高三复习直线方程教案

直线方程

一、教学内容分析

本节的重点是直线的点法向式方程以及一般式方程的推导及应用.在上一堂课的基础上，通过向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式）推导出直线的点法向式方程.引导同学发现直线的点方向式方程、点法向式方程都可以整理成关于y x 、的一次方程0=++c by ax （b a 、不全为零）的形式.

本节的难点是通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想！从而培养学生用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）的研究能力.

二、教学目标设计

在理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程的基础上，进一步探究点法向式方程以及一般式方程；学会分类讨论、数形结合等数学思想，形成探究能力.

三、教学重点及难点

直线的点法向式方程以及一般式方程；

四、教学过程设计

一、复习上一堂课的教学内容

二、讲授新课

（一）点法向式方程

1、概念引入

从上一堂课的教学中，我们知道，在平面上过一已知点P ，且与某一方向平行的直线l 是惟一确定的．同样在平面上过一已知点P ，且与某一方向垂直的直线l 也是惟一确定的．

2、概念形成

⏹ 直线的点法向式方程

在平面上过一已知点P ，且与某一方向垂直的直线l 是惟一确定的.建立直角坐标平面，设P 的坐标是00(,)x y ，方向用非零向量(,)n a b =表示.

⏹ 直线的点法向式方程的推导

设直线l 上任意一点Q 的坐标为(,)x y ，由直线垂直于非零向量n ，故PQ n ⊥.根据PQ n ⊥的充要条件知0=⋅n PQ ，即：00()()0a x x b y y -+-=①；反之，若11(,)x y 为方程⑤的任意一解，即1010()()0a x x b y y -+-=，记11(,)x y 为坐标的点为1Q ，可知1PQ n ⊥，即1Q 在直线l 上.综上，根据直线方程的定义知，方程⑤是直线l 的方程，直线l 是方程①的直线.

我们把方程00()()0a x x b y y -+-=叫做直线l 的点法向式方程，非零向量n 叫做直线l 的法向量.

3、概念深化 从上面的推导看，法向量n 是不唯一的，与直线垂直的非零向量都可以作为法向量.

若直线的一个方向向量是),(v u ，则它的一个法向量是),(u v -.

4、例题解析

例1 已知点()()4321

，，，B A -，求AB 的垂直平分线l 的点法向式方程. 解 由中点公式，可以得到AB 的中点坐标为()3,1，()2,4=→--AB 是直线l 的法向量，

所以，AB 的垂直平分线l 的点法向式方程.()()03214=-+-y x

[说明]关键在于找点和法向量！

例2已知点)2,1(),6,1(--B A 和点)3,6(C 是三角形的三个顶点，求

（1）BC 边所在直线方程；

（2）BC 边上的高AD 所在直线方程.

解（1）因为BC 边所在直线的一个方向向量BC ＝（7，5），且该直线经过点)2,1(--B ，所以BC 边所在直线的点方向式方程为 5

271+=+y x （2）因为BC 边上的高AD 所在的直线的一个法向量为BC ＝（7，5），且该直线经过点)6,1(A ，所以高AD 所在直线的点法向式方程为

0)6(5)1(7=-+-y x

５、巩固练习

练习11.1（2）

（二）一般式方程

1、概念引入

由直线的点方向式方程和点法向式方程，我们可以发现，平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于y x ,的二元一次方程表示；那么每一个关于y x ,的二元一次方程0=++c by ax （a ，b 不同时为

0）是否都

表示一条直线呢？

2、概念形成

直线的一般式方程的定义 直线的点方向式方程和直线的点法向式方程经过整理，成为,x y 的二元一次方程0ax by c ++=.

反之，任意二元一次方程0ax by c ++=(,0)a b 不全为都是直线方程么？回答是肯定的.首先，当0b ≠时，

方程可化为()0c ax b y b ++=，根据直线点法向式方程可知，这是过点(0,)c b -，以(,)a b 为一个法向量的直线；当0b =时，方程为0ax c +=，由于0a ≠，方程化为c x a =-，表示过点(,0)c a -且垂直于x 轴的直线.

所以二元一次方程0ax by c ++=(,0)a b 不全为是直线的方程，叫做直线的一般式方程.

３、例题解析

例1 ABC ∆中，已知)2,1(-A 、)4,3(B ，求AB 边的中垂线的一般式方程.

解 直线过AB 中点(1,3)D ，(4,2)n AB ==，则其点法向式方程为4(1)2(3)0x y -+-=，整理为一般式方程250x y +-=.

[说明]点法向式方程化为一般式方程.

例2（1）求过点(2,5)A -且平行于直线1:4390l x y --=的直线方程；

（2）求过点(3,4)B -且垂直于直线2:3760l x y +-=的直线方程.

解 （1）解一：(4,3),(3,4)n d =-=，又直线过点(2,5)A -，故直线的方程为4(2)3(5)x y +=-化简得43230x y -+=.

解二：(4,3),n =-又直线过点(2,5)A -，故直线的点法向式方程为4(2)3(5)0x y +--=化简得43230x y -+=.

解三：设与1:4390l x y --=平行的直线方程为430x y c -+=，又直线过点(2,5)A -故4(2)350c --⋅+=，23c =，所以直线的方程是43230x y -+=.

（2）解一：1l 的法向量1(3,7)n =为所求直线的方向向量，又直线过点(3,4)B -，故直线的方程为7(3)3(4)x y -=+化简得73330x y --=.

解二：设与2:3760l x y +-=垂直的直线方程为730x y c -+=，又直线过点(3,4)B -故733(4)0c ⋅-⋅-+=，33c =-，所以直线的方程是73330x y --=.

[说明]一般地，与直线0ax by c ++=平行的直线可设为0()ax by c c c ''++=≠其中；而与直线0ax by c ++=垂直的直线可设为0bx ay c ''-+=.

例3能否把直线方程0532=++y x 化为点方向式方程？点法向式方程？若能，它的点方向式方程和点法向式纺方程是否唯一？并观察x 、y 的系数与方向向量和法向量有什么联系？