15知识讲解_三角形中的几何计算_基础
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2bc （3）在 ABC 中， 900 A cos A b2 c2 a2 0 b2 c2 a2 ；
2bc 举一反三：
【变式】 ABC 的三边若满足下列条件，试判断三角形的形状：
(1) a 6，b 8，c 10 ；
(2) a 6，b 8，c 11.
【答案】
(1)因为 a2 b2 62 82 100 102 c2 ，所以三角形为直角三角形.
三角形中的几何计算
【学习目标】 1.进一步巩固正弦定理和余弦定理，并能综合运用两个定理解决三角形的有关问题； 2.学会用方程思想解决有关三角形的问题，提高综合运用知识的能力和解题的优化意识. 【要点梳理】 要点一：正弦定理和余弦定理的概念 ①正弦定理公式：
a b c 2R sin A sin B sin C （其中 R 表示三角形的外接圆半径）
2ac
235
2
【变式 3】在 ABC 中，若 a 2 ， b 2 2 ， c 6 2 ，求角 A 和 sin C ．
【答案】根据余弦定理： cos A b2 c2 a2 8 8 4 3 4 3 ，
2bc
22 2 ( 6 2) 2
∵ 0 A 180 ，
∴ A 30 ， sin C c sin A ( 6 2) sin 30 ( 6 2) .
【变式】 ABC 中， c 6 , A 45，a 2 ，求 b和B，C .
【答案】
解法一 ：正弦定理
由a
c得
2
=
6 ，所以sin C=
3 .
sin A sin C sin 45 sin C
2
若 C 60 ，则 B 75 ， b a sin B 2 sin 75 3 1,
sin A
sin 45
2bc （2）在 ABC 中， A 900 cos A b2 c2 a2 0 b2 c2 a2 ；
2bc （3）在 ABC 中， 900 A cos A b2 c2 a2 0 b2 c2 a2 .
2bc 要点五：解三角形时的常用结论 在 ABC 中， A B C 1800 ， A B C 900
【解析】
方法一：用余弦定理化角为边的关系
由 a cos A b cos B 得 a b2 c2 a2 b a2 c2 b2 ，
2bc
2ac
整理得 a2 (b2 c2 a2 ) b2 (a2 c2 b2 ) ，
6
即 (a2 b2 )(a2 b2 c2 ) 0 ，
当 a2 b2 0 时， ABC 为等腰三角形； 当 a2 b2 c2 0 即 a2 b2 c2 时，则 ABC 为直角三角形； 综上： ABC 为等腰或直角三角形. 方法二：用正弦定理化边为角的关系 由正弦定理得： a b 2R
2
6
6
2
a2 2 1 2 2 cos A a2 3 2 2 ( 6 2 ) 2 3 4
或由正弦定理得： 2 a a 2sin 75 a 6 2 .
sin 45 sin105
2
【变式 2】在 ABC 中 a : b : c 3 : 7 : 5 ， 求角 B ；
【答案】 cos B a2 c2 b2 52 32 72 1 B 120o .
sin A sin B sin C
4
2
∵ b c a ，所以 B C A ，所以 B 75，C 60 B=75°，C=60°；
5
若 b 3 1 ，由 a b c ，得 sin B 6 - 2 ,sin C 3 .
sin A sin B sin C
4
2
∵ c a b ，所以 C A B ，所以 B 15，C 120 .
4
【解析】（1）由 b2 a2 1 c2 及正弦定理得 sin2 B 1 1 sin2 C ，∴－cos2B=sin2C，
2
22
又由 A ，即 B C 3 ，得－cos2B=sin2C=2sinCcosC，解得 tanC=2；
4
4
（2）由 tanC=2，C∈（0，π）得 sin C 2 5 , cos C
5
，
5
5
又 sin
B
sin( A C)
sin(
C),sin
B
3
10 ，由正弦定理得 c 2
2b，
4
10
3
又 A , 1 bc sin A 3,bc 6 2 ，故 b=3. 42
【总结升华】 对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路：边化角或角化成边，但要根据结论的形式选择转成边
或者角。 举一反三：
sin A sin B 即 a 2R sin A ， b 2R sin B ∵ a cos A b cos B ， ∴ 2R sin Acos A 2R sin B cos B 即 sin 2A sin 2B ∵ A 、B （0 ，）
∴ 2A 2B 或 2A 2B ，即 A B 或 A B 2
2 （1）在 ABC 中 A B a b sin A sin B cos A cos B ； （2）互补关系：
sin( A B) sin(1800 C) sin C cos( A B) cos(1800 C) cos C tan( A B) tan(1800 C) tan C
a
2
4
例 2、(2015 浙江)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 A , b2 a2 1 c2 .
4
2
（1）求 tanC 的值； （2）若△ABC 的面积为 3，求 b 的值。 【答案】（1）2；（2）3. 【思路分析】（1）根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系，再将式子作三角恒 等变形即可求解；（2）根据条件首先求得 sinB 的值，再结合正弦定理以及三角形面积的计算公式即可求 解.
2ac
4
若 b 3 1 ，则 cos B a2 c2 b2 6 2 ，所以 B 15，C 120 .
2ac
4
解法三：正余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 6 2 3b 4 ，解得 b 3 1 .
若 b 3 1 ，由 a b c ，得 sin B 6 2 ,sin C 3 ,
若 C 120 ，则 B 15 ， b a sin B 2 sin15 3 1.
sin A
sin 45
解法二：余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 6 2 3b 4，解得b 3 1,
若 b 3 1 ，则 cos B a2 c2 b2 6 - 2 ，所以 B 75，C 60 .
SABC
1 2
a
ha
1 2
b
wenku.baidu.com
hb
1 2
c
hc
SABC
1 bc sin
2
A
1 ab sin C
2
1 ac sin B
2
要点三：利用正、余弦定理解三角形 已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知 三边时，通常选择余弦定理来解三角形.特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论.
②余弦定理公式： 第一形式：
cos A b2 c2 a2 2bc
cos B a2 c2 b2 2ac
cos C a2 b2 c2 2ab
第二形式：
cos A b2 c2 a2 2bc
cos B a2 c2 b2 2ac
cos C a2 b2 c2 2ab
要点二：三角形的面积公式
a b 一解(锐角)
要点四：三角形的形状的判定 特殊三角形的判定： （1）直角三角形
勾股定理： a2 b2 c2 ， 互余关系： A B 900 ， cos C 0 ， sin C 1 ； （2）等腰三角形： a b ， A B ； 用余弦定理判定三角形的形状（最大角 A 的余弦值的符号） （1）在 ABC 中， 00 A 900 cos A b2 c2 a2 0 b2 c2 a2 ；
a b sin A 无解
2
（3）互余关系：
sin A B sin(900 - C ) cos C
2
2
2
cos A B cos(900 C ) sin C
2
2
2
tan A B tan(900 C ) cot C
2
2
2
【典型例题】 类型一：利用正、余弦定理解三角形 例 1. 在 ABC 中，已知下列条件，解三角形.
故 ABC 为等腰三角形或直角三角形. 【总结升华】 （1）要判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？ 是否符合勾股定理？还要研究角与角的大小关系：是否两个角相等？是否三个角相等？有无直角或钝角？ （2）解题的思想方法是：从条件出发，利用正、余弦定理等进行代换、转化、化简、运算，找出边 与边的关系或角与角的关系，从而作出正确判断. （3）一般有两种转化方向：要么转化为边，要么转化为角. （4）判断三角形形状时，用边做、用角做均可.一般地，题目中给的是角，就用角做；题目中给的是 边，就用边做，边角之间的转换可用正弦定理或余弦定理. （5） sin sin 或 ，不要丢解.
2ab
96
所以 C 2
所以三角形是锐角三角形.
【总结升华】
余弦定理用于判定三角形的形状（最大角 A 的余弦值的符号） （1）在 ABC 中， 00 A 900 cos A b2 c2 a2 0 b2 c2 a2 ；
2bc （2）在 ABC 中， A 900 cos A b2 c2 a2 0 b2 c2 a2 ；
（2）∵ b2 a2 c2 2ac cos B (2 3)2 ( 6 2)2 2 2 3 ( 6 2) cos 45
∴b2 2 .
12 ( 6 2)2 4 3( 3 1) 8
b2 c2 a2 (2 2)2 ( 6 2)2 (2 3)2 1
法一：∵ cos A
,
2bc
22 2( 6 2)
2
∴ A 60 ， C 75
3
法二：∵ sin A a sin B 2 3 sin450 3
b
22
2
又∵ 6 2 2 3 ，即 a c
∴ A C ，有 00 A900 ，
∴ A 60 ， C 75 .
【总结升华】
①解三角形时，可以依据题意画出恰当的示意图，然后正确选择正、余弦定理解答；
(2)因为 a b c ，所以 A B C ，
又 cos C a2 b2 c2 21 0 ，所以 C ，
2ab
96
2
所以三角形是钝角三角形.
例 4．已知 ABC 满足中 a cos A b cos B ，试判断 ABC 的形状.
【思路点拨】题目中给的是角与边的混合关系式，可用正弦定理化简成单一的角的关系；也可以用正 弦定理、余弦定理化简成单一的边的关系，然后判断.
②解三角形时，要留意三角形内角和为 180°、同一个三角形中大边对大角等性质的应用.
举一反三：
【变式 1】 △ABC 中，已知 c 1，b 2 ，∠ B 45 ，求∠ C 和 a .
【答案】∵ b c 2 1 sin C 1 C ， C 5 (舍)
sin B sin C 2 sin C
sin B
1 2
，
法一：∵ b a ，∴ B A ，即 00 B 450 ，
∴ B 30 ， C 105 ， c 5( 3 1) .
法二：∵ 00 B 1800 ， ∴ B 30 或 B 150 ，
①当 B 30 时， C 105 ， c 5( 3 1) ；
②当 B 150 时， A B 180 （舍去）.
（1） a 10 ， b 5 2 ， A 45 ；
（2） a 2 3 ， c 6 2 ， B 45 .
【思路点拨】
（1）题中利用正弦定理先求 B ，再求 C 和 c ； （2）题中利用余弦定理求 b ；求 A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理.
【解析】
（1）∵ 10 sin 45o
52 sin B
1
在 ABC 中，已知 a,b 和 A 时，解的情况主要有以下几类：
a b sin A 无解
a b sin A
一解(直角)
①若 A 为锐角时：
b sin A a b 二解(一锐，一钝)
a b
一解(锐角)
a b sin A 一解
ab 一解
b sin A a b 两解
a b 无解 ② 若 A 为直角或钝角时：
类型二：正、余弦定理的综合应用
例 3．已知 ABC 中， a 6，b 8，c 9 ，试判断此三角形的形状.
【思路点拨】已知三边判断三角形的形状，通常先用勾股定理判断是否为直角三角形，斜三角形再用
余弦定理判断最大边所对角的余弦值的符号.
【解析】因为 a b c ，所以 A B C ，
又 cos C a2 b2 c2 19 0，
2bc 举一反三：
【变式】 ABC 的三边若满足下列条件，试判断三角形的形状：
(1) a 6，b 8，c 10 ；
(2) a 6，b 8，c 11.
【答案】
(1)因为 a2 b2 62 82 100 102 c2 ，所以三角形为直角三角形.
三角形中的几何计算
【学习目标】 1.进一步巩固正弦定理和余弦定理，并能综合运用两个定理解决三角形的有关问题； 2.学会用方程思想解决有关三角形的问题，提高综合运用知识的能力和解题的优化意识. 【要点梳理】 要点一：正弦定理和余弦定理的概念 ①正弦定理公式：
a b c 2R sin A sin B sin C （其中 R 表示三角形的外接圆半径）
2ac
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2
【变式 3】在 ABC 中，若 a 2 ， b 2 2 ， c 6 2 ，求角 A 和 sin C ．
【答案】根据余弦定理： cos A b2 c2 a2 8 8 4 3 4 3 ，
2bc
22 2 ( 6 2) 2
∵ 0 A 180 ，
∴ A 30 ， sin C c sin A ( 6 2) sin 30 ( 6 2) .
【变式】 ABC 中， c 6 , A 45，a 2 ，求 b和B，C .
【答案】
解法一 ：正弦定理
由a
c得
2
=
6 ，所以sin C=
3 .
sin A sin C sin 45 sin C
2
若 C 60 ，则 B 75 ， b a sin B 2 sin 75 3 1,
sin A
sin 45
2bc （2）在 ABC 中， A 900 cos A b2 c2 a2 0 b2 c2 a2 ；
2bc （3）在 ABC 中， 900 A cos A b2 c2 a2 0 b2 c2 a2 .
2bc 要点五：解三角形时的常用结论 在 ABC 中， A B C 1800 ， A B C 900
【解析】
方法一：用余弦定理化角为边的关系
由 a cos A b cos B 得 a b2 c2 a2 b a2 c2 b2 ，
2bc
2ac
整理得 a2 (b2 c2 a2 ) b2 (a2 c2 b2 ) ，
6
即 (a2 b2 )(a2 b2 c2 ) 0 ，
当 a2 b2 0 时， ABC 为等腰三角形； 当 a2 b2 c2 0 即 a2 b2 c2 时，则 ABC 为直角三角形； 综上： ABC 为等腰或直角三角形. 方法二：用正弦定理化边为角的关系 由正弦定理得： a b 2R
2
6
6
2
a2 2 1 2 2 cos A a2 3 2 2 ( 6 2 ) 2 3 4
或由正弦定理得： 2 a a 2sin 75 a 6 2 .
sin 45 sin105
2
【变式 2】在 ABC 中 a : b : c 3 : 7 : 5 ， 求角 B ；
【答案】 cos B a2 c2 b2 52 32 72 1 B 120o .
sin A sin B sin C
4
2
∵ b c a ，所以 B C A ，所以 B 75，C 60 B=75°，C=60°；
5
若 b 3 1 ，由 a b c ，得 sin B 6 - 2 ,sin C 3 .
sin A sin B sin C
4
2
∵ c a b ，所以 C A B ，所以 B 15，C 120 .
4
【解析】（1）由 b2 a2 1 c2 及正弦定理得 sin2 B 1 1 sin2 C ，∴－cos2B=sin2C，
2
22
又由 A ，即 B C 3 ，得－cos2B=sin2C=2sinCcosC，解得 tanC=2；
4
4
（2）由 tanC=2，C∈（0，π）得 sin C 2 5 , cos C
5
，
5
5
又 sin
B
sin( A C)
sin(
C),sin
B
3
10 ，由正弦定理得 c 2
2b，
4
10
3
又 A , 1 bc sin A 3,bc 6 2 ，故 b=3. 42
【总结升华】 对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路：边化角或角化成边，但要根据结论的形式选择转成边
或者角。 举一反三：
sin A sin B 即 a 2R sin A ， b 2R sin B ∵ a cos A b cos B ， ∴ 2R sin Acos A 2R sin B cos B 即 sin 2A sin 2B ∵ A 、B （0 ，）
∴ 2A 2B 或 2A 2B ，即 A B 或 A B 2
2 （1）在 ABC 中 A B a b sin A sin B cos A cos B ； （2）互补关系：
sin( A B) sin(1800 C) sin C cos( A B) cos(1800 C) cos C tan( A B) tan(1800 C) tan C
a
2
4
例 2、(2015 浙江)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 A , b2 a2 1 c2 .
4
2
（1）求 tanC 的值； （2）若△ABC 的面积为 3，求 b 的值。 【答案】（1）2；（2）3. 【思路分析】（1）根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系，再将式子作三角恒 等变形即可求解；（2）根据条件首先求得 sinB 的值，再结合正弦定理以及三角形面积的计算公式即可求 解.
2ac
4
若 b 3 1 ，则 cos B a2 c2 b2 6 2 ，所以 B 15，C 120 .
2ac
4
解法三：正余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 6 2 3b 4 ，解得 b 3 1 .
若 b 3 1 ，由 a b c ，得 sin B 6 2 ,sin C 3 ,
若 C 120 ，则 B 15 ， b a sin B 2 sin15 3 1.
sin A
sin 45
解法二：余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 6 2 3b 4，解得b 3 1,
若 b 3 1 ，则 cos B a2 c2 b2 6 - 2 ，所以 B 75，C 60 .
SABC
1 2
a
ha
1 2
b
wenku.baidu.com
hb
1 2
c
hc
SABC
1 bc sin
2
A
1 ab sin C
2
1 ac sin B
2
要点三：利用正、余弦定理解三角形 已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知 三边时，通常选择余弦定理来解三角形.特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论.
②余弦定理公式： 第一形式：
cos A b2 c2 a2 2bc
cos B a2 c2 b2 2ac
cos C a2 b2 c2 2ab
第二形式：
cos A b2 c2 a2 2bc
cos B a2 c2 b2 2ac
cos C a2 b2 c2 2ab
要点二：三角形的面积公式
a b 一解(锐角)
要点四：三角形的形状的判定 特殊三角形的判定： （1）直角三角形
勾股定理： a2 b2 c2 ， 互余关系： A B 900 ， cos C 0 ， sin C 1 ； （2）等腰三角形： a b ， A B ； 用余弦定理判定三角形的形状（最大角 A 的余弦值的符号） （1）在 ABC 中， 00 A 900 cos A b2 c2 a2 0 b2 c2 a2 ；
a b sin A 无解
2
（3）互余关系：
sin A B sin(900 - C ) cos C
2
2
2
cos A B cos(900 C ) sin C
2
2
2
tan A B tan(900 C ) cot C
2
2
2
【典型例题】 类型一：利用正、余弦定理解三角形 例 1. 在 ABC 中，已知下列条件，解三角形.
故 ABC 为等腰三角形或直角三角形. 【总结升华】 （1）要判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？ 是否符合勾股定理？还要研究角与角的大小关系：是否两个角相等？是否三个角相等？有无直角或钝角？ （2）解题的思想方法是：从条件出发，利用正、余弦定理等进行代换、转化、化简、运算，找出边 与边的关系或角与角的关系，从而作出正确判断. （3）一般有两种转化方向：要么转化为边，要么转化为角. （4）判断三角形形状时，用边做、用角做均可.一般地，题目中给的是角，就用角做；题目中给的是 边，就用边做，边角之间的转换可用正弦定理或余弦定理. （5） sin sin 或 ，不要丢解.
2ab
96
所以 C 2
所以三角形是锐角三角形.
【总结升华】
余弦定理用于判定三角形的形状（最大角 A 的余弦值的符号） （1）在 ABC 中， 00 A 900 cos A b2 c2 a2 0 b2 c2 a2 ；
2bc （2）在 ABC 中， A 900 cos A b2 c2 a2 0 b2 c2 a2 ；
（2）∵ b2 a2 c2 2ac cos B (2 3)2 ( 6 2)2 2 2 3 ( 6 2) cos 45
∴b2 2 .
12 ( 6 2)2 4 3( 3 1) 8
b2 c2 a2 (2 2)2 ( 6 2)2 (2 3)2 1
法一：∵ cos A
,
2bc
22 2( 6 2)
2
∴ A 60 ， C 75
3
法二：∵ sin A a sin B 2 3 sin450 3
b
22
2
又∵ 6 2 2 3 ，即 a c
∴ A C ，有 00 A900 ，
∴ A 60 ， C 75 .
【总结升华】
①解三角形时，可以依据题意画出恰当的示意图，然后正确选择正、余弦定理解答；
(2)因为 a b c ，所以 A B C ，
又 cos C a2 b2 c2 21 0 ，所以 C ，
2ab
96
2
所以三角形是钝角三角形.
例 4．已知 ABC 满足中 a cos A b cos B ，试判断 ABC 的形状.
【思路点拨】题目中给的是角与边的混合关系式，可用正弦定理化简成单一的角的关系；也可以用正 弦定理、余弦定理化简成单一的边的关系，然后判断.
②解三角形时，要留意三角形内角和为 180°、同一个三角形中大边对大角等性质的应用.
举一反三：
【变式 1】 △ABC 中，已知 c 1，b 2 ，∠ B 45 ，求∠ C 和 a .
【答案】∵ b c 2 1 sin C 1 C ， C 5 (舍)
sin B sin C 2 sin C
sin B
1 2
，
法一：∵ b a ，∴ B A ，即 00 B 450 ，
∴ B 30 ， C 105 ， c 5( 3 1) .
法二：∵ 00 B 1800 ， ∴ B 30 或 B 150 ，
①当 B 30 时， C 105 ， c 5( 3 1) ；
②当 B 150 时， A B 180 （舍去）.
（1） a 10 ， b 5 2 ， A 45 ；
（2） a 2 3 ， c 6 2 ， B 45 .
【思路点拨】
（1）题中利用正弦定理先求 B ，再求 C 和 c ； （2）题中利用余弦定理求 b ；求 A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理.
【解析】
（1）∵ 10 sin 45o
52 sin B
1
在 ABC 中，已知 a,b 和 A 时，解的情况主要有以下几类：
a b sin A 无解
a b sin A
一解(直角)
①若 A 为锐角时：
b sin A a b 二解(一锐，一钝)
a b
一解(锐角)
a b sin A 一解
ab 一解
b sin A a b 两解
a b 无解 ② 若 A 为直角或钝角时：
类型二：正、余弦定理的综合应用
例 3．已知 ABC 中， a 6，b 8，c 9 ，试判断此三角形的形状.
【思路点拨】已知三边判断三角形的形状，通常先用勾股定理判断是否为直角三角形，斜三角形再用
余弦定理判断最大边所对角的余弦值的符号.
【解析】因为 a b c ，所以 A B C ，
又 cos C a2 b2 c2 19 0，