数学建模迭代实验报告

AppendTo[pilist, {i, temp2-temp1}];
];
ListPlot[pilist, PlotJoined -> True]
]
Sensitivity[50, 0.1, 0.1001]
一个简单的、确定的二次选代可以产生非常复杂的、看似随机的行为。但是，混沌不等于随机。实际上，在混沌区域之内，蕴涵着许多有序的规律。这正验证了哲学上的名言：有序中包含了无序，无序中包含着有序。其Mathematica程序：
将区间（0，4］以某个步长 离散化，对每个离散的 值做迭代（2.2.2），忽略前50个迭代值，而把点 ， ，…， 显示在坐标平面上，最后形成的图形称为Feigenbaum图。Mathematica程序：
Clear[f, a, x]; f[a_, x_] := a*x*(1 - x);
x0 = 0.5; r = {};
Solve[f[x]==x , x]（求出函数的不动点）
g1=Plot[f[x], {x, -10, 20}, PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0],
DisplayFunction -> Identity];
g2=Plot[x, {x, -10, 10}, PlotStyle -> RGBColor[0, 1, 0],
Sensitivity[n_Integer, x01_, x02_] :=
Module[
{pilist = {}, i, temp1=x01, temp2=x02},
For[i=1, i <= n, i++, temp1=4*temp1*(1-temp1);
temp2=4*temp2*(1-temp2);
DisplayFunction -> $DisplayFunction]
用迭代法求解线性方程组的思想与方程求根的方法是类似的，用迭代方法也可以求更加复杂的非线性方程组的解。由于非线性方程组可能有许多解（甚至有无穷多个解），因此对它的求解比线性方程组的求解要面临更多的挑战。
线性方程组 由 （ ）给出迭代的Mathematica程序：
DisplayFunction -> Identity];
x0=5.5; r = {};
r0=Graphics[{RGBColor[0, 0, 1],
Line[{{x0, 0}, {x0, x0}}]}];
For[i = 1, i <= 100, i++,
r=Append[r, Graphics[{RGBColor[0, 0, 1],
Line[{{x0, x0},
{x0, f[x0]}, {f[x0], f[x0]}}]
}]];
x0=f[x0]
];
Show[g1, g2, r, r0, PlotRange -> {-1, 20},（PlotRange控制图形上下范围）
DisplayFunction -> $DisplayFunction]
所谓一个迭代对初值是敏感的意思是，无论两个初值如何接近，在迭代过程中它们将渐渐分开。这是任何一个混沌系统都具有的特性之一，这种特性使得混沌系统会产生似乎是随机的、没有规律的现象。在Logistic映射中，取 ，任取两个初值使得它们之间的差的绝对值不超过0.l，运行下列程序，观察结果后回答问题：在迭代过程中它们逐渐分开吗？如果两个初值之间的差的绝对值不超过0.01，0.001，结果会如何？由此得出，函数 的迭代对初值是否敏感？其Mathematica程序：
x[0]=x0;
x[i_]:=f[x[i-1]];（定义序列）
t=Table[x[i],{i,1,10}]//N
ListPlot[t]（散点图）
观察蜘蛛网通过改变初值，你能得出什么结论？
如果只需迭代 次产生相应的序列，用下列Mathematica程序：
Iterate[f_,x0_,n_Integer]:=
Module[{ t={},temp= x0},AppendTo[t,temp];
For[i=1,i <= n, i++,temp= f[temp];
AppendTo[t,temp]];
t
]
f[x_]:= (x+ 2/x)/2;
Iterate[f,0.7,10]
设 是一个定义在实数域上的实值函数，如果存在 使得 ，则称 为 的不动点。我们用 表示这件事。如果所有附近的点在选代过程中都趋向于某个不动点，则该不动点称为吸引点，有时也称该不动点是稳定的。如果所有附近的点在选代过程中都远离它而去，则该不动点称为排斥点，有时也称该不动点是不稳定的。
2.2Logistic映射与混沌
从形如 的二次函数开始做迭代
（2.2.2）
这里， 是一个参数。对不同的 系统地观察迭代（2.2.2）的行为。Mathematica程序：
IterGeo[a_, x0_] :=
Module[
{p1, p2, i, pointlist = {}, v= x0, fv= a*x0*(1 - x0)},
另一个说明混沌不是随机的事实是，混沌区域有许多有序的窗口。将这些窗口放大可以看到令人振奋的自相似现象，同时还有许多周期轨道。在Feigenbaum图的右部，你应当能看到一个由三条曲线穿过的空白带，它是一个“周期为3的窗口”。你能找到其它窗口吗？它们的周期是什么？窗口里有什么图案？这些窗口跟上题的第二问中的 周期轨道有什么关系？
， （2.2.1）
称为 的一个迭代序列。
函数的迭代是数学研究中的一个非常重要的思想工具，利用迭代序列可以研究函数 的不动点。
对函数的迭代过程，我们可以用几何图象来直观地显示它——“蜘蛛网”。运行下列Mathematica程序：
Clear[f]
f[x_] := (25*x - 85)/(x + 3);（实验时需改变函数）
p1=Plot[ {a*x*(1 - x), x}, {x, 0, 1}, DisplayFunction -> Identity];
AppendTo[pointlist, {x0, 0}];
For[i = 1, i < 20, i++, AppendTo[pointlist, {v, fv}];
AppendTo[pointlist, {fv, fv}];
如果 ， ，…， 且 ,则 形成一个 循环，用 记这个事实。 称为一个 周期点， 称为一个周期轨道。显然，不动点就是周期为1的周期点。类似于不动点，如果所有附近的点在迭代过程中都趋向于某个周期点，则该周期点称为吸引点；如果所有附近的点在迭代过程中都远离它而去，则该周期点称为排斥点。如果点 最终落于某个循环之中，则称它是一个预周期点。例如，l是 的预周期点。
对于代数方程g(x)=0，其根可用下列程序求得
Solve[g(x)= = 0 , x]
也可用下列程序求得
g[x_]:=expr
Plot[g[x],{x,a,b}]
FindRoot[g(x)= = 0 ,{x,x0}]
将方程 改写为等价的方程 ，然后选取一初值利用(2.2.1)作迭代，迭代数列 收敛的极限就是方程 的解。即求方程 的根等价于求函数 的不动点。注意：由 可得不同的等价的方程 。例如取 ，而 可取为 ， ，也可取为 。
v= fv; fv= 4*v*(1 - v)];
p2=ListPlot[pointlist, PlotJoined -> True,
DisplayFunction -> Identity];
Show[{p1, p2}, DisplayFunction -> $DisplayFunction]
]
IterGeo[2.6, 0.3]
由于不动点分吸引型和排斥型，因此 的根为 的排斥不动点时，就不能通过迭代函数 以及一个初值 利用(2.2.1)迭代求解，因为此时得到的数列 不收敛。这时需要新的方法，Newton切线法就是其中之一。其迭代数列Mathematica程序如下：
Iterate[f_,x0_,n_Integer]:=
Module[{ t={},temp= x0},
运行下列程序，听一听混沌的声音
PlayChaos[n_Integer, x0_] :=
Module[
{t = {}, i, temp = x0},
For[i = 1, i <= n, i++, temp = 4*temp*(1 - temp);
AppendTo[t, Floor[temp*100]]];
本实验在Mathematica平台上首先利用蛛网图和迭代数列研究不动点的类型；其次通过蛛网图和迭代数列研究Logistic映射，探索周期点的性质、认识混沌现象；第三通过迭代数列或向量列求解方程（组）而寻求有效的求解方法；最后，利用结点迭代探索分形的性质。
二、实验材料
2.1迭代序列与不动点
给定实数域上光滑的实值函数 以及初值 ，定义数列
distrib[n_Integer,m_Integer,x0_]:=
Module[{i,temp=x0,g1,f,k,c=Table[0,{i,m}]},For[i=1,in,i++,temp=4*temp*(1-temp);
If[temp1,c[[m]]++,c[[Floor[temp*m]+1]]++]];
If[h[x0]≠0,x1=N[x0-f[x0]/h[x0],20]];
r = Append[r, Graphics[{RGBColor[0, 0, 1],
Line[{{x0, 0},
{x0, f[x0]},ห้องสมุดไป่ตู้{x1, 0}}]