材料力学——3-1圆杆扭转

m
Ａ
j
ＢＯ
m
3
扭转
上
下
m
Ａ
j
ＢＯ
m
扭转角：任意两截面绕轴线转动而发生的相对角位移φ。
切应变：直角的改变量---- 。
4
扭转
二、工程实例
上
下
5
扭转
上
下
§3－2 扭矩及扭矩图
１、扭矩：扭转变形杆的内力称为扭矩，用“T”表示。
２、截面法求扭矩“T”
Mx 0
T m 0 T m
m
Ａ
m
ＢＯ
m
x
T
6
扭转
M
上
下
M
计算并校核切应力强度
AB
C
3=135 2=75 1=70
T
M
max
T Wn
16 1.55 103
(0.07)3
23MPa [ ]
Ｘ
故，此轴满足强度要求。
31
扭转
上
下
例 4。 长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20N-m/m的作用，若杆的内
外径之比为=0.8，G=80GPa，许用切应力[]=30MPa，试设计杆
25
扭转
上
下
3、静力学关系
T
A
dA
G dj 2dA
A dx
G dj
dx
2dA
A
GI P
dj
dx
T
dj T
dx GI P
T
IP
26
扭转
IP为极惯性矩，量刚为m4
上
下
IP
2dA D4 (1 4 )
A
32
d/D
4、最大切应力
max
T WP
max
WP
IP D/2
D3
上
下
※ 轴传递的功率与力矩间的关系: N---功率; n---转速; M---力偶矩.
M (Nm)
9549
N (KW) n(r/min)
M (Nm)
7024
N (马力) n(r/min)
12
扭转
§3－3 纯剪切
上
下
一、薄壁圆筒的扭转切应力
二、切应力互等定理
三、剪切弹性定律
四、材料弹性常数 E、G、 之间的关系
上
下
17
扭转
二、切应力互等定理：
上
下
MY 0
(dzdy)dx ( dxdy)dz 0
在两个相互垂直的面上，切应力必成对
出现，大小相等，方向同时指向或背离
垂直的面的棱线
1
18
扭转
上
下
三、剪切弹性定律：
ＭＡ
M
M=k j
L
j
Ｂ Ｏ
Ｂ１
Ｍ
L jR
=G
G
Oj
O
G——材料的剪切弹性模量
19
扭转
四、纯剪切应力状态
t t
上
下
t G
纯剪切应力状态——单元体的个各正交面上，都只有切应力。
20
扭转
五、材料弹性常数 E、G、 之间的关系
上
下
Ca
a||
ac
B B1
B3 B2
O
450
a
45 A
2
BB2
45
2
c
45a
2 sin 450
a
cos 450
(a
a
tg450 )sin450
Ｘ
TBC M 1.55KNm
9
扭转
M
AB M
AB
M TAB AB
M C
M C
M TBC
C
上
下
10
扭转
扭矩图的简便计算∶ 1，自左到右的方向进行；
2，遇到图示外力偶矩，内力扭矩T 的增量为正；
3，遇到图示外力偶矩，内力扭矩T 的增量为负；
4，扭矩图上的突变值等于外力偶矩。
上
下
T1 T2
11
扭转
外径；若改用实心杆，其直径应为多少？实心杆与空心杆的用料比
是多少？
m 20Nm / m
解：、Mn 图
2m T
40 Nm
(T )max 40Nm
②、WP
D3 (1 4 )
16
x
0.116D3 32
扭转
上
下
、由扭转强度条件求 D
WP
0.116D3
T max
40 30 106
40 D 3 0.116 30106 0.0226m
23
扭转
一、实验观察
AB
Me
CD
上
下
Me
二、横截面上的应力
1:横截面变形后仍为平面. 2:轴向无伸缩. 3: 纵向线变形后仍为平行.
1、变形几何关系
24
扭转
上
下
三、横截面上的应力
M
O
T
O
dj
1、变形几何关系
dj
dx
R
s2s1
s1 dx dj
2、物理关系
G
G
dj
dx
※ 切应力 与半径成正比
45 ( 1 )
45
45
G
2G
(1
) E
G E
2( 1 )
21
扭转
六、 剪切应变能
上
下
dW 1 (dzdy)(dx) 1 dV
2
2
G
u dW 1 1 G 2
dV 2
2
2 G 2
u 2G 2
22
扭转
§3－4 等直圆杆在扭转时的应力
上
下
L j
o T
L
x
x
T ( x) 0 qdx
x
kx2
x kxdx
0
2
kx2 2
8
扭转
上
下
例 2. 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，试画 出轴的扭矩图。
解： 根据传递功率与力矩的关系求扭矩
N 103
M M
M
2 n
AB
C
150 103
2 3.1415.4
T
M
1.55KNm
29
扭转
上
下
例 3. 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用 切应力 []=30M Pa, 试校核其强度
解：①、求扭矩及扭矩图
M M
AB
C
3=135 2=75 1=70
TBC M N 103
2n
T
150103
M
( Nm)
2 3.1415.4
1.55kNm
Ｘ
30
扭转
16
(1 4 )
WP为抗扭模量，量刚为m3
27
扭转
思考:空心圆截面切应力怎样分布?
上
下
O
O
T
T
O
T
28
扭转
上
下
四、扭转强度计算： 强度设计准则：
max
T WP
max
其中[]称为许用切应力。依此强度准则可进行三种强度计算：
、校核强度： 、设计截面尺寸：
max
WP
Tmax
、设计载荷： T max WP ; P f (Mnmax )
扭转
第三章 扭转
上
下
1、扭转内力、等直圆杆的扭转切应力及强度设计准则 ２、等直圆杆的扭转变形、刚度设计准则 ３、传动轴的强度及刚度计算及扭转超静定问题
４、非圆截面杆的扭转问题
2
扭转
上
下
一、概念
§3－1 概述
扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直， 杆发生的变形称为扭转变形。
Ａ
ＢＯ
上
下
3、扭矩的正负规定: M n的转向与截面外法线之间满足右手螺旋定则为正。反之为负。
T m 0 T m
m
x
T
4、扭矩力图
T
T＝T（ｘ）的图象
表示
m
扭矩图
Ｘ
7
扭转
上
下
例 1，图示杆长为L，受均布力偶矩 m=k x 作用，试画出杆的扭 矩图。
m=k x
X
解： 在X点设置截面如图，以 x点左侧部分为对象,x点的内力 T(x)为：
五、纯剪切应力状态的应变能
13
扭转
一、薄壁圆筒的扭转切应力
上
下
1:薄壁圆筒的扭转实验
14
扭转
上
下
1:薄壁圆筒的扭转实验
2:推论
:横截面变形后仍为平面. :轴向无伸缩. :纵向线变形后仍为平行.
15
扭转
上
下
3、切应力公式：
Mx 0 M - RdA 0
A
M-RA 0
M AR
M
2Байду номын сангаас2
16
扭转