2.3.2-平面与平面垂直的判定基础练习题(含答案解析)
高中数学 2.3.2平面与平面垂直的判定练习 新人教A版必修2
2．3.2 平面与平面垂直的判定基础梳理1．二面角．(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；这条直线叫做二面角的棱．这两个半平面叫做二面角的面．如图，记作：二面角αlβ或PABQ或PlQ．(2)二面角的平面角．如图，二面角αlβ，若有：①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l.则∠AOB就叫做二面角αlβ的平面角．练习1：若α⊥β，a⊂α，则a⊥β，对吗？答案：错练习2：若α⊥β，a⊂α，b⊂β，a⊥b，则a⊥β，对吗？答案：错练习3：若a∥b，a⊥α，则b⊥α，对吗？答案：对2．面面垂直．(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)画法：记作：α⊥β．(3)面面垂直的判定定理．文字语言：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直． 符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a⊥βa ⊂α⇒α⊥β►思考应用1．二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？解析：如图，在二面角αl β的棱上任取点O ，以O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 组成∠AOB.再取棱上另一点O′，在α和β内分别作l 的垂线O ′A ′和O′B′，则它们组成∠A′O′B′.因为OA∥O′A′，OB ∥O ′B ′，所以∠AOB 与∠A′O′B′的两边分别平行且方向相同，即∠AOB＝A′O′B′.上述结论说明了按照上述方法作出的角的大小，与角的顶点在棱上的位置无关． 2．应用面面垂直的判定定理的关键是什么？解析：应用此定理的关键在于，在其中一个平面内找到或作出另一个平面的垂线，即实现面面垂直向线面垂直的转化．自测自评1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有(D )A ．0个B ．1个C ．无数个D ．1个或无数个解析：当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个． 2．下列说法：①二面角的大小是用平面角来度量的；②二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置唯一确定的； ③二面角的大小由其平面角的顶点在棱上的位置确定．其中正确说法的个数是(C)A．0 B．1 C．2 D．3解析：由二面角的定义可知，①②正确；③不正确．3．已知a⊂α，b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，则(D)A．α⊥βB．α与β相交C．α∥βD．以上都有可能4．若平面α与平面β不垂直，那么α内能与β垂直的直线(A)A．有0条B．有一条C．有2条D．有无数条5．若α∥β，a⊥α，则a与β的位置关系是垂直．题型一利用二面角解决相关问题题型二平面与平面垂直的判定及综合应用基础达标1．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是(B)A．相等B．互补C．互余D．无法确定解析：如图，BD，CD为AB，AC所在平面与α，β的交线，则∠BDC为二面角αlβ的平面角．且∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠A＋∠BDC＝180°.2．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面(C)A．有一个B．有两个C．有无数个D．不存在解析：经过l的任一平面都和α垂直．3．PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有(B)A．8对B．7对C．6对D．5对解析：如图，平面PAD，平面PBD，平面PCD都垂直于平面ABCD，平面PAD⊥平面PCD，平面PAD⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBD.4．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则(D)A．α∥γB．α⊥γC．α与γ相交，但不垂直D．以上都有可能5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是(D) A．若m∥n，m∥α，则n∥αB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，n∥α，则m∥nD．若m⊥α，n∥α，则m⊥n6．将锐角A为60°，边长为a的菱形ABCD沿BD折成60°的二面角，则A与C之间的距离为________．解析：设折叠后点A到A1的位置，取BD的中点E，连接A1E、CE.∴BD⊥CE，BD⊥A1E.∴∠A1EC为二面角A1BDC的平面角．∴∠A1EC＝60°.又A1E＝CE，∴△A1EC是等边三角形．∴A1E＝CE＝A1C＝32a.即折叠后点A到C之间的距离为32a.巩固提升7．在正方体ABCDA1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1BDA的正切值为(C)A.32B.22C. 2D. 3解析：如图所示连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD中点，∵A1D＝A1B，∴在△A1BD中，A1O⊥BD.又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD.∴∠A1OA为二面角A1BDA的平面角．设AA1＝1，则AO＝22.∴tan∠A1OA＝122＝ 2.8．如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，过BD1的平面分别交棱AA1和CC1于E，F两点．(1)求证：A1E＝CF；(2)若E，F分别是棱AA1和棱CC1的中点，求证：平面EBFD1⊥平面BB1D1.证明：(1)由题知，平面EBFD1与平面BCC1B1交于BF，与平面ADD1A1交于ED1，又平面BCC1B1∥平面ADD1A1，∴D1E∥BF，同理BE∥D1F，∴四边形EBFD1为平行四边形，∴D1E＝BF，∵A1D1＝CB，D1E＝BF，∠D1A1E＝∠BCF＝90°，∴Rt△A1D1E≌Rt△CBF，∴A1E＝CF.(2)∵四边形EBFD1是平行四边形．AE＝A1E，FC＝FC1，∴Rt△EAB≌Rt△FCB，∴BE＝BF，故四边形EBFD1为菱形．连接EF，BD1，A1C1∵四边形EBFD1为菱形，∴EF⊥BD1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，有B1D1⊥A1C1，B1D1⊥A1A，∴B1D1⊥平面A1ACC1，又EF⊂平面A1ACC1，∴EF⊥B1D1，又B1D1∩BD1＝D1，∴EF⊥平面BB1D1，又EF⊂平面EBFD1，故平面EBFD1⊥平面BB1D1.9．如图甲，矩形ABCD中，AB＝2AD＝2a，E为DC的中点，现将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，如图乙．(1)求二面角ABCD的正切值；(2)求证：AD⊥平面BDE.(1)解析：取AE中点O，BC中点F，连接DO，OF，DF(如图)．由题知：AB＝2AD，DE＝EC，∴AD＝DE，∴DO⊥AE，又∵平面ADE⊥平面ABCE，∴DO⊥平面ABCE，又∵AB⊥BC，OF∥AB，∴OF⊥BC，由三垂线定理得DF⊥B C，∴∠DFO为二面角ABCD的平面角．在Rt△DOF中，DO＝22a，OF＝a＋2a2＝32a，∴tan∠DFO＝22a32a＝23.即二面角ABCD的正切值是23.(2)证明：连接BE，则BE＝a2＋a2＝2a，又AE＝2a，AB＝2a，∴AB2＝AE2＋EB2，∴AE⊥EB.由(1)知DO⊥平面ABCE，∴DO⊥BE，又∵DO∩AE＝O，∴BE⊥平面ADE，∴BE⊥AD，又∵AD⊥DE，BE∩DE＝E，∴AD⊥平面BDE.1．二面角是从一条直线出发的两个半平面组成的图形．其大小是用二面角的平面角来度量的．二面角的平面角必须具备三个条件：①角的顶点在二面角的棱上；②角的两边分别在二面角的两个半平面内；③角的两边分别与二面角的棱垂直．求二面角的平面角的难点和关键在于正确地作出二面角的平面角，其过程是“一作、二证、三计算”．2．面面垂直的判定有两个方法，其一是根据定义，其二是根据判定定理．根据定义，判定实质上转化成了求二面角的平面角；根据判定定理判定面面垂直，难点和关键是在其中一个平面内找到另一个平面的垂线．。
平面与平面垂直的判定基础练习题含答案解析
2.3.2 平面与平面垂直的判定基础练习题（含答案解析）1．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是()A．相等B．互补C．相等或互补D．不能确定解析：选C.当这两个二面角的两个面均同向或均异向时，它们相等；当这两个二面角的两个面中，一组同向，另一组异向时，它们互补．2．在四棱锥P－ABCD中，已知P A⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是()A．平面P AB⊥平面P ADB．平面P AB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面P AD解析：选C.由面面垂直的判定定理知：平面P AB⊥平面P AD，平面P AB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面P AD，A、B、D正确．3．如果直线l、m与平面α、β、γ之间满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么() A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ解析：选A.如图，平面α为平面AD1，平面β为平面BC1，平面γ为平面AC，∵m⊂α，m⊥γ，由面面垂直的判定定理得α⊥γ，又m⊥γ，l⊂γ，由线面垂直的性质得m⊥l.4.在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下面四个结论中不成立的是()A．BC∥平面P DFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面P AE⊥平面ABC解析：选C.可画出对应图形(图略)，则BC∥DF，又DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A成立；由AE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，∴DF⊥平面P AE，故B成立；又DF⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面P AE，故D成立．5．(2013·德州高一检测)已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，如图所示，图中互相垂直的平面有()A．1对B．2对C．3对D．5对解析：选D.∵DA⊥AB，DA⊥P A，AB∩P A＝A，∴DA⊥平面P AB，同理BC⊥平面P AB，AB⊥平面P AD，DC⊥平面P AD，∴平面AC⊥平面P AD，平面AC⊥平面P AB，平面PBC⊥平面P AB，平面PDC⊥平面P AD，平面P AB⊥平面P AD.6．若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，P A ＝6，那么二面角P－BC－A的大小为________．解析：取BC的中点O，连接OA，OP，则∠POA为二面角P－BC－A的平面角，OP ＝OA＝3，P A＝6，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°.答案：90°7.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接AC，则AC⊥BD.∵P A⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD，∴P A⊥BD.∵P A∩AC＝A，∴BD⊥面P AC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)8．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个．解析：设面外的点为A，面内的点为B，过点A作面α的垂线l，若点B恰为垂足，则所有过AB的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B不是垂足，则l与点B 确定唯一平面β满足α⊥β.答案：1或无数9．点P是菱形ABCD所在平面外一点，且P A＝PC，求证：平面P AC⊥平面PBD.证明：如图所示，连接AC，BD交于点O，连接PO，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又∵AO＝OC，P A＝PC，∴PO⊥AC.∵BD∩PO＝O，∴AC⊥平面PBD.又AC⊂平面P AC，∴平面P AC⊥平面PBD.10．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD.证明：连接AC，交BD于点F，连接EF，∴EF是△SAC的中位线，∴EF∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.∵EF⊂平面EDB，∴平面EDB⊥平面ABCD.。
高中数学2.3.2平面与平面垂直的判定习题新人教A版必修2
2.3.2平面与平面垂直的判定一、选择题1．下列命题中：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b别离和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点动身，别离在两个面内作射线所成的角的最小角；④二面角的大小与其平面角的极点在棱上的位置没有关系．其中正确的是( )A．①③B．②④C．③④D．①②解析：选B 由二面角的概念：从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角，所以①不对，实质上它共有四个二面角；由a，b别离垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故②正确；③中所作的射线不必然垂直于二面角的棱，故③不对；由概念知④正确．故选B.2．一个二面角的两个半平面别离垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角( )A．相等B．互补C．不肯定D．相等或互补答案：C3.在四棱锥P—ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是( )A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面PAD解析：选C 由面面垂直的判定定理知：平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD，A、B、D正确．4.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的大小为( )A．90°B．60°C．45°D．30°解析：选A ∵PA⊥平面ABC，BA，CA⊂平面ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即为二面角B－PA－C的平面角．又∠BAC＝90°，故选A.5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值为( )解析：选C 如右图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接A 1O ，O 为BD 中点，∵A 1D ＝A 1B ，∴在△A 1BD 中，A 1O ⊥BD . 又∵在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ， ∴∠A 1OA 为二面角A 1－BD －A 的平面角． 设AA 1＝1，则AO ＝22. ∴tan ∠A 1OA ＝122＝ 2.二、填空题6．通过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个． 解析：设面外的点为A ，面内的点为B ，过点A 作面α的垂线l ，若点B 恰为垂足，则所有过AB 的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B 不是垂足，则l 与点B 肯定唯一平面β知足α⊥β.答案：1个或无数个7．正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值是________． 解析：如图所示，设正四面体ABCD 的棱长为1，极点A 在底面BCD 上的射影为O ，连接DO 并延长交BC 于点E ，连接AE ，则E 为BC 的中点，故AE ⊥BC ，DE ⊥BC ，∴∠AEO 为侧面ABC 与底面BCD 所成二面角的平面角． 在Rt △AEO 中，AE ＝32，EO ＝13ED ＝13·32＝36， ∴cos ∠AEO ＝EO AE ＝13.答案：138．在一个倾斜角为60°的斜坡上，沿着与坡脚面的水平线成30°角的道路上坡，行走100 m ，实际升高了________ m.解析：如右图，构造二面角α－AB －β，在直道CD 上取一点E ，过点E 作EG ⊥平面β于G ，过G 作GF ⊥AB 于F ，连接EF ，则EF ⊥AB .∴∠EFG 为二面角α－AB －β的平面角， 即∠EFG ＝60°.∴EG ＝EF ·sin 60°＝CE ·sin 30°·sin 60° ＝100×12×32＝253(m)．答案：25 3 三、解答题9．如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，直线SC ⊥平面ABCD ，E 是SA 的中点，求证：平面EDB ⊥平面ABCD .证明：连接AC ，交BD 于点F ，连接EF ， ∴EF 是△SAC 的中位线， ∴EF ∥SC . ∵SC ⊥平面ABCD ， ∴EF ⊥平面ABCD . 又EF ⊂平面EDB . ∴平面EDB ⊥平面ABCD .10．如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起至△A ′BE 的位置，使A ′C ＝A ′D ，求证：平面A ′BE ⊥平面BCDE .证明：如图所示，取CD 的中点M ，BE 的中点N ，连接A ′M ，A ′N ，MN ，则MN ∥BC .∵AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，∴AB ＝AE ，即A ′B ＝A ′E . ∴A ′N ⊥BE .∵A ′C ＝A ′D ， ∴A ′M ⊥CD .在四边形BCDE 中，CD ⊥MN ， 又MN ∩A ′M ＝M ，∴CD ⊥平面A ′MN .∴CD ⊥A ′N .∵DE ∥BC 且DE ＝12BC ，∴BE 必与CD 相交．又A ′N ⊥BE ，A ′N ⊥CD ，∴A ′N ⊥平面BCDE . 又A ′N ⊂平面A ′BE ， ∴平面A ′BE ⊥平面BCDE .。
2.3.2-平面与平面垂直的判定
l
点1－棱－点2
l
②直立式： A
二面角－AB－
B
C 二面角C－AB－ D
B D
A
1.二面角的概念
(4) 二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
如图，OA l,OB l ，则∠AOB成为二面角 l
的平面角. 它的大小与点O的选取无关.
直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作
a
a
(2) 面面垂直的判定定理：
若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．
注2：① a , a
②该定理作用：“线面垂直面面垂直”
③应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线.
两个平面垂直的判定定理
文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直
(3)G是BB1的中点，
A
求证：平面A1C1G⊥平面B1D
总结:
直线A1C1 ⊥平面B1D，则过直线 A1C1 的平面都垂直于平面B1D
A1
D E
D1
C
F Ｂ G GG G
C1
B1
练习
例1:如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在
的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：
平面PAC 平面PBC.
P
分析：找证出明在：一设⊙个O面所内在与的另平面一为个α面，垂由直已知的条直件线，.
PA⊥α，BC在α内，所以PA ⊥BC
BC⊥平面PAC
C
因为点C是圆周上不同于A，B的任意一
点，AB是⊙O的直径
A
•O
B 所以，∠BCA是直角，即BC ⊥AC
2020高中数学必修2同步练习：2.3.2 平面与平面垂直的判定含解析
2.3.2平面与平面垂直的判定课时过关·能力提升一、基础巩固1.下列说法:①两个相交平面所组成的图形叫做二面角;②二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成的角;③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系.其中说法正确的个数是()A.0B.1C.2D.32.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,则二面角B-PA-C的大小等于()A.90°B.60°C.45°D.30°PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC.所以∠BAC是二面角B-PA-C的平面角.又∠BAC=60°,则二面角B-PA-C的平面角是60°3.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是 ()A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n⊂αC.m∥n,n⊥β,m⊂αD.m∥n,m⊥α,n⊥βm∥n,n⊥β,∴m⊥β.又m⊂α,∴α⊥β.4.如图,AB是圆的直径,PA⊥AC,PA⊥BC,C是圆上一点(不同于A,B),且PA=AC,则二面角P-BC-A的平面角为()A.∠PACB.∠CPAC.∠PCAD.∠CABAB为圆的直径,所以AC⊥BC.因为PA⊥BC,AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC.所以BC⊥PC.所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.5.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,SA⊥平面ABCD,AC与BD相交于点O,点P是侧棱SC上一动点,则一定与平面PBD垂直的平面是()A.平面SABB.平面SACC.平面SCDD.平面ABCD在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,∴BD⊥AC.∵SA⊥平面ABCD,∴SA⊥BD.∵SA∩AC=A,∴BD⊥平面SAC.∵BD⊂平面PBD,∴平面PBD⊥平面SAC.故选B.6. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面C1D1AB与底面ABCD所成的二面角C1-AB-C的大小为.AB⊥BC,AB⊥BC1,∴∠C1BC为二面角C1-AB-C的平面角,其大小为45°.°7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有个.α外的一点为A,平面α内的一点为B,当直线AB垂直于平面α时,经过直线AB的任意一个平面均垂直于平面α,即此时有无数个;当直线AB与平面α相交但不垂直时,过点A作直线AC垂直于平面α,则直线AC仅有一条,由于直线AC和AB是两条相交直线,则AB和AC确定一个平面且该平面垂直于平面α,此时仅有一个与平面α垂直的平面.个或无数8.如图,在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则在三棱锥P-ABC的四个面中,互相垂直的面有对.PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,所以PA⊥平面PBC.因为PA⊂平面PAB,PA⊂平面PAC,所以平面PAB⊥平面PBC,平面PAC⊥平面PBC.同理可证平面PAB⊥平面PAC.9.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD.求证:平面PDC⊥平面PAD.PA⊥平面AC,CD⊂平面AC,所以PA⊥CD.因为CD⊥AD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.因为CD⊂平面PDC,所以平面PDC⊥平面PAD.二、能力提升1.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,m⊂α和m⊥γ,那么必有()A.α⊥γ,且l⊥mB.α⊥γ,且m∥βC.m∥β,且l⊥mD.α∥β,且α⊥γm⊂α,m⊥γ,∴α⊥γ.∵l=β∩γ,∴l⊂γ,∴m⊥l.2.在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥底面ABCD,且底面ABCD为矩形,则下列结论中错误的是()A.平面PAB⊥平面PADB.平面PAB⊥平面PBCC.平面PBC⊥平面PCDD.平面PCD⊥平面PADABCD是矩形,所以AB⊥AD.因为PA⊥平面AC,AB⊂平面AC,所以AB⊥PA.而AD∩PA=A,所以AB⊥平面PAD.因为AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.同理可证,平面PAB⊥平面PBC,平面PCD⊥平面PAD.★3.如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,那么这两个二面角()A.相等B.互补C.相等或互补D.大小关系无法确定,平面EFDG⊥平面ABC,当平面HDG绕DG转动时,平面HDG始终与平面BCD垂直,因为二面角H-DG-F的大小不确定,所以两个二面角的大小关系不确定.答案:D4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BC=2,AA1=1,E,F分别在AD和BC上,且EF ∥AB.若二面角C1-EF-C等于45°,则BF=.AB⊥平面BC1,C1F⊂平面BC1,CF⊂平面BC1,所以AB⊥C1F,AB⊥CF.又EF∥AB,所以C1F⊥EF,CF⊥EF,所以∠C1FC是二面角C1-EF-C的平面角,即∠C1FC=45°.所以△FCC1是等腰直角三角形,所以CF=CC1=AA1=1.又BC=2,所以BF=BC-CF=2-1=1.5.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=1,将△ABC沿斜线BC上的高AD折叠,使平面ABD⊥平面ACD,则BC=.解析:因为AD⊥BC,所以AD⊥BD,AD⊥CD,所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角.因为平面ABD⊥平面ACD,所以∠BDC=90°.连接BC,在△BCD中,∠BDC=90°,BD=CD=√22,所以BC=√(√22)2+(√22)2=1.6.如图,已知在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.求证:(1)直线PA∥平面DEF;(2)平面BDE⊥平面ABC.因为D,E分别为棱PC,AC的中点,所以DE∥PA.又因为PA⊄平面DEF,DE⊂平面DEF,所以直线PA∥平面DEF.(2)因为D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,PA=6,BC=8,所以DE∥PA,DE=12P A=3,E P=12BC=4.又因为DF=5,故DF2=DE2+EF2,所以∠DEF=90°,即DE⊥EF.又PA⊥AC,DE∥PA,所以DE⊥AC.因为AC∩EF=E,AC⊂平面ABC,EF⊂平面ABC, 所以DE⊥平面ABC.又DE⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABC★7.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD 的中点,PA⊥底面ABCD,PA=√3.(1)求证:平面PBE⊥平面PAB;(2)求二面角A-BE-P的大小.,连接BD,由ABCD是菱形,且∠BCD=60°知,△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点,所以BE⊥CD.又AB∥CD,所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD,BE⊂平面ABCD,所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,因此BE⊥平面PAB.又BE⊂平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.(1)知BE⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,所以PB⊥BE.又AB⊥BE,所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.=√3,∠PBA=60°,在Rt△PAB中,tan∠PBA=PAAB故二面角A-BE-P的大小是60°。
2.3.2平面与平面垂直的判定(人教A版必修2第二章)2020-2021学年高二下学期数学课时作业
课时作业16 平面与平面垂直的判定1．已知a⊂α，b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，则()A．α⊥βB．α∥βC．α与β相交D．以上都有可能2．已知二面角α-l-β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为()A．30°B．60°C．90°D．120°3．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC4.如图所示，在三棱锥P-ABC中，P A⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B-P A-C的大小为()A．90°B．60°C．45°D．30°5．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是()A．相等B．互补C．相等或互补D．不确定6.如图所示，在三棱锥D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE7．如图，在正四面体P-ABC(棱长均相等)中，E是BC的中点．则平面P AE与平面ABC 的位置关系是．8．如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是9．如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC ，△ABD 的面积是△ACD 的面积的2倍．沿AD 将△ABC 翻折，使翻折后BC ⊥平面ACD ，此时二面角B -AD -C 的大小为.10．如图，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥平面ABCD .(1)求证：平面P AD ⊥平面P AB ；(2)若平面PDA 与平面ABCD 成60°的二面角，求该四棱锥的体积．11．如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起至△A ′BE 的位置，使A ′C ＝A ′D ，求证：平面A ′BE ⊥平面BCDE .12．若P 是等边三角形ABC 所在平面外一点，且P A ＝PB ＝PC ，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则下列结论中不正确的是( )A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面P AEC ．平面P AE ⊥平面ABCD ．平面PDF ⊥平面ABC13．在二面角α-l -β中，A ∈α，AB ⊥平面β于点B ，BC ⊥平面α于点C ，若AB ＝6，BC＝3，则二面角α-l-β的平面角的大小为()A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°14.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC 上一动点．当点M满足)时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)15．在图(1)等边三角形ABC中，AB＝2，E是线段AB上的点(除点A外)，过点E作EF⊥AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF(点A与点P重合，如图(2))，使得∠PFC＝60°.(1)求证：EF⊥PC；(2)试问，当点E在线段AB上移动时，二面角P-EB-C的大小是否为定值？若是，求出这个二面角的平面角的正切值，若不是，请说明理由．课时作业16 平面与平面垂直的判定1．已知a⊂α，b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，则(D)A．α⊥βB．α∥βC．α与β相交D．以上都有可能解析：因为b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，若b，c相交，则a⊥β，从而α⊥β.又α∥β或α与β相交时，可以存在a⊥b，a⊥c，所以选D.2．已知二面角α-l-β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为(B)A．30°B．60°C．90°D．120°解析：m，n所成的角等于二面角α-l-β的平面角．3．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有(D)A ．平面ABC ⊥平面ADCB ．平面ABC ⊥平面ADB C ．平面ABC ⊥平面DBCD ．平面ADC ⊥平面DBC解析：⎭⎪⎬⎪⎫AD ⊥BCAD ⊥BD BC ∩BD ＝B ⇒⎭⎪⎬⎪⎫AD ⊥平面DBC AD ⊂平面ADC ⇒平面ADC ⊥平面DBC .4.如图所示，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，则二面角B -P A -C 的大小为( A)A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：∵P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，∴∠BAC 即为二面角B -P A -C 的平面角．又∠BAC ＝90°，所以二面角B -P A -C 的平面角为90°.5．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是( D )A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．不确定解析：举例如下：开门的过程中，门所在平面及门轴所在墙面分别垂直于地面与另一墙面，但门所在平面与门轴所在墙面所成二面角的大小不定，而另一二面角却是90°，所以这两个二面角不一定相等或互补．6.如图所示，在三棱锥D -ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列结论中正确的是( C)A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE解析：因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC .同理有DE ⊥AC ，BE ∩DE ＝E ，所以AC ⊥平面BDE .因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BDE .又因为AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE .故选C.7．如图，在正四面体P-ABC(棱长均相等)中，E是BC的中点．则平面P AE与平面ABC 的位置关系是垂直．解析：因为PB＝PC，E是BC的中点，所以PE⊥BC，同理AE⊥BC，又AE∩PE＝E，所以BC⊥平面P AE.又BC⊂平面ABC，所以平面P AE⊥平面ABC.8．如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是面面垂直的判定定理．解析：如图，因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊂β，OC⊂β，且OB∩OC＝O，根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β.又OA⊂α，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β.9．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍．沿AD 将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B-AD-C的大小为60°.解析：由已知得，BD＝2CD.翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD ⊥AD，故∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，其大小为60°.10．如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥平面ABCD.(1)求证：平面P AD ⊥平面P AB ；(2)若平面PDA 与平面ABCD 成60°的二面角，求该四棱锥的体积． 解：(1)证明：∵PB ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PB ⊥AD . ∵AD ⊥AB ，且AB ∩PB ＝B ，∴AD ⊥平面P AB .又∵AD ⊂平面P AD ， ∴平面P AD ⊥平面P AB .(2)由(1)的证明知，∠P AB 为平面PDA 与平面ABCD 所成的二面角的平面角，即∠P AB ＝60°，∴PB ＝3a .∴V P -ABCD ＝13·a 2·3a ＝3a 33. 11．如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起至△A ′BE 的位置，使A ′C ＝A ′D ，求证：平面A ′BE ⊥平面BCDE .证明：如图所示，取CD 的中点M ，BE 的中点N ，连接A ′M ，A ′N ，MN ，则MN ∥BC .∵AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，∴AB ＝AE ，即A ′B ＝A ′E .∴A ′N ⊥BE .∵A ′C ＝A ′D ，∴A ′M ⊥CD . 在四边形BCDE 中，CD ⊥MN ，又MN ∩A ′M ＝M ，∴CD ⊥平面A ′MN .∴CD ⊥A ′N . ∵DE ∥BC 且DE ＝12BC ，∴BE 必与CD 相交．又A ′N ⊥BE ，A ′N ⊥CD ，∴A ′N ⊥平面BCDE . 又A ′N ⊂平面A ′BE ，∴平面A ′BE ⊥平面BCDE .12．若P是等边三角形ABC所在平面外一点，且P A＝PB＝PC，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下列结论中不正确的是(D)A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面P AEC．平面P AE⊥平面ABC D．平面PDF⊥平面ABC解析：∵P是等边三角形ABC所在平面外一点，且P A＝PB＝PC，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DF∥BC，又∵DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A正确．∵P A＝PB＝PC，△ABC为等边三角形，E是BC中点，∴PE⊥BC，AE⊥BC.∵PE∩AE ＝E，∴BC⊥平面P AE.∵DF∥BC，∴DF⊥平面P AE，故B正确．∵BC⊥平面P AE，BC⊂平面ABC，∴平面P AE⊥平面ABC，故C正确．设AE∩DF＝O，连接PO.∵O不是等边三角形ABC的重心，∴PO与平面ABC不垂直，∴平面PDF与平面ABC不垂直，故D错误．13．在二面角α-l-β中，A∈α，AB⊥平面β于点B，BC⊥平面α于点C，若AB＝6，BC ＝3，则二面角α-l-β的平面角的大小为(D)A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°解析：∵AB⊥β，∴AB⊥l.∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC，设平面ABC∩l＝D，则∠ADB即为二面角α-l-β的平面角或其补角．∵AB＝6，BC＝3，∴∠BAC＝30°，∴∠ADB ＝60°，∴二面角大小为60°或120°.14.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC 上一动点．当点M满足DM⊥PC(或BM⊥PC等)时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)解析：连接AC，则BD⊥AC.由P A⊥底面ABCD，可知BD⊥P A，所以BD⊥平面P AC，所以BD⊥PC，所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.15．在图(1)等边三角形ABC中，AB＝2，E是线段AB上的点(除点A外)，过点E作EF⊥AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF(点A与点P重合，如图(2))，使得∠PFC＝60°.(1)求证：EF ⊥PC ；(2)试问，当点E 在线段AB 上移动时，二面角P -EB -C 的大小是否为定值？若是，求出这个二面角的平面角的正切值，若不是，请说明理由．解：(1)证明：因为EF ⊥PF ，EF ⊥FC ，又由PF ∩FC ＝F ，所以EF ⊥平面PFC . 又因为PC ⊂平面PFC ，所以EF ⊥PC .(2)是定值．由(1)知，EF ⊥平面PFC ，所以平面BCFE ⊥平面PFC ，如图，作PH ⊥FC ，则PH ⊥平面BCFE ，作HG ⊥BE ，连接PG ，则BE ⊥PG ，所以∠PGH 是这个二面角的平面角，设AF ＝x ，则0<x ≤1，因为∠PFC ＝60°，所以FH ＝x 2，PH ＝32x ，易求GH ＝334x ，所以tan ∠PGH ＝PH GH ＝23，所以二面角P -EB -C 的大小是定值．。
课时作业1：2.3.2 平面与平面垂直的判定
2.3.2平面与平面垂直的判定一、基础过关1．过两点与一个已知平面垂直的平面()A．有且只有一个B．有无数个C．一个或无数个D．可能不存在答案 C解析当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．2．下列命题中正确的是()A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥βC．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥βD．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β答案 C解析当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D错，C正确．3．设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β答案 B解析利用线与面、面与面的关系定理判定，用特例法．设α∩β＝a，若直线l∥a，且l⊄α，l⊄β，则l∥α，l∥β，因此α不一定平行于β，故A错误；由于l∥α，故在α内存在直线l′∥l，又因为l⊥β，所以l′⊥β，故α⊥β，所以B正确；若α⊥β，在β内作交线的垂线l，则l⊥α，此时l在平面β内，因此C错误；已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥a，且l不在平面α，β内，则l∥α且l∥β，因此D错误．4．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP 所成的二面角的度数是________．答案45°解析可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°.5．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝________.答案 1解析因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角B－AD－C的平面角．因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.在△BCD中∠BDC＝90°，BD＝CD＝2 2，所以BC＝(22)2＋(22)2＝1.6.如图，平面角为锐角的二面角α—EF—β，A∈EF，AG⊂α，∠GAE＝45°，若AG与β所成角为30°，求二面角α—EF—β的平面角．解作GH⊥β于H，作HB⊥EF于B，连接GB，则GB⊥EF，∠GBH是二面角的平面角．又∠GAH是AG与β所成的角，设AG＝a，则GB＝22a，GH＝12a，sin∠GBH＝GHGB＝22.所以∠GBH＝45°，故二面角α－EF－β的平面角为45°.7.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中点．求证：平面C1BD⊥平面BDE.证明 设AC ∩BD ＝O ，则O 为BD 的中点，连接C 1O ，EO ，C 1E .因为EB ＝ED ，点O 是BD 的中点，所以BD ⊥EO .因为C 1B ＝C 1D ，点O 是BD 的中点，所以BD ⊥C 1O ，所以∠C 1OE 即为二面角C 1－BD －E 的平面角．因为E 为AA 1中点，设正方体的棱长为a ，则C 1O ＝a 2＋(22a )2＝62a ， EO ＝ (a 2)2＋(22a )2＝32a ， C 1E ＝ (2a )2＋(12a )2＝32a ， 所以C 1O 2＋EO 2＝C 1E 2，所以C 1O ⊥OE ，所以∠C 1OE ＝90°.所以平面C 1BD ⊥平面BDE .二、能力提升8．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥nB ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，，则m ∥nC ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β答案 D解析 A 中，m 与n 可垂直、可异面、可平行；B 中m 与n 可平行、可异面、可垂直；C 中若α∥β，仍然满足m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，故C 错误；D 正确．9．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A．BC∥面PDFB．DF⊥面P AEC．面PDF⊥面ABCD．面P AE⊥面ABC答案 C解析如图所示，∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF.∴A正确．由BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面P AE.∴DF⊥平面P AE.∴B正确．∴平面ABC⊥平面P AE(BC⊥平面P AE)．∴D正确．10．如图所示，四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，且P A＝AB.(1)求二面角A－PD－C的平面角的度数；(2)求二面角B－P A－D的平面角的度数；(3)求二面角B－P A－C的平面角的度数；(4)求二面角B－PC－D的平面角的度数．解(1)∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥CD，∵四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD，∵P A∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD，又CD⊂平面PCD，∴平面P AD⊥平面PCD.∴二面角A－PD－C的平面角的度数为90°.(2)∵P A⊥平面ABCD，∴AB⊥P A，AD⊥P A.∴∠BAD为二面角B－P A－D的平面角．由题意知∠BAD＝90°，∴二面角B－P A－D的平面角的度数为90°.(3)∵P A⊥平面ABCD，∴AB⊥P A，AC⊥P A.∴∠BAC为二面角B－P A－C的平面角．∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°.即二面角B－P A－C的平面角的度数为45°.(4)作BE⊥PC于E，连接DE，BD，且BD与AC交于点O，连接EO，如图所示，由题意知△PBC ≌△PDC ，则∠BPE ＝∠DPE ，从而△PBE ≌△PDE .∴∠DEP ＝∠BEP ＝90°，且BE ＝DE .∴∠BED 为二面角B －PC －D 的平面角．∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BC .又AB ⊥BC ，P A ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面P AB ，∴BC ⊥PB .设AB ＝a ，则BE ＝PB ·BC PC ＝63a ，BD ＝2a . ∴sin ∠BEO ＝BO BE ＝32.∴∠BEO ＝60°， ∴∠BED ＝120°.∴二面角B －PC －D 的平面角的度数为120°.11.如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝ 3.(1)证明：平面PBE ⊥平面P AB ；(2)求二面角A —BE —P 的大小．(1)证明 如图所示，连接BD ，由ABCD 是菱形且∠BCD ＝60°知，△BCD 是等边三角形． 因为E 是CD 的中点，所以BE ⊥CD .又AB ∥CD ，所以BE ⊥AB .又因为P A ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BE .而P A ∩AB ＝A ，因此BE ⊥平面P AB .又BE ⊂平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面P AB .(2)解 由(1)知，BE ⊥平面P AB ，PB ⊂平面P AB ，所以PB ⊥BE .又AB ⊥BE ，所以∠PBA 是二面角A —BE —P 的平面角．在Rt △P AB 中，tan ∠PBA ＝P A AB＝3， 则∠PBA ＝60°.故二面角A —BE —P 的大小是60°.12．如图，圆锥的轴截面SAB 为等腰直角三角形，Q 为底面圆周上一点．(1)若QB 的中点为C ，求证：平面SOC ⊥平面SBQ .(2)若∠AOQ ＝120°，QB ＝3，求圆锥的表面积． 解 (1)因为SQ ＝SB ，OQ ＝OB ，C 为QB 的中点， 所以QB ⊥SC ，QB ⊥OC .因为SC ∩OC ＝C ，所以QB ⊥平面SOC ，又因为QB ⊂平面SBQ ，所以平面SOC ⊥平面SBQ .(2)因为∠AOQ ＝120°，QB ＝3，所以∠BOQ ＝60°，即△OBQ 为等边三角形，所以OB ＝3，因为△SAB 为等腰直角三角形，所以SB ＝6，所以S 侧＝3·6π＝32π，所以S 表＝S 侧＋S 底＝32π＋3π＝(3＋32)π.三、探究与拓展13.如图所示，三棱锥P —ABC 中，D 是AC 的中点，P A ＝PB ＝PC ＝5，AC ＝22，AB ＝2，BC ＝ 6.(1)求证：PD ⊥平面ABC ；(2)求二面角P —AB —C 的正切值．(1)证明 连接BD ，∵D 是AC 的中点，P A ＝PC ＝5，∴PD ⊥AC . ∵AC ＝22，AB ＝2，BC ＝6，∴AB 2＋BC 2＝AC 2.∴∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC .∴BD ＝12AC ＝2＝AD . ∵PD 2＝P A 2－AD 2＝3，PB ＝5，∴PD 2＋BD 2＝PB 2.∴PD ⊥BD .∵AC ∩BD ＝D ，∴PD ⊥平面ABC .(2)解 取AB 的中点E ，连接DE 、PE ，由E 为AB 的中点知DE ∥BC ， ∵AB ⊥BC ，∴AB ⊥DE .∵PD ⊥平面ABC ，∴PD ⊥AB .又DE ∩PD ＝D ，∴AB ⊥平面PDE ，∴PE ⊥AB .∴∠PED 是二面角P —AB —C 的平面角．在Rt △PED 中，DE ＝12BC ＝62，PD ＝3，∠PDE ＝90°， ∴tan ∠PED ＝PD DE＝ 2. ∴二面角P —AB —C 的正切值为 2.。
【人教A版】高中数学同步检测：第二章2.3-2.3.2平面与平面垂直的判定(含答案)
第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.2 平面与平面垂直的判定A级基础巩固一、选择题1．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角()A．相等B．互补C．不确定D．相等或互补答案：C2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是() A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β解析：因为m∥n，n⊥β，所以m⊥β.又m⊂α，所以α⊥β.答案：C3．如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B-PA-C的大小为()A．90°B．60°C．45°D．30°解析：因为PA⊥平面ABC，BA⊂平面ABC，CA⊂平面ABC，所以BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC为二面角BPAC的平面角，又∠BAC＝90°.答案：A4．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD ＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A-BCD，则在几何体A-BCD中，下列结论正确的是()A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC解析：由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC.答案：D5．已知m，n为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列命题中正确的是()A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB．α⊥γ，β⊥γ⇒α∥βC．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nD．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m⇒n⊥β解析：α∥β，m⊥α⇒m⊥β，n∥β⇒m⊥n.答案：C二、填空题6.如图所示，检查工作的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是________．解析：如图，因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊂β，OC⊂β且OB∩OC ＝O，根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β.又OA⊂α，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β.答案：面面垂直的判定定理7．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP ＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．解析：可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°.答案：45°8.如图所示，在三棱锥S-ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝1，SA＝32，则二面角S-BC-A的大小为________．解析：如图所示，取BC的中点O，连接SO，AO.因为AB＝AC，O是BC的中点，所以AO⊥BC，同理可证SO⊥BC，所以∠SOA是二面角S-BC-A的平面角．在△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝60°，AB＝1，所以AO＝1·sin 60°＝32.同理可求SO＝3 2.又SA＝32，所以△SOA是等边三角形，所以∠SOA＝60°，所以二面角S-BC-A的大小为60°.答案：60°三、解答题9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：面A1CD1⊥面C1BD.证明：因为ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以AC⊥BD，因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥BD.又因为AA1∩AC＝A，所以BD⊥平面ACA1，又因为A1C⊂平面ACA1，所以BD⊥A1C，同理BC1⊥A1C，因为BD∩BC1＝B，所以A1C⊥平面C1BD，因为A1C⊂平面A1CD1，所以面A1CD1⊥面C1BD.10．如图所示，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC的中点．(1)证明SO⊥平面ABC；(2)求二面角A-SC-B的余弦值．(1)证明：如图所示，由题设AB＝AC＝SB＝SC＝SA.连接OA，△ABC为等腰直角三角形，所以OA＝OB＝OC＝22SA，且AO⊥BC.又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，且SO＝22SA.从而OA 2＋SO 2＝SA 2，所以△SOA 为直角三边形，SO ⊥AO .又AO ∩BC ＝O ，所以SO ⊥平面ABC .(2)解：取SC 的中点M ，连接AM ，OM .由(1)知SO ＝OC ，SA ＝AC ，得OM ⊥SC ，AM ⊥SC .所以∠OMA 为二面角A -SC -B 的平面角．由AO ⊥BC ，AO ⊥SO ，SO ∩BC ＝O ，得AO ⊥平面SBC .所以AO ⊥OM .又AM ＝32SA ，AO ＝22SA ，故sin ∠AMO ＝AO AM ＝23＝63.所以二面角A -SC -B 的余弦值为33.B 级 能力提升1．在空间四边形ABCD 中，若AD ⊥BC ，AD ⊥BD ，那么有()A ．平面ABC ⊥平面ADCB ．平面ABC ⊥平面ADBC ．平面ABC ⊥平面DBCD ．平面ADC ⊥平面DBC解析：因为AD ⊥BC ，AD ⊥BD ，BC ∩BD ＝B ，所以AD ⊥平面DBC .又因为AD ⊂平面ADC ，所以平面ADC ⊥平面DBC .答案：D2．矩形ABCD 的两边AB ＝3，AD ＝4，PA ⊥平面ABCD ，且PA ＝435，则二面角A -BD -P 的度数为________． 解析：过点A 作AE ⊥BD ，连接PE ，则∠AEP 为所求角．因为由AB ＝3，AD ＝4知BD ＝5，又AB ·AD ＝BD ·AE ，所以AE ＝125.所以tan ∠AEP ＝435125＝33.所以∠AEP ＝30°. 答案：30°3．(2015·课标全国Ⅰ卷节选)如图所示，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .证明：平面AEC ⊥平面AFC .证明：连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝ 3.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝3，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝2，故DF＝22.在Rt△FDG中，可得FG＝62.，可得EF 在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝2，DF＝22＝322.从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.。
2014-2015学年高中数学(人教版必修二)课时训练第二章 2.3 2.3.2 平面与平面垂直的判定
PlQ ． ________
基 础 梳 理 (2)二面角的平面角． 如图，二面角αlβ， ∈ l； 若有：①O____ ⊂ α，OB____ ⊂ β； ②OA____
栏 目 链 接
⊥ l，OB____ ⊥ l. ③OA____
则∠AOB就叫做二面角αlβ的平面角．
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A．有 0 条 B．有一条 C．有 2 条 D．有无数条
答案：A
自 测 自 评
5．若 α∥β，a⊥α，则 a 与 β 的位置关系是 ____________．
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答案：垂直
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题型一
基 础 梳 理
练习 1: 如右图所示， PA⊥ 平面 ABCD ， ABCD 是正方
形，求证：平面PCD⊥平面PAD.
栏 目 链 接
基 础 梳 理
证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，
又ABCD是正方形，所以AD⊥CD， 又PA与AD相交，所以CD⊥平面PAD， 因为CD⊂平面PCD，
栏 目 链 接
解析：若方向相同则相等，若方向相反则互补． 答案：C
自 测 பைடு நூலகம் 评
3．已知 a⊂α，b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，则( A．α⊥β C．α∥β B．α 与 β 相交 D．以上都有可能
)
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答案：D
自 测 自 评
4．若平面 α 与平面 β 不垂直，那么 α 内能与 β 垂直的 直线( )
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基 础 梳 理 2．面面垂直． (1) 定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角 是直二面角 ________，就说这两个平面互相垂直． (2)画法：
高中数学必修二(人教A版)练习2.3.2 平面与平面垂直的判定 Word版含答案
平面与平面垂直的判定一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．下面不能确定两个平面垂直的是( )．两个平面相交，所成二面角是直二面角．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线．一个平面经过另一个平面的一条垂线．平面α内的直线与平面β内的直线是垂直的．已知直线，与平面α，β，给出下列三个结论：①若∥α，∥α，则∥；②若∥α，⊥α，则⊥；③若⊥α，∥β，则α⊥β.其中正确结论的个数是( )．．．．．设，是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法中正确的是( )．若∥α，⊥β，⊥，则α⊥β．若∥α，⊥β，⊥，则α∥β．若∥α，⊥β，∥，则α⊥β．若∥α，⊥β，∥，则α∥β图--．如图--所示，在立体图形-中，若＝，＝，是的中点，则下列结论中正确的是( ) ．平面⊥平面．平面⊥平面．平面⊥平面，平面⊥平面．平面⊥平面，平面⊥平面．如图--所示，在△中，⊥，△的面积是△的面积的倍．沿将△翻折，使翻折后⊥平面，此时二面角--的大小为( )图--．°．°．°．°．若一条线段的两个端点分别在一个直二面角的两个面内(都不在棱上)，则这条线段所在的直线与这两个平面所成的角的和( )．等于°．大于°．不大于°．不小于°图--．如图--所示，在三棱锥-中，⊥平面，∠＝°，则图中互相垂直的平面共有( )．对．对．对．对二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分)．已知正四棱锥的体积为，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于．．下列结论中，所有正确结论的序号是．①两个相交平面形成的图形叫作二面角；②异面直线，分别和一个二面角的两个面垂直，则，组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．．已知两条不同的直线，，两个不同的平面α，β，给出下列命题：①若垂直于α内的两条相交直线，则⊥α；②若∥α，则平行于α内的所有直线；③若⊂α，⊂β且α∥β，则∥；④若⊂β，⊥α，则α⊥β.其中真命题的序号是．(把你认为是真命题的序号都填上)图--．如图--，⊥⊙所在的平面，是⊙的直径，是⊙上一点，⊥于，⊥于，给出下列结论：①⊥；②⊥；③⊥；④平面⊥平面；⑤△是直角三角形．其中所有正确的命题的序号是．三、解答题(本大题共小题，共分)．(分)如图--所示，在正三棱柱-中，为的中点，求证：截面⊥侧面.。
2_3_2平面与平面垂直的判定 试题
2.3.2平面与平面垂直的判定 同步练习1.若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系式（ ）A.相等B.互补C.相等或互补D.不能确定2.已知α.β是两个不重合的平面，m ，.n 是两条不同直线，以下命题中不准确的是( )A.若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αB.若m ∥α，α∩β=n ，则m ∥nC.若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD.若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β3. 经过平面外一点和平面内一点与该平面的垂直的平面有（ ）.A. 0个B. 1个C. 无数个D. 1个或无数个4.如图， ABCD 为正方形， ⊥PA 面ABCD ，则图中相互垂直的面有（ ）A.4对B.5对C.6对D.7对5.已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有以下四个命题：①//l m αβ⇒⊥；②//l m αβ⊥⇒；③//l m αβ⇒⊥；④//l m αβ⊥⇒；其中不准确命题的序号为（ ）A ．①② B.③④ C.②④ D.①②④6. 如图，斜三棱柱ABC —A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC ，则C1在底面 ABC 上的射影H 必在A.直线AB 上B.直线BC 上C.直线CA 上D.△ABC 内部7.已知二面角βα--l 的大小为60°，m ，n 为异面直线，且m α⊥，n β⊥，则m ，n 所成的角为（ ）A.30°B.60°C. 90°D.120°8.已知正四棱锥的体积为12 ，底面对角线的长为62，则侧面与底面所成的二面角等于 .9. 如图， ABCD 是正方形，SA ⊥平面ABCD ，BK ⊥SC 于K ，连结DK ，求证（1）平面SBC //平面KBD ；（2）面SBC 不垂直于面SDC .答案：1.C2.B3.D4.C5.D6.A7.B8. 60°9.证明：（1）连结AC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，又SA ⊥面ABCD ，∴SC ⊥BD ，又SC ⊥KB ，∴SC ⊥面KBD ，又SC ⊂面SBC ，∴面SBC ⊥面KBD.（2）假设面SBC ⊥面SBD ，∵BK ⊥SC ，∴BK ⊥面SDC 。
课件11：2.3.2 平面与平面垂直的判定
课堂探究 类型一 平面与平面垂直的判定 例1 如图，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°， 又SA＝SB＝SC，求证：平面ABC⊥平面SBC.
课堂探究
证明：证法一：利用定义证明． ∵∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC， ∴△ASB 和△ASC 是等边三角形， 则有 SA＝SB＝SC＝AB＝AC， 令其值为 a，则△ABC 和△SBC 为共底边 BC 的等腰三角形．
素养提升 1．对二面角的平面角的三点说明 (1)二面角的平面角可以表示二面角的大小，二面角的平 面角是多少度，就说这个二面角是多少度． (2)构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂 直”．二面角的平面角的大小是唯一确定的，与棱上点的 位置无关，解题时可以把平面角的顶点选在有利于解题 的特殊位置上．
跟踪训练 1 如图，四边形ABCD是正方形，O是正方形的 中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．
求证：(1)PA∥平面BDE； (2)平面PAC⊥平面BDE.
证明：(1)连接OE，AC，则O是AC的中点， 又E是PC的中点，所以OE∥AP， 又因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE.所以PA∥平面BDE. (2)因为PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BD， 又因为AC⊥BD，且AC∩PO＝O， 所以BD⊥平面PAC，而BD⊂平面BDE， 所以平面PAC⊥平面BDE.
课堂探究
如图，取 BC 的中点 D，连接 AD，SD，
则 AD⊥BC，SD⊥BC，
∴∠ADS 为二面角 A－BC－S 的平面角．在 Rt△BSC 中，
∵SB＝SC＝a，∴SD＝
22a，BD＝B2C＝
2 2 a.
课堂探究
在
Rt△ABD
中，AD＝
2 2 a.
最新人教A版数学必修二同步练习2.3.2 平面与平面垂直的判定(含答案解析)
平面与平面垂直的判定一、选择题(每小题6分,共30分)1.过平面α外两点且垂直于平面α的平面()A.有且只有一个B.一个或两个C.有且仅有两个D.一个或无数个2.已知直线a,b与平面α,β,γ,下列能使α⊥β成立的条件是()A.α⊥γ,β⊥γB.α∩β=a,b⊥a,b βC.a∥β,a∥αD.a∥α,a⊥β3.已知四面体P-ABC中的四个面均为正三角形,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论中不成立的是()A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面ABC4.(2013·兰州高一检测)长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,CC1=,则二面角C1-BD-C的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°5.如图,一山坡的坡面与水平面成30°的二面角,坡面上有一直道AB,它和坡脚的水平线成30°的角,沿这山路行走20m后升高()A.20mB.15mC.10mD.5m二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·深圳高一检测)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是等边三角形,且AB=,AA1=,则二面角A1-BC-A等于.7.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱PA=a,PB=PD=a,则PC=.8.在四面体A-BCD中,AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠BCD=90°,二面角A-BD-C为直二面角,E 是CD的中点,则∠AED的度数为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.如图所示,Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直角边AO所在直线为轴旋转得到,且二面角B-AO-C是直二面角,D是AB上任意一点.求证:平面COD⊥平面AOB.10.如图,已知三棱锥P-ABC,∠ACB=90°,D为AB的中点,且△PDB是正三角形,PA⊥PC.求证:(1)PA⊥面PBC.(2)平面PAC⊥平面ABC.11.(能力挑战题)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,BA⊥AD,且CD=2AB.(1)若AB=AD=a,直线PB与CD所成角为45°,①求四棱锥P-ABCD的体积;②求二面角P-CD-B的大小.(2)若E为线段PC上一点,试确定E点的位置,使得平面EBD⊥平面ABCD,并说明理由.答案解析1.【解析】选D.当此两点连线垂直于平面时,有无数个;当此两点连线不垂直于平面时,有1个.2.【解析】选D.由a∥α知α内必有直线l与a平行,而a⊥β,所以l⊥β,所以α⊥β.3.【解析】选C.A.成立.因为D,F分别是AB,CA的中点,所以BC∥DF.又BC⊄平面PDF,DF⊂平面PDF,所以BC∥平面PDF.B.成立.因为PB=PC,E是BC的中点,所以PE⊥BC.同理可证AE⊥BC.又AE∩PE=E,所以BC⊥平面PAE.又DF∥BC,所以DF⊥平面PAE.C.不成立.设DF∩AE=O,则O是DF的中点,因为DF⊥平面PAE,所以∠POE是二面角P-DF-E的平面角.因为O是DF的中点,PA≠PE,所以∠POE≠90°,所以平面PDF与平面ABC不垂直.D.成立.因为DF⊥平面PAE,DF⊂平面ABC,所以平面PAE⊥平面ABC.4.【解析】选A.因为ABCD-A1B1C1D1是长方体,所以CC1⊥平面ABCD,所以BD⊥CC1.因为ABCD是矩形,且AB=AD,所以ABCD是正方形,所以BD⊥AC.又AC∩CC1=C,所以BD⊥平面AA1C1C,所以∠COC1是二面角C1-BD-C的平面角,Rt△CC1O中∠C1CO=90°,CC1=,OC=BC=×2=,所以tan∠COC1===,所以∠COC1=30°.5.【解题指南】先作出山坡的坡面与水平面所成的二面角的平面角,然后标出有关数据计算点B到水平面的距离.【解析】选D.如图,作BH⊥水平面,垂足为H,过H作HC⊥坡脚线,垂足为C,连接BC,则∠BAC=30°,由BH⊥AC,HC⊥AC,BH∩HC=H知,AC⊥平面BHC,从而BC⊥AC,所以∠BCH为坡面与水平面所成二面角的平面角,所以∠BCH=30°.在Rt△ABC中和Rt△BCH中,因为AB=20m,所以BC=10m,所以BH=5m.6.【解析】取BC的中点O,连接AO,A1O,因为△ABC是等边三角形,所以BC⊥AO.又因为AA1⊥平面ABC,所以BC⊥AA1.又AA1∩AO=A,所以BC⊥平面AA1O,所以BC⊥A1O,所以∠AOA1是二面角A1-BC-A的平面角,在Rt△AA1O中,AA1=,AO=AB=,∠A1AO=90°,所以∠AOA1=45°,即二面角A1-BC-A等于45°.答案:45°【变式备选】一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角()A.相等B.互补C.不确定D.相等或互补【解析】选C.举例如下:开门的过程中,门所在平面及门轴所在墙面分别垂直于地面与另一墙面,但门所在平面与门轴所在墙面所成二面角的大小不定,而另一二面角却是90°,所以这两个二面角不一定相等或互补.7.【解析】连接AC.因为PA=AB=a,PB=a,所以PA2+AB2=PB2,所以PA⊥AB.同理可证PA⊥AD.又AB∩AD=A,所以PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AC,所以PC=== a.答案: a8.【解析】如图,设AB=BC=CD=AD=a,取BD的中点F,连接AF,CF,则由题意可得AF=CF=a,∠AFC=90°.在Rt△AFC中,易得AC=a,所以△ACD为正三角形,又因为E是CD的中点,所以AE⊥CD,所以∠AED=90°.答案:90°9.【证明】由题意得CO⊥AO,BO⊥AO,所以∠BOC是二面角B-AO-C的平面角.又因为二面角B-AO-C是直二面角,所以∠BOC=90°,所以CO⊥BO.又因为AO∩BO=O,所以CO⊥平面AOB.因为CO⊂平面COD,所以平面COD⊥平面AOB.10.【解题指南】(1)关键是根据△PDB是正三角形,D是AB的中点证明PA⊥PB.(2)关键是证明BC⊥平面PAC.【证明】(1)因为△PDB是正三角形,所以∠BPD=60°.因为D是AB的中点,所以AD=BD=PD.又∠ADP=120°,所以∠DPA=30°,所以∠DPA+∠BPD=90°,即∠APB=90°,所以PA⊥PB.又PA⊥PC,PB∩PC=P,所以PA⊥面PBC.(2)因为PA⊥面PBC,所以PA⊥BC.因为∠ACB=90°,所以AC⊥BC.又PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC.因为BC⊂平面ABC,所以平面PAC⊥平面ABC.11.【解析】(1)因为AB∥CD,所以∠PBA是PB与CD所成的角,即∠PBA=45°,所以在Rt△PAB中,PA=AB=a.①V P-ABCD=·PA·S ABCD=·a·(a+2a)a=a3.②因为AB⊥AD,CD∥AB,所以CD⊥AD.因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD.又PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD,所以∠PDA是二面角P-CD-B的平面角.在Rt△PDA中因为PA=AD=a,所以∠PDA=45°,二面角P-CD-B的大小为45°.(2)当点E在线段PC上,且满足PE∶EC=1∶2时,平面EBD⊥平面ABCD.理由如下:连接AC,BD交于O点,连接EO.由△AOB∽△COD,且CD=2AB,所以CO=2AO,所以PE∶EC=AO∶CO =1∶2,所以PA∥EO.因为PA⊥底面ABCD,所以EO⊥底面ABCD.又EO 平面EBD,所以平面EBD⊥平面ABCD.。
平面与平面垂直的判定试题含答案
平面与平面垂直的判定学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是（）①面PAB⊥面PBC②面PAB⊥面PAD③面PAB⊥面PCD④面PAB⊥面PAC．A.①②B.①③C.②③D.②④2. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，二面角D1−BC−D的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.π23. 如图，以等腰三角形ABC的斜边BC上的高AD位折痕，将△ABD和△ACD折起，使折起后的△ABC成等边三角形，则二面角C−AB−D的余弦值等于（）A.√22B.√63C.13D.√334. 如图，四棱锥P−ABCD的侧面PAB⊥底面ABCD，△PAB为等边三角形，AB=AD=2BC=2，AB⊥AD，AD//BC，点H为PB的中点，则直线HD与底面ABCD所成的角的正弦值为( )A.√2114B.5√714C.√77D.√335. 两个平面平行的条件是（）A.一个平面内一条直线平行于另一个平面B.一个平面内两条直线平行于另一个平面C.一个平面内的无数条直线平行于另一个平面D.一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面6. 已知两条不同直线m、l，两个不同平面α、β，在下列条件中，可得出α⊥β的是（）A.m⊥l，l // α，l // βB.m⊥l，α∩β，m⊂αC.m // l，m⊥α，l⊥βD.m // l，l⊥β，m⊂α7. 已知PD⊥矩形ABCD所在的平面，图中相互垂直的平面有（）A.2对B.3对C.4对D.5对8. 棱锥的正视图和侧视图都是正三角形，俯视图是正方形，则其侧面与底面所成二面角的大小是（）A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘9. 把正三角形ABC沿高AD折成二面角B−AD−C后，BC=12AB，则二面角B−AD−C为（）A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘10. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，平面A1BD与平面C1BD所成二面角的余弦值为（）A.1 2B.13C.√32D.√3311. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，则二面角P−CD−B的大小是________．12. 面面垂直的判定定理：文字语言：________；符号语言：________．13. 设a、b是异面直线，α、β是两个平面，且a⊥α，b⊥β，a⊄β，b⊄α，则当________（填上一种条件即可）时，有α⊥β．14. 边长为1的等边三角形ABC中，沿BC边高线AD折起，使得折后二面角B−AD−C为60∘，则点A到BC的距离为________，点D到平面ABC的距离为________．15. 已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是________．16. 如图，等腰梯形ABCD中，AB//CD, AD=AB=BC=1, CD=2，E为CD中点，AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）.(1)证明：平面POB⊥平面ABCE；(2)若直线PB与平面ABCE所成的角为π4，求二面角A−PE−C的余弦值.17. 如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2AB，F是CD的中点．（1）求证：平面CBE⊥平面CDE；（2）求二面角C−BE−F的余弦值．18. 如图，在Rt△ABC中，AC=BC，PA⊥平面ABC，PB与平面ABC成60∘角.(1)求证：平面PBC⊥平面PAC；(2)求二面角C−PB−A的正切值．19. 如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，AC与BD交于点G，PB=PD．(1)求证：平面PAC⊥平面ABCD；(2)若∠ABC=60∘，PA=PC=AB=2，E为PD的中点，求二面角E−AC−D的大小．20. 如图三棱锥P−ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，BC=√3AC=2√3，PB=3√2，且PB与平面ABC所成的角为45∘，求二面角P−BC−A的正切值．21. 如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：(1)直线EF // 面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.22. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥ABCD，ABCD为正方形．AD=PD=2，E，F，GPC，PD，CB，AP // EGF，求二面角G−EF−D的大小．23. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA // BE，AB ＝PA＝2BE＝4．(Ⅰ)求证：CE // 平面PAD；(Ⅱ)在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求AF的值；如果AB不存在，说明理由．24. 如图平面SAC⊥平面ACB，△SAC是边长为4的等边三角形，△ACB为直角三角形，∠ACB=90∘，BC=4√2，求二面角S−AB−C的余弦值．25. 以正方形ABCD的对角线BD为棱折成直二面角，连接AC，求二面角A−CD−B的余弦值．26. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=√3，∠ABC=60∘．(1)求异面直线AB与A1C的距离；(2)求二面角A−A1C−B的余弦值．27. 已知正方体ABCD−A′B′C′D′中，E是AA′棱的中点．求平面BEC′与平面ABCD所成的角的余弦值．28. 在四面体ABCD中，AB=3，AC=AD=2，且∠DAC=∠BAC=∠BAD=60∘，求证：平面BCD⊥平面ADC．29. 在四棱锥P−ABCD中，AD // BC，∠ABC=∠APB=90∘，点M是线段AB上的一点，且PM⊥CD，AB=BC=2PB=2AD=4BM．(1)证明：面PAB⊥面ABCD；(2)求平面PAB与平面PCD的二面角的正弦值．30. 如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD．请指出图中所有互相垂直的平面，并说明理由．31. 如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB // EF，矩形ABCD和圆O所在的平面互相垂直，已知AB=2，EF=1.(1)求证：平面DAF⊥平面CBF；(2)当AD的长为何值时，二面角D−FE−B的大小为60∘.32. 在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC=60∘，A1A=AC=BC=1，A1B=√2．（1）求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1；（2）如果D为AB中点，求证：BC1 // 平面A1CD．33. 如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=1，∠ACB=90∘，AA1=√2，D是A1B1中点．（1）求证C1D⊥平面AA1B1B；（2）当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．34. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点．求证：平面D1EF // 平面BDG．35. 如图，三棱锥P−ABC中，PA⊥面ABC，AC⊥BC，求证：面PAC⊥面PBC．36. 在四棱锥P−ABCD中，侧面PDC是边长2的正三角形且与底面ABCD垂直，底面ABCD是面积为2√3的菱形，∠ADC为锐角．(1)求证：PA⊥CD(2)求二面角P−AB−D的大小．37. 如图，已知空间四边形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E是AB的中点．求证：（1）AB⊥平面CDE；（2）平面CDE⊥平面ABC．38. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥AD，底面四边形ABCD为直角梯形，AD＝λBC，AD // BC，∠BCD＝90∘，M为线段PB上一点．(Ⅰ)若λ=1，则在线段PB上是否存在点M，使得AM // 平面PCD？若存在，请确定M3点的位置；若不存在，请说明理由；(Ⅱ)已知PA＝2，AD＝1，若异面直线PA与CD成90∘角，二而角B−PC−D的余弦值为−√10，求CD的长．1039. 如图，已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=2，M、N分别是棱CC1、AB的中点．求证：平面MCN⊥平面ABB1A1．40. 如图1所示，Rt△ABC中，BC=2，CA=3，点P在线段AB上，将△BPC沿CP折成直二面角S−CP−A（点B与点S重合），且SA=√7（图2）．（1）求∠SCP的度数；（2）求二面角P−SC−A的余弦值．参考答案与试题解析平面与平面垂直的判定一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】A【考点】平面与平面垂直【解析】由于PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以PA所在的平面与底面垂直，又ABCD为正方形，故又存在一些线线垂直关系，从而可以得到线面垂直，进而可以判定面面垂直．【解答】证明：由于BC⊥AB，由PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以BC⊥PA，易证BC⊥平面PAB，则平面PAB⊥平面PBC；又AD // BC，故AD⊥平面PAB，则平面PAD⊥平面PAB．2.【答案】B【考点】二面角的平面角及求法【解析】此题暂无解析【解答】解：∵因为几何体ABCD−A1B1C1D1是正方体，∴D1C⊥BC，DC⊥BC，∴∠D1CD是二面角D1−BC−D的平面角．∵∠D1CD=π，4∴二面角D1−BC−D的大小为π.4故选B.3.【答案】D【考点】二面角的平面角及求法【解析】设AB中点为E，AD=a，连接CE，DE，则∠CED为所求二面角，证明CD⊥DE，即可求得二面角C−AB−D的余弦值．【解答】解：设AB中点为E，AD=a，连接CE，DE，∵AD=DB，CA=CB∴AB⊥DE，AB⊥CE∴∠CED为所求二面角，∵AD=a，∴DE=√22a，CE=√32AB=√62a，CD=a，∴CE2=CD2+DE2∴CD⊥DE∴cos∠CED=DECE =√22a√62a=√33故选D．4.【答案】A【考点】二面角的平面角及求法【解析】此题暂无解析【解答】解：作HE⊥AB于E，连接ED，BD，∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴HE⊥底面ABCD，∵ED⊂底面ABCD，∴HE⊥ED，∴∠HDE即为直线HD与底面ABCD所成的角，设AB=AD=2BC=2，又∵△PAB为等边三角形，∴BH=12BP=12AB=1，BE=14AB=12，∴HE=√32，BD=√AB2+AD2=2√2，∴HD=√BD2−BH2=√7，∴sin∠HDE=HEHD =√2114.故选A.5.【答案】D【考点】平面与平面垂直的判定【解析】排除法，逐一检验答案，①②③可通过特例说明是错误的．④说明两个平面无公共点，是正确的．【解答】解：①如图l // β，l⊂α，但α，β却相交．①错②如图l // β，l⊂α，m // β，m⊂α但α，β却相交．②错③类似于②在α内有无数与l平行的直线，它们均与β平行，但α，β却相交，③错④可知，两个平面无公共点，它们平行．④对故选D．6.【答案】D【考点】平面与平面垂直的判定【解析】对每一个答案进行逐一判定，将由条件可能推出的其它的结论也列举出来．即可得到答案．【解答】解：对于A；l // α，l // β，α与β可以平行，相交；故A不正确．对于B；α与β可以平行，相交；故B不正确．对于C；m // l，m⊥α⇒l⊥α；l⊥β⇒α // β．故C不正确．对于D:m // l，l⊥β⇒m⊥β，m⊂α⇒α⊥β．故D正确．故选：D．7.【答案】D【考点】平面与平面垂直的判定【解析】直接利用面面垂直的判定定理判断即利用题目中的条件找出线面垂直即可．【解答】解：∵PD⊥矩形ABCD所在的平面且PD⊆面PDA，PD⊆面PDC，∴面PDA⊥面ABCD，面PDC⊥面ABCD，又∵四边形ABCD为矩形∴BC⊥CD，CD⊥AD∵PD⊥矩形ABCD所在的平面∴PD⊥BC，PD⊥CD∵PD∩AD=D，PD∩CD=D∴CD⊥面PAD，BC⊥面PDC，AB⊥面PAD，∵CD⊆面PDC，BC⊆面PBC，AB⊆面PAB，∴面PDC⊥面PAD，面PBC⊥面PCD，面PAB⊥面PAD综上相互垂直的平面有5对故答案选D8.【答案】C【考点】二面角的平面角及求法【解析】利用棱锥的三视图，可知该棱锥是正四棱锥，则正视图的底角即为侧面与底面所成二面角．【解答】解：因为棱锥的正视图和侧视图都是正三角形，俯视图是正方形，所以该棱锥是正四棱锥，如图：过G作底面的射影O，则△GEF为正视图，且GE=EF，因为EF⊥BC，所以GE⊥BC，即∠GEO为侧面和底面所成的二面角．因为△GEF为正三角形，所以∠GEF=60∘，所以侧面与底面所成二面角的大小是60∘．故选C．9.【答案】C【考点】二面角的平面角及求法【解析】根据AD⊥BC于D，易得沿AD折成二面角B−AD−C后，∠BDC即为二面角B−AD−C的平面角，解△BDC即可求出二面角B−AD−C的大小．【解答】解：∵ AD ⊥BC ，∴ 沿AD 折成二面角B −AD −C 后，AD ⊥BD ，AD ⊥CD故∠BDC 即为二面角B −AD −C 的平面角又∵ BD =CD =BC =12AB ，∴ ∠BDC =60∘故选C ．10.【答案】B【考点】二面角的平面角及求法【解析】根据正方体分段性质得出∠A 1OC 1为平面A 1BD 与平面C 1BD 所成二面角的夹角，在△A 1OC 1中运用余弦定理求解即可．【解答】解：取BD 中的O ，连接，OB ，OA 1，A 1C 1，∵ 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，设棱长为1，∴ A 1C 1=√2，OB =OA 1=√62， 根据正方体的几何性质得出BD ⊥OA ，BD ⊥OC ，BD ⊥AA 1，BD ⊥CC 1， ∴ BD ⊥面OAA 1，BD ⊥平面OCC 1，OA 1⊂面OAA 1，OC 1⊂平面OCC 1，∴ BD ⊥OA 1，BD ⊥OC 1，∴ ∠A 1OC 1为平面A 1BD 与平面C 1BD 所成二面角的夹角，∴ 在△A 1OC 1中，cos ∠A 1OC 1=32+32−22×√62×√62=13故选：B二、 填空题 （本题共计 5 小题 ，每题 3 分 ，共计15分 ）11.【答案】45∘【考点】二面角的平面角及求法【解析】直接利用已知条件求出二面角的平面角，再进一步求出结果【解答】解：在四棱锥P −ABCD 中，底面四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，所以：PA ⊥CD ，CD ⊥AD ，CD ⊥平面PAD ，所以：PD ⊥CD ，∠PDA 即为二面角P −CD −B 的平面角，由于PA =AD ，所以：∠PDA =45∘，即二面角P −CD −B 的大小是45∘．故答案为：45∘．12.【答案】一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直,{a ⊂αa ⊥β⇒α⊥β【考点】平面与平面垂直的判定【解析】平面与平面垂直的判定定理：需要两个条件，线面垂直，线在面内，可得面面垂直．进而用符号语言表示后，可得答案．【解答】解：平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直，用符号语言表示为：{a ⊂αa ⊥β⇒α⊥β，故答案为：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直，{a ⊂αa ⊥β⇒α⊥β．13.【答案】a ⊥b【考点】平面与平面垂直的判定【解析】从条件a ⊥α结合α⊥β，则有a // β或a ⊂β，再由b ⊥β，a ⊄β，可得a ⊥b ．【解答】解：∵ a ⊥α，α⊥β∴ a // β或a ⊂β又∵ b ⊥β，a ⊄β∴ a ⊥b故答案为：a ⊥b14.【答案】√154,√1510【考点】二面角的平面角及求法【解析】根据条件确定AE 为点A 到直线BC 的距离，DH 为点D 到面ABC 的距离，然后利用边长关系进行求值即可．【解答】解：如图，过D 点作DE ⊥BC ，连AE ，则AE ⊥BC∴ AE 为点A 到直线BC 的距离在直角三角形ADE 中，AE =√AD 2+DE 2=√(√32)2+(12⋅√32)2=√154． 又BC 面ADE ，且BC ⊂面ABC ，∴ 面ABC ⊥面ADE ，AE 为高线，作DH ⊥AE 于H ，则DH ⊥面ABC∴ DH 为点D 到面ABC 的距离，由DH ⋅AE =AD ⋅DE 得DH =√32⋅√34√154=√1510． 故答案为：√154，√1510．15.【答案】√53【考点】二面角的平面角及求法【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出截面AEFD 1与底面ABCD 所成二面角的正弦值．【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， A(1, 0, 0)，E(12,1,0)，F(0, 1, 12)，AE →=(−12, 1, 0)，AF →=(−1, 1, 12)，设平面AEFD 1的法向量n →=(x, y, z)，则{n →⋅AF →=−x +y +12z =0˙，取x =2，得n →=(2, 1, 2)， 平面ABCD 的法向量m →=(0, 0, 1)，截面AEFD 1与底面ABCD 所成二面角为θ，cos θ=|m →|⋅|n →|˙=23， ∴ sin θ=√1−(23)2=√53． ∴ 截面AEFD 1与底面ABCD 所成二面角的正弦值是√53．故答案为：√53．三、 解答题 （本题共计 25 小题 ，每题 10 分 ，共计250分 ）16.【答案】(1)证明：在△PAE 中，OP ⊥AE ，在△BAE 中，OB ⊥AE ，又OP ∩OB =O ，∴ AE ⊥平面POB ，又AE ⊂平面ABCE ，∴ 平面POB ⊥平面ABCE .(2)在平面POB 内作PQ ⊥OB 与Q ，∴ PQ ⊥平面ABCE . ∴ 直线PB 与平面ABCE 夹角为∠PBQ =π4， 又∵ OP =OB ，∴ OP ⊥OB ，O ，Q 两点重合， 即OP ⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴， 建立空间直角坐标系O −xyz ，由题意得P (0,0,√32), E (12,0,0), C (1,√32,0)， ∴ PE →=(12,0,−√32), EC →=(12,√32,0)， 设平面PCE 的一个法向量为n →1=(x,y,z)，则{PE →⋅n 1→=0EC →⋅n 1→=0，即{12x −√32z =012x +√32y =0，不妨设x =√3， 则y =−1，z =1，得n 1→=(√3,−1,1)，同理得平面PAE 的一个法向量n 2→=(0,1,0)， 设二面角A −P −EC 为α，|cos α|=|n 1→⋅n 2→||n 1→∥n 2→|=1⋅√5=√55. 即二面角A −P −EC 为α的余弦值为−√55. 【考点】二面角的平面角及求法平面与平面垂直的判定 【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：在△PAE 中，OP ⊥AE ，在△BAE 中，OB ⊥AE ，又OP ∩OB =O ，∴ AE ⊥平面POB ，又AE ⊂平面ABCE ，∴ 平面POB ⊥平面ABCE .(2)在平面POB 内作PQ ⊥OB 与Q ，∴ PQ ⊥平面ABCE .∴ 直线PB 与平面ABCE 夹角为∠PBQ =π4， 又∵ OP =OB ，∴ OP ⊥OB ，O ，Q 两点重合，即OP ⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系O −xyz ，由题意得P (0,0,√32), E (12,0,0), C (1,√32,0)， ∴ PE →=(12,0,−√32), EC →=(12,√32,0)， 设平面PCE 的一个法向量为n →1=(x,y,z)，则{PE →⋅n 1→=0EC →⋅n 1→=0，即{12x −√32z =012x +√32y =0，不妨设x =√3， 则y =−1，z =1，得n 1→=(√3,−1,1)，同理得平面PAE 的一个法向量n 2→=(0,1,0)，设二面角A −P −EC 为α，|cos α|=|n 1→⋅n 2→||n 1→∥n 2→|=1⋅√5=√55. 即二面角A −P −EC 为α的余弦值为−√55. 17. 【答案】（1）证明：因为DE ⊥平面ACD ，DE ⊂平面CDE ，所以平面CDE ⊥平面ACD ．在底面ACD 中，AF ⊥CD ，由面面垂直的性质定理知，AF ⊥平面CDE ．取CE 的中点M ，连接BM 、FM ，由已知可得FM =AB 且FM // AB ，则四边形FMBA 为平行四边形，从而BM // AF ． 所以BM ⊥平面CDE ．又BM⊂平面BCE，则平面CBE⊥平面CDE．…（2）解：过F作FN⊥CE交CE于N，过N作NH⊥BE，连接HF，则∠NHF就是二面角C−BE−F的平面角．在Rt△FNH中，NH=√62√5，FH=√5，所以cos∠NHF=NHFH =3√68故二面角C−BE−F的余弦值为3√68…【考点】二面角的平面角及求法平面与平面垂直的判定【解析】（1）取CE的中点M，连接BM、FM，通过证明BM⊥平面CDE，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面BCE⊥平面CDE．（2）过F作FN⊥CE交CE于N，过N作NH⊥BE，连接HF，则∠NHF就是二面角C−BE−F的平面角．【解答】（1）证明：因为DE⊥平面ACD，DE⊂平面CDE，所以平面CDE⊥平面ACD．在底面ACD中，AF⊥CD，由面面垂直的性质定理知，AF⊥平面CDE．取CE的中点M，连接BM、FM，由已知可得FM=AB且FM // AB，则四边形FMBA为平行四边形，从而BM // AF．所以BM⊥平面CDE．又BM⊂平面BCE，则平面CBE⊥平面CDE．…（2）解：过F作FN⊥CE交CE于N，过N作NH⊥BE，连接HF，则∠NHF就是二面角C−BE−F的平面角．在Rt△FNH中，NH=√62√5，FH=√5，所以cos∠NHF=NHFH =3√68故二面角C−BE−F的余弦值为3√68…18.【答案】(1)证明：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA，又∵BC⊥AC，且AC∩PA=A，∴BC⊥平面PAC，而BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC；(2)解：取AB的中点D，过D作DE⊥PB交PB于E，连接CE，∵PA⊥平面ABC，∴平面PAB⊥平面ABC，∴CD⊥平面PAB，而PB⊂平面PAB，∴PB⊥CD，∴∠CED就是C−PB−A的二面角，令AC=2，则BC=2，在Rt△ABC中，AC=BC，∴AB=2√2，∴CD=√2，又∵PB与平面ABC成60∘角，PA⊥平面ABC，∴∠PBA=60∘，∴PB=4√2，PA=2√6，易知△PAB∼△DEB，∴DE=√62，在Rt△CDE中，tan∠CED=CDDE =√2√62=2√33．∴二面角C−PB−A的正切值为2√33．【考点】二面角的平面角及求法平面与平面垂直的判定【解析】（1）证明BC⊥PA，然后证明BC⊥平面PAC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面PBC⊥平面PAC；（2）取AB的中点D，过D作DE⊥PB交PB于E，连接CE，说明∠CED就是二面角C−PB−A的平面角，通过在Rt△CDE中，求出二面角C−PB−A的正切值．【解答】(1)证明：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA，又∵BC⊥AC，且AC∩PA=A，∴BC⊥平面PAC，而BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC；(2)解：取AB的中点D，过D作DE⊥PB交PB于E，连接CE，∵PA⊥平面ABC，∴平面PAB⊥平面ABC，∴CD⊥平面PAB，而PB⊂平面PAB，∴PB⊥CD，∴∠CED就是C−PB−A的二面角，令AC=2，则BC=2，在Rt△ABC中，AC=BC，∴AB=2√2，∴CD=√2，又∵PB与平面ABC成60∘角，PA⊥平面ABC，∴∠PBA=60∘，∴PB=4√2，PA=2√6，易知△PAB∼△DEB，∴DE=√62，在Rt△CDE中，tan∠CED=CDDE =√2√62=2√33．∴二面角C−PB−A的正切值为2√33．19.【答案】(1)证明：连接PG，∵底面ABCD为菱形，∴G为BD的中点.又PB=PD，∴BD⊥PG.又BD⊥AC，AC，PG⊂平面PAC，AC∩PG=G，∴BD⊥平面PAC.又BD⊂平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD．(2)解：连接EG，∵PA=PC，且G为AC的中点，∴PG⊥AC.又BD⊥AC，BD，PG⊂平面PBD，BD∩PG=G，∴AC⊥平面PBD.∵EG⊂平面PBD，∴AC⊥EG，∴∠EGD是二面角E−AC−D的平面角，由题意PG=DG=√3.在Rt△PGD中，GE=DE=√62，∴tan∠EGD=DEGE=1.∵∠EGD∈(0, π2)，∠EGD=π4，∴二面角E−AC−D的大小为π4．【考点】平面与平面垂直的判定二面角的平面角及求法【解析】（1）连结PG，推导出BD⊥PG，BD⊥AC，从而BD⊥平面PAC，由此能证明平面PAC⊥平面ABCD．（2）连结EG，推导出PG⊥AC，BD⊥AC，从而AC⊥平面PBD，进而∠EGD是二面角E−AC−D的平面角，由此能求出二面角E−AC−D的大小．【解答】(1)证明：连接PG，∵底面ABCD为菱形，∴G为BD的中点.又PB=PD，∴BD⊥PG.又BD⊥AC，AC，PG⊂平面PAC，AC∩PG=G，∴BD⊥平面PAC.又BD⊂平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD．(2)解：连接EG，∵PA=PC，且G为AC的中点，∴PG⊥AC.又BD⊥AC，BD，PG⊂平面PBD，BD∩PG=G，∴AC⊥平面PBD.∵EG⊂平面PBD，∴AC⊥EG，∴∠EGD是二面角E−AC−D的平面角，由题意PG=DG=√3.在Rt△PGD中，GE=DE=√62，∴tan∠EGD=DEGE=1.∵∠EGD∈(0, π2)，∠EGD=π4，∴二面角E−AC−D的大小为π4．20.【答案】解：过点P在平面PAB内作PD⊥AB于D，过D点在平面ABC内作DE⊥BC于E，连结PE−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−∵平面PAB⊥平面ABC，且平面PAB⊥平面ABC=AB∴PD⊥平面ABC∴∠PBC即直线PB与平面ABC所成的角，且PD⊥BC∴∠PBC=45∘−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−∴在Rt△PDB中，由PB=3√2得：PD=BD=3又∵DE⊥BC，且PD⊥BC∴BC⊥平面PDE∴BC⊥PE∴∠PED即二面角P−BC−A的平面角，------------------又∵△ABC中，AC⊥CB，BC=√3AC=2√3知，∠CBA=30∘∴在Rt△DBE中：DE=12BD=32．∴在Rt△PDE中：tan∠PDE=PDDE =332=2，即二面角P−BC−A的正切值为2．----------【考点】二面角的平面角及求法【解析】过点P在平面PAB内作PD⊥AB于D，过D点在平面ABC内作DE⊥BC于E，连结PE，可得∠PBC即直线PB与平面ABC所成的角，结合已知可证得∠PED即二面角P−BC−A的平面角，解△ABC，Rt△DBE和Rt△PDE可得答案．【解答】解：过点P在平面PAB内作PD⊥AB于D，过D点在平面ABC内作DE⊥BC于E，连结PE−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−∵平面PAB⊥平面ABC，且平面PAB⊥平面ABC=AB∴PD⊥平面ABC∴∠PBC即直线PB与平面ABC所成的角，且PD⊥BC∴∠PBC=45∘−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−∴在Rt△PDB中，由PB=3√2得：PD=BD=3又∵DE⊥BC，且PD⊥BC∴BC⊥平面PDE∴BC⊥PE∴∠PED即二面角P−BC−A的平面角，------------------又∵△ABC中，AC⊥CB，BC=√3AC=2√3知，∠CBA=30∘∴在Rt△DBE中：DE=12BD=32．∴在Rt△PDE中：tan∠PDE=PDDE =332=2，即二面角P−BC−A的正切值为2．----------21.【答案】证明：(1)在△ABD 中，E ，F 分别是AB ，BD 的中点，EF//AD ，又AD ⊂平面ACD ，EF ⊄平面ACD ，直线EF//平面ACD .(2)在△ABD 中，∵ AD ⊥BD ，EF//AD ，∴ EF ⊥BD ，在△BCD 中，CD =CB ，F 为BD 的中点，∴ CF ⊥BD ，∵ CF ∩EF =F ，∴ BD ⊥平面EFC ，又BD ⊂平面BCD ，∴ 平面EFC ⊥平面BCD ．【考点】直线与平面平行的判定平面与平面垂直的判定【解析】（1）只要证明EF/AD ，利用线面平行的判定解答；（2）只要证明BD 平面EFC 即可【解答】证明：(1)在△ABD 中，E ，F 分别是AB ，BD 的中点，EF//AD ，又AD ⊂平面ACD ，EF ⊄平面ACD ，直线EF//平面ACD ．(2)在△ABD 中，∵ AD ⊥BD ，EF//AD ，∴ EF ⊥BD ，在△BCD 中，CD =CB ，F 为BD 的中点，∴ CF ⊥BD ，∵ CF ∩EF =F ，∴ BD ⊥平面EFC ，又BD ⊂平面BCD ，∴ 平面EFC ⊥平面BCD ．22.【答案】解：建立空间直角坐标系D −xyz ，则P(0, 0, 2)，C(0, 2, 0)，G(1, 2, 0)，E(0, 1, 1)，F(0, 0, 1)，A(2, 0, 0)． ∴ AP →=(−2,0,2)，EF →=(0,−1,0)，EG →=(1,1,−1)设平面EFG 的法向量为：n →=(x,y,z)所以：{n →⋅EG →=0˙解得：n →=(1,0,1)∵ 底面ABCD 是正方形∴ AD ⊥CD∵ PD ⊥ABCD∴ AD ⊥PD∴ AD ⊥平面PCD∴ DA →是平面PCD 的法向量，DA →=(2,0,0)所以：cos <DA ¯，n →>=|DA →|⋅|n →|˙=√22 所以：二面角G −EF −D 的大小为45∘【考点】二面角的平面角及求法【解析】首先建立空间直角坐标系，进一步求出平面EFG 的法向量，再利用DA →是平面PCD 的法向量，利用向量的数量积求出二面角的大小．【解答】解：建立空间直角坐标系D −xyz ，则P(0, 0, 2)，C(0, 2, 0)，G(1, 2, 0)，E(0, 1, 1)，F(0, 0, 1)，A(2, 0, 0)． ∴ AP →=(−2,0,2)，EF →=(0,−1,0)，EG →=(1,1,−1)设平面EFG 的法向量为：n →=(x,y,z)所以：{n →⋅EG →=0˙解得：n →=(1,0,1)∵ 底面ABCD 是正方形∴ AD ⊥CD∵ PD ⊥ABCD∴ AD ⊥PD∴ AD ⊥平面PCD∴ DA →是平面PCD 的法向量，DA →=(2,0,0)所以：cos <DA ¯，n →>=|DA →|⋅|n →|˙=√22所以：二面角G −EF −D 的大小为45∘23. 【答案】（1）证明：BE // PA ，PA ⊂平面PAD ，BE ⊄平面PAD ；∴ BE // 平面PAD ；同理，∵ ABCD 为正方形，∴ BC // AD ，∴ BC // 平面PAD ；又BC ∩BE ＝B ；∴ 平面EBC // 平面PAD ，CE ⊂平面EBC ；∴ CE // 平面PAD ；（2）分别以边AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：B(4, 0, 0)，C(4, 4, 0)，E(4, 0, 2)，P(0, 0, 4)，D(0, 4, 0)；∴ PC →=(4,4,−4)，PE →=(4,0,−2)，PD →=(0,4,−4)；设平面PCE 的一个法向量为m →=(x,y,z)；∴ {m →⋅PC →=0m →⋅PE →=0⇒{x +y −z =02x −z =0 ；令x ＝1，则{x =1y =1z =2，∴ m →=(1,1,2)；可设F(a, 0, 0)，则FE →=(4−a,0,2)，DE →=(4,−4,2)；设平面DEF 的一个法向量为n →=(x,y,z)，则{n →⋅DE →=0n →⋅FE →=0⇒{2x −2y +z =0(4−a)x +2z =0 ； 令x ＝2，则{x =2y =a 2z =a −4，∴ n →=(2,a2,a −4)；由平面DEF ⊥平面PCE ，得m →⋅n →=0，即2+a2+2a −8=0，a =125<4；∴ 点F(125,0,0)；∴ AFAB =35． 【考点】直线与平面平行 平面与平面垂直【解析】(Ⅰ)根据已知条件便可证明平面BCE // 平面PAD ，从而便得到CE // 平面PAD ； (Ⅱ)首先分别以AB ，AD ，AP 三直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，要使平面DEF ⊥平面PCE ，便有这两平面的法向量垂直，设F(a, 0, 0)，平面PCE 的法向量为m →=(x,y,z)，根据{m →⋅PC →=0m →⋅PE →=0 即可求出m →，同样的办法表示出平面DEF 的法向量n →，根据m →⋅n →=0即可求出a ，从而求出AFAB ．【解答】（1）证明：BE // PA ，PA ⊂平面PAD ，BE ⊄平面PAD ； ∴ BE // 平面PAD ；同理，∵ ABCD 为正方形，∴ BC // AD ，∴ BC // 平面PAD ； 又BC ∩BE ＝B ；∴ 平面EBC // 平面PAD ，CE ⊂平面EBC ； ∴ CE // 平面PAD ；（2）分别以边AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：B(4, 0, 0)，C(4, 4, 0)，E(4, 0, 2)，P(0, 0, 4)，D(0, 4, 0)； ∴ PC →=(4,4,−4)，PE →=(4,0,−2)，PD →=(0,4,−4)； 设平面PCE 的一个法向量为m →=(x,y,z)； ∴ {m →⋅PC →=0m →⋅PE →=0 ⇒{x +y −z =02x −z =0 ； 令x ＝1，则{x =1y =1z =2，∴ m →=(1,1,2)；可设F(a, 0, 0)，则FE →=(4−a,0,2)，DE →=(4,−4,2)；设平面DEF 的一个法向量为n →=(x,y,z)，则{n →⋅DE →=0n →⋅FE →=0⇒{2x −2y +z =0(4−a)x +2z =0 ； 令x ＝2，则{x =2y =a 2z =a −4，∴ n →=(2,a2,a −4)；由平面DEF ⊥平面PCE ，得m →⋅n →=0，即2+a2+2a −8=0，a =125<4；∴ 点F(125,0,0)； ∴ AFAB =35． 24.【答案】解：过S 点作SD ⊥AC 于D ，过D 作DM ⊥AB 于M ，连接SM ，则∵ 平面SAC ⊥平面ACB ∴ SD ⊥平面ACB ∴ SM ⊥AB 又∵ DM ⊥AB∴ ∠DMS 为二面角S −AB −C 的平面角 在△SAC 中SD =4×√32=2√3在△ACB 中过C 作CH ⊥AB 于H∵ AC =4，BC =4√2 ∴ AB =4√3∵ S =12AB ⋅CH =12AC ⋅BC ∴ CH =AC⋅BC AB =4⋅4√24√3=4√2√3∵ DM // CH 且AD =DC ∴ DM =12CH =2√2√3∵ SD ⊥平面ACB ，DM ⊂平面ACB ∴ SD ⊥DM在RT △SDM 中，SM =√SD 2+DM 2=√(2√3)2+(2√2√3)2=2√113，∴ cos ∠DMS =DM SM=√2211． 【考点】二面角的平面角及求法 【解析】过S 点作SD ⊥AC 于D ，过D 作DM ⊥AB 于M ，连接SM ，则∠DMS 为二面角S −AB −C 的平面角，求出DM ，SM ，即可得出结论． 【解答】解：过S 点作SD ⊥AC 于D ，过D 作DM ⊥AB 于M ，连接SM ，则∵ 平面SAC ⊥平面ACB ∴ SD ⊥平面ACB ∴ SM ⊥AB 又∵ DM ⊥AB∴ ∠DMS 为二面角S −AB −C 的平面角 在△SAC 中SD =4×√32=2√3在△ACB 中过C 作CH ⊥AB 于H∵ AC =4，BC =4√2 ∴ AB =4√3∵ S =12AB ⋅CH =12AC ⋅BC∴ CH =AC⋅BC AB=4⋅4√24√3=4√2√3∵ DM // CH 且AD =DC ∴ DM =12CH =2√2√3∵ SD ⊥平面ACB ，DM ⊂平面ACB ∴ SD ⊥DM在RT △SDM 中，SM =√SD 2+DM 2=√(2√3)2+(2√2√3)2=2√113，∴ cos ∠DMS =DM SM=√2211． 25.【答案】解：∵ 正方形ABCD 的对角线BD 为棱折成直二面角， ∴ 平面ABD ⊥平面BCD ，又∵ AO ⊥BD ，平面ABD ∩平面BCD =BD ，AO ⊂平面ABD ， ∴ AO ⊥平面BCD ，则OC ，OA ，OD 两两互相垂直. 如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系O −xyz ．则O(0, 0, 0)，A(0, 0, √22)，C(√22, 0, 0)，B(0, −√22, 0)，D(0, √22, 0)，OA →=(0, 0, √22)是平面BCD 的一个法向量． AC →=(√22, 0, −√22)，BC →=(√22, √22, 0)， 设平面ABC 的法向量n →=(x, y, z)， 则n →⋅BC →=0，n →⋅AC →=0． 即√22x −√22z =0，且√22x +√22y =0，所以y =−x ，且z =x ，令x =1，则y =−1，z =1， 解得n →=(1, −1, 1)．从而cos <n →，OA →>=|n →|⋅|OA →|˙=√33， 二面角A −BC −D 的余弦值为√33．【考点】二面角的平面角及求法 【解析】由已知可得AO ⊥平面BCD ，则OC ，OA ，OD 两两互相垂直，以O 为原点，建立空间直角坐标系O −xyz ，分别求出平面ACD 和平面BCD 的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角A −CD −B 的余弦值． 【解答】解：∵ 正方形ABCD 的对角线BD 为棱折成直二面角， ∴ 平面ABD ⊥平面BCD ，又∵ AO ⊥BD ，平面ABD ∩平面BCD =BD ，AO ⊂平面ABD ， ∴ AO ⊥平面BCD ，则OC ，OA ，OD 两两互相垂直. 如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系O −xyz ．则O(0, 0, 0)，A(0, 0, √22)，C(√22, 0, 0)，B(0, −√22, 0)，D(0, √22, 0)， OA →=(0, 0, √22)是平面BCD 的一个法向量． AC →=(√22, 0, −√22)，BC→=(√22, √22, 0)， 设平面ABC 的法向量n →=(x, y, z)，则n →⋅BC →=0，n →⋅AC →=0． 即√22x −√22z =0，且√22x +√22y =0，所以y =−x ，且z =x ，令x =1，则y =−1，z =1， 解得n →=(1, −1, 1)．从而cos <n →，OA →>=|n →|⋅|OA →|˙=√33， 二面角A −BC −D 的余弦值为√33． 26. 【答案】解：(1)∵ AC =√3，AB =1，∠ABC =60∘，∴ ∠BAC =90∘， ∴ BA ⊥AC ．∵ AA 1⊥平面ABC ，∴ BA ⊥AA 1且AC ∩AA 1=A ， ∴ BA ⊥平面AA 1C 1C ．取A 1C 的中点M ，连结AM ，如图所示，则BA ⊥AM .又∵ AA 1=AC ，∴ A 1AC 为等腰三角形， ∴ AM ⊥A 1C ，∴ AM 即为异面直线AB 与A 1C 的距离． ∵ AA 1=√3， ∴ AM =√62． (2)连结BM ，如图所示，由(1)可知AM ⊥A 1C .又∵ AA 1=AC =√3，AB =1， AA 1⊥AB ，AB ⊥AC ， ∴ A 1B =BC =2．∴ △A 1BC 为等边三角形，∴ BM ⊥A 1C ， 则∠AMB 即为二面角A −A 1C −B 的平面角． ∵ AB =1，AM =√62，BM =√102， ∴ cos ∠AMB =AM BM=√155． ∴ 二面角A −A 1C −B 的余弦值为√155. 【考点】直线与平面垂直的判定 点、线、面间的距离计算 二面角的平面角及求法【解析】（1）利用线面垂直判定定理证明 BA ⊥平面AA 1C 1C ，然后取A 1C 中点M 连结AM ．证明AM 即为异面直线AB 与A 1C 的距离．（2）由（1）可知AM ⊥A 1C ，证明BM ⊥A 1C ，则∠AMB 即为所求角．求余弦值即可． 【解答】解：(1)∵ AC =√3，AB =1，∠ABC =60∘， ∴ ∠BAC =90∘， ∴ BA ⊥AC ．∵ AA 1⊥平面ABC ，∴ BA ⊥AA 1且AC ∩AA 1=A ， ∴ BA ⊥平面AA 1C 1C ．取A 1C 的中点M ，连结AM ，如图所示，则BA ⊥AM .又∵ AA 1=AC ，∴ A 1AC 为等腰三角形， ∴ AM ⊥A 1C ，∴ AM 即为异面直线AB 与A 1C 的距离． ∵ AA 1=√3， ∴ AM =√62． (2)连结BM ，如图所示，由(1)可知AM ⊥A 1C .又∵ AA 1=AC =√3，AB =1， AA 1⊥AB ，AB ⊥AC ， ∴ A 1B =BC =2．∴ △A 1BC 为等边三角形，∴ BM ⊥A 1C ， 则∠AMB 即为二面角A −A 1C −B 的平面角． ∵ AB =1，AM =√62，BM =√102， ∴ cos ∠AMB =AMBM =√155． ∴ 二面角A −A 1C −B 的余弦值为√155. 27.【答案】解：以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD′为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则B(2, 2, 0)，E(2, 0, 1)，C ‘(0, 2, 2)， ∴ BE →=(0,−2,1)，BC ′→=(−2,0,2)， 设平面BEC′的法向量n →=(x,y,z)， 则{n →⋅BC ′→=−2x +2z =0˙，取x =1，得n →=(2,1,2)，由题意知平面ABCD 的法向量m →=(0,0,1)， 设平面BEC′与平面ABCD 所成的角的平面角为θ， 则cos θ=cos <m →，n →>=√4+1+4=23．∴ 平面BEC′与平面ABCD 所成的角的余弦值为23．【考点】二面角的平面角及求法 【解析】以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD′为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面BEC′与平面ABCD 所成的角的余弦值． 【解答】解：以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD′为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则B(2, 2, 0)，E(2, 0, 1)，C ‘(0, 2, 2)， ∴ BE →=(0,−2,1)，BC ′→=(−2,0,2)， 设平面BEC′的法向量n →=(x,y,z)， 则{n →⋅BC ′→=−2x +2z =0˙，取x =1，得n →=(2,1,2)，由题意知平面ABCD 的法向量m →=(0,0,1)， 设平面BEC′与平面ABCD 所成的角的平面角为θ， 则cos θ=cos <m →，n →>=√4+1+4=23． ∴ 平面BEC′与平面ABCD 所成的角的余弦值为2．328.【答案】证明：取CD的中点E，连接BE∵AC=AD，CE=ED，∠DAC=60∴AE⊥CD，AC=AD=CD∴CD=2，CE=ED=1CD=1，AE2=AC2−CE2=4−1=32BC2=BD2=AC2+AB2−2AC⋅BCcs∠BAC=4+9−2⋅2⋅3⋅cos60∘=7，△BCD是等腰三角形．∴BE⊥CD，BE∩AE=E，∴CD⊥平面ABE，且BE2=BC2−CE2=7−1=6∴AE2+BE2=3+6=9=AB2∴BE⊥AE，∴AE⊥面BCD∴平面BCD⊥平面ADC．【考点】平面与平面垂直的判定【解析】取CD的中点E，连接BE，通过计算证明BE⊥CD，AE⊥CD，推出AE⊥面BCD，推出平面BCD⊥平面ADC．【解答】证明：取CD的中点E，连接BE∵AC=AD，CE=ED，∠DAC=60∴AE⊥CD，AC=AD=CD∴CD=2，CE=ED=1CD=1，AE2=AC2−CE2=4−1=32BC2=BD2=AC2+AB2−2AC⋅BCcs∠BAC=4+9−2⋅2⋅3⋅cos60∘=7，△BCD是等腰三角形．∴BE⊥CD，BE∩AE=E，∴CD⊥平面ABE，且BE2=BC2−CE2=7−1=6∴AE2+BE2=3+6=9=AB2∴BE⊥AE，∴AE⊥面BCD∴平面BCD⊥平面ADC．29.【答案】(1)证明：∵AB=2PB=4BM，∴PM⊥AB，又∵PM⊥CD，且AB∩CD，∴PM⊥面ABCD.∵PM⊂面PAB，∴面PAB⊥面ABCD；(2)解：由(1)知：面ABCD⊥面PAB，延长BA与CD交于一点H，作AN⊥PH，连接ND，则∠AND就是平面PAB与平面PCD的二面角的平面角，令AB=BC=2PB=2AD=4BM=4t，∵ADBC =AHBH，解得AH=4t.又AM=3t，PM=√3t，PH=2√13t，△HNA∼△HMP，∴ANPM =AHPH，∴ AN=2√3913t，DN=8√1313，∴sin∠AND=√134，∴平面PAB与平面PCD的二面角的正弦值是√134．【考点】二面角的平面角及求法平面与平面垂直的判定【解析】（1）由已知条件推导出PM⊥AB，从而得到PM⊥面ABCD，由此能证明面PAB⊥面ABCD．（2）延长AB与CD交于一点H，作AN⊥PH，连接ND，则∠AND就是平面PAB与平面PCD的二面角的平面角，由此能求出平面PAB与平面PCD的二面角的正弦值．【解答】(1)证明：∵AB=2PB=4BM，∴PM⊥AB，又∵PM⊥CD，且AB∩CD，∴PM⊥面ABCD.∵PM⊂面PAB，∴面PAB⊥面ABCD；(2)解：由(1)知：面ABCD⊥面PAB，延长BA与CD交于一点H，作AN⊥PH，连接ND，则∠AND就是平面PAB与平面PCD的二面角的平面角，令AB=BC=2PB=2AD=4BM=4t，∵ADBC =AHBH，解得AH=4t.又AM=3t，PM=√3t，PH=2√13t，△HNA∼△HMP，∴ANPM =AHPH，∴ AN=2√3913t，DN=8√1313，∴sin∠AND=√134，∴平面PAB与平面PCD的二面角的正弦值是√134．30.【答案】解：如下图所示：因为AB⊥平面BCD，AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCD．②平面ABD⊥平面BCD．因为AB⊥平面BCD，AB⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD．③平面ABC⊥平面ACD．因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD；又BC⊥CD，且AB∩BC=B，所以CD⊥平面ABC．又CD⊂平面ACD，所以平面ABC⊥平面ACD．【考点】平面与平面垂直的判定【解析】由已知中已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，结合线面垂直及面面垂直的判定定理，我们对三棱锥的四个平面：平面ABC，平面ABD，平面BCD和平面ACD之间的关系逐一进行判断，即可得到结论．【解答】解：如下图所示：①平面ABC⊥平面BCD．因为AB⊥平面BCD，AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCD．②平面ABD⊥平面BCD．因为AB⊥平面BCD，AB⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD．③平面ABC⊥平面ACD．因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD；又BC⊥CD，且AB∩BC=B，所以CD⊥平面ABC．又CD⊂平面ACD，所以平面ABC⊥平面ACD．31.【答案】(1)证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴CB⊥平面ABEF．∵AF⊂平面ABEF，∴AF⊥CB.又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，∴AF⊥平面CBF．∵AF⊂平面DAF，(2)解：过点A作AM⊥EF，交EF的延长线于点M，连接DM，过点F作FH⊥AB，垂足为H.由(1)可知，DA⊥平面ABEF，又AM∩DA=A，∴ EF⊥平面DAM，则DM⊥EF，∴∠DMA为二面角D−FE−B的平面角，即∠DMA=60∘．在Rt△AFH中，易得AH=12，AF=1，∴FH=√32．又∵四边形AMFH为矩形，∴MA=FH=√32，∴ AD=MA⋅tan∠DMA=√32×√3=32，因此，当AD的长为32时，二面角D−FE−B的大小为60∘．【考点】平面与平面垂直的判定二面角的平面角及求法【解析】（1）欲证平面DAF⊥平面CBF，先证直线与平面垂直，由题意可得：CB⊥平面ABEF，所以AF⊥CB，又在底面圆中AF⊥BF，所以AF⊥平面CBF，进一步易得平面DAF⊥平面CBF（2）本题的设问是递进式的，第（1）问是为第（2）问作铺垫的．根据（1）的证明，有AF⊥平面CBF，所以FB为AB在平面CBF上的射影，则∠ABF为直线AB与平面CBF所成的角．（3）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．由DA⊥平面ABEF可知：过点A作AM⊥EF，交EF的延长线于点M，连接DM，所以∠DMA为二面角D−FE−B的平面角，∠DMA＝60∘．【解答】(1)证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴CB⊥平面ABEF．∵AF⊂平面ABEF，∴AF⊥CB.又∵AB为圆O的直径，。
2.3.2平面与平面垂直的判定(二)
C
练习 教材P.69练习； 练习； 教材 练习 教材P.71练习 教材 练习. 练习
课堂小结
1. 面面垂直的判定； 面面垂直的判定； 2. 二面角的平面角的求法 二面角的平面角的求法.
课后作业
1. 复习本节课内容，理清脉络； 复习本节课内容，理清脉络； 2. 《学案》P.56双基训练
如图，已知三棱锥D-ABC的三个 例3 如图，已知三棱锥 的三个 侧面与底面全等， 侧面与底面全等，且AB＝AC＝ 3 ， ＝ ＝ BC＝2，求以 为棱，以面 为棱， ＝ ，求以BC为棱 以面BCD与面 与面 BCA为面的二面角的大小？ 为面的二面角的大小？ 为面的二面角的大小 D
A B E
如图，已知三棱锥D-ABC的三个 例3 如图，已知三棱锥 的三个 侧面与底面全等， 侧面与底面全等，且AB＝AC＝ 3 ， ＝ ＝ BC＝2，求以 为棱，以面 为棱， ＝ ，求以BC为棱 以面BCD与面 与面 BCA为面的二面角的大小？ 为面的二面角的大小？ 为面的二面角的大小 D
A B
C
如图，已知三棱锥D-ABC的三个 例3 如图，已知三棱锥 的三个 侧面与底面全等， 侧面与底面全等，且AB＝AC＝ 3 ， ＝ ＝ BC＝2，求以 为棱，以面 为棱， ＝ ，求以BC为棱 以面BCD与面 与面 BCA为面的二面角的大小？ 为面的二面角的大小？ 为面的二面角的大小 D
2.3.2平面与平面 平面与平面 垂直的判定
主讲老师： 主讲老师：陈震
复习回顾
1. 二面角的概念； 二面角的概念； 2. 面面垂直的判定方法 面面垂直的判定方法.
讲授新课
《习案》十五课时第4、5、6、7题 习案》十五课时第 、 、 、 题
是正方形， 是正方形的中心 是正方形的中心， 例1 ABCD是正方形，O是正方形的中心， 是正方形 PO⊥平面ABCD，E是PC的中点， ⊥平面 的中点， ， 是 的中点
平面与平面垂直的判定及性质含答案
平面与平面垂直的判定及性质1在三棱锥A-BCD中，如果AD _BC,BD _ AD, UBCD是锐角三角形，那么( ) A、面ABD I 面ADC ；B、面ABD .1 面ABC ；C、面BCD I 面ADC ；D、面ABC _ 面BCD。
2、下列命题中①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②二面角平面角的范围是0 ,90 ；③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系；④异面直线a, b分别和一个二面角的两个面垂直，则a,b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补，其中正确的是( )A、①③B、②④C、③④D、①②3、如果二面角二一I - 1中，〉内一点A到面1的距离是点A到棱丨的距离的一半，则「-I - ：的平面角为( )A、30B、60C、30 或150D、60 或1204、矩形ABCD的两边AB =3,AD =4, PA丄面ABCD，且PA=4J3，则二面角5A-BD-P的度数为( )A、30B、45C、60D、7510、如图，在矩形ABCD中，AB-.2,BC 2, E为BC的中点，把「：ABE 和:CDE分别沿AE,DE折起，使点B与点C 重合于点P(1)、求证：面PDE I 面PAD ；⑵、求二面角P-AD-E的大小。
11、如图，「ABC为正三角形，CE _面ABC,BD _面ABC，且CE,BD 在平面ABC的同侧，M为AE的中点，CE = AC-2BD (1)、求证：DE = DA ；⑵、面BDM _面ACE；⑶、面AED _面ACE。
12、如图，已知V是ABC所在平面外一点，VB_面ABC, 面VAB_面VAC ;求证：.：ABC是直角三角形5、以等腰直角三角形斜边上的高为棱，把它折成直二面角，则折后两条直角边的夹角为( ) A、30°B、45* C、60“D、90°6、过正方形ABCD的顶点A作线段AP _面ABCD，且AP二AB，则面ABP与面13、如图，将一副三角板拼成直二面角A- BC -D，AB = AC, /BCD =90 , /CBD =30 ,求证：面ABD _ 面ACDCDP所成角的二面角的度数是( )A、30 B、45 C、60 7、如图，二面角-EF 的大小为120，A是它内部的一点，AB _ : , AC _ '-, B,C 为垂足，则ZBAC 二8、. ABC是等腰直角三角形，AC二BC二a, P是ABC所在平面外一点，PA=PB=PC=、、2a,求证：面PAB_面ABCD、909、如图，四边形ABCD是正方形，SA_面ABCD，BK _ SC 于K，连接DK。
课时作业23：2.3.2 平面与平面垂直的判定
2.3.2平面与平面垂直的判定一、选择题1.下列不能确定两个平面垂直的是()A.两个平面相交，所成二面角是直二面角B.一个平面垂直于另一个平面内的一条直线C.一个平面经过另一个平面的一条垂线D.平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案 D解析如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直.2.已知直线m，n与平面α，β，给出下列三个结论：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则m⊥n；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.其中正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.3考点垂直问题的综合应用题点线线、线面、面面垂直的相互转化答案 C解析①若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面，故①错误；易知②③正确.所以正确结论的个数是2.3.如图，已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有()A.2对B.3对C.4对D.5对考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案 D解析∵P A⊥平面ABCD，∴平面P AD⊥平面ABCD，平面P AB⊥平面ABCD，又CD⊥平面P AD，AB⊥平面P AD，BC⊥平面P AB，∴平面PCD⊥平面P AD，平面P AB⊥平面P AD，平面PBC⊥平面P AB，∴共有5对互相垂直的平面.4.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法中正确的是()A.若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB.若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥βC.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βD.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β答案 C解析由m∥α，m∥n得n∥α或n⊂α，由n⊥β，知α⊥β.5.如图所示，在四面体D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案 C解析因为AB＝BC，且E是AC的中点，所以BE⊥AC.同理，DE⊥AC.又BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.6.在四面体A－BCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A－BD－C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED等于()A.90°B.45°C.60°D.30°考点二面角题点求二面角的大小答案 A解析如图，设AB＝BC＝CD＝AD＝a，取BD中点F，连接AF，CF.由题意可得AF＝CF＝22a，∠AFC＝90°.在Rt△AFC中，可得AC＝a，∴△ACD为正三角形.∵E是CD的中点，∴AE⊥CD，∴∠AED＝90°，故选A.7.在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是()A.平面P AB⊥平面P ADB.平面P AB⊥平面PBCC.平面PBC⊥平面PCDD.平面PCD⊥平面P AD答案 C解析对于A，∵P A⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，∴P A⊥AB，又AB⊥AD，∴AB⊥平面P AD，∴平面P AB⊥平面P AD，故A正确；对于B，∵P A⊥底面ABCD，且底面ABCD 为矩形，∴P A⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面P AB，∴平面P AB⊥平面PBC，故B正确；对于D，∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥CD，又CD⊥AD，∴CD⊥平面P AD，∴平面PCD⊥平面P AD，故D正确.故选C.8.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值为()A.32 B.22 C. 2 D. 3考点二面角题点求二面角的大小答案 C解析如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD中点，∵A1D＝A1B，∴在△A1BD中，A1O⊥BD.又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD.∴∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角.设AA1＝1，则AO＝2 2.∴tan∠A1OA＝122＝ 2.二、填空题9.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角为________. 答案60°解析正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则底面边长为23，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，所以侧面与底面所成的二面角的正切值为3，故所求的二面角为60°.10.已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，给出下列结论：①若m垂直于α内的两条相交直线，则m⊥α；②若m∥α，则m平行于α内的所有直线；③若m⊂α，n⊂β，且α∥β，则m∥n；④若n⊂β，n⊥α，则α⊥β.其中正确结论的序号是________.(把正确结论的序号都填上)答案①④解析①中的内容即为线面垂直的判定定理，故①正确；②中，若m∥α，则m与α内的直线平行或异面，故②错误；③中，两个平行平面内的直线平行或异面，所以③错误；④中的内容为面面垂直的判定定理，故④正确.11.α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________. 考点平面与平面垂直的判定题点用定义法证明两平面垂直答案①③④⇒②解析m⊥n，将m和n平移到一起，则确定一平面，∵n⊥β，m⊥α，∴该平面与平面α和平面β的交线也互相垂直，从而平面α和平面β的二面角的平面角为90°，∴α⊥β.故答案为①③④⇒②.三、解答题12.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点.求证：平面EBD⊥平面ABCD.考点平面与平面垂直的判定题点用定义法证明两平面垂直证明连接AC与BD交于O点，连接OE.∵O为AC的中点，E为SA的中点，∴EO∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.又∵EO⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.13.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点.(1)求证：直线A1B1∥平面ABD；(2)求证：平面ABD⊥平面BCC1B1.证明(1)由直三棱柱ABC－A1B1C1，得A1B1∥AB.因为A1B1⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以直线A1B1∥平面ABD.(2)因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以AB⊥BB1.又因为AB⊥BC，BB1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，且BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面BCC1B1.又因为AB⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCC1B1.14.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析由题意得BD⊥AC，∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BD.又P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.15.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E为BB1的中点，求证：截面A1CE⊥侧面ACC1A1.考点平面与平面垂直的判定题点利用判定定理证明两平面垂直证明如图所示，取A1C的中点F，AC的中点G，连接FG，EF，BG，则FG∥AA1，且GF＝12AA 1.因为BE ＝EB 1，A 1B 1＝CB ， ∠A 1B 1E ＝∠CBE ＝90°， 所以△A 1B 1E ≌△CBE ， 所以A 1E ＝CE .因为F 为A 1C 的中点，所以EF ⊥A 1C .又FG ∥AA 1∥BE ，GF ＝12AA 1＝BE ，且BE ⊥BG ，所以四边形BEFG 是矩形，所以EF ⊥FG . 因为A 1C ∩FG ＝F ，所以EF ⊥侧面ACC 1A 1.又因为EF ⊂平面A 1CE ，所以截面A 1CE ⊥侧面ACC 1A 1.。
高中数学必修二人教A版练习：2.3.2平面与平面垂直的判定含解析.doc
2.3.2 平面与平面垂直的判定【选题明细表】1.下列说法中,正确的是( B )(A)垂直于同一直线的两条直线互相平行(B)平行于同一平面的两个平面平行(C)垂直于同一平面的两个平面互相平行(D)平行于同一平面的两条直线互相平行解析:A.垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面.B.正确.C.垂直于同一平面的两个平面可能相交、也可能平行.D.平行于同一平面的两条直线可能相交、平行或异面.只有B正确.2.(2018·江西三市联考)设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则( C )(A)若a∥α,b∥α,则a∥b (B)若a∥α,a∥β,则α∥β(C)若a∥b,a⊥α,则b⊥α(D)若a∥α,α⊥β,则a⊥β解析:选项A.若a∥α,b∥α,则a∥b,或a,b异面或a,b相交,A错;选项B.若a∥α,a∥β,则α∥β,或α∩β=b,B错;选项C.若a∥b,a ⊥α,则b⊥α,C正确;选项D.若a∥α,α⊥β,则a⊂β或a∥β或a⊥β,D错.故选C.3.如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点(不同于A,B)且PA=AC,则二面角P BC A的大小为( C )(A)60°(B)30°(C)45°(D)15°解析:易得BC⊥平面PAC,所以∠PCA是二面角P BC A的平面角,在Rt △PAC中,PA=AC,所以∠PCA=45°.故选C.4.如图所示,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,则图中互相垂直的平面有( D )(A)2对(B)3对(C)4对(D)5对解析:由PA⊥矩形ABCD知,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAB⊥平面ABCD;由AB⊥平面PAD知,平面PAB⊥平面PAD;由BC⊥平面PAB知,平面PBC ⊥平面PAB;由DC⊥平面PAD知,平面PDC⊥平面PAD.故题图中互相垂直的平面有5对.选D.5.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成几何体A BCD,则在几何体A BCD中,下列结论正确的是( D )(A)平面ABD⊥平面ABC(B)平面ADC⊥平面BDC(C)平面ABC⊥平面BDC(D)平面ADC⊥平面ABC解析:由已知得BA⊥AD,CD⊥BD,又平面ABD⊥平面BCD,所以CD⊥平面ABD,从而CD⊥AB,故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ADC.选D.6.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,△ABD的面积是△ACD的面积的2倍.沿AD将△ABC翻折,使翻折后BC⊥平面ACD,此时二面角B AD C的大小为( C )(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°解析:由已知得,BD=2CD.翻折后,在Rt△BCD中,∠BDC=60°,而AD⊥BD,CD⊥AD,故∠BDC是二面角B AD C的平面角,其大小为60°.故选C.7.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=1,将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠,使平面ABD⊥平面ACD,则折叠后BC= .解析:因为在原△ABC中,AD⊥BC,所以折叠后有AD⊥BD,AD⊥CD,所以∠BDC是二面角B AD C的平面角.因为平面ABD⊥平面ACD,所以∠BDC=90°.在Rt△BCD中,∠BDC=90°,BD=CD=,所以BC==1.答案:18.如图,三棱柱ABC A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点.(1)证明:平面BDC1⊥平面BDC;(2)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.(1)证明:由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1⊂平面ACC1A1,所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.又DC∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1,故平面BDC1⊥平面BDC.(2)解:设棱锥B DACC1的体积为V1,AC=1,由题意得V1=××1×1=.又三棱柱ABC A1B1C1的体积V=1,所以(V-V1)∶V1=1∶1.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.9.(2018·兰州诊断)在直三棱柱ABC A1B1C1中,AB=AC=BC=2,AA1=1,则点A到平面A1BC的距离为( B )(A) (B) (C)(D)解析:如图,设D为BC的中点,连接AD,A1D,A1C,A1B,过A作A1D的垂线,垂足为E,则BC⊥A1D,BC⊥AD,所以BC⊥平面A1AD,则BC⊥AE.又AE⊥A1D,所以AE⊥平面A1BC,由条件可得AD=AB=,A1D==2,由面积相等得AE·A1D=AA1·AD,即AE==,故选B.10.正方体ABCD A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1BD A的正切值等于.解析:设AC与BD相交于O点,因为ABCD A1B1C1D1为正方体,所以AO⊥BD,又AA1⊥平面ABCD,所以AA1⊥BD,又AO∩AA1=A,所以BD⊥平面A1AO,所以BD⊥A1O,所以∠A1OA为二面角A1BD A的平面角,设正方体的棱长为a,在直角△A1AO中,AA1=a,AO=a,所以tan∠A1OA==.答案:11.四棱锥P ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=.(1)证明:平面PBE⊥平面PAB;(2)求二面角A BE P的大小.(1)证明:如图所示,连接BD,由ABCD是菱形且∠BCD=60°知,△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点,所以BE⊥CD.又AB∥CD,所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD,BE⊂平面ABCD,所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,因此BE⊥平面PAB.又BE⊂平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.(2)解:由(1)知,BE⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,所以PB⊥BE.又AB⊥BE,所以∠PBA是二面角A BE P的平面角.在Rt△PAB中,tan∠PBA==,∠PBA=60°,故二面角A BE P的大小是60°.12.如图所示,在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC A1B1C1中,AB=BB1,AC1⊥平面A1BD,D为AC的中点.(1)求证:B1C∥平面A1BD;(2)求证:B1C1⊥平面ABB1A1;(3)设E是CC1上一点,试确定E的位置使平面A1BD⊥平面BDE,并说明理由.(1)证明:连接AB1,与A1B相交于M,则M为A1B的中点,连接MD.又D为AC的中点,所以B1C∥MD.又B1C⊄平面A1BD,MD⊂平面A1BD,所以B1C∥平面A1BD.(2)证明:因为AB=B1B,所以四边形ABB1A1为正方形.所以A1B⊥AB1.又因为AC1⊥平面A1BD,所以AC1⊥A1B.所以A1B⊥平面AB1C1,所以A1B⊥B1C1.又在棱柱ABC A1B1C1中BB1⊥B1C1,所以B1C1⊥平面ABB1A.(3)解:当点E为C1C的中点时,平面A1BD⊥平面BDE, 因为D,E分别为AC,C1C的中点,所以DE∥AC1.因为AC1⊥平面A1BD,所以DE⊥平面A1BD.又DE⊂平面BDE,所以平面A1BD⊥平面BDE.。
高中数学(人教A版,必修二)第2章 2.3.2 课时作业(含答案)
2.3.2 平面与平面垂直的判定【课时目标】 1．掌握二面角的概念，二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小．2．掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理判定两个平面垂直．1．二面角：从一条直线出发的________________所组成的图形叫做二面角．________________叫做二面角的棱．________________________叫做二面角的面．2．二面角的平面角如图：在二面角α－l －β的棱l 上任取一点O ，以点O 为________，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的________叫做二面角的平面角．3．平面与平面的垂直(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是________________，就说这两个平面互相垂直．(2)面面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的________，则这两个平面垂直．符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥β ⇒α⊥β．一、选择题1．下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a 、b 分别和一个二面角的两个面垂直，则a 、b 组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角； ④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是( )A ．①③B ．②④C ．③④D ．①②2．下列命题中正确的是( )A ．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥βC ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条相交直线，则α⊥βD ．若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥β3．设有直线M 、n 和平面α、β，则下列结论中正确的是( )①若M ∥n ，n ⊥β，M ⊂α，则α⊥β；②若M ⊥n ，α∩β＝M ，n ⊂α，则α⊥β；③若M ⊥α，n ⊥β，M ⊥n ，则α⊥β．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．过两点与一个已知平面垂直的平面( )A ．有且只有一个B ．有无数个C ．有且只有一个或无数个D ．可能不存在 5．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的余弦值为( )A ．13B ．12C ．223D ．326．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A ．BC ∥面PDFB ．DF ⊥面P AEC ．面PDF ⊥面ABCD ．面P AE ⊥面ABC二、填空题7．过正方形ABCD 的顶点A 作线段AP ⊥平面ABCD ，且AP ＝AB ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角的度数是________．8．如图所示，已知P A ⊥矩形ABCD 所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．9．已知α、β是两个不同的平面，M 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①M ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④M ⊥α．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________________．三、解答题10．如图所示，在空间四边形ABCD 中，AB ＝BC ，CD ＝DA ，E 、F 、G 分别为CD 、DA 和对角线AC 的中点．求证：平面BEF ⊥平面BGD ．11．如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝3．(1)证明：平面PBE ⊥平面P AB ；(2)求二面角A —BE —P 的大小．能力提升12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C．13．如图，在三棱锥P—ABC中，P A⊥底面ABC，P A＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．(1)求证：BC⊥平面P AC．(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．1．证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面面垂直的定义，即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．2．利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据并有利于证明，不能随意添加．3．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的的．2．3．2 平面与平面垂直的判定 答案知识梳理1．两个半平面 这条直线 这两个半平面2．垂足 ∠AOB3．(1)直二面角 (2)垂线 a ⊂α作业设计1．B [①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角．故选B ．]2．C3．B [②错，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线垂直．]4．C [当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．]5．B [如图所示，由二面角的定义知∠BOD 即为二面角的平面角．∵DO ＝OB ＝BD ＝32， ∴∠BOD ＝60°．]6．C [如图所示，∵BC ∥DF ，∴BC ∥平面PDF ．∴A 正确．由BC ⊥PE ，BC ⊥AE ，∴BC ⊥平面PAE ．∴DF ⊥平面PAE ．∴B 正确．∴平面ABC ⊥平面PAE(BC ⊥平面PAE)．∴D 正确．]7．45°解析 可将图形补成以AB 、AP 为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°．8．5解析 由PA ⊥面ABCD 知面PAD ⊥面ABCD ，面PAB ⊥面ABCD ，又PA ⊥AD ，PA ⊥AB 且AD ⊥AB ，∴∠DAB 为二面角D —PA —B 的平面角，∴面DPA ⊥面PAB ．又BC ⊥面PAB ，∴面PBC ⊥面PAB ，同理DC ⊥面PDA ，∴面PDC ⊥面PDA ．9．①③④⇒②(或②③④⇒①)10．证明 ∵AB ＝BC ，CD ＝AD ，G 是AC 的中点，∴BG ⊥AC ，DG ⊥AC ，∴AC ⊥平面BGD ．又EF ∥AC ，∴EF ⊥平面BGD ．∵EF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面BGD ．11．(1)证明 如图所示，连接BD ，由ABCD 是菱形且∠BCD ＝60°知，△BCD 是等边三角形．因为E 是CD 的中点，所以BE ⊥CD ．又AB ∥CD ，所以BE ⊥AB ．又因为PA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BE ．而PA ∩AB ＝A ，因此BE ⊥平面PAB ．又BE ⊂平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面PAB ．(2)解 由(1)知，BE ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以PB ⊥BE ．又AB ⊥BE ，所以∠PBA 是二面角A —BE —P 的平面角．在Rt △PAB 中，tan ∠PBA ＝PA AB ＝3，则∠PBA ＝60°． 故二面角A —BE —P 的大小是60°．12．证明 (1)由E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点知EF ∥BC ．因为EF ⊄平面ABC ．BC ⊂平面ABC ．所以EF ∥平面ABC ．(2)由三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱知CC 1⊥平面A 1B 1C 1．又A 1D ⊂平面A 1B 1C 1，故CC 1⊥A 1D ．又因为A 1D ⊥B 1C ，CC 1∩B 1C ＝C ，故A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，又A 1D ⊂平面A 1FD ，所以平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C ．13．(1)证明 ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC ．又∠BCA ＝90°，∴AC ⊥BC ．又∵AC ∩PA ＝A ，∴BC ⊥平面PAC ．(2)解 ∵DE ∥BC ，又由(1)知，BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ．又∵AE ⊂平面PAC ，PE ⊂平面PAC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ．∴∠AEP 为二面角A —DE —P 的平面角．∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AC ，∴∠PAC ＝90°．∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC ．这时∠AEP ＝90°，故存在点E ，使得二面角A —DE —P 为直二面角．。
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2.3.2 平面与平面垂直的判定基础练习
题（含答案解析）
1．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是()
A．相等B．互补
C．相等或互补D．不能确定
解析：选C.当这两个二面角的两个面均同向或均异向时，它们相等；当这两个二面角的两个面中，一组同向，另一组异向时，它们互补．
2．在四棱锥P－ABCD中，已知P A⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是()
A．平面P AB⊥平面P AD
B．平面P AB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCD
D．平面PCD⊥平面P AD
解析：选C.由面面垂直的判定定理知：平面P AB⊥平面P AD，平面P AB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面P AD，A、B、D正确．
3．如果直线l、m与平面α、β、γ之间满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么() A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥β
C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ
解析：选A.如图，平面α为平面AD1，平面β为平面BC1，平面γ为平面AC，
∵m⊂α，m⊥γ，由面面垂直的判定定理得α⊥γ，又m⊥γ，l⊂γ，由线面垂直的性质得m⊥l.
4.在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下面四个结论中不成立的是()
A．BC∥平面P DF
B．DF⊥平面P AE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面P AE⊥平面ABC
解析：选C.可画出对应图形(图略)，
则BC∥DF，又DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，
∴BC∥平面PDF，故A成立；
由AE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，
∴DF⊥平面P AE，故B成立；
又DF⊂平面ABC，
∴平面ABC⊥平面P AE，故D成立．
5．(2013·德州高一检测)已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，如图所示，图中互相垂直的平面有()
A．1对B．2对
C．3对D．5对
解析：选D.∵DA⊥AB，DA⊥P A，AB∩P A＝A，
∴DA⊥平面P AB，同理BC⊥平面P AB，
AB⊥平面P AD，DC⊥平面P AD，
∴平面AC⊥平面P AD，平面AC⊥平面P AB，平面PBC⊥平面P AB，平面PDC⊥平面P AD，平面P AB⊥平面P AD.
6．若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，P A ＝6，那么二面角P－BC－A的大小为________．
解析：取BC的中点O，连接OA，OP，则∠POA为二面角P－BC－A的平面角，OP ＝OA＝3，P A＝6，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°.
答案：90°
7.
如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
解析：连接AC，则AC⊥BD.
∵P A⊥底面ABCD，
BD⊂面ABCD，∴P A⊥BD.
∵P A∩AC＝A，
∴BD⊥面P AC，∴BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，
即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD.
答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)
8．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个．
解析：设面外的点为A，面内的点为B，过点A作面α的垂线l，若点B恰为垂足，则所有过AB的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B不是垂足，则l与点B 确定唯一平面β满足α⊥β.
答案：1或无数
9．点P是菱形ABCD所在平面外一点，且P A＝PC，求证：平面P AC⊥平面PBD.
证明：如图所示，连接AC，BD交于点O，连接PO，
∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
又∵AO＝OC，P A＝PC，∴PO⊥AC.
∵BD∩PO＝O，∴AC⊥平面PBD.
又AC⊂平面P AC，
∴平面P AC⊥平面PBD.
10．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD.
证明：连接AC，交BD于点F，连接EF，
∴EF是△SAC的中位线，
∴EF∥SC.
∵SC⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD.
∵EF⊂平面EDB，
∴平面EDB⊥平面ABCD.。