构造特殊三角形解题

构造特殊三角形求解

1、如图，在等腰直角⊿ABC 中，∠A =900,P 是⊿ABC 内一点，P A =1,PB =3,PC =7,则∠CP A 的大小是 。 2．已知：如图，P 为等边⊿ABC 内一点，且P A =3,PB =4,PC =5，则∠APB 的度数为 ． 3、如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．∠ADC =30°，，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为（ ）．（A ）32 （B ）4 （C ）25 （D ）4.5

4、如图，四边形ABCD 中，AB=AC=AD ，如果∠DAC =56°，∠CAB =20°，那么∠BCD = ．

5、如图，设P 到等边ABC ∆两顶点A 、B 的距离分别为2、3，则PC 所能达到的最大值为（ ）

:5A :13B :5C :6D

6、如图，在ABC ∆中，3,2AB AC ==,以BC 为边的PBC ∆是等边三角形，则AP 的最大值为 ，最小值为 。

7、在正ABC ∆中，P 是ABC ∆内的一点，已知0

130,117APC APB ∠=∠=，则以P A 、PB 、PC 为边的三角形的每个内角的度数为 。

8、如图，P 是等边⊿ABC 中的一个点，P A =2,PB =23,PC =4,则⊿ABC 的边长是 。

9、如图：已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝900，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出以下四个结论：①AE ＝CF ;②△EPF 是等腰直角三角形;③AEPF S 四边形＝

ABC S ∆2

1

;④EF ＝AP ;当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时（点E 不与A 、B 重合），上述结论中始终正确的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个

A

B

C P D

A

B

P

D

C

10、如图所示，P 是矩形ABCD 内一点，3,4,5PA PD PC ===,则PB = 。

11、如图，P 为正方形ABCD 内一点，若123PA PB PC ::=::，则APB ∠的度数是（ ）

A 、120°

B 、135°

C 、145°

D 、150°

12.（2010•永州）探究问题：（1）阅读理解：

①如图（A ），在已知△ABC 所在平面上存在一点P ，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P 为△ABC 的费马点，此时PA +PB +PC 的值为△ABC 的费马距离；

②如图（B ），若四边形ABCD 的四个顶点在同一圆上，则有AB •CD +BC •DA =AC •BD ．此为托勒密定理；

（2）知识迁移：

①请你利用托勒密定理，解决如下问题：

如图（C ），已知点P 为等边△ABC 外接圆的BC 上任意一点．求证：PB +PC =PA ；

②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC （其中∠A 、∠B 、∠C 均小于120°）的费马点和费马距离的方法：

第一步：如图（D ），在△ABC 的外部以BC 为边长作等边△BCD 及其外接圆；

第二步：在BC 上任取一点P ′，连接P ′A 、P ′B 、P ′C 、P ′D ．易知P ′A +P ′B +P ′C =P ′A +（P ′B +P ′C ）=P ′A + ；

第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D ）中找出△ABC 的费马点P ，并请指出线段 的长度即为△ABC 的费马距离． （3）知识应用：

2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水．

已知三村庄A 、B 、C 构成了如图（E ）所示的△ABC （其中∠A 、∠B 、∠C 均小于120°），现选取一点P 打水井，使从水井P 到三村庄A 、B 、C 所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．

（2）①证明：由托勒密定理可知PB •AC+PC •AB=PA •BC ∵△ABC 是等边三角形∴AB=AC=BC ，∴PB+PC=PA ，

②P ′D 、AD ，（3）解：如图，以BC 为边长在△ABC 的外部作等边△BCD ，连接AD ，则知线段AD 的长即为△ABC 的费马距离．∵△BCD 为等边三角形，BC=4，∴∠CBD=60°，BD=BC=4，∵∠ABC=30°，∴∠ABD=90°， 在Rt △ABD 中，∵AB=3，BD=4，∴22

AB BD +=5（km ），

∴从水井P （即图中的D 点）到三村庄A 、B 、C 所铺设的输水管总长度的最小值为5km ．（2）知识迁移①问，只需按照题意套用托勒密定理，再利用等边三角形三边相等，将所得等式两边都除以等边三角形的边长，即可获证． ②问，借用①问结论，及线段的性质“两点之间线段最短”数学容易获解．

13.如图，在⊿ABC 中，∠ACB =900，BC =2,P 是⊿ABC 内一点， 使得P A +PB +PC 的值最小为27ABC 的度数。

解：即P 点是费马点，根据费马点的结论，以BC 边向外作等边△BCD ，AD 长即为PA+PB+PC 的最小值即，AD=273,故∠B = 60° 14、如图，设P 是边长为1的正ABC ∆内的一点，m PA PB PC =++， 32m <。

15、如图，正方形ABCD 内一点E ，E 到A 、B 、C 26的边长．

解：以A 为旋转中心，将△ABE 旋转60°得到△AMN ，连NE ，MB ，过M 作MP ⊥BC 交BC 的延长线于P 点，如图，∴MN=BE ，AN=AE ，∠NAE =60°，∴△ANE 为等边三角形， ∴AE=NE ，∴AE +EB +EC =MN +NE +EC ，当AE +EB +EC 取最小值时， 折线MNEC 成为线段，则MC 26AB=AM ，∠BAM =60°， ∴△ABM 为等边三角形，∴∠MBC =150°，则∠PBM =30°， 在Rt △PMC 中，设BC=x ，PM=

2

x

，32PB x =