离心率的常见求法
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【例3】过椭圆 的左焦点 作 轴的垂线交椭圆于点 ， 为右焦点，若
，则椭圆的离心率为（）．
A. B. C. D.
【点评】(1)本题经过整理得到 ，再把方程的两边同时除以 ，得到一个关于离心率 的方程 ，解方程即可得到离心率的值.(2)
是一个关于 的齐二次方程，这种方程两边同时除以 ,即可得到一个关于离心率 的方程，解方程即可.
A． B． C． D．
离心率的常见求法参考答案
【变式练习1答案】
【变式练习1详细解析】由题得 设
所以 .
【变式练习2答案】
【变式练习2详细解析】设双曲线的右焦点为 因为 为 的中点， ∴ ，∵ ∴ ，所以， .
【变式练习3答案】（1）5；（2） .
（Ⅱ）设 ，则 且 ，由椭圆定义可得
在 中，由余弦定理可得
即
化简可得 ，而 ，故
于是有 ，
因此 ，可得
故 为等腰直角三角形。从而
所以椭圆的离心率 .
【变式练习4答案】
【变式练习5答案】
【变式练习5详细解析】根据椭圆的定义 , ， ， ， , 勾股定理得 ，化简得 ，即 ，所以离心率
．
【变式练习6答案】A
【变式练习6详细解析】
双曲线 的渐近线方程为 ，直线 与渐近线的交点
，若 ，则 的离心率 .
【点评】(1)本题是2003年辽宁省的理科高考题，有一定难度，综合性比较强，它反映的基本思路，就是利用公式法求椭圆的离心率，先求出椭圆的 和 ,再代入离心率的公式求解即可.(2)本题关键是要联想到椭圆的定义，会灵活利用椭圆的对称性来分析求解.
【变式练习1】已知P是椭圆 上一点，椭圆的左右焦点分别是 ,若
, 则此椭圆的离心率为_________.
【例2】已知点 在双曲线 上，直线 过坐标原点，且直线 、 的斜率之积为 ，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
【点评】本题主要是利用已知条件得到了 和 的关系，再直接代入离心率的公式化简得到的.
【变式练习2】已知双曲线 的左焦点为 ，过 作圆 的切线，切点为 ，延长 交双曲线右支于点 ，若 为 的中点，则双曲线的离心率为（）
【变式练习4】设 、 分别为双曲线 的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点 ，满足 ，且 到直线 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）
A． B．2C． D．
【变式练习5】设 分别是椭圆 的左、右焦点，若椭圆上存在点 ，使
,且 ，则椭圆的离心率为．
【变式练习6】过双曲线 的左顶点 作与实轴垂直的直线，交两渐近线于 , 两点， 为该双曲线的右焦点，若△ 的内切圆恰好是 ，则该双曲线的离心率为（）
，由于 ， ，根据 面积公式得
， ，来自百度文库
化简得 ，解得 .
离心率的常见求法
一、知识总结
1.椭圆、双曲线的离心率 .
2.抛物线的离心率 .
3.圆锥曲线的离心率常见的有两种方法：公式法和方程法.
二、题型归纳
方法一
公式法
使用情景
比较容易求出 和 ，或者容易得到 的关系.
解题步骤
先根据已知条件求出 和 ,或者 的关系，再代入离心率的公式 化简求解.
【例1】已知椭圆 的左焦点为 与过原点的直线相交于 两点，连接
A. B.5 C.2 D.
【变式练习3】设 , 分别是椭圆 ： 的左、右焦点，过点 的直线交椭圆 于 两点，
（1）若 的周长为16，求 ；
（2）若 ，求椭圆 的离心率.
方法二
方程法
使用情景
把已知的等式化简可以得到一个关于 和 的方程.
解题步骤
把已知的等式化简可以得到一个关于 和 的方程,再把该方程化为关于离心率 的一次或二次方程，直接计算出离心率.
，则椭圆的离心率为（）．
A. B. C. D.
【点评】(1)本题经过整理得到 ，再把方程的两边同时除以 ，得到一个关于离心率 的方程 ，解方程即可得到离心率的值.(2)
是一个关于 的齐二次方程，这种方程两边同时除以 ,即可得到一个关于离心率 的方程，解方程即可.
A． B． C． D．
离心率的常见求法参考答案
【变式练习1答案】
【变式练习1详细解析】由题得 设
所以 .
【变式练习2答案】
【变式练习2详细解析】设双曲线的右焦点为 因为 为 的中点， ∴ ，∵ ∴ ，所以， .
【变式练习3答案】（1）5；（2） .
（Ⅱ）设 ，则 且 ，由椭圆定义可得
在 中，由余弦定理可得
即
化简可得 ，而 ，故
于是有 ，
因此 ，可得
故 为等腰直角三角形。从而
所以椭圆的离心率 .
【变式练习4答案】
【变式练习5答案】
【变式练习5详细解析】根据椭圆的定义 , ， ， ， , 勾股定理得 ，化简得 ，即 ，所以离心率
．
【变式练习6答案】A
【变式练习6详细解析】
双曲线 的渐近线方程为 ，直线 与渐近线的交点
，若 ，则 的离心率 .
【点评】(1)本题是2003年辽宁省的理科高考题，有一定难度，综合性比较强，它反映的基本思路，就是利用公式法求椭圆的离心率，先求出椭圆的 和 ,再代入离心率的公式求解即可.(2)本题关键是要联想到椭圆的定义，会灵活利用椭圆的对称性来分析求解.
【变式练习1】已知P是椭圆 上一点，椭圆的左右焦点分别是 ,若
, 则此椭圆的离心率为_________.
【例2】已知点 在双曲线 上，直线 过坐标原点，且直线 、 的斜率之积为 ，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
【点评】本题主要是利用已知条件得到了 和 的关系，再直接代入离心率的公式化简得到的.
【变式练习2】已知双曲线 的左焦点为 ，过 作圆 的切线，切点为 ，延长 交双曲线右支于点 ，若 为 的中点，则双曲线的离心率为（）
【变式练习4】设 、 分别为双曲线 的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点 ，满足 ，且 到直线 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）
A． B．2C． D．
【变式练习5】设 分别是椭圆 的左、右焦点，若椭圆上存在点 ，使
,且 ，则椭圆的离心率为．
【变式练习6】过双曲线 的左顶点 作与实轴垂直的直线，交两渐近线于 , 两点， 为该双曲线的右焦点，若△ 的内切圆恰好是 ，则该双曲线的离心率为（）
，由于 ， ，根据 面积公式得
， ，来自百度文库
化简得 ，解得 .
离心率的常见求法
一、知识总结
1.椭圆、双曲线的离心率 .
2.抛物线的离心率 .
3.圆锥曲线的离心率常见的有两种方法：公式法和方程法.
二、题型归纳
方法一
公式法
使用情景
比较容易求出 和 ，或者容易得到 的关系.
解题步骤
先根据已知条件求出 和 ,或者 的关系，再代入离心率的公式 化简求解.
【例1】已知椭圆 的左焦点为 与过原点的直线相交于 两点，连接
A. B.5 C.2 D.
【变式练习3】设 , 分别是椭圆 ： 的左、右焦点，过点 的直线交椭圆 于 两点，
（1）若 的周长为16，求 ；
（2）若 ，求椭圆 的离心率.
方法二
方程法
使用情景
把已知的等式化简可以得到一个关于 和 的方程.
解题步骤
把已知的等式化简可以得到一个关于 和 的方程,再把该方程化为关于离心率 的一次或二次方程，直接计算出离心率.