高中数学 随机变量及概率分布

12.4 随机变量及概率分布
一、填空题
1.下列变量为离散型随机变量的是_______． ①掷10枚硬币出现的正面个数与负面个数之和
② 某机场每天正常情况下起飞的飞机数
③某公司办公室每天收到电话的次数 ④ 高三（9）班某学生的身高
解析 ①、②、④ 中的随机变量结果无法按一定次序一一列出，故X 不是离散型随机变量; ③中的随机变量的可能取的值都可以按一定次序一一列出，故它是离散型随机变量. 答案 ③
2. 袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X ，则X 的所有可能取值个数为_______．
解析 X 的可能取值为1＋2＝3，1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4，3＋5＝8,4＋5＝9，共7种． 答案 7
3.已知随机变量X 的分布列为P(X ＝k)＝
2k
a
(k ＝1,2,3)，则P(X ＝2)等于_______．
解析 ∵12a +22a +32a ＝1，∴a ＝3，P(X ＝2)＝1
3.
答案 1
3
4．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为________．
解析 用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量．
当X ＝4时，说明取出的3个球有2个旧球，1个新球，∴P (X ＝4)＝C 19C 23
C 312＝27220
.
答案
27220
5．设随机变量X 的概念分布P (X ＝k )＝
c k ＋1
，k ＝0、1、2、3，则c ＝________.
解析 由P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1得：c 1＋c 2＋c 3＋c
4＝1，
∴c ＝1225. 答案
1225
6．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)的值为________． 解析 设X 的概率分布为：
即“X ＝0”表示试验失败，“X p ，成功的概率为2p .由p ＋2p ＝1，则p ＝1
3.
答案
13
7．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于________．
解析 “X ＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P (X ＝12)＝38C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫582＝C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭⎪⎫582
.
答案 C 911
⎝ ⎛⎭⎪⎫3810⎝ ⎛⎭
⎪⎫582
8．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数，则P (X ≤1)等于________． 解析 P (X ≤1)＝1－P (X ＝2)＝1－C 14C 2
2C 36＝4
5.
答案
45
9．连续向一目标射击，直至击中为止，已知一次射击命中目标的概率为3
4，则射
击次数为3的概率为________．
解析 “X ＝3”表示“前两次未击中，且第三次击中”这一事件， 则P (X ＝3)＝14×14×34＝3
64.
答案 3
64
10．设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i
10，(i ＝1,2,3,4)，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2＜X ＜72＝
________.
解析 P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2＜X ＜72＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝35.
答案
3
5
11．如图所示，A 、B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X ，则P (X ≥8)＝________.
解析 法一 由已知，X 的取值为7,8,9,10，
∵P (X ＝7)＝C 22C 12C 35＝15，P (X ＝8)＝C 22C 11＋C 22C 12
C 35＝310，
P (X ＝9)＝C 12C 12C 11C 35＝25，P (X ＝10)＝C 22C 11
C 35＝110
，
∴X 的概率分布为
X 7 8 9 10 P
1
5
310
25
110
∴P (X ≥8)＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10)＝
10＋5＋10＝45
.
法二P(X≥8)＝1－P(X＝7)＝1－C2
2
C1
2
C3
5
＝
4
5
.
答案4 5
12．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．
解析X＝－1，甲抢到一题但答错了．
X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错．
X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且一错两对，
X＝2时，甲抢到2题均答对．
X＝3时，甲抢到3题均答对．
答案－1,0,1,2,3
13．从三名男同学和n名女同学中任选三人参加一场辩论赛，已知三人中至少有
1人是女生的概率是34
35
.则n＝________.
解析三人中没有女生的概率为
C3
3
C3n
＋3
.
∴三人中至少有一人是女生的概率为：1－
C3
3 C3n
＋3
由题意得：1－
C3
3
C3n
＋3
＝
34
35
.解得n＝4.
答案 4
二、解答题
14.设离散型随机变量X的分布列为
(2)|X－1|的分布列．
解析由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.
首先列表为：
(1)2X＋1的分布列：
15.某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9.如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数X的分布列．
解析容易求出X取1,2,3,4时的概率分别为0.9,0.09,0.009,0.0009，当X＝5时，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，不必考虑第5发子弹射中与否，所以P(X＝5)＝0.000 1，从而知耗用子弹数X的分布列为
1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：
(1)该顾客中奖的概率；
(2)该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布．
解析(1)该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张
或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率
P ＝C 14C 16＋C 24C 210
＝3045＝23.
⎝
⎛⎭⎪⎫或用间接法，即P ＝1－C 26
C 210＝1－1545＝23.
(2)依题意可知，X 的所有可能取值为0,10,20,50,60(元)，且
P (X ＝0)＝C 04C 26C 210＝13，P (X ＝10)＝C 13C 1
6
C 210＝25，
P (X ＝20)＝C 23C 210＝115，P (X ＝50)＝C 11C 16
C 210＝215，
P (X ＝60)＝C 11C 13
C 210＝115
.
所以X 的概率分布为：
17.个岗位至少有一名志愿者．
(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
(3)设随机变量X 为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求X 的概率分布． 解析 (1)记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E A ，那么P (E A )＝A 33
C 25A 44＝140，
即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是1
40
.
(2)记甲、乙两人同时参加同一个岗位服务为事件E ，那么P (E )＝A 44
C 25A 44＝110，
所以甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率
P (E )＝1－P (E )＝910
.
(3)随机变量X 可能取的值为1,2，事件“X ＝2”是指有两人同时参加A 岗位服
务，则P (X ＝2)＝C 25A 33
C 25A 44＝14
.
所以P(X＝1)＝1－P(X＝2)＝3
4
，X的概率分布是
18.4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年内李明参加驾照考试次数X的概率分布，并求李明在一年内领到驾照的概率．
解析X的取值分别为1,2,3,4.
X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，
故P(X＝1)＝0.6.
X＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，
故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.
X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，
故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.
X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，
故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.
∴李明实际参加考试次数X的概率分布为
1－(1－0.6)(1－0.7)(1－0.8)(1－0.9)＝0.997 6.。