空间向量的正交分解

xi, y j , zk
为向量 p 在
上的分向量。 i, j , k 上的分向量。
探究：在空间中， 探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量 结论： 结论： 空间向量基本定理： 空间向量基本定理：
a, b, c
i, j , k
，能得出类似的
如果三个向量 a, b, c不共面，那么对空间任一 向量 p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z 使 p = xa + yb + zc.
x e3 e1 O e2 y
z
p
在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一点 中 在空间直角坐标系 A,对应一个向量 ，于是存在唯一的有序实数 对应一个向量OA， 对应一个向量 组x,y,z，使 OA=x e1+y e2+z e3 ，
z
在单位正交基底e 在单位正交基底 1, e2, e3 中与向量OA对应的有序实数 中与向量 对应的有序实数 (x,y,z)，叫做点A在此空间 组(x,y,z)，叫做点A在此空间 直角坐标系中的坐标， 直角坐标系中的坐标，记作 A(x,y,z)，其中 叫做点 的横 叫做点A的横 ，其中x叫做点 坐标， 叫做点 的纵坐标， 叫做点A的纵坐标 坐标，y叫做点 的纵坐标，z 叫做点A的竖坐标 的竖坐标. 叫做点 的竖坐标
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
都叫做基向量 a, b, c 都叫做基向量
特别提示：对于基底 除了应知道a,b,c不共面， 不共面， 特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道 除了应知道 不共面 还应明确： 还应明确： （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。 ）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。 为与任意一个向量共线， （2） 由于可视 0 为与任意一个向量共线，与任意两 ） 个非零向量共面，所以三个向量不共面， 个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们 都不是 0 。 （3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基 ）一个基底是指一个向量组， 底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。 底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。
z
OP = OQ + zk = xi + y j + zk .
由此可知， 由此可知，如果 i, j , k 是空间两 两垂直的向量，那么， 两垂直的向量，那么，对空间任一 向量 p ，存在一个有序实数组 {x,y,z}使得 使得 p = xi + y j + zk. 我们称
k j i O
x
p
P
y Q
2、点M（2，-3，-4）在坐标平面 、 （ ， ， ）在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正 、 、 内的正 投影的坐标分别为 ，关于原点的对称点 为 ，关于轴的对称点为 ，
例题
已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC， ， M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P， Q是线段MN三等分点，用基向量OA，OB， OC表示向量OP,OQ.
3.1.4空间向量的正交分 3.1.4空间向量的正交分 解及其坐标表示
复习：
共线向量定理: 共线向量定理
对空间任意两个向量a、 b ≠ 0），// b的 （ b a 充要条件是存在实数λ，使a＝λ b。
共面向量定理: 共面向量定理
如果两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝x a＋y b。
o j
a
x
问题： 问题：
我们知道， 我们知道，平面内的任意一个向量 p 都可以 来表示（ 用两个不共线的向量 a, b 来表示（平面向量基本定 ）。对于空间任意一个向量 有没有类似的结论呢？ 对于空间任意一个向量， 理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？
OP = OQ + zk . OQ = xi + y j.
平面向量基本定理：
e 如果e1，2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有 一对实数λ1，λ2，使a＝λ1 e1＋λ2 e 2。 （e1、2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。） e
平面向量的正交分解及坐标表示
y
Leabharlann Baidu
a = xi + y j
i = (1, 0), j = (0,1), 0 = (0, 0). i
二、空间向量的直角坐标系
给定一个空间坐标系和向 且设e 为坐标向量， 量 p,且设 1,e2,e3为坐标向量， 且设 由空间向量基本定理， 由空间向量基本定理，存在唯 一的有序实数组(x,y, z)使 一的有序实数组 使 p = xe1+ye2+ze3 有序数组( 叫做p在空间 有序数组 x, y, z)叫做 在空间 叫做 直角坐标系O--xyz中的坐标， 中的坐标， 直角坐标系 中的坐标 记作.P=(x,y,z) 记作
一、空间直角坐标系 单位正交基底：如果空间的一个基底的 单位正交基底： 三个基向量互相垂直，且长都为1， 三个基向量互相垂直，且长都为 ，则这个 基底叫做单位正交基底 常用e 单位正交基底,常用 基底叫做单位正交基底 常用 1 , e2 , e3 表示 空间直角坐标系：在空间选定一点 和一 空间直角坐标系：在空间选定一点O和一 以点O为原点 个单位正交基底 e1,e2,e3 ,以点 为原点，分别 以点 为原点， 的正方向建立三条数轴： 轴 以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、 轴 z轴，它们都叫做坐标轴 这样就建立了一个 轴 它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个 空间直角坐标系O--xyz 空间直角坐标系 叫做原点， 都叫做坐标向 点O叫做原点，向量 1,e2,e3都叫做坐标向 叫做原点 向量e 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面 量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
O M A Q P N B C
练习
x
A(x,y,z) e3 e1 O e2 y
练习： 练习：
e e 1、在空间坐标系o-xyz中， = e1 − 2e2 − 3e2 ( e1、2、3 分 、在空间坐标系 中 AB 别是与x轴 轴的正方向相同的单位向量)则 别是与 轴、 y轴、 z轴的正方向相同的单位向量 则 AB 轴 轴的正方向相同的单位向量 ， ， ） 的坐标为 （1，-2，-3） 。