第四章 频域分析(第一节)

频率每变化一倍，称作一倍频程，记作oct， 坐标间距为0.301长度单位。频率每变化10倍，称 作10频程，记作dec，坐标间距为一个长度单位。 横坐标按频率ω的对数分度的优点在于：便于在较 宽的频率范围内研究系统的频率特性。 对数幅频图中的纵坐标采用均匀分度，坐标值 取 G ( jw ) 幅值的20倍对数，坐标值为
1
2
Aw
2
上式取拉氏变换并整理得
e
- t /T
Ts + 1 s + w
+
A 1+ T w
2 2
s in ( w t - a rc ta n T w )
x0 (t ) =
AT w 1+ T w
2 2
e
- t /T
+
A 1+ T w
2 2
s in ( w t - a rc ta n T w )
上式即为由正弦输入引起的响应。其中，右边 第一项是瞬态分量，第二项是稳态分量。 当时间 t→∞，瞬态分量趋近于零，则系统的稳态响应为
(4-1)
相频特性(): 稳态输出信号的相角与输入信号相 角之差: 频率特性G(j) : G(j)的幅值和相位均随输入 正弦信号角频率的变化而变化。 在系统闭环传递函数G(s)中，令s= j，即可得 到系统的频率特性。
例如图4-3所示，简单的RC电路。
RC电路的传递函数为
G (s) = 1 Ts + 1
由此可见，比例环 节的对数幅频图为幅 值等于20LgK(dB)的一 条水平直线。对数相 频图的相角为零，与 频率无关。
L( ) / dB
20 lg K
0 0.1 90 0 -90
( ) /()
1
10
100
/(rad s 1 )
/(rad s 1 )
二、积分环节
积分环节的传递函数为： 其频率特性为
典型环节的频率特性
通常控制系统都是由典型环节组 成的，故系统频率特性也都是由典型 环节的频率特性组成的，熟悉典型环 节的频率特性对于了解系统的频率特 性和分析系统性能都会提供很大的方 便。下面介绍典型环节的两种频率特 性曲线─幅相频率特性(Nyquist图)和 对数频率特性(Bode图)。
一、比例环节
比例环节的特点是输出能够无滞后、无失真地复 现输入信号。比例环节的传递函数为：G ( s ) = k 其频率特性为： G ( j w ) = k
1. 幅相频率特性
G ( j w ) = k = U ( w ) + jV ( w ) = A ( w ) e
jj ( w )
式中
U(ω)=K ─ 实频特性；
四、频率特性的表示方法
最常用的有幅相频率特性、对数频率特性和对数幅相 频率特性。
1.数学式表达方式
G ( j w ) = U ( w ) + jV ( w ) = G ( jw ) Ð G ( jw ) = A (w ) e
jj ( w )
(直 角 坐 标 表 达 式 ）
(极 坐 标 表 达 式 ) (指 数 表 达 式 )
由此可知，线性定常系统在正弦输入信号作用 下，其稳态输出与输入的幅值比是输入信号频率ω 的函数，称其为系统的幅频特性，记作A(ω)。它 描述了在稳态情况下，当系统输入不同频率的正弦 信号时，其幅值的增大或衰减特性。 稳态输出信号与输入信号的相位差 j ( w ) 也 是ω的函数，称其为系统的相频特性。它描述 了在稳态情况下，当系统输入不同频率的正弦 信号时，其相位产生超前或滞后的特性。
V(ω)=0 ─ 虚频特性； A (w ) = K ─ 幅 频 特 性 ； j (w ) = 0 ─ 相 频 特 性 。
比例环节的Nyquist图是实轴上的一个点，
2. 对数频率特性
对数幅频特性
对数相频特性
L ( w ) = 2 0 lg G ( j w ) = 2 0 lg K
j (w ) = 0
2
以jω代换s，则频率特性为
G ( jw ) = X 0 ( jw ) X i ( jw ) = wn
2
- w + 2 xw n jw + w n
2
以
d
代 换 s ,可 以 化 成 通 常 所 熟 悉 的 微 分 方 程
d x0 (t ) dt
2
dt 的形式
+ 2xw n
d x 0 (t ) dt
+ w n x0 (t ) = w n xi (t )
（2）系统的频率特性可用实验方法测出。频率特性 具有明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定， 这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说， 具有重要的实际意义。 （3）可推广应用于某些非线性系统。频率响应法不 仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数中 含有延迟环节的系统和部分非线性系统的分析。 （4）用频率法设计系统，可方便设计出能有效抑制 噪声的系统。
u i (t) C R i(t) u o (t)
式中 T─时间常数，且T=RC。 正弦输入信号为： x i ( t ) = A sin w t 取拉氏变换为： 电路的输出为：
x0 (t ) = AT w 1+ T w
2 2
X i (s) =
Aw s + w
2 2
X 0 (s) = G (s) X i (s) =
x0 (t ) = A
2 2
s in ( w t - a rc ta n T w ) G ( jw )
上述分析表明，当电路的输入为正弦信号时， 其输出的稳态响应(即频率响应)也是一个正弦信号， 其频率和输入信号的频率相同，但幅值和相位发生 了变化，幅值、相位变化多少取决与ω。
1+ T w = A G ( j w ) s in 轾 t + w 臌 = B s in 轾 t + j ( w ) w 臌
t

x i ( t ) A s in t
x o ( t ) B s in ( t )
系统输出与输入的正弦幅值之比为 输出与输入的正弦信号的相位差为
A (w ) =
B A
= G ( jw )
j (w ) =
G ( jw )
定义：
的幅值之比.
幅频特性A(): 稳态输出信号的幅值与输入信号
2 2
则频率特性为 幅频特性为 A ( w ) = 相频特性为
j (w ) = ? G ( jw ) ?
w
2 2
+ 1 + 1
T w
K ( j t w + 1) jT w + 1
a rc ta n t w - a rc ta n T w
【例】某单位反馈控制系统的开环传递函数为 G(s)H(s)=1/(s+1),试求输入信号r(t)=2sin t时系 统的稳态输出 解 首先求出系统的闭环传递函数(s) ，
式中
U (w ) ─ 实 频 特 性 ； V (w ) ─ 虚 频 特 性 ； A (w ) ─ 幅 频 特 性 ； j (w ) ─ 相 频 特 性 。
2. 图形表示方法
(1) 对数坐标图或称伯德图(Bode图) 其由两张图组 成，一张是对数幅频特性，另一张是对数相频特性。 Bode图的横坐标是按频率ω的以10为底的对数分 度，单位是rad/s。但在以lgω分度的横坐标上，只 标注ω的自然数值。
二、频率特性的求法
系统的频率特性可以通过以下三种方法 求得，通常采用后两种方法。
1) 根据已知系统的微分方程，把输入量以正弦函 数代入，求其稳态解，取输出稳态分量和输入正弦 的复数之比即得。 2) 根据传递函数来求取。
3) 通过实验测得。
另外，由于频率特性和传递函数以及微分方 程式一样，都表征了系统的内在规律，所以可以 简单地进行变换，得到相应的表达式。三者间的 关系可以用下图来说明。
G ( jw ) =
G (s) =
1 jw = - j 1 w
一、频率特性的概念
1、频率响应：是系统对正弦输入的稳态响应。
2、频率特性：给线性系统输入某一频率的正 弦波，经过足够长的时间后，系统的输出响应仍是 同频率的正弦信号，而且输出与输入的正弦幅值之 比和相位之差，对于一定的系统来讲是完全确定的。 当不断改变输入正弦信号的频率(0→∞)时，该幅 值比和相位差的变化情况称为系统的频率特性。
s = s
d d
dt dt
微分方程
传递函数
系统
j
d dt
s j
频率特性
例4-1 已典型二阶系统为例来说明系统的频率 特性、传递函数和微分方程之间的转换关系。 解 一个典型二阶系统的传递函数为
G (s) = X 0 (s) X i (s) = wn
2 2 2
s + 2xw n s + w n
jj ( w )
可以计算出每一个ω值所 对应的幅值A(ω)和相位 j ( w )。 将它们画在极坐标平面上，将 各矢量端点连成曲线即得到系 统的频率特性的坐标图。它不 仅表示了幅频特性和相频特性， 而且也表示了实频特性和虚频 特性。图中ω的箭头方向为ω 从小到大的方向。
Im
4
0
[G ( j )]
lg

( ) / ( )
-1 0 0 .1 -9 0 1 10 100 0 1 2
lg

-1 8 0
图4-6
Bode图坐标系
(2) 极坐标图或称乃奎斯特图(Nyquist图)也称幅相 频率特性图 当ω从0→∞变化时，根据频率特性的 极坐标表达式
G ( j w ) = G ( j w ) ? G ( jw ) A(w ) e
令s=j 得
如=2, 则 (j2)=0.35∠－450 则系统稳态输出为：c(t)=0.35*2sin(2t-45o) =0.7sin(2t-45o)