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开 域 :不 包 括 边 界 在 内 的 区 域 称 为 开 域 .
无 界 区 域 有 界 区 域 :如 果 区 域 延 伸 到 无 穷 远 处 ， 则称为无界区域，否则称为有界区域.
邻 域 :把 满 足 不 等 式 (x x0)2 ( y y0)2 ( 0) 的 点 P (x, y ) 的 全 体 称 为 点 P0 ( x0 , y0 ) 的 邻 域 . 它 是 以 点 P0 为 中 心 ， 为 半 径 的 圆 形 开 区 域 ， 称 不 包 含 点 P0 的 邻 域 为 无 心 邻 域 .
数的极限 lim f (x, y) A存在．反过来,如果当 P(x, y) 沿 xx0
y y 0
两条不同路径趋近于点 P0 (x0, y0 )时,函数 f (x, y) 趋近于不 同的值, 则可以断定函数的二重极限不存在．
y
Байду номын сангаас
P0
p o
x
2 . 多元函数的连续性
定义 设二元函数 z f (x, y)在点 P0 (x0 , y0 )的某个 邻域内有定义，若
点M (x, y,z)．所有这样确定的点的集 x
合就是二元函数 z f (x, y)的图形，由 上一章知，通常是一张空间曲面（如 图 11.1-3 所示）．
z zf(x,y) M(x,y,z)
o y
P(x,y) 图11.1-3
11.1.2 二元函数的极限与连续
1. 二 元 函 数 的 极 限
定 义 设 二 元 函 数 z f (x, y) ， 如 果 当 点(x, y) 以 任 何
lim f (x, y) f (x0 , y0 )
(1)
xx0
y y0
则称二元函数 z f (x, y)在点 P0 (x0 , y0 )处连续．若函数
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无穷级数具有可交换性、可结合性和可分配性等性质，这些性质使得无穷 级数的运算更加方便。
无穷级数的收敛性是一个重要的性质，它决定了无穷级数的和是否有限。 收敛级数的和可以通过求和公式或极限方法来求解。
无穷级数的应用
无穷级数在数学分析中有着广泛的应用，它可以用来表示函数、解决一些数学问题以及描述自然现象 等。
相加或相乘。
无穷级数可以分为两类：收 敛级数和发散级数。收敛级 数的和是有限的，而发散级
数的和是无穷的。
无穷级数在数学分析中有着广 泛的应用，它可以用来表示函 数、解决一些数学问题以及描
述自然现象等。
无穷级数的性质
无穷级数具有可加性和可乘性，即对于任意两个无穷级数，它们的和或积 仍然是一个无穷级数。
在物理学中，无穷级数被广泛应用于描述物理现象和规律，例如在量子力学、电磁学和流体动力学等领 域。
在计算机科学中，无穷级数可以用来进行快速计算和近似计算，例如在计算机图形学、数值分析和密码 学等领域。
05
空间解析几何
向量代数
向量数乘
数乘是向量代数中的一种运算， 通过一个实数和一个向量相乘得 到一个新的向量。
间断的类型
总结词
间断是连续的反义词，表示函数在某 点或某区间内不连续。
详细描述
间断可以分为多种类型，包括第一类 间断和第二类间断。第一类间断包括 可去间断点和跳跃间断点，而第二类 间断则包括无穷间断和震荡间断。
连续与间断的性质
总结词
连续和间断的性质是数学中研究的重要内容，它们在函数的极限、导数和积分等领域有着广泛的应用 。
向量的方向角
方向余弦是描述向量方向的三个数值，可以 通过三角函数计算得到。
向量的方向余弦
向量的方向角是描述向量方向的角度，可以 通过反三角函数计算得到。
无穷级数的收敛性是一个重要的性质，它决定了无穷级数的和是否有限。 收敛级数的和可以通过求和公式或极限方法来求解。
无穷级数的应用
无穷级数在数学分析中有着广泛的应用，它可以用来表示函数、解决一些数学问题以及描述自然现象 等。
相加或相乘。
无穷级数可以分为两类：收 敛级数和发散级数。收敛级 数的和是有限的，而发散级
数的和是无穷的。
无穷级数在数学分析中有着广 泛的应用，它可以用来表示函 数、解决一些数学问题以及描
述自然现象等。
无穷级数的性质
无穷级数具有可加性和可乘性，即对于任意两个无穷级数，它们的和或积 仍然是一个无穷级数。
在物理学中，无穷级数被广泛应用于描述物理现象和规律，例如在量子力学、电磁学和流体动力学等领 域。
在计算机科学中，无穷级数可以用来进行快速计算和近似计算，例如在计算机图形学、数值分析和密码 学等领域。
05
空间解析几何
向量代数
向量数乘
数乘是向量代数中的一种运算， 通过一个实数和一个向量相乘得 到一个新的向量。
间断的类型
总结词
间断是连续的反义词，表示函数在某 点或某区间内不连续。
详细描述
间断可以分为多种类型，包括第一类 间断和第二类间断。第一类间断包括 可去间断点和跳跃间断点，而第二类 间断则包括无穷间断和震荡间断。
连续与间断的性质
总结词
连续和间断的性质是数学中研究的重要内容，它们在函数的极限、导数和积分等领域有着广泛的应用 。
向量的方向角
方向余弦是描述向量方向的三个数值，可以 通过三角函数计算得到。
向量的方向余弦
向量的方向角是描述向量方向的角度，可以 通过反三角函数计算得到。
河南专升本高数第五章Ppt
河南专升本高数第五章Ppt简介本文档是关于河南专升本高数第五章Ppt的介绍。
本章主要涉及数列和数学归纳法的相关内容，通过Ppt的方式展示课程的重点和知识点，帮助学生更好地理解和掌握高数的基础知识。
数列数列是离散数域上的函数，是按一定的顺序排列成的数的集合。
数列在高等数学和实际问题中具有很广泛的应用。
本章主要介绍等差数列、等比数列和数列的求和。
等差数列等差数列是指一个数列中，任意两个相邻的项之间的差相等的数列。
数列的通项公式为：a a=a1+(a−1)a。
其中，a a表示数列的第a项，a1表示数列的第一项，a表示公差。
等比数列等比数列是指一个数列中，任意两个相邻的项之间的比相等的数列。
数列的通项公式为：$a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}$。
其中，a a表示数列的第a项，a1表示数列的第一项，a表示公比。
数列的求和数列的求和是计算数列中所有项的和。
对于等差数列，求和公式为：$S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)$。
对于等比数列，求和公式为：$S_n = \\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。
其中，a a表示数列的前a项和。
数学归纳法数学归纳法是一种用于证明数学命题的常用方法。
它分为基础步骤和归纳步骤。
基础步骤是证明命题在某个特定情况下成立；归纳步骤是证明如果命题在某个特定情况下成立，那么它在下一个情况下也成立。
通过将基础步骤与归纳步骤相结合，可以证明命题对于所有情况都成立。
数学归纳法在数学证明中应用广泛，特别适用于证明与整数有关的命题。
在高数中，数学归纳法常用于证明等式、不等式和恒等式等。
Ppt展示针对本章的内容，我们准备了一份Ppt，以图文并茂的方式展示了重点知识点和解题方法。
该Ppt包括以下内容：1.数列概念和分类的介绍2.等差数列的公式推导和应用3.等比数列的公式推导和应用4.数列的求和公式5.数学归纳法的基本原理和应用示例通过Ppt的演示，学生可以更加直观地理解数列和数学归纳法的概念，掌握重要的公式和方法，并且通过解题示例的演示，加深对于高数知识的理解和应用。
河北专升本高等数学复习资料课件第一章函数极限连续
对一切 x∈D成立，则称 f (x)为奇函数.
从函数图像上看，偶函数的图像关于 y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称.
典例精析
知识清单
知识点二 函数的基本性质
3.函数的单调性
设函数 f (x)定义域为 D ，区间 ⊆ .若对于 I 上任意两点1 , 2 ，当1 < 2 时，恒有
f (1 ) < f (2 )，
→∞
（或 a ≤ 0）.
知识清单
知识点一 数列极限
定理4（数列极限的四则运算） 设 lim = ， lim = ，则
→∞
→∞
① lim ( ± ) = ± ；② lim ( ∙ ) = ∙ ；③ lim = （b ≠ 0）.
→∞
→∞
称为函数在点 x 处的函数值，记作 f (x).当自变量 x 遍取 D 的所有数值时，对应的函数值 f (x)的全
体构成的集合称为函数 f 的值域，记作f (D)，即
= {| = , ∈ }.
由函数的定义可以看出，函数的定义域与对应法则是确定函数的两个必不可少的要素.也就
是说，如果两个函数的对应法则和定义域都相同，那么这两个函数就是相同的函数.
区间(0,1)上无界，在[1,+∞)上有界.
典例精析
知识清单
知识点二 函数的基本性质
2.函数的奇偶性
设函数 f (x)的定义域为 D，且 D 关于原点对称，即对任一 x∈D，都有－ x∈D.若
f (－x) = f (x)
对一切 x∈D成立，则称 f (x)为偶函数；若
f (－x) = －f (x)
知识清单
知识点三 基本初等函数
2.指数函数：形如 = (a > 0 , a ≠ 1)的函数称为指数函数.
从函数图像上看，偶函数的图像关于 y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称.
典例精析
知识清单
知识点二 函数的基本性质
3.函数的单调性
设函数 f (x)定义域为 D ，区间 ⊆ .若对于 I 上任意两点1 , 2 ，当1 < 2 时，恒有
f (1 ) < f (2 )，
→∞
（或 a ≤ 0）.
知识清单
知识点一 数列极限
定理4（数列极限的四则运算） 设 lim = ， lim = ，则
→∞
→∞
① lim ( ± ) = ± ；② lim ( ∙ ) = ∙ ；③ lim = （b ≠ 0）.
→∞
→∞
称为函数在点 x 处的函数值，记作 f (x).当自变量 x 遍取 D 的所有数值时，对应的函数值 f (x)的全
体构成的集合称为函数 f 的值域，记作f (D)，即
= {| = , ∈ }.
由函数的定义可以看出，函数的定义域与对应法则是确定函数的两个必不可少的要素.也就
是说，如果两个函数的对应法则和定义域都相同，那么这两个函数就是相同的函数.
区间(0,1)上无界，在[1,+∞)上有界.
典例精析
知识清单
知识点二 函数的基本性质
2.函数的奇偶性
设函数 f (x)的定义域为 D，且 D 关于原点对称，即对任一 x∈D，都有－ x∈D.若
f (－x) = f (x)
对一切 x∈D成立，则称 f (x)为偶函数；若
f (－x) = －f (x)
知识清单
知识点三 基本初等函数
2.指数函数：形如 = (a > 0 , a ≠ 1)的函数称为指数函数.
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专升本数学
目录
• 函数与极限 • 导数与微分 • 不定积分与定积分 • 常微分方程 • 空间解析几何与向量代数 • 概率论初步
01
函数与极限
函数的概念与性质
总结词
理解函数的基本概念和性质是学习专升本数学的基础。
详细描述
函数是数学中用来描述变量之间关系的工具，其定义域和对应关系是构成函数的两个要素。函数的性质包括奇偶 性、单调性、周期性等，这些性质在解决实际问题中有着广泛的应用。
要点二
分类
根据未知函数的导数的阶数，常微分方程可以分为一阶、 二阶、高阶微分方程等。
一阶常微分方程
概念
一阶常微分方程是未知函数的导数是一阶的常微分方程。
分类
一阶常微分方程可以分为线性微分方程和非线性微分方程。
求解方法
对于简单的一阶常微分方程，可以通过分离变量法、积分因式分解法等方法求解。对于复杂的非线性微 分方程，可能需要使用数值计算方法。
定积分的概念与计算
定积分的概念
01
定积分是描述曲线下的面积的问题，它可以通过分割
、近似、求和、取极限等步骤进行计算。
定积分的计算
02 定积分可以通过牛顿-莱布尼茨公式、换元法等方法
进行计算。
常见积分公式
03
定积分也有许多常见的积分公式，例如$\int_a^b
x^n dx = \frac{n}{n+1}(x^{n+1})|_{a}^{b}$。
理等领域。
Hale Waihona Puke 03不定积分与定积分不定积分的概念与计算
不定积分的概念
不定积分是微分的逆运算，它描述了某个函数的一组 原函数。
不定积分的计算
不定积分可以通过分部积分法、换元法等方法进行计 算。
目录
• 函数与极限 • 导数与微分 • 不定积分与定积分 • 常微分方程 • 空间解析几何与向量代数 • 概率论初步
01
函数与极限
函数的概念与性质
总结词
理解函数的基本概念和性质是学习专升本数学的基础。
详细描述
函数是数学中用来描述变量之间关系的工具，其定义域和对应关系是构成函数的两个要素。函数的性质包括奇偶 性、单调性、周期性等，这些性质在解决实际问题中有着广泛的应用。
要点二
分类
根据未知函数的导数的阶数，常微分方程可以分为一阶、 二阶、高阶微分方程等。
一阶常微分方程
概念
一阶常微分方程是未知函数的导数是一阶的常微分方程。
分类
一阶常微分方程可以分为线性微分方程和非线性微分方程。
求解方法
对于简单的一阶常微分方程，可以通过分离变量法、积分因式分解法等方法求解。对于复杂的非线性微 分方程，可能需要使用数值计算方法。
定积分的概念与计算
定积分的概念
01
定积分是描述曲线下的面积的问题，它可以通过分割
、近似、求和、取极限等步骤进行计算。
定积分的计算
02 定积分可以通过牛顿-莱布尼茨公式、换元法等方法
进行计算。
常见积分公式
03
定积分也有许多常见的积分公式，例如$\int_a^b
x^n dx = \frac{n}{n+1}(x^{n+1})|_{a}^{b}$。
理等领域。
Hale Waihona Puke 03不定积分与定积分不定积分的概念与计算
不定积分的概念
不定积分是微分的逆运算，它描述了某个函数的一组 原函数。
不定积分的计算
不定积分可以通过分部积分法、换元法等方法进行计 算。
专升本高等数学课件 第一章
称为由①, ②确定的复合函数, u 称为中间变量.
[说明] 通常 f 称为外层函数，g 称为内层函数.
注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成.
例如 y cot x , y u, u cot v, v x .
例如,
2x 1,
f
(
x)
x2
1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
• 隐函数：函数 y 与自变量 x 的对应法则用一个方程 F(x, y) 0
表示的函数，如x2 y2 1 0 .
二、函数的性质
1．函数的单调性
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2 , 当x1 x2时, (1) 若恒有 f ( x1 ) f ( x2 ),
o
例如，x2 y2 a2．
(x, y)
x
x
D
定义: 点集C {( x, y) y f ( x), x D} 称为
函数y f ( x)的图形.
3、函数的表示法
解析法：用解析表达式表示函数关系
表格法：用列表的方法来表示函数关系
图示法：用平面直角坐标系上的曲线来 表示函数关系
几个特殊的函数举例
反余弦函数 y arccos x
y arccos x
反正切函数 y arctan x
y arctan x
反余切函数 y arccot x
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
《专转本数学》课件
运用数学知识的机会。
3
互动授课
鼓励学员参与讨论和提问，促进思 维碰撞和知识共享。
学习资源
课本和参考书籍
配套教材和参考书籍将提供深度学习和进一步 阅读的资源。
网络资源和学习平台
学员可通过在线学习平台获取课程资料、视频 课程和练习题。
考核方式
平时作业
每周作业将帮助学员巩固所考试，以检验学员对知识的掌握程度。
课程论文
鼓励学员撰写课程论文，展示对特定数学领域的深度理解。
学习体验分享
学员反馈和心得分享
听听前几届学员对课程的评价和学习经验， 了解他们是如何克服困难并取得进步的。
成功案例和学习经验
探索数学专业领域的成功案例，并分享一些 学习策略和技巧。
课程安排
课程目标和内容概述
本课程旨在帮助学员全面理解数学专业的核心概念和方法，并能够熟练运用。
核心概念
线性代数、微积分、概率 统计等
解题技巧
数学建模、证明方法、问 题求解
数学应用
数理逻辑、工程计算、数 据分析等
教学方法
1
板书教学
通过实时写在黑板上的方式，解释
实例演练
2
和演示数学概念和问题求解步骤。
通过实际例子和练习题，提供实际
1 上课时间和地点
每周二、四，上午9:00-11:00，教室A304。
2 课程重要日期
请注意期中考试、期末考试和作业截止日期等重要日期。
3 补课和调课安排
如有时间冲突或突发情况，请及时联系教师进行补课或调课安排。
联系我们
如有任何问题或疑问，请随时与我们联系。我们将竭诚为您解答。
《专转本数学》PPT课件
我们欢迎您参加《专转本数学》课程。本课程旨在帮助您顺利转入本科数学 专业，并提供坚实的数学基础。
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例 2．下列各函数中，互为反函数的是（
n t, x o t cy （1 ） ． y a x
）
1 x , 1 y ( ) 1 - x （2） ．y2 2
知识点：反函数 求反函数的步骤是：先从函数 y f ( x ) 中解出 x f 1 ( y ) ，再置换 x 与
y ，就得反函数 y f 1 ( x ) 。
故函数的定义域为：{( x , y ) | x 0 且 x y 0} （2）要使函数有意义必须满足
故
x2 x 2 0 x 1 或 x 2 ，即 ， x 2 x20 D ( 2, 1) (2, ) ．
二、 极限
1．概念回顾
2、 极限的求法
利用极限四则运算、 连续函数、重要极限、无穷小代换、洛比达法则等 例 5： 求 lim
x
x5 ． x2 9
1 5 1 5 2 lim( 2 ) x5 x x x 0 0． 解： lim 2 lim x x x x 9 x 9 9 1 1 2 lim(1 2 ) x x x 知识点：设 a0 0, b0 0, m, n N ，
数。
: D g ( D ) D f: D f( D ) g 1 1 1
f g : D f [ g ( D ) ]
例 1.下列函数中，函数的图象关于原点对称的是（ (1) y 2 x 2 1 ； (3) y x 1 ． 知识点： 函数的奇偶性 (2) y x 3 2sin x ；
则 lim
am x x b x n n
m
m a bn a1 x a0 0 b1 x b0
mn mn mn
河北专升本高等数学复习资料课件第八章无穷级数
=1
知识清单
知识点一
常数项级数的相关概念
性质4 若级数σ∞
=1 收敛，则对这个级数的项任意加括号后所成的级数
1 + ⋯ + 1 + 1+1 + ⋯ + 2 + + −1+1 + ⋯ + + ⋯
仍收敛，且其和不变.
性质5(级数收敛的必要条件) 若级数σ∞
=1 收敛,则 lim = 0.
=0
+ ⋯.
知识清单
知识点一
幂级数的相关概念
∞
如果常数项级数σ∞
=0 (0 − ) 收敛，那么称点0 是幂级数σ=0 ( − ) 的一个收敛点，所
∞
有收敛点构成的集合称为幂级数σ∞
=0 ( − ) 的收敛域.显然，幂级数σ=0 ( − ) 的收敛域一
= ，则
典例精析
典例精析
典例精析
知识清单
知识点三
交错级数
各项是正负交错的级数称为交错级数，它的一般形式为
∞
(−1)−1 = 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ + −1
−1
+ ⋯,
=1
或
∞
(−1) = −1 + 2 − 3 + 4 + ⋯ + −1 + ⋯ ，
=1 发散；
（3）当 = 1 时，无法判断.
= ，则
典例精析
典例精析
典例精析
知识清单
知识点一 正项级数
定理4(根值判别法) 设σ∞
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二、极限 4.极限存在准则
单调有界数列必有极限 两面夹定理
5.两个重要极限
6.无穷小与无穷大：定义、关系、性质、无穷小的比较
极限与无穷小关系、等价无穷小替换定理（整式替换、 常见等价无穷小代换）
Hale Waihona Puke 第一章 函数、极限与连续 知识梳理
三、连续 1.定义：两个定义、左右连续、连续充要条件 2.运算性质：四则运算
定义域 自变量 因变量（函数） 函数值 值域
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
一、函数 1.概念 （2）函数三要素
定义域 对应法则 值域 （3）函数的表示方法
图像法 表格法
分段函数 公式法用参数方程确定的函数
隐函数（显函数）
第一章 函数、极限与连续
知识梳理
定义域D关于原点对称
一、函数
高等数学辅导讲义（专升本）
• 第一章 函数、极限与连续 15%
• 第二章 一元函数的微分学 20%
• 第三章 一元函数的积分学 20%
• 第四章 多元函数微积分 15%
• 第五章 常微分方程
15%
• 第六章 无穷级数
10%
• 第七章 向量代数与空间解析几何5%
第一章 函数、极限与连续
（重点）
第一章 函数、极限与连续
复合函数的连续性 3.间断点及其分类：第一类：可去、跳跃
第二类 4.闭区间上连续函数的性质：最值性
介值性 零点定理
5. 初等函数 六种基本初等函数：
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
六种基本初等函数 • 常数函数：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性 • 幂函数： • 指数函数： • 对数函数： • 三角函数：六个（正割函数、余割函数） • 反三角函数：四个
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链式法则
链式法则用于计算复合函数的导数， 是导数计算中数法则是用于计算分式函数的 导数，即(u/v)'=(u'v-uv')/v^2。
微分的概念与性质
微分的定义
微分是函数在某一点的变化量的近似值，它是 函数值的线性主部。
微分的几何意义
微分在几何上表示函数曲线在某一点附近的小 “斜坡”。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数曲线在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些重要的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
对于一些基本的初等函数，如幂函数、 指数函数、三角函数等，它们的导数已
经给出。
乘积法则
乘积法则用于计算两个函数的导数， 即(uv)'=u'v+uv'。
一阶微分方程是包含一个 导数项的方程。
定义
求解方法 形式
二阶微分方程
定义
二阶微分方程是包含两个导 数项的方程。
形式
d²y/dx² = f(x, y, dy/dx)， 其中f(x, y, z)是关于x、y和z 的函数。
求解方法
通过变量代换、积分等方法 求解。
高阶微分方程
01
定义
高阶微分方程是包含三个或更多 导数项的方程。
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汇报人： 202X-01-05
目录
• 函数与极限 • 导数与微分 • 不定积分与定积分 • 常微分方程 • 空间解析几何与向量代数
01
函数与极限
函数的概念与性质
总结词
理解函数的基本概念和性质是学习高 等数学的基础。
详细描述
函数是数学中描述两个变量之间关系 的一种方法，它具有对应性、有界性 、单调性、周期性和奇偶性等性质。 理解这些性质有助于更好地理解函数 的图像和变化规律。
专升本数学极限ppt课件
03
适用范围
04
适用于具有幂的形式的极限问题，特别是 与正整数指数幂相关的极限。
洛必达法则
利用洛必达法则，通过求导数的方法来求解极 限问题，特别是处理0/0型或∞/∞型的极限。
适用于具有可导函数形式的极限问题，要求分子分母 的导数均存在且分母不为0。
高阶导数 适用范围
Part
03
无穷小与无穷大
无穷小的定义与性质
在一定条件下，无穷大可以转化为无穷小， 反之亦然。
无无穷大的性质
无穷大具有可加性、可减性、可乘性和可除 性。
无穷大的阶
无穷大量按照其增长速度可以分为不同的阶 ，例如一阶、二阶等。
无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大是相对的概念，一个无穷小量可以是另一 个无穷大量的一部分。
无穷小与无穷大在一定条件下可以相互转化，例如在求极 限的过程中。
无穷小的定义
1
无穷小是极限为零的变量 。
无穷小的阶
4
无穷小量按照其趋于零的 速度可以分为不同的阶， 例如一阶、二阶等。
无穷小的性质
2
无穷小具有可加性、可减
性、可乘性和可除性。
等价无穷小
3
两个无穷小量在一定条件 下可以相互替换。
无穷大的定义与性质
无穷大的定义
无穷大是极限为无穷的变量。
无穷大与无穷小的关系
极限的运算性质
极限的四则运算性质
对于两个函数的极限，如果它们在某点的极限都存在，那么这两个函数在该点的和、差、积、商的极限分别等于 这两个函数在该点的极限的和、差、积、商。
极限的复合运算性质
如果函数$u=g(x)$在点$a$处的极限存在，并且函数$f(u)$在点$g(a)$处的极限也存在，那么复合函数$f(g(x))$ 在点$a$处的极限等于$f(g(a))$。
专升本高数第二章导数-PPT课件
f( x )f( x ) 0 导数的一个等价定义： f ( x )lim 0 x x 0 x x 0
左、右导数
设函数 y f (x )在点 x 如果 0的某个邻域内有定义
f (x x ) f (x y 0 0) 左极限 lim lim 存在，那 x 0 x 0 x x 称此极限值为函数 y f (x )在点 x 0 处的左导数。
2 x e b( 1 b ) f ( 0 ) l i m 2 x 0 x
f ( 0 ) f ( 0 ) ， a 2
(二) 曲线的切线方程及法线方程
设 曲 线 的 方 程 为 y f() x ， 若 f() x在 x 处 可 导 ， 0 则 曲 线 在 点 M ( x ,y ) 处 的 切 线 方 程 为 0 0 y y f ( x ) ( x x ) 0 0 0
仍是 x 的函数，称为 f (x)的导函数。
1. 基本导数表
x x
1 c 0 ， ( x ) x
x x
( aa ) l n a ， ( e ) e
1 1 ( l o g x ) ， ( l n x ) a x l n a x
( s i n x ) c o s( x ， c o s x )s i n x 2 2 ( t a n x ) s e c x ， ( c o t x ) c s c x ( s e c x ) s e c x t a n x ， ( c s c x ) c s c x c o t x
第二章 一元函数微分学
§2.1. 导数与微分
(一) 导数的概念
我们再用极限来研究变量变化 的快慢程度，这即是微分学中 的重要概念—导数。
左、右导数
设函数 y f (x )在点 x 如果 0的某个邻域内有定义
f (x x ) f (x y 0 0) 左极限 lim lim 存在，那 x 0 x 0 x x 称此极限值为函数 y f (x )在点 x 0 处的左导数。
2 x e b( 1 b ) f ( 0 ) l i m 2 x 0 x
f ( 0 ) f ( 0 ) ， a 2
(二) 曲线的切线方程及法线方程
设 曲 线 的 方 程 为 y f() x ， 若 f() x在 x 处 可 导 ， 0 则 曲 线 在 点 M ( x ,y ) 处 的 切 线 方 程 为 0 0 y y f ( x ) ( x x ) 0 0 0
仍是 x 的函数，称为 f (x)的导函数。
1. 基本导数表
x x
1 c 0 ， ( x ) x
x x
( aa ) l n a ， ( e ) e
1 1 ( l o g x ) ， ( l n x ) a x l n a x
( s i n x ) c o s( x ， c o s x )s i n x 2 2 ( t a n x ) s e c x ， ( c o t x ) c s c x ( s e c x ) s e c x t a n x ， ( c s c x ) c s c x c o t x
第二章 一元函数微分学
§2.1. 导数与微分
(一) 导数的概念
我们再用极限来研究变量变化 的快慢程度，这即是微分学中 的重要概念—导数。
专转本数学课件
(9)
se2cxdx
dx c os2
x
taxn C
(10) 1dxx2 arcx tC an
(11)
dx 1x2
arcx sC in
(1)2sextcaxn dxsexc c
(1)3csxc co xdx tcsx cc
例
求
dx x3 x
.
解: 原式 =
tan2 xdx
sin2 x cos2 x dx
si2nxco2xsco2xs
co2xs
dx
c
1 o2sxd
xd
x
taxn xC
3.1节 课堂思考
乘法 f(x)g(x)d xf(x)dx g(x)dx对?吗
除法 ? 呢
不,例 对 f如 ( xg)( xx)
当xa时,令 xu,则ua,于是
dx x2 a2
du u2 a2
lnu
u2a2
C 1
lnxx2a2C 1
ln
a2
x x2a2
C1
lnx x2a2 C (C C 1 2 ln a )
x a时，
dx x2 a2
lnx x2a2 C
x
4 3
dx
x
4 3
1
4 3
1
C
3x1 3 C
例 求
sin 2 xco2 xsdx
解: 原式= 12sinxdx
1 2coxsC
关于不定积分，还有如下等式成立： １ ［∫f(x)dx］′＝ f(x) 或 d∫f(x)dx ＝ f(x)dx ２ ∫F′(x)dx ＝ F(x) ＋ C 或 ∫dF(x) ＝ F(x) ＋ C
专升本高数讲义课件PPT第十一讲和第十二讲__向量代数和空间解析几何
b
b
c
a
b
c
a
(b )
ab
三、向量与数的乘法
设 是一个数，向量a 与 的乘积a 规定为
(1) 0,
a
与a
同向，|
a
|
|
a
|
(2) 0,
a
0
(3) 0,
a
与a
反向，|
a
||
|
|
a
|
a
2a
1
a
2
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：(a) ( a) ()a
例 1 求过三点A(2,1,4)、B(1,3,2)和 C (0,2,3)的平面方程.
解 AB {3, 4,6}
AC {B AC
{14, 9,1},
所求平面方程为 14( x 2) 9( y 1) (z 4) 0,
化简得 14x 9 y z 15 0.
1 空间平面及方程 2 空间直线及方程 3 空间曲面及方程 4 空间曲线方程
1.1、平面的点法式方程z
如果一非零向量垂直
于一平面，这向量就叫做
该平面的法线向量．
o
y
x
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量．
已知
n {A, B, C},
M0( x0 , y0 , z0 ),
设平面上的任一点为 M( x, y, z)
求此平面方程.
解 设平面为 Ax By Cz D 0,
aA D 0, 将三点坐标代入得 bB D 0,
,
ay,
az },
b {bx , by , bz },
a b {ax bx ,ay by , az bz }
专升本-高等数学--第三章-PPT
Δx0
Δx Δx0
Δx0
Δx
由此可见，曲线 y f (x)在点M 0处的纵坐标 y 的增量
Δ y 与横坐标 x的增量Δx之比，当 x 0 时的极限即为
曲线在M 0点处的切线斜率.
二、导数的概念
1.导数的定义
设函数 y f (x)在点 x0的某一邻域内有定义，当自
变量 x在 x0处有增量Δx(Δx 0, x0 Δx仍在该邻域内)时，
Q (t0 )
细杆 质量
的线 m m(x) Δm m(x0 Δx) m(x0)
密度
Δx
Δx
(x0
)
lim
Δx0
m(
x0
Δx) Δx
m(x0
)
边际
成本 总成本 模型 C C(x)
ΔC C(x Δx) C(x)
Δx
Δx
C(x) limΔC limC(xΔx)C(x)
Δx Δx0
Δx0
即在 x 处连续的函数未必在 x 处可导.
例如，函数 y
x
x, x 0,
x,
x
0
显然在
x 0 处连续，
但是在该点不可导.
因为y f (0 x) f (x) x ,
所以在x 0 点的右导数:
f (0)
lim
x0
y x
lim x0
x x
x lim x0 x
1.
而左导数是:
f (0)
2.若lim xa
f (x) f (a) xa
A（A 为常数），试判断下列命
题是否正确.
（1） f (x)在点 x=a 处可导；
（2） f (x)在点 x=a 处连续；
（3） f (x) f (a) A(x a) o(x a).