10第二章-5 高斯光束的基本性质及特征参数
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§2.9 高斯光束的基本性质及特征参数 • 一、沿z轴方向传播的基模高斯光束的表示
c r2 r2 z 0百度文库 ( x, y, z ) exp[ 2 ] exp{ i[k ( z ) arctg ]} ( z) ( z) 2R f
其中，c为常数，r2=x2+y2，k=2/，
0 0 l>F，0随l的增大而减小；当 l ， F l 当l>>F， l >> f F F 0 0 0 ( l ) l
l F
l>>F， l愈大， F愈小， 聚焦效果愈好
0
l=F，
0达到极大值， ，且 l F ， 仅当F<f时，透镜才有聚焦作用。
F 0
不论l的值为多大，只要F<f满足，就能实现一定 的聚焦作用。
l 确定， 0随F变化情况
当 F R(l ) 2 ，透镜才能对高斯光束起聚焦作用。F 愈小，聚集效果愈好
结论：为获得良好聚集，采用用短焦距透镜； 使高斯光束远离透镜焦点，从而满足l>>f、 l>>F；取l=0，并使f>>F。
• 参数q将(z)和R(z)统一在一个表达式中，知 道了高斯光束在某位置处的q参数值，可由下 式求出该位置处(z)和R(z)的数值
1 1 Re[ ] R( z ) q( z ) 1 1 Im[ ] 2 ( z) q( z )
1 1 1 i q0 q (0) R (0) 2 (0)
2 2
z 0.5 (z ) 0 1 2 w0 1 2 1.12mm f 1
f 1 R (z) z 0.5 2.5m z 0.5
2 2
例2 高斯光束在某处的光斑半径为w=1mm, 等相位 面曲率半径为R=0.5m, 求此高斯光束(1)该处的q参 数 (2)腰斑半径w0及腰位置(光波长为=3.14m) 解 (1)
• 球面波的传播规律可以统一写成
R2
1
CR1 D
• 结论：具有固定曲率中心的普通傍轴球面波可以由 其曲率半径R来描述，传播规律由变换矩阵确定。
二、高斯光束q参数的变换规律—ABCD 公式
• 研究对象：高斯球面波—非均匀的、曲率中心不断改变的 球面波 • q参数在自由空间的传输规律q(z)=q0+z，q2=q1+L • 通过薄透镜的变换 1 1 1
解 (1)
z=1m f=1m
0 f
3.14 106 1 1mm 3.14
腰位置为在该处左方1m处
(2)
1 1 1 i 1 1 i q 1 i 2 2 2
1 1 R 2
R 2m
1 2 2
2
2 3.14 106 1.414mm 3.14
二、高斯光束的准直
• 单透镜对高斯光束发散角的影响 对0为有限大小的高斯光束，无论F、l取什 么值，都不可能使0 ，也就不可能使0 0。 结论：用单个透镜将高斯光束转换成平面波， 从原则上说是不可能的。 l=F 时， 0 达到极大值， 0 达到极小值， 0/ 0=f/F，此时，F愈大， 0 愈小。当 f/F=02/F<<1时，有较好的准直效果。与F 和0关联。
§2.10 高斯光束q参数的变换规律
• 普通球面波的传播规律 • 高斯光束q参数的变换规律
• 用q参数分析高斯光束的传输问题
一、普通球面波的传播规律
• 研究对象：沿z轴方向传播的普通球面波，曲率中心为O(z=0)。 • 在自由空间的传播规律R2=R1+(z2-z1)=R1+L • 傍轴球面波通过焦距为F的薄透镜时，其波前曲率半径满足 (应用牛顿公式) 1 1 1 R2 R1 F AR B
1 1 1 l l F
腰斑放大率
0 F l k 0 l F l
几何光学之物和像
此时，可用几何光学处理傍轴光线的方法来处 理高斯光束 特殊情况：当 l F
l F 与几何光学迥然不同
F
还可方便地求出透镜焦平面上的光斑大小： C 在前式中令lc=F，
1 1 1 3.14 10 i 2 i 2i 3 2 q R 0.5 3.14 (10 ) 1 2i 2i q 0.4 0.2i(m) 2 i 4 1 5
6
(2)
(z ) 0 1
2
z z ( f ) 2 f f
2
(z)：与传播轴线相交于z点的高斯光束等相位
面上的光斑半径 当z=f时， (z)= 20，即f表示光斑半径增加到 腰斑的 2 倍处的位置
对称共焦腔/一般稳定球面腔
二、高斯光束在自由空间的传输规律
振幅因子光斑半径(z) 基模高斯光束在横截面内的场振幅分布按高斯 函数所描述的规律从中心向外平滑地降落。由 振幅降落到中心值的1/e处的点所定义的光斑半 径为(z)；光斑半径随坐标z按双曲线规律扩展 远场发散角0（定义在基模高斯光束强度的 1/e2点的远场发散角）
2
1
并且
F F l F (1 2 ) F 2 F 2 F f 1 ( ) f
2
l=0时一定有聚焦作用, 像方腰斑处在前焦点以内。
如果，F<<f，
F 0 0 l F
F 0 0 f
像方腰斑处在透镜前焦面上，F愈小，0也愈 小，聚焦效果愈好
2 2
f2 R( z ) z z
f z 0.5 z
z f 1 f
2
z2 f 2 0.5 z
f 2 z2 1 f
① ②
z2 f 2 0.5 z
f z 1 f
2 2
① ②
z 2 ②/ ①: f
z2f
f 2 4f 2 1 f
5f f
2
5f 2 f 0
利用倒望远镜将高斯光束准直
• 预先用一个短焦距透镜将高斯光束聚焦，以得到极 小的腰斑，然后再用一个长焦距透镜来改善其方向 性，可得到很好的准直效果。 • 聚焦后的腰斑恰好落在长焦距透镜的焦面上
w0,f,
w0,f,
w0,f,
l
F1
F2
S
•系统的准直倍率
0 F2 F2 (l ) 0 0 0 l 2 M M 1 ( ) 2 0 0 0 0 0 F1 0 f
q2
q1
F
• q参数的变换规律可统一表示为
Aq1 B q2 Cq1 D
• 结论：高斯光束经任何光学系统变换时服从ABCD公式，由 光学系统对傍轴光线的变换矩阵所决定。 • 优点：能通过任意复杂的光学系统追踪高斯光束的q参数值 (将q称为复曲率半径the complex radius of curvature)
l(F l) f F f qc lc F i 2 2 2 2 (F l) f (F l) f
2 2
特例：高斯光束腰斑的变换规律
• 若将C点取在像方束腰处，则有RC、 Re[1/qC]=0，可以求出像方束腰到透镜的 距离l和像方腰斑的大小0 。
(l F ) F 2
复曲率半径q
三、用q参数分析高斯光束的传输问题
• 已知：入射高斯光束腰斑半径为0 ，束腰与透 镜的距离为l，透镜的焦距为F。 • 求：通过透镜L后在与透镜相距lC处的高斯光束 参数C和RC。
• • • •
在z=0处 q(0)=i02/ 在A处（紧靠透镜的左方）qA=q(0)+l 在B处（紧靠透镜的右方）1/qB=1/qA-1/F 在C处 qC=qB+lC qC C、RC
l F
(l F ) ( )
2
2 0 2
0
2
F
2
2 (F l )2 ( 0 )2
2 0
当满足
2 ( l F )
2 0
2
F2 lF l F lF lF
物高斯光束束腰离透镜足够 远
f R( z ) z 2 f z z
2
z f z f z f
• 曲率中心的位置= z R( z ) 当 z f时, z R( z) f ，说明球心在共焦腔腔外
当 z f时, z R( z) f
，说明球心在共焦腔腔内
• 高斯光束在其传输轴线附近可近似看 作是一种非均匀球面波，其曲率中心 随着传输过程而不断改变，但其振幅 和强度在横截面内始终保持高斯分布 特性，且其等相位面始终保持为球面。
f ,0
2 0
f
0为基模高斯光束的腰斑 半径，f 称为高斯光束的共 焦参数
R(z)：与传播轴线相交于z点的高斯光束等相位 面的曲率半径
z 2 ( z) 0 1 ( ) f
f 2 z f f R R( z ) z[1 ( ) ] f ( ) z z f z z
far-field beam angle
2( z) 0 lim 2 2 z z 0 f
• 相位因子等相位面的曲率半径R(z) • 因子kr2/2R(z)表示与横向坐标（x,y）有关的相位移 动，表明高斯光束的等相位面是以R(z)为半径的球 面，其曲率半径随坐标而变化，且曲率中心也随z不 同而不同；当z=f时，R(z) =2f；当z =0时， R(z)； z 时， R(z) 。
f (5 f 1) 0
f 0 (舍去)
0.2 2 z 2 1 0.2
f 0.2m
z 2 0.2 0.22 0.16
z 0.4m
f 3.14 106 0.2 0 0.447mm 3.14
腰位置在该处左方0.4m
例3 高斯光束波长为=3.14m,某处的q参数 为q=1+i(m),求(1)此光束腰斑半径w0及腰位置 (2)该处光斑半径w与等相位面曲率半径R
重新整理r
c r2 1 z 00 ( x, y, z ) exp{ ik [ i ]} exp[ i ( kz arctg )] 2 ( z) 2 R( z ) ( z ) f
引入一个新的参数q(z)， 定义为
1 1 i q( z ) R( z ) 2 ( z )
2 0 q0 i if
用q0=q(0)表示z=0处 的参数值，得出
q0 is purely imaginary
例1 某高斯光束波长为=3.14m,腰斑半径为 w0=1mm,求腰右方距离腰50cm处的 斑半径w 与等相位面曲率半径R 解 2 6
0 3.14 10 f 1m 6 3.14 10
三、基模高斯光束的特征参数（三种方法）
用参数0（或f）及束腰位置表征高斯光束
用参数(z)和R(z)表征高斯光束 如果知道了某给定位置处的(z)和R(z)，可决 定高斯光束腰斑的大小0和位置z
高斯光束的q参数
c r2 r2 z 00 ( x, y, z ) exp[ 2 ] exp{ i[k ( z ) arctg ]} ( z) ( z) 2 R( z ) f
研究对象
普通球面波
高斯球面波
特点
曲率中心固定的 曲率中心变化的
q2=q1+L
1 1 1 q2 q1 F
在自由空间的传 R2=R1+L 输规律 通过薄透镜的变 换 总的变换规律
1 1 1 R2 R1 F
AR1 B R2 CR1 D
Aq1 B q2 Cq1 D
曲率半径R
0
§2.11 高斯光束的聚焦和准直
一、高斯光束的聚焦
•目的：单透镜对高斯光束的聚焦，使0<0 F一定时， 0随l变化的情况
l<F，
0随l的减小而减小；当l=0时， 0达到最小值，
1
2 0 1 F 2
0 k 0
1 f 1 F
c r2 r2 z 0百度文库 ( x, y, z ) exp[ 2 ] exp{ i[k ( z ) arctg ]} ( z) ( z) 2R f
其中，c为常数，r2=x2+y2，k=2/，
0 0 l>F，0随l的增大而减小；当 l ， F l 当l>>F， l >> f F F 0 0 0 ( l ) l
l F
l>>F， l愈大， F愈小， 聚焦效果愈好
0
l=F，
0达到极大值， ，且 l F ， 仅当F<f时，透镜才有聚焦作用。
F 0
不论l的值为多大，只要F<f满足，就能实现一定 的聚焦作用。
l 确定， 0随F变化情况
当 F R(l ) 2 ，透镜才能对高斯光束起聚焦作用。F 愈小，聚集效果愈好
结论：为获得良好聚集，采用用短焦距透镜； 使高斯光束远离透镜焦点，从而满足l>>f、 l>>F；取l=0，并使f>>F。
• 参数q将(z)和R(z)统一在一个表达式中，知 道了高斯光束在某位置处的q参数值，可由下 式求出该位置处(z)和R(z)的数值
1 1 Re[ ] R( z ) q( z ) 1 1 Im[ ] 2 ( z) q( z )
1 1 1 i q0 q (0) R (0) 2 (0)
2 2
z 0.5 (z ) 0 1 2 w0 1 2 1.12mm f 1
f 1 R (z) z 0.5 2.5m z 0.5
2 2
例2 高斯光束在某处的光斑半径为w=1mm, 等相位 面曲率半径为R=0.5m, 求此高斯光束(1)该处的q参 数 (2)腰斑半径w0及腰位置(光波长为=3.14m) 解 (1)
• 球面波的传播规律可以统一写成
R2
1
CR1 D
• 结论：具有固定曲率中心的普通傍轴球面波可以由 其曲率半径R来描述，传播规律由变换矩阵确定。
二、高斯光束q参数的变换规律—ABCD 公式
• 研究对象：高斯球面波—非均匀的、曲率中心不断改变的 球面波 • q参数在自由空间的传输规律q(z)=q0+z，q2=q1+L • 通过薄透镜的变换 1 1 1
解 (1)
z=1m f=1m
0 f
3.14 106 1 1mm 3.14
腰位置为在该处左方1m处
(2)
1 1 1 i 1 1 i q 1 i 2 2 2
1 1 R 2
R 2m
1 2 2
2
2 3.14 106 1.414mm 3.14
二、高斯光束的准直
• 单透镜对高斯光束发散角的影响 对0为有限大小的高斯光束，无论F、l取什 么值，都不可能使0 ，也就不可能使0 0。 结论：用单个透镜将高斯光束转换成平面波， 从原则上说是不可能的。 l=F 时， 0 达到极大值， 0 达到极小值， 0/ 0=f/F，此时，F愈大， 0 愈小。当 f/F=02/F<<1时，有较好的准直效果。与F 和0关联。
§2.10 高斯光束q参数的变换规律
• 普通球面波的传播规律 • 高斯光束q参数的变换规律
• 用q参数分析高斯光束的传输问题
一、普通球面波的传播规律
• 研究对象：沿z轴方向传播的普通球面波，曲率中心为O(z=0)。 • 在自由空间的传播规律R2=R1+(z2-z1)=R1+L • 傍轴球面波通过焦距为F的薄透镜时，其波前曲率半径满足 (应用牛顿公式) 1 1 1 R2 R1 F AR B
1 1 1 l l F
腰斑放大率
0 F l k 0 l F l
几何光学之物和像
此时，可用几何光学处理傍轴光线的方法来处 理高斯光束 特殊情况：当 l F
l F 与几何光学迥然不同
F
还可方便地求出透镜焦平面上的光斑大小： C 在前式中令lc=F，
1 1 1 3.14 10 i 2 i 2i 3 2 q R 0.5 3.14 (10 ) 1 2i 2i q 0.4 0.2i(m) 2 i 4 1 5
6
(2)
(z ) 0 1
2
z z ( f ) 2 f f
2
(z)：与传播轴线相交于z点的高斯光束等相位
面上的光斑半径 当z=f时， (z)= 20，即f表示光斑半径增加到 腰斑的 2 倍处的位置
对称共焦腔/一般稳定球面腔
二、高斯光束在自由空间的传输规律
振幅因子光斑半径(z) 基模高斯光束在横截面内的场振幅分布按高斯 函数所描述的规律从中心向外平滑地降落。由 振幅降落到中心值的1/e处的点所定义的光斑半 径为(z)；光斑半径随坐标z按双曲线规律扩展 远场发散角0（定义在基模高斯光束强度的 1/e2点的远场发散角）
2
1
并且
F F l F (1 2 ) F 2 F 2 F f 1 ( ) f
2
l=0时一定有聚焦作用, 像方腰斑处在前焦点以内。
如果，F<<f，
F 0 0 l F
F 0 0 f
像方腰斑处在透镜前焦面上，F愈小，0也愈 小，聚焦效果愈好
2 2
f2 R( z ) z z
f z 0.5 z
z f 1 f
2
z2 f 2 0.5 z
f 2 z2 1 f
① ②
z2 f 2 0.5 z
f z 1 f
2 2
① ②
z 2 ②/ ①: f
z2f
f 2 4f 2 1 f
5f f
2
5f 2 f 0
利用倒望远镜将高斯光束准直
• 预先用一个短焦距透镜将高斯光束聚焦，以得到极 小的腰斑，然后再用一个长焦距透镜来改善其方向 性，可得到很好的准直效果。 • 聚焦后的腰斑恰好落在长焦距透镜的焦面上
w0,f,
w0,f,
w0,f,
l
F1
F2
S
•系统的准直倍率
0 F2 F2 (l ) 0 0 0 l 2 M M 1 ( ) 2 0 0 0 0 0 F1 0 f
q2
q1
F
• q参数的变换规律可统一表示为
Aq1 B q2 Cq1 D
• 结论：高斯光束经任何光学系统变换时服从ABCD公式，由 光学系统对傍轴光线的变换矩阵所决定。 • 优点：能通过任意复杂的光学系统追踪高斯光束的q参数值 (将q称为复曲率半径the complex radius of curvature)
l(F l) f F f qc lc F i 2 2 2 2 (F l) f (F l) f
2 2
特例：高斯光束腰斑的变换规律
• 若将C点取在像方束腰处，则有RC、 Re[1/qC]=0，可以求出像方束腰到透镜的 距离l和像方腰斑的大小0 。
(l F ) F 2
复曲率半径q
三、用q参数分析高斯光束的传输问题
• 已知：入射高斯光束腰斑半径为0 ，束腰与透 镜的距离为l，透镜的焦距为F。 • 求：通过透镜L后在与透镜相距lC处的高斯光束 参数C和RC。
• • • •
在z=0处 q(0)=i02/ 在A处（紧靠透镜的左方）qA=q(0)+l 在B处（紧靠透镜的右方）1/qB=1/qA-1/F 在C处 qC=qB+lC qC C、RC
l F
(l F ) ( )
2
2 0 2
0
2
F
2
2 (F l )2 ( 0 )2
2 0
当满足
2 ( l F )
2 0
2
F2 lF l F lF lF
物高斯光束束腰离透镜足够 远
f R( z ) z 2 f z z
2
z f z f z f
• 曲率中心的位置= z R( z ) 当 z f时, z R( z) f ，说明球心在共焦腔腔外
当 z f时, z R( z) f
，说明球心在共焦腔腔内
• 高斯光束在其传输轴线附近可近似看 作是一种非均匀球面波，其曲率中心 随着传输过程而不断改变，但其振幅 和强度在横截面内始终保持高斯分布 特性，且其等相位面始终保持为球面。
f ,0
2 0
f
0为基模高斯光束的腰斑 半径，f 称为高斯光束的共 焦参数
R(z)：与传播轴线相交于z点的高斯光束等相位 面的曲率半径
z 2 ( z) 0 1 ( ) f
f 2 z f f R R( z ) z[1 ( ) ] f ( ) z z f z z
far-field beam angle
2( z) 0 lim 2 2 z z 0 f
• 相位因子等相位面的曲率半径R(z) • 因子kr2/2R(z)表示与横向坐标（x,y）有关的相位移 动，表明高斯光束的等相位面是以R(z)为半径的球 面，其曲率半径随坐标而变化，且曲率中心也随z不 同而不同；当z=f时，R(z) =2f；当z =0时， R(z)； z 时， R(z) 。
f (5 f 1) 0
f 0 (舍去)
0.2 2 z 2 1 0.2
f 0.2m
z 2 0.2 0.22 0.16
z 0.4m
f 3.14 106 0.2 0 0.447mm 3.14
腰位置在该处左方0.4m
例3 高斯光束波长为=3.14m,某处的q参数 为q=1+i(m),求(1)此光束腰斑半径w0及腰位置 (2)该处光斑半径w与等相位面曲率半径R
重新整理r
c r2 1 z 00 ( x, y, z ) exp{ ik [ i ]} exp[ i ( kz arctg )] 2 ( z) 2 R( z ) ( z ) f
引入一个新的参数q(z)， 定义为
1 1 i q( z ) R( z ) 2 ( z )
2 0 q0 i if
用q0=q(0)表示z=0处 的参数值，得出
q0 is purely imaginary
例1 某高斯光束波长为=3.14m,腰斑半径为 w0=1mm,求腰右方距离腰50cm处的 斑半径w 与等相位面曲率半径R 解 2 6
0 3.14 10 f 1m 6 3.14 10
三、基模高斯光束的特征参数（三种方法）
用参数0（或f）及束腰位置表征高斯光束
用参数(z)和R(z)表征高斯光束 如果知道了某给定位置处的(z)和R(z)，可决 定高斯光束腰斑的大小0和位置z
高斯光束的q参数
c r2 r2 z 00 ( x, y, z ) exp[ 2 ] exp{ i[k ( z ) arctg ]} ( z) ( z) 2 R( z ) f
研究对象
普通球面波
高斯球面波
特点
曲率中心固定的 曲率中心变化的
q2=q1+L
1 1 1 q2 q1 F
在自由空间的传 R2=R1+L 输规律 通过薄透镜的变 换 总的变换规律
1 1 1 R2 R1 F
AR1 B R2 CR1 D
Aq1 B q2 Cq1 D
曲率半径R
0
§2.11 高斯光束的聚焦和准直
一、高斯光束的聚焦
•目的：单透镜对高斯光束的聚焦，使0<0 F一定时， 0随l变化的情况
l<F，
0随l的减小而减小；当l=0时， 0达到最小值，
1
2 0 1 F 2
0 k 0
1 f 1 F