三次函数的图像和性质(用)

C.-1，2
D.-，-1 U2，
本课小结
1、利用导数研究三次函数的图象和性质
2、利用图象与性质解决什么问题？ (1)单调性、极值、最值问题； (2)讨论三次方程根的问题； (3) 研究恒成立问题
3、思想方法： 数形结合,转化思想
三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象
xx
x
x xx
x x
x0
有且只有1个交点
若方程ax3 bx2 cx d 0, a 0呢？
如 -x3+6x2-9x+10=0 方法一: 转化为a>0 方法二: 利用图象
x0
(三)不等式与恒成立问题
例2： 已知函数 f (x) x3 ax2 3x, a R
（1）若 f (1) 0,关于 x 的方程 f ( x) k
无极x0 值 (-∞,+∞)
想一想:
a 0时 f (x) ax3 bx2 cx d 的图象和性质又会如何 呢？
总结: a 0时
Δ>0
图象
极值 单调 区间
x x
1
2
x1
x2
极小值f(x1) 极大值f(x2)
(-∞,x1),(x2,+∞) (x1,x2)
Δ≤0
x0
无极值 (-∞,+∞)
f ' (x) 3ax2 2bx c
4b2 -12ac 4(b2 - 3ac)
a>0
a<0
Δ>0
Δ≤0
Δ>0
Δ≤0
x x1 x2
x x0
x x1 x2
x x0
思考:
1.类比二次函数， 请同学们给出三次函数的定义？
形如y ax3 bx2 cx d(a 0)
的函数叫做三次函数
2.我们如何研究三次函数的图象和性质？
导数•f / ( x) 3ax2 2bx c(a 0)
复习:二次函数的图象与性质
函数 二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数a≠0）
例1.已知三次函数f(x) ＝ax3+bx2+cx+d的导
函数/(x)的图象如右图
y
所示,则y =f (x)的图象
最有可能的是( )
O 12
x
y
y
y
y
O 1 2 x O 12x
A
B
2
O1
x
C
O
12 x
D
实战演练
函数 f (x) 1 x3 1 ax2 (a 1)x 1 32
在区间（1，4）内为减函数,试求实数 a
的取值范围.
y
单调性
01 4
导数符号
二次函数根 的分布
x
所需条件
引例2:方程x3－6x2+9x－10=0的实
根个数是( )
y
0
x
(1,-6)
(3,-10)
(二) 三次方程根的问题
讨论方程ax3 bx2 cx d 0(a 0)
பைடு நூலகம்
的根的个数
a 0时
x1 x2
1个交点 2个交点 3个交点
12 x
变:若三次函数f(x)图象如右图 能确定a,b,c,d的符号吗? y
0
x
课堂练习
实战演练
3.已知函数f (x) x3 1 x2 2x c，若对 2
x [1, 2]，不等式f (x) c2恒成立，则c的
取值范围为
A.-1，2
B-，-1 U2，
恒有3个不等实根，求实数K的取值范围。
例2：已知函数 f (x) x3 ax2 3x, a R
(2) f / (1) 0, x [2,3],都有f ( x) k恒成立 求k的取值范围
课堂练习:
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象
如图所示则f / ( x) 0的解集？
a>o
y
0
o
x
y
图
象 0
o
x
0
y
o
x
a<0
y
o
x
y
o
x
y
o
x
引例1: 初识三次函数的图象
(1)试确定函数f (x) x3 3x
的单调区间，并在同一坐标系中画出 此函数与它的导函数图象
(2)若函数为f ( x) x3或 f ( x) 1 x3 x2 2x 1,图象又会如何？
3
(一) 三次函数的图像
f (x) ax3 bx2 cx d的图象和性质 f ' (x) 3ax2 2bx c
a 0时 4b2 -12ac 4(b2 - 3ac)
Δ>0
Δ≤0
图象
x x
1
2
x1 x2
极值 极大值f(x1) 极小值f(x2)
单调 区间
(-∞,x1),(x2,+∞) (x1,x2)