2018届高三数学(理)二轮复习课时作业：第1部分 专题3 第2讲 数列的综合应用

[限时规范训练] 单独成册 一、选择题

1．已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7

a 3

＝( )

A ．2

B ．4

C ．5

D.52

解析：因为a n ＋1a n ＋2a n ＋3a n ＋4a n a n ＋1a n ＋2a n ＋3＝a n ＋4a n ＝2n ＋1·2n ＋32n ·2n ＋2＝22，所以令n ＝3，得a 7

a 3＝22＝4，

故选B. 答案：B

2．若数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，则使a k ·a k ＋1＜0的k 值为( ) A ．22 B ．21 C ．24

D ．23

解析：因为3a n ＋1＝3a n －2，所以a n ＋1－a n ＝－2

3，所以数列{a n }是首项为15，公差为－23的等差数列，所以a n ＝15－23·(n －1)＝－23n ＋473，令a n ＝－23n ＋473>0，得n <23.5，所以使a k ·a k ＋1<0的k 值为23. 答案：D

3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧

2a n (n 为正奇数)，a n ＋1(n 为正偶数)，则其前6项之和为( )

A ．16

B ．20

C ．33

D ．120

解析：a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，所以前6项和S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，故选C. 答案：C

4．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( ) A ．3×44 B ．3×44＋1 C ．44

D ．44＋1

解析：因为a n ＋1＝3S n ，所以a n ＝3S n －1(n ≥2)， 两式相减得，a n ＋1－a n ＝3a n ，

即a n ＋1

a n

＝4(n ≥2)，

所以数列a 2，a 3，a 4，…构成以a 2＝3S 1＝3a 1＝3为首项，公比为4的等比数列，所以a 6＝a 2·44＝3×44. 答案：A

5．已知函数f (n )＝n 2cos(n π)，且a n ＝f (n )，则a 1＋a 2＋…＋a 100＝( ) A ．0 B ．100 C ．5 050

D ．10 200

解析：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100 ＝－12＋22－32＋42－…－992＋1002 ＝(22－12)＋(42－32)＋…＋(1002－992) ＝3＋7＋…＋199＝50(3＋199)

2

＝5 050. 答案：C

6．已知数列{a n }的首项a 1＝1，且a n －a n ＋1＝a n a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 2 015＝( ) A.1

2 014 B.2 0142 015 C ．－2 0142 015

D.12 015

解析：∵a n －a n ＋1＝a n a n ＋1，∴1

a n ＋1－1

a n

＝1，

又∵a 1＝1，∴1

a 1＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a n 是以首项为1，公差为1的等差数列，

∴1a n ＝1＋(n －1)＝n ，∴1

a 2 015＝2 015， ∴a 2 015＝1

2 015.故选D. 答案：D

7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n (2n －1)·cos n π

2＋1(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则S 60＝( ) A ．－30 B ．－60 C ．90

D ．120

解析：由题意可得，当n ＝4k －3(k ∈N *)时，a n ＝a 4k －3＝1；当n ＝4k －2(k ∈N *)时，a n ＝a 4k －2＝6－8k ；当n ＝4k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 4k －1＝1；当n ＝4k (k ∈N *)时，a n ＝a 4k ＝8k .

∴a 4k －3＋a 4k －2＋a 4k －1＋a 4k ＝8，∴S 60＝8×15＝120. 答案：D

8．已知S n 是非零数列{a n }的前n 项的和，且S n ＝2a n －1，则S 2 017等于( ) A ．1－22 016 B ．22 017－1 C ．22 016－1

D ．1－22 017

解析：∵S n ＝2a n －1，∴S 1＝1，且S n ＝2(S n －S n －1)－1，即S n ＝2S n －1＋1，得S n ＋1＝2(S n －1＋1)，由此可得数列{S n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，得S n ＋1＝2n ，即S n ＝2n －1，∴S 2 017＝22 017－1，故选B. 答案：B 二、填空题

9．若数列{a n }满足1

a n ＋1＝2a n ＋1a n ，且a 1＝3，则a n ＝________.

解析：由

1a n ＋1

＝

2a n ＋1a n ，得1a n ＋1－1a n

＝2， ∴数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a n 是首项为1

3，公差为

2的等差数列．

∴1a n ＝13＋(n －1)×2＝2n －53， ∴a n ＝3

6n －5.

答案：3

6n －5

10．已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2

n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和

为________．

解析：∵a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，∴(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0，∵a n >0，∴a n ＋1＝3a n ，

又a 1＝2，∴{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，∴S n ＝2(1－3n )1－3＝3n －1.

答案：3n －1

11．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足a 1＝1，a n a n ＋1＝3n (n ∈N *)，则S 2 014