含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法
1 2a
综上：原不等式的解集为
1a
当 a＞0 时，{x|－a＜x＜2a}； 当 a＜0 时，{x|2a＜x＜－a}；
x 2ax a 0
当 a＝0 时，∅ .
x1 2a或x2 a
讨论：(1)当 2a a时，即 a＞0，则－a＜x＜2a， (2)当 2a＜ a时，即a 0, 则 2a＜x＜－a
1 m
1 m 1
x mx m 1 0
x1 m 或x2 m 1
m x m1 口诀：小于取中间
3判断根的大小，画二次 函数图像
[点评] 二次项系数不含参数的一元二次不等式的解法： (1)将二次项系数转化为正数； (2)判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省
去此步)； (3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根，为了
ax2+bx+c<0 的解集
(a>0)﹛x|x1<x<x2 ﹜
Φ
无实根 R Φ
解一元二次不等式的步骤
1、把一元二次不等式化为标准形式，即不等式 的左边是二次函数的解析式，右边是0，二次项的系 数大于0；
3、画出对应二次函数的图像，写出不等式的解 集。
什么是含参不等式？
通俗的说：不等式中除了变量x或y,还有其他代 表常数的字母，这个字母就叫参数。所对应的 不等式就叫含参不等式。
2当a 0时，1 2 ax 2x 2 0
再讨论：①当
2
2
a 2
时，即 a
x1
2 a
或x2
2
1 此时原不等式的解
a
集
Hale Waihona Puke x2 ax
2
②当 2＜2时，即 0＜a＜1，此时原不等式的解 a
含参一元二次不等式的解法
一元二次不等式是指形如$ax^2 + bx + c > 0$ 或$ax^2 + bx + c < 0$ 的不等式，其中$a,b,c$ 是常数。
解决这种不等式的方法与解决一元二次方程的方法类似，需要先求出方程$ax^2 + bx + c = 0$ 的根。
首先，将不等式中的常数移到右边，得到$ax^2 + bx = -c$。
然后，将左边因式分解，得到$a(x - r_1)(x - r_2) = -c$，其中$r_1$ 和$r_2$ 是方程$ax^2 + bx + c = 0$ 的两个根。
根据分解因式的性质，可以得到以下三种情况：
当$a > 0$ 时，不等式$ax^2 + bx + c > 0$ 的解为$r_1 < x < r_2$，而不等式$ax^2 + bx + c < 0$ 的解为$x < r_1$ 或$x > r_2$。
当$a < 0$ 时，不等式$ax^2 + bx + c > 0$ 的解为$x < r_1$ 或$x > r_2$，而不等式$ax^2 + bx + c < 0$ 的解为$r_1 < x < r_2$。
注意，当$a = 0$ 时，不等式变成一元一次不等式，应使用相应的解法。
含参数的一元二次不等式的解法高中数学
含参数的一元二次不等式的解法高中数学一元二次不等式是高中数学中重要的内容之一，它与一元二次方程不同，需要通过特定的方法来解决。
当一元二次不等式中出现参数时，解法也会有所不同。
本文将介绍含参数的一元二次不等式的解法。
首先，我们来看一个简单的例子，假设有不等式 f(x) =ax^2+bx+c > 0，其中a、b、c为实数且不为零。
我们的目标是确定x的取值范围使得不等式成立。
步骤一：将不等式化简为标准形式首先，我们需要将不等式化简为标准形式，即形如(ax^2+bx+c)>0的形式。
若不等式已经处于此形式，则可以直接进行下一步。
若不等式不满足此形式，则需要移项合并同类项，将不等式转化为标准形式。
步骤二：确定基本情况下的解法对于标准形式的一元二次不等式，我们可以利用图像法或代数法来解决。
对于a>0和a<0的两种情况，基本的解法如下：1. 当a>0时：- 如果a>0，二次函数的开口朝上，函数图像是一个开口朝上的抛物线。
此时的不等式解集为抛物线上方的实数集。
- 若抛物线与x轴有两个交点，我们可以通过求解对应的一元二次方程，求出两个交点x1和x2。
然后我们可以得到解集: x<x1 或x>x2- 若抛物线与x轴只有一个交点，我们可以求解的结果只有一个交点x0，此时解集为：x<x0 或 x>x0。
2. 当a<0时：- 如果a<0，二次函数的开口朝下，函数图像是一个开口朝下的抛物线。
此时的不等式解集为抛物线下方的实数集。
- 若抛物线与x轴有两个交点，我们可以通过求解对应的一元二次方程，求出两个交点x1和x2。
然后我们可以得到解集: x1<x<x2- 若抛物线与x轴没有交点，则解集为空集：ø步骤三：含参数时的解法当一元二次不等式中存在参数时，解法稍有不同。
我们以一个具体的例子来说明。
例题：对于不等式f(x) = (a+b)x^2+(b+c)x+c>0，其中a，b，c 为实数且不为零。
含参数的一元二次不等式
1 1 1 即 a 1时，原不等式的解集为： {x | x 1} a a 1 1即 a 1 时，原不等式的解集为： a
1 1 a
即
1 {x |1 x } 0 a 1 时，原不等式的解集为： a
含参数的一元二次不等式的解法
综上所述， (1)当 a 0 时，原不等式的解集为 (2)当 a 0 时，原不等式的解集为
2
又不等式即为 (x-2a)(x-3a)>0
故只需比较两根2a与3a的大小.
x 解: 原不等式可化为： 2a ( x 3a) 0
相应方程 x 2a ( x 3a) 0 的两根为 x1 2a, x2 3a ∴(1)当 2a 3a 即 a 0 时，原不等式解集为 x | x 2a或x 3a
综上所述： a 0时，原不等式解集为：x | x 2a或x 3a
a 0时，原不等式解集为： | x 3a或x 2a x
(2)当 2a 3a 即 a 0 时，原不等式解集为 x | x 3a或x 2a
两根大小的讨论
例题讲解
含参数的一元二次不等式的解法
2 ∴(a)当 k 0 时,原不等式即为 2 x 0
解集为：x x 0
解集为：x x 2
2 x 2 8x 8 0 ∴(b)当 k 8时,原不等式即为
k 2 8k 0 即 k 0 或 k 8 （３)当
时,
k k 2 8k k k 2 8k x x 4 4
例3： 解不等式
2
x ax 4 0
2
解：∵ a 16 ∴ 当a 4,4即 0时
含参数的一元二次不等式的求解方法解析
含参数的一元二次不等式的求解方法解析冯婷含参数的一元二次不等式是一元二次不等式求解问题的一个难点，本文总结了含参数的一元二次不等式的几种常见题型及其常见解法。
含参数的一元二次不等式由于其系数中出现了参数，因此往往需要对参数不同取值进行分类讨论从而加以求解。
一般情况下，含参数的一元二次不等式的分类和讨论步骤如下：（1）对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意对二次项系数是否为零的讨论，当特别当二次项系数为零时需转化为一元一次不等式问题来求解；（2）对含参数的一元二次不等式，在其解的情况不明确的情况下，需要对其判别式分0,0,0∆>∆=∆<三种情况加以讨论；（3）若含参数的一元二次不等式可以转化成用其根12,x x 表示的形如12()()a x x x x --的形式时，往往需要对其根分121212,,x x x x x x >=<三种情况进行讨论，或用韦达定理帮助求解。
一、对根的情况及判别式分类讨论例1 解关于x 的不等式220x kx k +-≤。
解：28(8)k k k k ∆=+=+① 当0∆>即08k k ><-或时，方程220x kx k +-=有两个不相等的实数根，则该不等式的解集为x x ⎧⎪≤≤⎨⎪⎪⎩⎭。
② 当0∆=即08k k ==-或时，方程220x kx k +-=有两个相等的实数根，则该不等式的解集为{}|0,2x x x ==或。
③ 当0∆<即80k -<<时，方程220x kx k +-=无实数根，则该不等式的解集为∅。
注：本题由于方程220x kx k +-=根的情况不确定，则需要对其判别式进行分类讨论。
例2 解关于x 的不等式022)3(2>-+++m mx x m 。
解：① 当03=+m 即3-=m 时，上述不等式可化简为650x -->，此时不等式的解集为5|6x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭。
含字母参数的一元二次不等式的解法
含字母参数的一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法是解不等式中最基本﹑最重要的内容，很多解不等式题都需要转化为一元二次不等式来解决，特别是含参数的一元二次不等式解法在近几年高考中屡屡出现，应给与予足够的重视与强化。
下面分类介绍含参数的一元二次不等式的解法。
一﹑ 两根中有参数例1解关于x 的不等式<0 (.解：方程=0的根为x=或x=.1) 当a<0或a>1时，有，此时不等式的解集为2) 当0<a<1时，有a>，此时不等式的解集为{x| <x<a};3) 当a=0或a=1时，有=a ，此时不等式的解集为.综上，当a<0或a>1时，原不等式的解集为当0<a<1时，原不等式的解集为{x| <x<a};当a=0或a=1时，原不等式的解集为.评注：一元二次不等式的解集与它对应的方程的两根的大小有关，若两根中含有参数并其大小不确定时，要分类讨论，分界数就是使两根相等的参数的取值。
二﹑判别式中有参数例2解关于x 的不等式，解：1)当<0, 即a>1时，对所有实数x ，都有，此时不等式的解集为R ；2)当=0，即a=1时，不等式的解集为{x|x≠1};3)当>0,即0<a<1时,方程的根为此时不等式的解集为{x|综上，当a>1时，原不等式的解集为R ；当a=1时，原不等式的解集为{x|x≠1};当0<a<1时，原不等式的解集为{x|。
评注：一元二次不等式，当二次项的系数符号确定时，他的解集与其判别式的符号有关，要求出其解集，一般分为：>0，=0与<0三种情况。
三﹑二次项系数中有参数例3 已知a >0，解关于x 的不等式：解：原不等式等价于（1） 当>0，即a >1时，<0 ②等价于x ≥0,或x ≤, x ≥0.（2） 当=0, 即a =1时，②等价于x ≥0, x ≥0.（3） 当<0, 即0<a <1时，②等价于0≤x ≤, ∴0≤x ≤.综上,当0<a <1时 ,原不等式的解集为{x ∣0≤x ≤};当a ≥1时, 原不等式的解集为{x ∣x≥0}.例4 已知m ，解关于的不等式：(m+3)>0解：（1）当m+3>0,即m>-3时,. 若>0,即-3<m<6时，方程(m+3)=0的两根为或, 不等式的解集为{x ∣x>，2a 2a 2a 2a ∆∆∆21a -∴21a -221a a -221aa -∆或x<}；若=0,即m=6时,原不等式变为,解集为若<0,即m>6时, 不等式的解集为R.(2) 当m+3=0,即m=-3时, 原不等式变为-6x-5>0, 解集为{x|x<}.(3) 当m+3<0,即m<-3时, =4(6-m)>0,< ,不等式的解集为{x ∣<x<}.综上所述, 当m<-3时, 原不等式解集为{x ∣<x<},当m=-3时, 原不等式解集为{x|x<},当-3<m<6时,原不等式的解集为{x ∣x>，或x<},当m=6时, 原不等式的解集为当m>6时, 原不等式的解集为R.评注:由以上两例可知,解不等式应按以下步骤进行分类讨论:1.若a 的符号不确定应先分a>0,a=0,a<0三种情况讨论.2.若a ≠0,就确定方程是否有解,有几解,即分 >0, =0, <0 三种情况讨论.3. 若方程有两不同解,则需比较这两根的大小.四 ﹑与含参数的一元二次不等式的解有关的问题例5 已知不等式对任意实数x 恒成立,求实数的取值范围.解:满足题意当且仅当m=0或,即m=0或,所以实数m 的取值范围是-1<m ≤0.例6 设均是非零实数，不等式和的解集分别为集合M 和N ，那么“”是“M=N”的( ).A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 既非充分又非必要条件解：如果>0,则“M=N”，如果<0，则“M≠N”.∴“”不是“M=N”的充分条件；反之，若M=N=，即说明二次不等式的解集为空集，与它们的系数比无任何关系，只需要判别式小于零。
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按$x$项的系数$a$的符号分类，即$a>0$，$a=0$，$a<0$。
例1：解不等式$ax+(a+2)x+1>2$分析：本题二次项系数含有参数，$\Delta=(a+2)^2-4a=a+4>0$，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：当$a>0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a>0$，所以$x_1x_2$或$x<x_1$，即$x\in\left(-\infty,\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}\right)\cup\left(\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a},+\infty\right)$。
当$a=0$时，不等式为$2x+1>2$，解得$x>\frac{1}{2}$，即解集为$x>\frac{1}{2}$。
当$a<0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a<0$，所以$x_1<x_2$。
所以解集为$x_1<x<x_2$，即$x\in\left(\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a},\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}\right)$。
例2：解不等式$ax-5ax+6a>(a\neq0)^2$分析：因为$a\neq0$，$\Delta>0$，所以我们只需讨论二次项系数的正负。
解：当$a>0$时，解得方程$ax-5ax+6a=0$的两根$x_1=2$，$x_2=3$，因为$a>0$，所以$x_13$，即$x\in\left(-\infty,2\right)\cup\left(3,+\infty\right)$。
3.2.3含参数的一元二次不等式的解法
2
.
.
3
x
（1）数形结合思想
例3. 关于x的不等式 2 x 9 x m ≤ 0 在区间[ 2, m≤9 3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.
2
解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，
记 g ( x) 2 x2 9 x, x [2,3],
gmin ( x) g(3) 9, m ≤ 9. （2）变量分离法(分离参数)
6.若关于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一负根， 则a的取值范围是_________. -1<a<1
解析
令f(x)=x2+ax+a2-1,
∴二次函数开口向上，若方程有一正一负根，
则只需f(0)<0,即a2-1<0,
∴-1<a<1.
7.已知函数f(x)=-x2+2x+b2-b+1(b∈R),若当x∈[-1,1]
三、解答题 8.解不等式：
log 1 (3x 2 2 x 5) log 1 (4 x 2 x 5).
2 2
解
原不等式等价于
2 2 3 x 2 x 5 4 x x 5, ① 2 ② 4 x x 5 0, 解①得x2+3x≤0,即-3≤x≤0. 5 解②得x>1或x< . 4 5 故原不等式的解集为 {x | 3 x }. 4
a 0 2 b 4ac 0
(4)二次不等式 ax2 +bx +c ≤ 0 恒成立
a 0 2 b 4ac 0
注：“不等式ax2+bx+c>0恒成立”即是 “不 等式ax2+bx+c>0的解集是R”
含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式例1.解关于x 的不等式2(1)0x a x a +--<.【解】易知原不等式可化为()(1)0x a x -+<,其对就方程的两根为1,a -,所以(1)当1a =-时,则不等式2(1)0x +<, 则x ∈∅;(2)当1a <-时,则不等式的解集为(,1)x a ∈-;(3)当1a >-时,则不等式的解集为(1,)x a ∈-.例2.解关于x 的不等式2(1)10()ax a x a R ---<∈.【解】(1)当0a =时,不等式可化为10x -<,即1x <;(2)当0a ≠时,不等式可化为(1)(1)0ax x +-<,其对应方程两根为11,a -,所以 ①当0a >时,显然101a -<<,所以原不等式的解为1(,1)x a ∈-; 当0a <时,有10a->,所以, ②当1a =-时,11a-=,原不等式可化为2(1)0x --<,其解为1x ≠; ③当10a -<<时,有11a ->,则不等式的解为1(,1)(,)x a∈-∞-+∞ ; ④当1a <-时,有11a -<,则不等式的解为1(,)(1,)x a∈-∞-+∞ ; 综上(1)(2)可知,原不等式的解集为:(按a 从小到大的顺序排列,且能并取了并集)①当1a <-时,有1(,)(1,)x a∈-∞-+∞ ; ②当10a -≤<时,有1(,1)(,)x a∈-∞-+∞ ; ③当0a =时,有(,1)x ∈-∞;④当0a >时,有1(,1)x a∈-. 例3.解关于x 的不等式220ax x a -+<.【解】(1)当0a =时,原等式可化为20x -<,即有0x >;(2)当0a ≠时,不等式对应方程的24(1)a ∆=-,所以,1)当0∆<,即1a >或1a <-时,有①当1a >时,不等式的解为x ∈∅;②当1a <-时,不等式的解为x R ∈;2)当0∆=,即1a =±时,有③当1a =时,不等式的解为x ∈∅;④当1a =-时,不等式的解为1x ≠-;3)当0∆>,即10a -<<或01a <<时,对应方程的两根为x =所以⑤当01a <<时,,故不等式的解为;⑥当10a -<<时,,故不等式的解为:()x ∈-∞+∞ . 综上(1)、(2)可知原不等式的解集为:(按a 从小到大的顺序排列,且能并取了并集) ①当1a <-时,有x R ∈;②当10a -≤<时,有()x ∈-∞+∞ ; ③当0a =时,有(0,)x ∈+∞;④当01a <<时有x ∈; ⑤当1a ≥时,有x ∈∅.〖小结〗一般地,关于x 的不等式2()()()0(0)p a x q a x r a ⋅+⋅+>≤(其中(),(),()p a q a r a 都是关于a 的简单多项式)的解法———分类讨论法,过程如下:(1)首先,讨论二次项系数()p a 符号(等于0优先);(2)其次,当()0p a ≠时,对应方程因式分解或讨论其判别式∆的符号(0,0∆<∆=优先);(3)再次,当0∆>时,讨论对应方程两根12(),()x a x a 的大小.(4)最后,按参数a 从小到大的顺序将不等式的解集分别陈述总结,能合并则合并起来. 〖巩固练习〗1.解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<.【解】(1)当0a =时,不等式为10x -+<,得1x >;(2)当0a ≠时,不等式可化为(1)(1)0ax x --<,其对应方程两根为1,1a; ①当0a <时,显然101a <<,则不等式的解为1x >或1x a<; ②当0a >时,1)当1a =时,不等式为2(1)0x -<,即x ∈∅;2)当01a <<时,11a >,则不等式的解为11x a<<; 3)当1a >时,11a <,则不等式的解为11x a<<. 综上可知,不等式的解集为①当0a <时,1(,)(1,)x a∈-∞+∞ ; ②当0a =时,(1,)x ∈+∞;③当01a <<时,1(1,)x a∈; ④当1a =时,x ∈∅;⑤当1a >时,1(,1)x a∈. 2.解不等式(1)1(1)2a x a x ->≠-. 【解】原不等式可化为(1)(2)0[(1)(2)](2)02a x a a x a x x --->⇔---->- 由于1a ≠,故其对应的方程两根为212,111a a a -=---,所以 (1)当1a >时,显然11121a -<<-,故不等式的解为2{|,2}1a x x x a -<>-或; (2)当1a <时,所以①当0a =时,有221a a -=-,故不等式2(2)0x -->的解为x ∈∅; ②当01a <<时,有221a a ->-,故不等式的解为2{|2}1a x x a -<<-; ③当0a <时,有221a a -<-,故不等式的解为2{|2}1a x x a -<<-; 综上(1)、(2)可知,原不等式的解为:①当0a <时,有2{|2}1a x x a -<<-;②当0a =时,有x ∈∅; ③当01a <<时,有2{|2}1a x x a -<<-;④当1a >时,有2{|,2}1a x x x a -<>-或.。
含参数的一元二次不等式的解法微课课件
原不等式解集为
xk4k28kxk
k28k
4
k 8
(3)当 (4)当
xk4k28kxk4k28k
k 8时,不等式解集为
x x 2
时,不等式解集为
(2)当
时8,不k等式0解集为
综上所述， (1)当
k0
时,不等式解集为
x x 0
(5)当
k 时 ,0不等式解集为
xk4k28kxk4k28k
a
（2）当 a0 时，有：
（a）当 （b）当 （c）当
1 1 a
即 a 1
时，原不等式的解集为：
{x | 1 x 1} a
1 1 即 a 1 时，原不等式的解集为：
a
1 1 即 0a1 时，原不等式的解集为： {x | 1 x 1}
a
a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
01
a2x(a1)x10.
02
综上所述，
例3:解关于 的不等式：
人教版高中数学必修五第三章
含 参 数 的 一 解元 法二 次 不 等 式 的
授课人：广东省阳东广雅中学
杨学武
温故知新
a x 2 + b x + c > 0 或 a x 2 + b x + c < 0 (a > 0 )
根据二次函数的图
象以及不等号的方
向，写出不等式的
0
（2）求对应方程的根：
1 一．
因式分解求方程的根，
m m 0 时 ， 不 等 式 的 解 集 为 { x |x 2 或 x 2 }
m
课堂小结
对含参数的一元二次不 等式解法，其分类讨论 的依据
含参数的一元二次不等式的解法
课堂总结：
（1）会求解含有参数的一元二次不等 式，一般讨论的顺序是：①讨论二次项系数 ②判断二次不等式相对应方程的两根的大 小 （2）能够熟练应用分类讨论及数形结合的 数学思想。
分析： 3x 2 -19 x+6 0
（3x-1)(x-6) 0
1 相对应方程（3x-1)(x-6)=0的根x1 = ,x2 =6 3
1 不等式的解集（ , 6） 3
含参数的一元二次不等式的解法
专题一 例1
解不等式x +(a-1)x-a>0(a>0)
2
解析：原不等式等价于 （x 1)( x a) 0
若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为 的值为(
A.－1415
（2）二次项含有参数 D.－17
解含参数的一元二次不等式的步骤： （1）二次项系数为参数时，应讨论是等于 0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化 为二次项系数为正的形式。 (2)因式分解，求出相对应方程的根， 不能确定根的大小时，应讨论方程两 根的大小关系，从而确定解集。
-a
1 (-a)
-a
(1)-a<1（2） -a=1 (3)-a>1
专题二
例2
解不等式ax +(a-1)x-1>0(a R)
2
二次项含有参数应如何求解？
考点 例 1
含参数的一元二次不等式
1 1 x 则 }, a＋b （1）一是二次项系数为常数 ,参 2 3 ) 数在一次项或常数项 {x
解一元二次不等式的步骤
(1)化成标准形式 ax +bx+c>0 a>0) 或ax +bx+c<0(
（2）判别式△与0的关系， 求出相应方程的实根X1,X2; （能因式分解的不用判别式△ ） (3)画图对应函数的简图，写出不等式的解集.
一元二次不等式的解法(含参不等式)
（第三课时）
含参数的不等式
1、分式不等式
1 、
f (x) g ( x)
0
f (x) 0 g(x)
2、指数、对数不等式
①当 a 1时
a f (x) ag(x) f (x) g(x)
loga f (x) loga g(x) f (x) g(x) 0
求出 a,b.
题型与解法
（三）逆向问题
例2.已知不等式 ax2 bx 2 0 的解集为
11
( , ), 求a-b 的值.
23
解法一：∵不等式
∴方程 ax2
ax2
bx
bx 2 0的解集为 (
2 0 的两根为 1 , 1
1 2
,
,
1 3
),
23
1
66 a b 10.
题型与解法
（三）逆向问题
变式训练2
若不等式 ax2 bx c 0 的解 集是{x | 1 x 2}，求不等式
3 cx2 bx a 0 的解集.
{x | 3 x 1} 2
课堂练习
1.下列不等式中，解集为实数集R的是（D ）
(A) (x 1)2 0 (B) | x3 8 | 0
(C) | x | 0
(D) x2 2x 3 0
2.当 a 0时,不等式x2 ax 12a2 0 的解是（C）
(A) x 3a或x 4a (B) 3a x 4a
(C) 4a x 3a (D) 3a x 4a
4 a
a1 2
1b
b 2 0, 2 0.
含参数的一元二次不等式的解法
小结：
1.含参数的一元二次不等式解法，通常情况 下均分类讨论，分类主要依据因素： （1）二次项系数; （2）△; (3)两根大小。 2.分类讨论思想，数形结合思想，转化化归 思想。
作业：
P87，B组1、2.
谢谢光临指导
例2.
解关于x的不等式 解关于 的不等式. 的不等式 x2- (2m+1)x+m2+m<0.
解：方程x2- (2m+1)x+m2+m=0解集为 x1=m,x2=m+1,且m<m+1. 二次函数y= x2- (2m+1)x+m2+m的图 像开口向上，且与x轴有两个交点。 所以，不等式x2- (2m+1)x+m2+m<0 的解集为｛x ︱m<x<m+1｝
例4：解关于x的不等式： x2+(1-a)x-a<0
解：方程x2+(1-a)x-a<0的解为x1=1,x2=a. (1)当a<-1时，原不等式的解集为(a,-1); (2)当a=-1时，原不等式的解集为￠; (3)当a>-1时，原不等式的解集为(-1,a).
课堂练习:
1.P81中1、2、4. 2.若不等式ax2+5x+b>0的解为｛x︱ 1/3<x<1/2｝,则 a,b的值分别是——。 a=-6 b=-1
x∈ R
Φ
ax2 +bx+c < 0(a > 0)
的解集
{x / x1 < x < xB分别是不等式3x2+6≤19x与不等式2x2+3x+5>0解集。试求A∩B,A∪B. 解：由3x2+6≤19x，得3x2-19x+6≤0. 方程3x2-19x+6=0的解为 x1=1/3,x2=6. 函数y=3x2-19x+6的图像开口向上且与x轴有两个 交点(1/3,0)和(6,0)。 所以原不等式的解集为A=｛x︱1/3≤x≤6｝。 同理可得，不等式B的解集为A=｛x︱ - 1<x＜ 5/2｝ 所以A∩B= ｛x︱1/3≤x<5/2｝, A∪B= ｛x︱-1＜ x≤6｝
含参数的一元二次不等式的解法课件
目录
CONTENTS
• 引言 • 一元二次不等式的概念和性质 • 含参数的一元二次不等式 • 含参数一元二次不等式的解法实例 • 课程总结与展望
01 引言
课程背景
01
一元二次不等式是中学数学的重要内容，也是高等 数学的基础。
02
含参数的一元二次不等式在解决实际问题中具有广 泛的应用。
解集为$1 < x < a$。当$a < 1$时，解集为 $a < x < 1$。
实例三：求解含参数的一元二次不等式
要点一
题目
要点二
解答
求解不等式$x^2 + (a - 3)x + a > 0$
首先，将不等式化为标准形式。然后，对参数$a$进行分 类讨论。当$a = 1$时，不等式变为$(x + 2)^2 > 0$，解 集为全体实数除了$-2$。当$a < 1$时，利用因式分解法 $(x + a)(x + 2) > 0$，解集为全体实数除了$-a$和$-2$。 当$a > 1$时，解集为全体实数。
它包含一个未知数 x 的最高次数为2的不等式。
一元二次不等式的解法
01
解一元二次不等式的基本步骤是：首先求出不等式的根， 然后根据不等式的符号确定解集。
02
对于形如 ax^2 + bx + c > 0 的不等式，如果 a > 0，则解集为 两根之外的所有实数；如果 a < 0，则解集为两根之间的所有实数
两个实根。最后，根据二次函数的性质，判断不等式的解集为两根之间的区间。
实例二：求解含参数的一元二次不等式
含参的一元二次不等式的解法
含参的一元二次不等式的解法一元二次不等式是指形如ax^2 + bx + c > 0（或< 0）的二次函数的不等式，其中a, b, c是实数，且a ≠ 0。
解一元二次不等式的方法与解一元二次方程类似，但是需要注意的是，不等式的解是满足不等式条件的解集。
下面将介绍一元二次不等式的解法，包括图像法、开方法、配方法、代数法等。
一、图像法：对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0（或< 0），我们可以首先绘制二次函数y = ax^2 + bx + c的图像，并找出函数图像在x轴上方（或下方）的区间。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以绘制出y = x^2 - 4x + 3的图像。
首先，找到抛物线的顶点，顶点就是不等式解的中心点。
顶点的横坐标为x = -b/(2a)，纵坐标为y = f(-b/(2a))。
在这个例子中，a = 1，b = -4，c = 3，所以顶点的横坐标为x = -(-4)/(2*1) = 2，纵坐标为y = f(-4/(2*1)) = f(2) = 2^2 - 4*2 + 3= -1。
然后，可以找到函数图像在x轴上方的区间，即函数图像在x < 1和x > 3时，都在x轴上方。
根据图像可知，在x < 1和x > 3时，x^2 - 4x + 3 > 0。
所以，不等式x^2 - 4x + 3 > 0的解为x < 1或x > 3。
二、开方法：对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0（或< 0），我们可以考虑将不等式转化为以x为未知数的一元二次方程，并求解方程的根，在不等式的根之间的区间满足不等式。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以通过因式分解或配方法得到方程(x - 1)(x - 3) > 0。
根据求解一元二次方程的方法，可以得到方程的两个根为x = 1和x = 3。
3种含参数的一元二次不等式的解法
彝
◇ 北 京 郭 玉 晶 刘 占峰 童 嘉 森 （ 特级教 师）
萎 蓑 羹 鼍 兰
二 次 函数 、 一 元 二 次 方 程 或 一元 二 次 不 等 式 中 “ ≠０ 这 个 重要 的条 件 ， 若 ｎ ＝ ＝ ＝ ０ ， 就 是 一 次 式或 常 数． 因此 ，
分析
类 型 ２与类 型 １对 比， 发现 二 次 项 的 系数
研 究 函数 的单 调 区 间 、 极值 、 最 值 以及 求 有 关 参 数 取
值 范 围的 问题 中 ， 往往 最终 落 脚点 都 是 关 于一 元 二 次
是确 定 的 ， 但 是 方 程 是 否 有根 不 定 ， 而 方 程 的根 由判
ｌ ， 函数 ３ ／ ＝ ＝ ＝ ｎ （ —１ ） 的 图象如 图 ２所 示 ， 由 图象 得解 集为｛ Ｉ Ｏ ＜． ／ ７ ＜１ ） ． 综上， 当ａ 一０时 ， ｚ ∈ ； 当ａ ＞ ０时 ， ｛ ． ２ ７ １ ＜ ０或
＞１ ｝ ； 当ａ ＜０时 ， ｛ ｚ｛ ０ ＜ ＜ ｌ ｊ ．
然后 画 出图象 ， 由图象写 出解 集． 解 方程 一ｎ 一０中 ， △＝ ＝ ＝ ４ ａ ．
（ １ ）当 ４ ｎ ＞Ｏ ， 即ｎ ＞０时 ， 方 程 。 一ａ 一０的两根
为 一 ， ， 函数 Ｙ — 一ａ的 图象 如 图 ３所示 ， 由图 象 得 出解 集 为 ｛ ！ ＜ 一， ／ ７或 ＞√ ｃ ｚ ） ；
类型 ， ～ － 般常 Ｉ 』 １ Ｌ 的类 型有 ３种 ： 二 次项 系 数含 有 参数 ， 函数 的名 称不确 定 ； 判 别 式 △ 中含 有 参 数 ， 方程是： 有根 不确 定 ； 方 程 的 根 中 含有 参 数 ， 根 的 大 小 关 系 不
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按X 2项的系数a 的符号分类，即a 〉0,a=0,a<0; 例1解不等式： ax 2a 2x 1 0分析：本题二次项系数含有参数， A=(a +2f_ 4a = a 2+4》0,故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：•, A = (a +2 2 —4a = a 2+4》0 解得方程 ax 2 +(a +2 X +1=0 两根为=—'—2；；京*4, X2 = -'-2*带 八心 臣”兀 —a -2 +而2 +4 y _a -2 - da 2 +4 .•当 a 》0时,解集为』x | x > ----------------------- 或x < ---------------------2a 2a当a =0时，不等式为2x+1》0，解集为』x|x 〉；？— a —2+y a 2+4_a_2_Ja 2+4当a<0时，解集为Jx|一 <x <一 .2例2解不等式ax —5ax + 6a 》0(a 孝0 )分析 因为a #0 , A >0,所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解a(x 2 -5x 6) = a x - 2 x -3 )〉0,二当a a 0时，解集为<x | x < 2或x a 3"当a < 0时，解集为 k | 2 <x < 3}2、(1 — ax )2<1.【解】 由(1 - ax)2<1 得 a 2x 2 - 2ax+ 1<1.即 ax(ax —2)<0. (1)当a=0时，不等式转化为0<0,故原不 等式无解.(2)当a<0时，不等式转化为 x(ax 一2)>0,2即 x(x — )<0.a2<0 , 不等式的解集为 {x|2aa<x<0}.变式：解关于x 的不等式1、(x —2)(ax —2) A0 ; ⑴当a ：：：0时,{x|2:::x<2} a(2) 当 a =0 时,{x|x =:: 2)2 (3) 当0 <a C 1 时,{ x| x <2,或xA —)a (4) 当a =1 时,{x | x =2) 2工(5) 当a A 1 时,{x | x 〈一,或x A2)a(3)当a>0时，不等式转化为 x(ax — 2)<0 ,一 2 又>0, a2...不等式的解集为{x|0<x<a }.综上所述：当a= 0时，不等式解集为 空集；2 当a<0时，不等式解集为{x|2<x<0}; a2当a>0时，不等式解集为{x|0<x< }.a二、按判别式 △的符号分类，即 A A 0,A=0,A<0; 例3解不等式x 2 +ax +4>0分析 本题中由于x 2的系数大于0,故只需考虑△与根的情况。
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含参数的一元二次不等式的解法含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x变式：解关于x 的不等式1、0)2)(2(>--ax x ；2、(1－ax )2<1.}2,2|{,1)5(}2|{,1)4(}2,2|{,10)3(}2|{,0)2(}22|{,0)1(><>≠=><<<<=<<<x ax x a x x a ax x x a x x a x ax a 或时当时当或时当时当时当【解】由(1－ax )2<1得a 2x 2－2ax ＋1<1.即ax (ax －2)<0.(1)当a ＝0时，不等式转化为0<0，故原不等式无解．(2)当a <0时，不等式转化为x (ax －2)>0，即x (x －2a )<0.∵2a <0，∴不等式的解集为{x |2a<x <0}．含参数的一元二次不等式的解法}11|{1)5(1)4(}11|{10)3(}1|{0)2(}1,1|{0)1(<<>Φ=<<<<>=><<x ax a a ax x a x x a x ax x a 时，当时，当时，当时，当或时，当3、ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R)二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
解：∵162-=∆a∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ； 当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >,∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。
(3)当a >0时，不等式转化为x (ax －2)<0，又2a >0， ∴不等式的解集为{x |0<x <2a }． 综上所述：当a ＝0时，不等式解集为空集； 当a <0时，不等式解集为{x |2a <x <0}；当a >0时，不等式解集为{x |0<x <2a}．变式：解关于x 的不等式：012<++x ax Φ≥-+-<<---<<-<=--->-+-<<时，当时，当时，当或时，当41)4(}24112411|{410)3(}1|{0)2(}2411,2411|{0)1(a a a x a a x a x x a aax a a x x a三、按方程02=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<；例5 解不等式)0( 01)1(2≠<++-a x aa x 分析：此不等式可以分解为：()0)1(<--ax a x ，故对应的方程必有两解。
本题只需讨论两根的大小即可。
解：原不等式可化为：()0)1(<--a x a x ，令aa 1=，可得：1±=a ∴当1-<a 或10<<a 时，a a 1<，故原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1|； 当1=a 或1-=a 时，aa 1=,可得其解集为φ； 当01<<-a 或1>a 时, a a 1>,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1|。
例6 解不等式06522>+-a ax x ，0≠a分析 此不等式()0245222>=--=∆a a a ，又不等式可分解为()0)3(2>--a x a x ，故只需比较两根a 2与a 3的大小.解 原不等式可化为：()0)3(2>--a x a x ，对应方程()0)3(2=--a x a x 的两根为 a x a x 3,221==，当0a时，即23a a ，解集为{}a x a x x 23|<>或；当0<a 时，即23aa ，解集为{}|23x x a x a ><或变式：1、223()0xaa x a 2、0222<--a ax x解：∵x 2－（a+a 2）x+a 3＝（x －a ）（x －a 2） ∴当a>1，或a<0时，不等式的解为a<x<a 2 当0<a<1时，不等式的解为a 2<x<a 当a ＝0，或a ＝1时，不等式解为φ 098.0222222≥=+=∆=--a a a a ax x 的判别式方程.,221a x a x -==得方程的两根为.2,0)3(a x a a -<<<则若ax a a 2,0)1(<<->则若Φ<=此时解为则原不等式为若,0,0)2(2x a课后练习：1、)23(0)3)(2(-≠≠<-+-a a x x ax ，且（分3;32;2><<--<a a a 讨论）}3,2|{3)3(}3,2|{32)2(}32,|{2)1(a x x x a x a x x a x a x x a <<-<><<-<<<-<<-<-<或时，当或时，当或时，当 2、不等式11<-x ax的解集为}21|{><x x x ，或，求a 的值. （21=a ） 3、已知}0)1(|{},023|{22≤++-=≤+-=a x a x x B x x x A ， ①若AB ，求实数a 的取值范围.；（2>a ）②若A B ⊆，求实数a 的取值范围.；（21≤≤a ）③若B A 为仅含有一个元素的集合，求a 的值.（1≤a ） 解：A=｛x ｜1≤x ≤2｝，B=｛x ｜(x-1)(x-a)≤0｝ (1)若AB(图甲)，应有a ＞2. (2)若BA(图乙)，必有1≤a ≤2.(3)若A ∩B 为仅含一个元素的集合(图丙)，必有a ≤1.4、已知}031|{≤--=x x x A ，B B A a x a x x B =≤++-= 且},0)1(|{2，求实数a 的取值范围. （31<≤a ） 5、设全集R U =，集合}3|12||{},01|{<+=≥+-=x x B x ax x A ，若R B A = ，求实数a 的取值范围. （12≤≤-a ） 6、已知全集R U =，}034|{},082|{},06|{2222<+-=>-+=<--=a ax x x C x x x B x x x A ，若C B A ⊆)( ，求实数a 的取值范围.（ 21≤≤a ）7、若关于x 的不等式(2x －1)2＜ax 2的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围。
（]1649925<<a 【解析】 不等式可化为(4－a )x 2－4x ＋1＜0 ①，由于原不等式的解集中的整数恰有3个，所以⎩⎨⎧>--=∆>-0)4(41604a a ，解得0＜a ＜4，故由①得a x a -<<+2121，又212141<+<a ，所以解集中的3个整数必为1,2,3，所以3＜a-21≤4，解得925＜a ≤1649。