多元函数的Taylor公式与极值

矩阵为: H f ( x0 )
f11 f21
f12
f
22
f1n
f
2n
设u f (P)在点
f
n1
f
n
2
f
nn
x0
P0 ( x01 , x02 , , x0n ) 的所有二阶偏导数
f11
f12
f1n
f 在点P0的 Hessian
H
f
(P0 )
f21
f
22
f
2n
矩阵为:
f
n1
f
y0
)
Peano余项 o( n ).
(0 1)
f C(n1) (U (P0 ) )
f
(
x0
h,
y0
k
)
i
n
0
1 i!
(n
1
1)!
注意：常将公式中用
h
x
k
y
h k x y
i
f ( x0,
n1 f
ln(1
x
y)
x
y
1(x 2
y)2
1(x 3
y)3
R3 ,
其中
R3
1 4!
x x
y
4
y
f
(x,y)
1 ( x y)4 ,
4 (1 x y)4
(0 1).
22
小结
f C(n) (U (P0 ) )
f ( x0 h, y0 k)
n
i0
1
i
!
h
x
k
y
i
f
( x0,
x2 f xx (0,0) 2 xyfxy (0,0) y2 f yy (0,0)
( x y)2,
x x
y
3
y
f
(0,0)
x3
f xxx (0,0)
3x2
yf xxy (0,0)
3 xy2 f xyy (0,0) y3 f yyy (0,0) 2( x y)3 ,
21
又 f (0,0) 0,故
fxx ( x, y) y( y 1)x y2 , fxx (1,4) 12, f x y ( x, y) x y1 y x y1 ln x, f x y (1,4) 1, f yy ( x, y) x y (ln x)2 , f yy (1,4) 0. 将它们代入泰勒公式 ，即有 令h x 1,k y 4
y0 k)
f
(
x0
,
y0
)
h
x
k
y
f ( x0, y0 )
1
2
2! h x k y f ( x0, y0 )
其中
1
n
n!
h
x
k
y
f ( x0 , y0 ) Rn ,
①
Rn
(n
1
1)!
h
x
k
y
n1
f
( x0
h,
y0
k)
②
6
证 引入辅助函数 (t ) f ( x0 t h, y0 t k ) .
Lagrange余项 Peano余项
2
记号 (设下面涉及的偏导数连续):
• (h x k y ) f ( x0,
y0 )
表示
hfx ( x0 ,
y0 ) kf y ( x0 ,
y0 )
•
(h
x
k
y
)2
f
( x0,
y0 ) 表示
h2 f xx ( x0 , y0 ) 2hkf xy ( x0 , y0 ) k 2 f yy ( x0 , y0 )
1 [( x 2!
1)2
f xx (1,4)
2( x 1)( y 4) f xy (1,4) ( y 4)2 f yy (1,4)] o( 2 ).
17
例 1 求 f ( x, y) x y 在点 (1,4) 的泰勒公式 ( 到二
阶为止 ), 并用它计算 1. 08 3. 96 ．
解 由于 x0 1, y0 4, n 2, 因此有 f ( x, y) x y , f (1,4) 1, fx ( x, y) y x y1, fx (1,4) 4, f y ( x, y) x y ln x, f y (1,4) 0,
1 2!
(h
x
k
) 2
y
f
( x0,
y0 )
1 n!
(h
x
k
) n
y
f
( x0 ,
y0 )
Rn
①
其中
Rn
1 ( n1)
!
(h
x
k
) n1
y
f
( x0
h,
y0 k)
②
(0 1)
① 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式, ②称为其拉格
朗日型余项 .
5
f ( x0 h,
y0 )
''(t ) h2 f xx ( x0 ht, y0 kt ) 2hkfxy ( x0 ht, y0 kt)
k 2 f yy ( x0 ht, y0 kt )
''(0) (h
x
k
) 2
y
f
( x0,
y0 )
一般地,
(m)(t)
m i0
Cim
hi k mi
m f x i y m i
10
(2) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式: f ( x0 h , y0 k) f ( x0 , y0 )
h fx ( x0 h, y0 k)k f y ( x0 h, y0 k) (0 1)
(3) 若函数 z f ( x, y)在区域D 上的两个一阶偏导数 恒为零, 由中值公式可知在该区域上f ( x, y) 常数 .
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2
)
(
x
x0
)2
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
Rn (
x)
Rn ( x)
f (n1)
x0 ( x x0 )
(n 1)!
( x x0 )n1(0 1)
o[( x x0 )n ] x x0
第4节 多元函数的Taylor公式与极值问题
4.1 多元函数的Taylor公式
(Taylor ‘s formula for function of several variables )
2013年4月
南京航空航天大学 理学院 数学系
1
4.1 多元函数的Taylor公式
一元函数的泰勒公式：
若y f ( x)在点x0某邻域内n＋1阶可微，
( x0 ht,
y0 kt)
h
x
k
y
m
f ( x0
t h,
y0
tk)
(m)(0) (h
x
k
) m
y
f
( x0,
y0 )
8
将 (0) f ( x0 , y0 ) , (1) f ( x0 h, y0 k) 及上面
求得的(m)(0)(m 1,..., n)的值,以及(n1)( )的值
9
说明:
(1) 余项估计式. 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, 在某闭
邻域其绝对值必有上界 M ,
Rn
M (n 1)
( h k )n1 !
h cos
k
sin
M n1( cos sin )n1
(n 1) !
则有
利用 max( x 1 x2 ) 2 [0,1]
Rn (n11()n!(hM1)x ! (k 2y))nn11fn(1x0 (hn,) y0 k)
1 2!
h，k
H
f
(
P0
)
h k
o(
2
)
x (h, k) H f (P0 )
f xx f yx
f xy
f1y6y
P0
例 1 求 f ( x, y) x y 在点 (1,4) 的泰勒公式 ( 到二
阶为止 ), 并用它计算 1. 08 3. 96 ．
解 由于 x0 1, y0 4, n 2, 因此有
f
( x0,
y0
)
o( 2 ).
f ( x0 , y0 ) hfx ( x0 , y0 ) kf y ( x0 , y0 )
1 [h2 2!
f
xx
(
x0
,
y0 ) 2hkf xy ( x0 ,
y0 )
k 2 f yy ( x0 ,
y0 )] o( 2 )
f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 ) x
由假设， (t) 在 [0,1] 上满足一元函数泰勒公式的条件
于是有 (1) (0) (0) (0)
1!
2!
(n) (0) (n1) ( )
(0
1) .
n!
(n 1)!
(0) f ( x0 , y0 ) , (1) f ( x0 h , y0 k)
利用多元复合函数求导法则可得:
x
, y)2
3 f
2! ,
x py3 p (1 x y)3
( p 0,1,2,3),
4 f 3! , ( p 0,1,2,3,4), x py4 p (1 x y)4
20
x x
y y
f
(0,0)
xfx (0,0)
yf y (0,0)
x
y,
x
y
2
f
(0,0)
x y
11
（4）在泰勒公式中,如果取 x0 0, y0 0,则 成为n阶麦克劳林（Maclaurin）公式.
f (x, y)
f
(0,0)
x
x
y
y
f
(0,0)
1 2!
x
x
y
y
2
f
(0,0)
1 n!
x
x
y
y
n
f
(0,0)
(n
1
1)!
x
x
y
y
n1
f
(x, y),
(0 1) ③
代入即得二元函数泰勒公式.
f ( x0 h
,
y0 k)
f ( x0,
y0 )
(h
x
k
y
)
f
( x0,
y0 )
1 2!
(h
x
k
) 2
y
f
( x0,
y0 )
1 n!
(h
x
k
y
)n
f
( x0,
y0 )
①
其中
Rn
(h 1
(n1) ! x
k
) n1
y
f
( x0
h,
y0 k)
②
(0 1)
4
定理 (泰勒定理) 若 f 在点 P0( x0, y0 )的某邻域
U (P0 ) 内有直到 n 1 阶的连续偏导数, 则对 U (P0 )
内任一点 ( x0 h, y0 k ), (0,1), 使得
f ( x0 h
,
y0 k)
f ( x0,
y0 )
(h
x
k
y
)
f
( x0,
y0 )
n2
f
nn
P0
14
设 z f ( x, y)在点P0( x0 , y0 )的所有二阶偏导数 存在, 定义f 在点P0的 Hessian 矩阵为:
H
f
(Baidu Nhomakorabea0 )
f xx ( P0 ) f yx ( P0 )
f f
xy yy
( (
P0 P0
) )
f xx f yx
f f
xy yy
P0
类似可定义u f ( x, y, z)在点P0 ( x0 , y0 , z0 )的
• 一般地,
m
h
x
k
y
f ( x0 , y0 )
m
Cmi
i0
m xi ymi
f ( x0 , y0 ) hi k mi ( m 1, 2, , n ) ,
3
See P61.定义4.1
C(n) ( )
在 区域 Rn 内具有n 阶连续偏导数
的函数所成的集合
f C(n) ( ) f 在 内有n 阶的连续偏导数, 称f 是 上的C(n)类函数。
Hessian 矩阵为:
f xx f xy f xz
H f ( P0 ) f yx f yy f yz
f zy
f zy
f zz
P0
15
特别地， f C(2) (U (P0 ) )
此时的 二 阶带Peano余项的泰勒公式可写作
f
(
x0
h,
y0
k)
i
2
0
1
i
!
h
x
k
y
i
1. 08 3. 96 1 4 0.08 6 0.082 0.08 0.04 1.3552 .
19
例2 求函数 f ( x, y) ln(1 x y) 的三阶麦
克劳林公式.
解
fx(x, y)
fy(x, y) 1
1 x
, y
1
fxx ( x, y)
fxy ( x, y)
f yy ( x, y) (1
f ( x0 h, y0 k) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 )h f ( x0 , y0 )k
1[ 2!
f
x
2
(
x0
,
y0
)h2
2 f xy ( x0 , y0 )hk
f y2 ( x0 , y0 )k 2 ]
o(2 )
令h x 1,k y 4
f ( x, y) f (1,4) ( x 1) f x (1,4) ( y 4) f y(1,4)
x y 1 4( x 1) 6( x 1)2 ( x 1)( y 4) o( 2 ) .
18
x y 1 4( x 1) 6( x 1)2 ( x 1)( y 4) o( 2 ) .
若略去余项，并让 x 1.08, y 3.96，则有 令h x 1 0.08,k y 4 0.04
'(t) hfx ( x0 ht , y0 kt) kf y ( x0 ht , y0 kt)
'(0) (h
x
k
y
)
f
(
x0
,
y0 )
7
'(t) hfx ( x0 ht , y0 kt) kf y ( x0 ht , y0 kt )
'(0) (h
x
k
y
)
f
( x0,
12
(5) f C(n) (U (P0 ) ) 此时的 n 阶泰勒公式可写作
f
( x0
h,
y0
k)
i
n 0
1
i
!
h
x
k
y
i
f
( x0,
y0 )
o( n ). Peano余项
13
设u f ( x)在点x0 ( x01, x02 , , x0n )的所有二阶偏导数
存在, 定义
f 在点x0的 Hessian