( x) r hv ( x) u 1 v 1
(k ) (k ) m p 2 2
k 1, 2
r
(1) ( 2)
(k )
内点法对企图从内部穿越可行域的点施以惩 g x 0 时，则障碍项的 罚。设计点离边界越近 值急剧增大,并趋向无穷大,于是惩罚越大,于是惩 罚函数 ( x r ( k ) )亦随之急剧增大至无穷大.
u
就好像在可行域的边界上设置很高的障 碍，从而保障迭代点一直在可行域内而又趋向 于约束最优点。当 k r ( k ) 0时，才能求得 原约束问题的最优解。 参数的选取和确定：
(0)
（2）初始惩罚因子 r
(0)
的选择
) . 初始惩罚因子 r ( 0的选择对于计算效率影响很大
若r x, 项）的作用就会很小，
x, r ( k )
( 0 ) 值得太小，则在惩罚函数中障碍项（惩罚
r
(k )
f ( x)
这时求惩罚函数 的无约束极值点。 犹如求原目标函数 f ( x)本身的无约束极值点而 这个极值点 x又不大可能接近 f ( x) 的约束极值点,
D.收敛条件： 同时满足:(1)相邻两次惩罚函数值相对变化 足够小； (2)相邻两次惩罚函数无约束最优 点的距离足够小。
(k ) x r
* (k ) ( k 1) ( k 1) , r x r , r 1 * ( k 1) ( k 1) x r , r
罚函数课件
CHAPTER
06
罚函数的未来发展与研究方向
罚函数的改进与优化
动态调整罚因子
根据问题的复杂性和数据特性，动态调整罚因子的大小，以获得 更好的优化效果。
多目标优化罚函数
将多目标优化问题转化为单目标优化问题，通过设计合理的罚函 数，实现多个目标的平衡优化。
引入机器学习算法
利用机器学习算法对罚函数进行训练和优化，提高罚函数对复杂 问题的适应性。
02
在机器学习中，罚函数常用于解决模型的过拟合问题。通过在损失函数中加入 正则化项（即惩罚项），使得模型在训练过程中不仅要最小化损失函数，还要 尽量满足某些正则化条件（如参数的范数约束）。
03
常见的正则化项包括L1正则化、L2正则化以及弹性网正则化等。这些正则化项 在模型训练过程中起着重要的角色，能够有效地防止过拟合，提高模型的泛化 能力。
罚函数在深度学习中的实现方式
软阈值化
在优化过程中，将权重向量的元素值与阈值进行比较，将 超过阈值的元素置为零，实现L1正则化。
权重衰减项
在损失函数中添加权重衰减项，使得权重向量的平方和变 小，实现L2正则化。
自定义罚函数
根据具体问题定义自己的罚函数，并在损失函数中添加该 罚函数项，以实现特定的正则化效果。
系数估计
Ridge回归使用L2范数作为 惩罚项，对系数进行估计， 能够得到更平滑、更稳定的 模型。
模型选择
Ridge回归在选择模型时， 通常需要预先设定一个阈值 或交叉验证来确定惩罚参数 的大小。
L1与L2罚函数的比较
稀疏性
Lasso回归具有稀疏性，能够自动选 择重要变量，而Ridge回归则不具备 这一特性。
罚函数与其他算法的结合
与进化算法结合
现代设计方法第六章 优化设计方法 (4-8) 惩罚函数法
二、内点惩罚函数法
§ 4 . 2内点惩罚函数法
四. 几个参数的选择： 1. 惩罚因子初始值 r(0) 的选择： 过大、过小均不好， p f ( x( 0 ) ) ( 0) 建议考虑选择：r = 100 m 1 ∑ (0) u =1 g ( x ) u
2.
Φ( x , r ) = f ( x ) − r
二、内点惩罚函数法
r r = cr k −1
4) 收敛条件
(k = 1,2,...)
式中的c 称为惩罚因子的缩减系数，c 为小于1 的正数。一般的看法是，c 值 的大小在迭代过程中不起决定性作用，通常的取值范围在0 . 1 ~ 0 . 7 之间。
φ[ x * (r k ), r k ] − φ[ x * (r k −1 ), r k −1 ] ≤ ε1 k −1 k −1 * φ[ x (r ), r ] x * (r k ) − x * (r k −1 ) ≤ ε 2
方法： ③ 搜索方法： l l 任意给出一个初始点； 判断其可行性，若违反了S 个约束，求出不满足约束中的最大值：
gk ( x( 0 ) ) = max{gu (x( 0 ) )}
min. gk ( x) s.t.
u = 1,2,...,S；
l
应用优化方法减少违反约束：
x ∈ Rn
gu ( x ) − gu x ( 0 ) ≤ 0 gu ( x ) ≤ 0
或：
(k )
1 ∑ i =1 g i ( x )
m
φ ( x, r ) = f ( x ) − r
(k )
∑ ln[− g ( x )]
i i =1
m
二、内点惩罚函数法
k r 是惩罚因子，它是一个由大到小且趋近于0 的正数列，即:
直接-间接法----罚函数法
(x*, r(k) ) 3, 1.632, 1.20, 1.0630, 1
上图表示出 r(k ) 取值不同时所得到的约束最优点 x*(r(k) ) 逐步逼
近原问题最优点 x* 的情形。
例:用内点法求问题 min f x x12 x22 约束最优解。 s.t.g x 1 x1 0
解:用内点法求该问题，首先构造内点惩罚函数：
g
j
X
0(
j
1,
2,
m)
转化后的惩罚函数形式为
x,r
f
m
x r j 1
1
gj x
m
或 X , r f X r ln g j X j 1
m 1
m
g j1 j X 或
ln g j X
j 1
——障碍项。
r 是惩罚因子，它是由大到小，且趋近于0的数列，即
r0 r1 r 2 r k r k1 0
g(x)
1 x
可以看出 (x, r(k) ) 由两部分组成，即 1 2 ，其中：
1 f (x) x
2
r(k) 1 1 x
r(k)
1 x 1
(x, r(k) ) f (x) r(k) 1 x r(k) 1
g(x)
1 x
即： 1 2
是原目标函数，为一直线；
是一族倒数曲线，当 x 1 时, 2 。
由于内点法的迭代过程在可行域内进行，障碍项
的作用是阻止迭代点越出可行域。由障碍项的函数形式
可知，当迭Байду номын сангаас点靠近某一约束边界时，其值趋近0，而
障碍项的值陡然增加，并趋近于无穷大，好像在可行域
的边界上筑起了一道“高墙”，使迭代点始终不能越出
最优化方法之-罚函数法讲解
内点罚函数法优点
迭代总在可行域内进行，每一个中间结果都是 可行解，可以作为近似解。
内点罚函数法缺点
选取初始可行点较困难，且只适用于含不等式 约束的非性性规划问题。
x2)
0
x1
1
2 2M
x2
1
(2 2M )2
1
2M
当M
时，有
x1 x 2
0 0
步骤:
1.给定x( 初 0) ，始 初点 始 M10 罚 (M1 因 1 ) ， 子 放 系c数 1 ，允许 0 ， 误 k置 差 1 。
2.以x(k1)为初始点，求解无约 问题 束 minf(x) Mkp(x)
201 101
以此类推，得序列： 3，21，201，2001， 2 11 101 1001
2
外点罚函数法的一个重要特点:
函数 F(x,M)是在整个En空 内间 进行,优 初化 始
点可任意,且 选外 择点法也可规 用划 于的 非最 凸.优
缺点:
1.惩罚项Mp(x)的二阶偏导数一般在 不;存
2.外点法的中间可 结行 果,不 解 不能 是作为近 ;
P~(x,rk) iSk
gi(x)rk
iTk
1 gi(x)
记 R~k x|gi(x)0 iTk
(rk 0)
5.以x(k)为初始点R， ~k域在内，求障碍 P~(函 x,rk数 ) 的极小:点
minP~(x,rk) s.t. xR~k 得x(k1)，转 6。
6.令 0rk1rk如r取 k1110rk,置 k:k1， 转 2。
引入罚项
p(x )
m
g i( x )
i 1
其中 ( y )是连续函数，且满足
(y ) 0 ( y ) 0
利用二次罚函数法解等式约束优化问题
利用二次罚函数法解等式约束优化问题二次罚函数法是一种常见的约束优化算法，在求解等式约束优化问题时具有较好的适用性。
它通过将等式约束引入目标函数构造二次罚函数，并通过逐步逼近的方式求得最优解。
本文将详细介绍二次罚函数法的原理和应用，以及一些常见的改进算法。
一、二次罚函数法的原理二次罚函数法的核心思想是将等式约束引入目标函数中，构造一个包含等式约束的二次罚函数。
通过对这个罚函数进行最小化，可以获得满足等式约束的优化解。
假设目标函数为f(x)，等式约束为g(x)=0，其中x=(x1,x2,...,xn)表示待求最优解的变量。
通过引入拉格朗日乘子法，可以将等式约束转化为目标函数加上一系列封闭约束，得到拉格朗日函数L(x,λ)=f(x)+λg(x)，其中λ为拉格朗日乘子。
接下来，我们可以构造二次罚函数P(x)来表示目标函数与约束函数的关系。
一个典型的二次罚函数形式为P(x)=f(x)+ρg(x)²，其中ρ为罚函数参数，用于控制罚项的大小。
在二次罚函数的基础上，可以应用一些求解优化问题的算法进行求解。
一般来说，可以通过牛顿法、梯度下降法、共轭梯度法等等求解罚函数的极小值点，直到得到满足等式约束的最优解。
二、二次罚函数法的应用二次罚函数法在等式约束优化问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1.最小二乘法问题：在最小二乘法中，我们需要找到一条曲线使其与给定数据点的误差平方和最小。
当问题存在等式约束时，可以使用二次罚函数法求解。
2.非线性优化问题：在非线性优化问题中，目标函数和约束函数都是非线性的。
通过二次罚函数法可以将非线性优化问题转化为二次罚函数的最小化问题。
3.机器学习中的支持向量机：支持向量机是一种主要用于分类问题的机器学习算法。
在支持向量机的优化问题中，存在一系列等式约束。
通过二次罚函数法可以求解这些约束。
4.数学建模中的约束条件问题：在数学建模中，有很多经济、物理、生物等问题需要求解一系列约束条件下的最优解。
最优化方法之罚函数法讲解
contents
目录
• 引言 • 罚函数法基本原理 • 经典罚函数法介绍 • 改进型罚函数法探讨 • 数值实验与案例分析 • 结论与展望
01 引言
最优化问题概述
01
02
03
最优化问题的定义
最优化问题是在一定条件 下，寻找一组参数值，使 得某个或某些目标函数达 到最优的问题。
混合罚函数法
• 基本思想：混合罚函数法结合了外点罚函数法和内点罚函数法的特点，通过同时构造包含原目标函数、等式约 束和不等式约束的辅助函数，将约束问题转化为无约束问题进行求解。
• 辅助函数构造：混合罚函数法的辅助函数通常包括原目标函数、等式约束的二次惩罚项以及不等式约束的对数 障碍项。其中，二次惩罚项用于处理等式约束，对数障碍项用于处理不等式约束。
内点罚函数法
• 基本思想：与外点罚函数法类似，内点罚函数法也是通过构造辅助函数将约束问题转化为无约束问题。不同之 处在于，内点罚函数法要求迭代点始终保持在可行域内部，并在可行域边界上对原目标函数进行惩罚。
• 辅助函数构造：内点罚函数法的辅助函数通常取为原目标函数加上一个障碍项，该障碍项在可行域内部为零， 在可行域边界上取正值，且随着接近边界程度的增加而趋于无穷大。
• 迭代过程：从满足所有约束条件的一个点出发（通常通过其他方法获得），通过求解无约束问题的极小化序列 来逼近原问题的最优解。在迭代过程中，根据当前点违反约束的情况动态调整惩罚因子和障碍参数，以保证算 法的稳定性和收敛性。
• 优缺点：混合罚函数法能够同时处理等式和不等式约束，具有较广泛的适用性。然而，由于需要同时考虑多种 类型的约束和惩罚项，算法的复杂性和计算量相对较大。此外，惩罚因子和障碍参数的选择对算法效果也有一 定影响。
第五章惩罚函数法详解
㈣关于几个参数的选择
⑴初始罚因子r(0)的选取
如果 值选得太大，则在一开始罚函数的惩罚项的 值将远远超出原目标函数的值，因此，它的第一次无约束极 小点将远离原问题的约束最优点。在以后的迭代中，需要很 长时间的搜索才能使序列无约束极小点逐渐向约束最优点逼近。
如果 值选得太小，则在一开始惩罚项的作用甚小，
而在可行域内部惩罚函数
与原目标函数F(x)很相近，
只在约束边界附近罚函数值才突然增高。这样，使其罚函数
在在约束边界附近出现深沟谷地，罚函数的性态变得恶劣。
如下图，对于有深沟谷地性态差的函数，不仅搜索所需的 时间长，而且很难使迭代点进入最优的邻域，以致极易使 迭代点落入非可行域而导致计算的失败。
或
r（0）=1~50
函数
的一系(x,列r(k最) ) 优点，
xk* (k 0,1,2, )
显见，无约束最优点序列将逐渐趋近于原约
束优化问题的最优点x*。
㈡内点罚数法的形式及特点
⑴具有不等式约束的优化问题的数学模型
S.T. :
u=1，2……，p
⑵构造如下形式的内点罚函数
p
(x, r (k) ) F (x) r (k)
而且，当x越趋近于约束边界时，由于惩罚项 r(k) 1
增大，所以罚函数 (x, r(的k) )值越大。当x←b时，罚g１函(x)
数的值将趋近于+∞。因此，当初始点取在可行域内，求
函数 (x, r(k)的) 极小值时，只要适当控制搜索步长，
防止迭代点跨入非可行域，则所搜索到的无约束极小点 x*必可保持在可行域内。
⑹由终止准则，若满足则转步骤⑺，否则转⑸⑺,输出最优解(x*,F*)
入口
给定：x(0) ∈D,r(0),C,ε1,ε2
lasso问题 罚函数
lasso问题罚函数一、引言Lasso问题是一种在统计学习领域中常用的回归分析方法，它通过惩罚回归系数，使得回归系数绝对值的和最小，同时保留重要的解释变量。
罚函数是一种优化方法，用于解决Lasso问题中的约束优化问题。
本篇文档将详细介绍Lasso问题和罚函数的基本概念、应用场景、算法原理以及优缺点。
二、Lasso问题Lasso问题是一种线性回归分析方法，通过添加L1正则项来惩罚回归系数，使得回归系数绝对值的和最小。
Lasso问题的数学形式为：min 损失函数(y, xβ) + 惩罚项(β)s.t. β ≤ λ其中，y为观测数据，x为特征矩阵，β为回归系数，λ为惩罚参数。
损失函数通常采用均方误差（MSE）或对数损失等常见损失函数。
惩罚项通常采用L1正则项，即β的绝对值的和。
三、罚函数罚函数是一种优化方法，用于解决包含约束条件的优化问题。
对于Lasso问题中的约束条件β ≤ λ，可以使用罚函数方法进行求解。
罚函数方法的思路是将约束条件转化为一个目标函数的极值问题，通过对目标函数进行优化，逐步增加罚分值，最终得到无约束条件下的最优解。
四、算法原理1. 将约束条件β ≤ λ转化为一个罚分值φ(β)，当β超过λ时，φ(β)取极大值。
通常采用阶梯函数或对数函数作为罚分值函数。
2. 将原问题转化为一个无约束条件的优化问题，即：min 损失函数(y, xβ) + 惩罚项(β) + φ(β)s.t. β ≤ λ3. 采用梯度下降法等优化算法求解该问题，逐步减小惩罚项的系数，直到达到停止条件或得到满意解。
五、应用场景Lasso问题和罚函数方法在许多领域都有应用，如生物信息学、市场营销、金融分析等。
在数据稀疏性较强的情况下，Lasso方法可以通过添加L1正则项来抑制噪声和无关变量，提高模型的解释能力。
同时，罚函数方法可以用于解决包含约束条件的优化问题，如Lasso问题中的β ≤ λ约束条件。
六、优缺点优点：1. 提高模型的解释能力：Lasso方法通过添加L1正则项来抑制噪声和无关变量，提高模型的解释能力。
5罚函数法
α(x) = ∑φ(gi (x)) + ∑(hj (x))
i= 1 j =1
m
l
目 ： 满 约 的 有 (x) = 0 的 使 足 束 x α 不 足 束 x有 (x) > 0 满 约 的 α
1.罚函数概念 1.罚函数概念 （续）
> 0 ,当 > 0时 t 其 ： (t) 中 φ t = 0 当 ≤ 0时 > 0 ,当 ≠ 0时 t (t) t = 0 当 = 0时 取 > 0, 可 造 构 =0 可 行 α(x) 惩罚项 可 → ∞ 不 行 助 数 f (x) + α(x) 辅 函 m in 助 题 f (x) + α(x) 辅 问
3.闸函数法： （续） 闸函数法： 闸函数法
mn x i Ex. mn i s.t. x + 2 ≤ 0 1 ,x >2 闸 数 (x) = 函 B x 2 i mn g(x, ) = x + x 2 解 s.t. x>2 目 函 关 x是 的 求 点 x = 2 + 标 数 于 凸 ， 驻 ： x = 2 + → 2 = x
i =1 i= 1
l
l
其 ： ∈ Rl为 子 中 v 乘 ， ∈ Rl为 因 。 罚 子 m in φ(x, v(k ) , (k ) ) 求 解 s.t. x ∈ D 若 (x(k+1) ) = 0 h 否 则 , 得 x(k+1) , k = 0,1 2, 到
得 解 (k+1) 及 子 (k ) ; 到 x 乘 v
0 → +
g(x , ) 2 最 值 原 题 → 优 ( 问 )
→ + 0
3.闸函数法： （续） 闸函数法： 闸函数法
第4章罚函数法
十分接近。 可以期望，当 充分大时，无约束问题 min F ( x, ) 的最优解 x( ) 与原问题的解 x
事实上，当 时，若问题有解（即 F ）则必有 g 0 ； 另一方面，由于 F f 2
g g
i
i
0 ，结合 时的结果 g 0 ，故有 F f ＝0；
关于 P 的取法：①与原条件函数相关；②为正函数（σP 为正） ；③上述性质；
48
操华胜：最优化方法
min f ( x) ， s.t. gi ( x) 0
F ( x, ) f ( x ) g T g
△分析（判断） ：①当 x 为可行点（即 x 满足 gi ( x) 0 ）时，则有
即
Fx 2 x 2 ( x 1) 0 x
2
1 x
, ) 1 min f ( x) 。即本题的解 x 1 并且 min f ( x) 1 。 此时， F ( x, ) F ( x
（注：若问题中的约束条件变为 hi ( x) 0 ，则在罚函数中，满足此条件时罚项为 0，不满足时增加罚项）
§4.1 §4.2 §4.3
罚函数法 障碍函数法 广义乘子法
第四章
约束最优化的加权方法
§4.1 罚函数法
◆从拉格朗日乘子法谈起
乘子法是研究带约束的极值问题的有效方法之一。从高等数学中拉格朗日乘子法开始，对它的研究一直 不断。在拉格朗日乘子法的基础上又给出了罚函数法、障碍函数法、广义拉格朗日乘子法（也简称为广义乘 子法）对带约束的极值问题的求解方法。这些方法统称为广义乘子法。 ▲拉格朗日乘子法的基本原理 对等式约束问题
h( g ) min C
罚函数法及改进算法
罚函数法及改进算法第3章罚函数法及改进算法引⾔罚函数法是解决约束优化问题的重要⽅法，它的基本思想是⽤⽆约束问题代替约束问题，因⽽⽆约束问题的⽬标函数必须是原来的⽬标函数与约束函数的某种组合，类似线性规划中的M 法求初始可⾏解，在原来的⽬标函数上加上由约束函数组成的⼀个“惩罚项”来迫使迭代点逼近可⾏域，所以称为罚函数法。
这样把约束问题转化成求解⼀系列的⽆约束极⼩点，通过有关的⽆约束问题来研究约束极值问题，从⽽使问题变的简单。
许多⾮线性约束优化⽅法都要⽤罚函数作为评价函数来评价⼀个点的好坏，这在选择新点确定步长等⽅⾯都起着重要的作⽤，不同的罚项对算法影响很⼤，根据罚项的不同可以分为以下⼏类：外罚函数法对于问题min ()f x (3-1).s t ()0i c x = 1,2,,;i m = (3-2)()0i c x ≥ 1,2,,;i m m n =++ (3-3)其中:n f R R →为线性连续函数。
定义外罚函数为:(,)L x σ()()f x P x σ=+()()f x Q x σ=+ (3-4)()Q x =11()min{0,()}m n i i i i m c x c x βα==++∑∑ (3-5) 通常取==2αβ，这样定义的外罚函数法，当x 为可⾏点是，()0Q x =；当x 不是可⾏点时，()0Q x >。
⽽且x 离可⾏域越远()Q x 的值越⼤，它优点是允许从可⾏域的外部逐步逼近最优点，但其明显的缺点是它需要求解⼀系列⽆约束极⼩化问题，计算⼯作量很⼤，且由于其收敛速度仅是线性的，往往需要较长的时间才能找到问题的近似解，再考虑到实际中所使⽤的终⽌准则，若实现不当，则算法很难找到约束问题的⼀个较好可⾏解，从⽽不适⽤于那些要求严格可⾏性的问题。
内罚函数法它是针对不等式约束(3-1)(3-3)提出的，基本思想是在约束区域的边界筑起⼀道“墙”来，当迭代点靠近边界时，函数值陡然增⼤，于是最优点被挡在可⾏域内部，这样产⽣的点列k x 每个点都是可⾏点。
数值最优化方法-罚函数方法
k k
根据引理，我们还知道 f ( xk ) 单调增加，并且
f ( x k ) P ( x k , k ) f ( x * )
（4.1.3）
惩罚项所具有的性质应该怎么样呢？ 怎么取呢？
想一想 有没有其他形式的惩罚项。
6
一般约束优化问题
min f ( x ) s.t. ci ( x) 0
ci ( x) 0 i I l 1,2,, m
i E 1,2, , l
怎么构造罚函数？
~ P x, f ( x) P x l m ~ P x ci ( x ) min0, ci ( x )
得到 以 xk 为 近 似 最 优 解 ， 停 止 。 否 则 ， 令
~ minP x, k f ( x) k P x
k 1 c k , k k 1 ，转 Step 2。
那么这类方法是否能收敛呢？？
13
~ minP x, k f ( x) k P x
2 2 min f x1 , x2 x1 x2 s.t. x1 x 2 2 0
其中的 表示很大的正数。
2 2 P x1 , x 2 , x1 x 2 x1 x 2 2
2
2 x1 x 2 2 1
当 时， x1 x 2 1 即无约束优化问题最优解的极限为原问题的解。
14
证明 (1)因为 xk 是 P ( x , k ) 的极小点，且 k 1 k ，故
最优化方法-罚函数法
������(2)= 0.32,0.625 ，������ ������(2), ������1 = 1.5237
22:06
2.罚函数的基本原理
F(x)的等价表达式： ������ ������, ������ = ������ + ������[max 0, −������ + 2 ]2
其中，μ是一个充分大的数。 记 ������ ������ = [max 0, −������ + 2 ]2
通常把������������ ������ 称为罚函数（Penalty Function），记为 P ������, ������ = ������������ ������
2������1 + 2 + ������ = 0
令൞���������′���2 = 0 即ቐ
4������2+������ = 0
���������′��� = 0
������1 + ������2 − 1 = 0
解得������∗ = ������ , ������ , ������ ������∗ ≈ ������. ������������������������
利用图解法不难看出，原问题的约束极小点正是������∗ = 2.
22:06
2.罚函数的基本原理
约束极小化的一般问题为
������������������������ ������
内点惩罚函数法的改进算法
图3 一维区间搜索示意图
3 内点惩罚函数的改进算法
针对模型 ( 1)及内点惩罚函数构造式 ( 2)可转化为如下的模型 k O (mi n X ,V ) , -∈ D , s. t X
[2 ] [3 ]
:
( 3) 即保证在调用无约束优化方法时 , X ∈ D . 在一维区间搜索中 , 保证 n 维变量搜索区间均在可行域 D 内 . 参见图 3, 对 f 1 (T )曲线 , 将原来的区间 [ A , B ]调整到 [C , D ] , 对 f 2 (T )曲线 , 将假定搜索到区间 [ A′ , -* B′ ]调整到 [C′ , D′ ] ,即将 N 维变量沿 n 个方向的搜索区间均限制在 D 内 , 最终达到 X* ∈ D , 且各 X k (V )∈ D . 3. 1 一维搜索区间改进算法步骤 3. 1. 1 采用常规方法先获得区间 [T 1 ,T 3 ]; 3. 1. 2 判 T 1、T 3二点是否满足 gu ( X )≤ 0 条件 ; 3. 1. 3 由 3. 1. 2 步骤 , 可能的情况为: 3. 1. 3. 1 T 1、T 3二点均满足 gu ( X )≤ 0 条件 , 从函数及约束可行域的连续性可知 , [T 1 ,T 3 ]区间内一切
( 1)
( 2)
现有算法 , 直接将约束优化模型转化为无约束优化模 k k * k - ,V -* (V 型 , 即求 min O (X ) . 求得 X ) , 然后以 X (V )为初点 ,
k+ 1 k k+ 1 - * (V 使V = T V (T< 1) , 再无约束寻优 , 求 X ) , … , 直至
28 点均满足约束 ;
工 科 数 学 第 17 卷
- ) )≤ 0, 该区间搜索无效 ; 3. 1. 3. 2 [T 1 ,T 3 ] 区 间内的一切点均不满足 gu ( X 3. 1. 3. 3 满足约束的可能区间为 [- ∞ ,T 1 ]或 [ T 3 , ∞ ]; 3. 2 一维搜索区间改进算法框图 其框图如图 4 所示 。
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第3章 罚函数法及改进算法引言罚函数法是解决约束优化问题的重要方法，它的基本思想是用无约束问题代替约束问题，因而无约束问题的目标函数必须是原来的目标函数与约束函数的某种组合，类似线性规划中的M 法求初始可行解，在原来的目标函数上加上由约束函数组成的一个“惩罚项”来迫使迭代点逼近可行域，所以称为罚函数法。
这样把约束问题转化成求解一系列的无约束极小点，通过有关的无约束问题来研究约束极值问题，从而使问题变的简单。
许多非线性约束优化方法都要用罚函数作为评价函数来评价一个点的好坏，这在选择新点确定步长等方面都起着重要的作用，不同的罚项对算法影响很大，根据罚项的不同可以分为以下几类：外罚函数法对于问题min ()f x (3-1).s t ()0i c x = 1,2,,;i m =⋅⋅⋅ (3-2)()0i c x ≥ 1,2,,;i m m n =++⋅⋅⋅ (3-3)其中:n f R R →为线性连续函数。
定义外罚函数为:(,)L x σ()()f x P x σ=+()()f x Q x σ=+ (3-4)()Q x =11()min{0,()}m n i i i i m c x c x βα==++∑∑ (3-5) 通常取==2αβ，这样定义的外罚函数法，当x 为可行点是，()0Q x =；当x 不是可行点时，()0Q x >。
而且x 离可行域越远()Q x 的值越大，它优点是允许从可行域的外部逐步逼近最优点，但其明显的缺点是它需要求解一系列无约束极小化问题，计算工作量很大，且由于其收敛速度仅是线性的，往往需要较长的时间才能找到问题的近似解，再考虑到实际中所使用的终止准则，若实现不当，则算法很难找到约束问题的一个较好可行解，从而不适用于那些要求严格可行性的问题。
内罚函数法它是针对不等式约束(3-1)(3-3)提出的，基本思想是在约束区域的边界筑起一道“墙”来，当迭代点靠近边界时，函数值陡然增大，于是最优点被挡在可行域内部，这样产生的点列k x 每个点都是可行点。
通常定义内罚函数为：1(,)()()B x f x B x σσ=+ (3-6)11()()m i i B x c x ==∑ (3-7) 要减弱()B x 的影响，故令σ逐渐增大。
内罚函数法的好处是每次迭代的点都是可行点，当迭代到一定阶段时，可以被接受为一个较好的近似最优解。
但是内点罚函数法要求初始点位于可行域的内部，除特殊情况外，确定这样一个初始点并非易事。
此外，由于内点罚函数不是处处有定义或不一定存在全局极小，故无约束最优化问题中的线性搜索方法不再适用，另外，当接近可行域边界时，内点罚函数法必须修正通常的线性搜索方法。
由于内点罚函数法不能处理等式约束，且寻求初始可行点的计算工作量往往太大。
因此，在实际中，为了求解一般的非线性约束优化问题，人们往往将内点罚函数法与外点罚函数法结合起来适用。
混合罚函数法混合罚函数法是针对问题(3-1)-(3-3)提出来的，当初始点0x 给定后，对等式约束和不被0x 满足的那些不等式约束用外罚函数法，而被0x 满足的那些不等式约束用内罚函数法。
通常定义混合罚函数为：111(,)()()()()i I i P x f x P x c x σσσ∈=++∑ (3-8)2221()()min{0,()}m i i i i I P x c x c x =∈=+∑∑ (3-9)1{()0,1,2,,}i I i c x i m m n =>=++L2{()0,1,2,,}i I i c x i m m n =≤=++L精确罚函数法对于外点罚函数法和内点罚函数法来说，其工作量很大，收敛慢的主要原因是它们需要求解一系列的无约束优化问题，而导致相应罚函数的无约束极小化运算越来越难于精确执行，效率差则是因为需要罚因子趋于无穷大或零所带来的罚函数呈病态问题。
由此自然想到，能否设计出一种罚函数，使得只要令其中的罚参数取适当的有限值后，该罚函数的无约束极小点就恰好是原约束问题的最优解，从而克服外、内点罚函数法的缺点呢通常称这样的罚函数为精确罚函数。
对问题(3-1)-(3-3)，定义()()()1()((),())T m C x c x c x ---=L 如下()()()i i c x c x -=，1,2,,i m =⋅⋅⋅()()min{0,()}i i c x c x -=，1,2,,i m m n =++⋅⋅⋅对于1L 罚函数()11()()()P x f x C x σ-=+ 其中0σ>是罚因子。
如果σλ*∞≥则在二阶充分条件0T d W d *>，0d ∀≠，0T A d *=的假定下可证x *是1L 罚函数的局部严格极小点。
所以1L 罚函数也常称为1L 精确罚函数。
同理，L ∞罚函数()1()()()P x f x C x σ-∞=+也是精确罚函数。
乘子罚函数法内外罚函数法的缺点是需要罚因子趋于无穷大才能使求解罚函数的极小和求解原向题等价。
乘子罚函数法具有不要求初始点为严格内点，甚至不要求其为可行点的特点，它利用近似Lagrange 乘子，求其近似解，并且逼近最优解，而不需要无穷大的罚因子，因此对它的研究有重要的理论和实用价值。
最早的乘子罚函数(又称为增广Lagrange 函数)是由Henstenes(1969)针对等式约束问题(3-1)(3-2)导出的，其形式为:2(,,)()()()2T P x f x c x c x σλσλ=-+ (3-10) 增广Lagrange 函数的另一种等价形式是在1969年由Powell 提出的，它提出对()i c x 进行平移，即用()i i c x θ-代替()i c x ，i θ是参数，这种平移的好处是不破坏()i c x ∇的方向，由此Powell(1969)得到罚函数:21(,,)()()(())2m T i ii P x f x c x c x σλσλθ==-+-∑ (3-11)如果定义i i λσθ=，则知式(3-10)与(3-11)只相差与x 无关的项212m i i σθ=∑，由于式(3-10)与(3-11)等价，故罚函数(3-10)也称为Henstenes-Powell 罚函数。
我们看到通常都是用二次罚函数作为罚项，因此称之为二次罚函数乘子法。
然而，它的缺点是容易引起罚因子过大，造成罚函数的Hesse 矩阵严重病态。
许多非线性约束优化方法都要用某个罚函数作为评价函数来评价一个点的好坏，这在选择新点确定步长等方面都起着重要的作用，因此对不同罚项的研究具有重要的理论和实际价值。
近年来，许多研究者试图通过改变罚项构造出新的罚函数，有效地避免罚因子过大引起的罚函数的Hesse 矩阵严重病态的情况。
优化中的罚函数法对一般约束最优化问题min ()f x (3-12).s t ()0i c x = 1,2,,;i m =⋅⋅⋅ (3-13)()0i c x ≥ 1,2,,;i m m n =++⋅⋅⋅ (3-14)定义1 称(,)k L x σ()()k f x P x σ=+()()k f x Q x σ=+ (3-15)为问题(3-12)-(3-14)的优化罚函数，0σ>为罚因子，其中罚项11()[(())]{(min[0,()])}m ni i i i m Q x q c x q c x ==+=+∑∑ (3-16) ()q t 其中t R ∈且满足如下性质：(1) ()q t 在R 中连续可微且为对称凸函数；(2) 对∀t R ∈，()0q t ≥；当且仅当0t =时，()0q t =；(3) lim ()t q t →+∞=+∞，lim ()t q t →-∞=-∞。
若定义~()()min[0,()]i i i c x c x c x ⎧=⎨⎩ 1,2,,1,2,,i m i m m n ==++L L 则x 是可行点当且仅当()0i c x =。
我们通过(,)k L x σ的极小点(其中k σ为一定值)，得到相应无约束极小点，序列{}k x 来逼近约束问题(3-12)-(3-14)的极小点*x 。
罚函数算法：步1 选定初始点为0x ；选取初始惩罚因子10σ>(可取11σ=)，惩罚因子的放大系数1c >(可取10c =)；置1k =。
步2 以1k x -为初始点，求解无约束问题min (,)n k x RL x σ∈， 其中(,)()()()()k k k L x f x P x f x Q x σσσ=+=+，设其极小点为k x 。
步3 若()k Q x σε<，则k x 就是所要求的最优解，停止；否则转下一步。
步4 置1k k c σσ+=；1k k =+，转步2。
由罚项的特点，当k 趋向于无穷时，随着k σ的不断增大，对每个不可行点的惩罚()k Q x σ也不断增大并趋向于无穷。
因此，在对应于k σ的无约束极小化问题的最优解k x 处，()k Q x σ的值应不断减小，从而保证k x 逐步趋于可行并最终达到问题(3-12)-(3-14)的最优解。
由()Q x ，(,)k L x σ的定义及极小点的含义，我们很容易证明下列结论。
引理1 给定0k σ>，k x 是(3-15)的解，则k x 也是约束问题min ()n x Rf x ∈ (3-17) .s t |()|i i c x μ≤ 1,2,,i n =L (3-18)的解，其中~|()|i i k c x μ=。
证明 由()q x 的性质知在(0,)+∞是增函数，且 ~~(|()|)(|()|)i i k q c x q c x ≥，又因为()q x 为对称函数，所以~~(|()|)(())i i k k q c x q c x =，~~(|()|)(())i i q c x q c x =，由此可得~~(())(())i i k q c x q c x ≥ 对任何x 满足式(3-18)，由k x 的定义，我们有~1()(())n i k i f x q c x σ=+∑~1()(())n i k k k i f x q c x σ=≥+∑ (3-19)所以~~1()()[(())(())]()n i i k k k k k i f x f x q c x q c x f x x σ=≥+-≥∑ (3-20)故知k x 是问题(3-17)-(3-18)的解。
证毕。
由以上引理可知，若取ε充分小，则当算法迭代结束时，k x 是问题(3-12)- (3-14)的近似解。
引理2 对于由算法所产生的序列{}k x 总有，11(,)(,)k k k k L x L x σσ++≥ (3-21)1()()k k Q x Q x +≤ (3-22)1()()k k f x f x +≥ (3-23)其中1k ≥。