LinearAlgebra7.1坐标变换和过渡矩阵

解方程组即可 λ1 1，λ2 1，λ3 1
解法2： 由自然基到基x1 ,x2 , x3的过渡矩阵为
1 1 1
1 1 0
P


0
0
1 0
1 , 1
求得
P
1


0
0
1 0
1 1
利用坐标变换公式，则基x1 ,x2 , x3的坐标为
1 1 0 1 1
证明 ：设x可由x1 ,x2 , …,xn有两种线性表示：
x 1x1 2x2 L nxn 1x1 2x2 L nxn
(1 1)x1(2 2 )x2 L (n n )xn 0 x1 ,x2 , …,xn是线性空间V 的一组基，它们 线性无关，
i i 0 i i ,i 1, 2,L , n
三、坐标 设x1 ,x2 , …,xn是线性空间V 的一组基，则 称x由x1 ,x2 , …,xn唯一线性表示的系数为向量 x在基x1 ,x2 , …,xn下的坐标，记为X.
即设 则
x 1x1 2x2 L nxn
记作： y1 y2 L yn x1 x2 L xn P
其中 P ( pij )nn 称P是由基x1 ,x2 , …,xn到基y1 ,y2 , …, yn的过渡矩 阵。其中P的第j列是在基yj（I）下的坐标。
过渡矩阵结论
(1)过渡矩阵P是可逆矩阵； (2)设P是由基x1 ,x2 , …,xn到基y1 ,y2 , …, yn的过渡矩阵， 则P-1是由基y1 ,y2 , …, yn到基x1 ,x2 , …,xn的过渡矩阵。
1
x1
x2 L
xn


2

M

n

X 1 2 L n T
说明：在不同的坐标系（或基）中，同一向量的坐标一般
是不同的。
例4 在R3中， x1 ,x2 , x3是与y1 ,y2 , y3都是线性空间 R3的一组基
1 0 0 1 1 1
坐标变换和过渡矩阵
线性代数
一、线性空间
•数学空间=集合+运算， 且集合关于运算封闭。
•线性空间=集合+线性运算， 且集合关于线性运算封闭。
n维实向量空间Rn即为线性空间。
二、线性空间的基与向量在基下的坐标
设x1, x2 ,L , xn是线性空间V的向量组,如果 (1)x1, x2 ,L , xn是V的线性无关组； (2)V的任一向量x可由x1, x2,L , xn线性表示；
1
0
0
x1


0

,
x
2


1

,
x3


0

0
0
1
1
1
1
y1


0

,
y
2


1

,
y
3

1
0
0
1
这是因为：
100
1 11
0 1 0 1 0, 0 1 1 1 0,
则称x1 ,x2 , …,x n是线性空间V 的一组基。 称n是线性空间V 的维数，记作dimV。 或称线性空间V 是n维线性空间。 即：线性空间的维数是其基中所含向量的个数。
说明1：线性空间的基不唯一
例1 证明：在三维向量空间R3中 x1 ,x2 , x3 与y1，y2 ,y3都是线性空间R3的一组基
Y

P 1 X


0
1
1

2



1

0 0 1 1 1
001
0 01
从而它们各自都线性无关，而对于任意向量
x (1,2 ,3 )T R3, 分别有：
Fra Baidu bibliotek
x 1x1 2x2 3x3
x （1 2）y1 (2 3 )y2 3y3
说明2：向量由同一基的线性表示是唯一的
设x1 ,x2 , …,xn是线性空间V 的一组基，则对于V 的任一元x，x可由x1 ,x2 , …,xn唯一线性表示。
四、基变换与过渡矩阵
x1 ,x2 , …,xn（I）与y1 ,y2 , …, yn（II）是n维线性 空间V的两组不同基。则由基的定义，有
y1 p11x1 p21x2 L pn1xn
y
2


p12x1 p22x2 L LLLL

pn2xn
yn p1nx1 p2nx2 L pnnxn
1 1
X1


0
,
X2


1

,
X3

1 ,


2

0
0
1 1
解法1： 由向量坐标的定义，可设：
1X1 2 X 2 3 X 3
得方程组
1 1 2 3 2 2 3 1 3
同一向量在不同基下的坐标是不同的。设
x x1, x2 ,L , xn X
y1,y2 ,L , yn Y
x1, x2,L , xn PY
由于基向量线性无关，则 X PY ,
得坐标变换公式 Y P1X
例5 求向量 在基x1 ,x2 , x3下的坐标
1
1
x1


0
,
x2


1

,
x3


0

0
0
1
y1


0

,
y2


1

,
y3

1
0
0
1
向量 x (1,2,3)T R3 在这两组基下的坐标分别为
(1,2 ,3 )T , (1 2 ,2 3,3 )T