第三章_趋势外推法.

45
销售量（万件）
40
35
30
25
10000 9000 8000 7000 6000 5000
总需求量（件）
20
4000
15
3000
10
2000
5
1000
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
某商场某种商品过去9个月的销量
某商场过去9年投入市场，市场需求量统计资料
?
13/72
最小二乘法
离差与离差平方
12
y6
10 8
yˆ 6
6 4 2
yˆ a bx
e e
离差：et yt yˆt
n
n
离差和： et ( yt yˆt )
t 1
t 1
n
n
离差平方和 ei2 ( yt yˆt )2
t 1
t 1
最小
拟合程度最好
利润额 1200 1000
800 600 400 200
0 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
利润额 xt xt2 年份 yt
xt*yt 预测 值y
1993 200 1 1 200 191
1994 300 2 4 600 273.7
1995 350 3 9 1050 356.4
1996 400 4 16 1600 439.1
1997 500 5 25 2500 521.8
1998 630 6 36 3780 604.5
1999 700 7 49 4900 687.2
2000 750 8 64 6000 769.9
2001 850 9 81 7650 852.6
此时，该变量的长期趋势就可用一直线来描述， 并通过该直线趋势的向外延伸，估计其预测值。
11/72
例3.1 某家用电器厂1993～2003年利润额数据资料如 表3.1所示。试预测2004、2005年该企业的利润。
年份
利润额 yt
1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 200 300 350 400 500 630 700 750 850 950 1020
利润额 1200 1000
yˆ a bx
800 600 400 200
0 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
……………… x= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
代入相应的x，得出的y作为预测值
xt

1 n
n t 1
yt
y
600
n
n
n
n
400
n xt yt ( xt )( yt )
xt yt
200
b
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
t 1
t 1
t 1
n
n
n xt2 ( xt )2
t1 n xt2
t 1
t 1
y a bx
400
200
0 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
某家用电器厂1993～2003年利润额数据资料
6/72
y a bx cx2
45
40
Y10预测
35
30
y11预测 25
由近及远的离差平方和的权重分别为 0 ,1, 2 ,L , n1, 其 中 0 1 , 0 1 ，说明对最近期数据赋予最大权重为 1 ， 而后由近及远，按 比例递减。
各期权重衰减的速度取决于 的取值。
取值越大（越接近于1）
衰减速度越慢
1
？
取值越小（越接近于0）
趋势外推法概述
某一些客观事物（如：经济现象）的发展相对于时间推 移，常常有一定的规律。这时，若预测对象变化无明显的季 节波动，又能找到一条合适的函数曲线反映其变化趋势，即 可建立其趋势模型：y f (t) 当有理由相信这种趋势可能会延伸到未来时，对于未来的某 个 t 值就可得到相应时序未来值，这就是趋势外推法。
衰减速度越快
23/72
加权拟合直线方程法的数学模型
设加权拟合直线方程为： yˆt a bxt 由近及远的离差平方和的权重分别为： 0 ,1, 2 ,L , n1
n1( y1 yˆ1 )2 n2 ( y2 yˆ 2 )2 1( yn1 yˆ n1 )2 0 ( yn yˆ n )2
t 1
(
yt

yˆt
)2
对时间序列数据，不论其远近都一律同等看待。
用最小二乘原理拟合的直线方程消除了不规则因素的影响， 使趋势值都落在拟合的直线上。
3.2 加权拟合直线方程法
拟合直线方程法的基本思想是要使预测结果与实际数 据的误差的平方和达到最小。
n
n
离差平方和 et2 ( yt yˆt )2 是每期的实际值 yt 与该期
5
11000000
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
00
00
11
22
33
44
55
66
77
88
99 1100
某商场某种商品过去9个月的销量
某商场过去9年投入市场，市场需求量统计资料
5/72
y2005预测
1400 1200
y2004预测
1000 800
600
利润额 yt
系列2
线性 (利润额 yt)
例3.1 某家用电器厂1993~2003年利润额数据资料如 表3.1所示。试预测2004、2005年该企业的利润。
年份 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 利润额 200 300 350 400 500 630 700 750 850 950 1020
4/72
y a ebt
y a bx cx2
45
销销售售量量（（万万件件））
40 35 30 25
100000000 9000000 8000000 7000000 66000000 55000000
总总需需求求量量（（件件））
20
44000000
15
33000000
10
22000000
2002 950 10 100 9500 935.3
2003 1020 11 121 11220 1018
∑
6650 66 506 49000
a

1 n
n t 1
yt
b 1 n
n t 1
xt
n
n
n
n xt yt ( xi )( yt )
b t1 n
t 1
t 1
0
1
2
3
4
5
6
7
n
n
离差平方和 et2 ( yt yˆt )2
t 1
t 1
n
n
( yt yˆt )2 ( yt a bxt )2 Q(a,b)
t 1
t 1
Q Q 0 a b
Q
a

2
n t 1
( yt

bxt

a)

0
Q
20
15
10
5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
某商场某种商品过去9个月的销量
7/72
y a ebt
30000
y2005预测
25000 20000
15000
y2004预测 10000
5000
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
某商场过去9年投入市场，市场需求量统计资料
8/72
12/72
二、拟合直线方程法
1200 1000
800 600
利润额 yt
系列2
线性 (利润额 yt)
y a2 b2 x y a1 b1x y a3 b3x
400
200
0
1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
t 1
1200
1000
x 对称编号 ??
800
x 的编号的影响：
600
400
对预测结果没有影响
200
0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
对斜率b没有影响 对截距a有影响
拟合直线方程法的特点
n
n

只适用于时间序列呈直线上升（或下降）趋势变化et2。
t 1
1200 1000
利润额 yt
1200 1000
利润额 yt
？？
800
800
600
600
400
400
200
200
0
1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
0
1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Q
a

n
nt
t 1
yt
n
a nt
n
n xt2 ( xt )2
t 1
t 1
a 108.3 b 82.7
y 108.3 82.7x
2004年，x 12, y 1100.7
2005年，x 13, y 1183.4
1200
1000 800
a

1 n
n t 1
yt
b 1 n
n t 1
9/72
假设条件：
1. 技术（或经济）发展的因素，不但决定了过去技术的 发展，而且ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ很大程度上决定了其未来的发展。即某 项技术在其过去、现在、未来的发展过程中，内、外 因相对保持不变。
2. 其变化属渐进式变化，而不属于跳跃式变化。
惯性原理
10/72
3.1 直线趋势外推法
适用于时间序列观察值数据呈直线上升或下降 的情形。
t 1
t 1
n
的预测值 yˆt 的偏差值的平方和，意味着： ( yt yˆt )2 中
的每一项都有同样的重要性，即无论这个误t1 差是近期
的或是远期的，都赋予同等的权重。
实际上，对于预测精度来说，近期的误差比远期的 误差更为重要。
22/72
加权拟合直线方程法
在实践中，要按照时间先后，本着重今轻远的原则，对离 差平方和进行赋权，然后再按最小二乘原理，使离差平方 和达到最小，求出加权拟合直线方程。
n
n
Q nt ( yt yˆ t )2 nt ( yt a bxt )2
t 1
t 1
24/72
加权拟合直线方程法的数学模型
n
n
Q nt ( yt yˆ t )2 nt ( yt a bxt )2
t 1
t 1
对 a 和 b 求导
第3章 趋势外推预测法
基本思想 拟合直线法 曲线趋势外推法
1
某家用电器厂1993～2003年利润额数据资料
年份
利润额 yt
1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 200 300 350 400 500 630 700 750 850 950 1020
b

2
n t 1
xt
( yt

bxt

a)

0
a

1 n
n t 1
yt
b
1 n
n t 1
xt

y bx
n
n
n
n
n xt yt ( xt )( yt )
(xt x)( yt y)
b t1 n
t 1
t 1
n
t1 n
n xt2 ( xt )2
1200 1000
利润额 yt
1200 1000
利润额 yt
800
800
600
600
400
400
200
200
0
1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
0
1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
(xt x)2
t 1
t 1
t 1
最小二乘原理
简单讲，使历史数据到拟合直线上的离差平方和最小，从而 求得模型参数的方法。
法国数学家勒让德于1806年首次发表最小二乘理论。事实上， 德国的高斯于1794年已经应用这一理论推算了谷神星的轨道， 但迟至1809年才正式发表。
最小二乘法也是数理统计中一种常用的方法，在工业技术和 其他科学研究中有广泛应用。
3/72
1200 1000
800 600
利利润润额额yt yt
线性 (利润额 yt)
400
200
0 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
某家用电器厂1993～2003年利润额数据资料
y a bx