非平衡格林函数和介观输运理论2
格林函数与输运
《多粒子物理学》读书报告：格林函数与输运内容提要：1概述；2单粒子性质的格林函数表述；3用格林函数推导迁移率中1-α项1概述 1． 1金属中电子输运特性对于金属*m e τμ-=， μσ0en -=，τ是输运驰豫时间，它的物理意义是处在某动量本征态的电子的平均寿命，即0=t 时一个处于某动量本征态的电子在τ=t 时完全失去了对其原有动量的记忆。
输运驰豫时间包括各种相互作用的贡献主要有杂质散射﹑电子-声子相互作用﹑电子-电子相互作用等等：∑=--ii 11ττ即输运驰豫时间由各种机构中i τ最小的决定。
绝对零度时，纯金属晶体中电子不受散射，具有无穷大电导。
T >0时实际金属的电阻是由电子受到杂质和晶格振动的散射引起的。
在室温时，典型金属的电阻率约为10-8Ω.m ，随着温度降低到室温以下，电阻近似线性地减小（图1,see, p.131 in Ref.[1]），在低温时水平地达到一定值。
低温时的电阻率与试样的纯度密切相关，对于高纯度的退火单晶体，约可以达到室温电阻率的10-4倍。
不纯试样中的附加电阻在整个温度范围内近似地与温度无关。
这个事实叫做马赛厄司定则（Mathiessen rule ，又翻译为马提生定则（1862））。
这个附加电阻是由于杂质引起的电子散射，在低温下它构成电阻的主要部分。
杂质散射电阻与温度无关的事实暗示出可动电子的浓度与温度无关，这与半导体中电子浓度与温度呈指数函数关系大不一样。
声子散射电阻依赖于温度，在高温时可变得很大。
这两部分电阻具有可加性，因此可分别处理。
上述金属中的杂质不含磁性杂质。
磁性杂质的散射将导致低温下电阻值的对数上升，称为近藤(Kondo)效应。
1． 2半导体输运特性半导体中的散射仍可分为电离杂质和晶格振动的散射两大类。
晶格振动的散射又分为声学波和光学波散射两种。
声学波通过两种方式散射电子：引起密度变化从而产生形变势（声学声子形变势散射）；在没有反演中心的极性晶体中引起压电极化（压电散射,长声学波明显）。
格林函数及其应用课件
有限差分法
01
有限差分法是将微分方程或积分 方程转化为差分方程，然后求解 差分方程得到格林函数的数值解 。
02
有限差分法适用于求解偏微分方 程，特别是对于具有周期性或对 称性的问题，有限差分法可以大 大简化计算过程。
有限元法
有限元法是将微分方程或积分方程转化为有限元方程，然后求解有限元方程得到 格林函数的数值解。
对于某些领域，需要高精度的格林函数来保证计 算的准确性。
未来格林函数研究的方向与展望
算法优化
寻求更高效、稳定的算法来计算格林函数。
多领域交叉
加强与其他领域的合作，拓展格林函数的应用范围。
数值稳定性
研究如何提高格林函数计算的数值稳定性。
感谢观看
THANKS
量子力学散射问题的格林函数计算
总结词
介绍了量子力学散射问题中格林函数的 计算方法，以及其在散射理论中的应用 。
VS
详细描述
在量子力学中，格林函数用于描述粒子在 相互作用下的运动行为。通过计算格林函 数，可以研究粒子在散射过程中的能量和 动量变化，进一步理解物质的微观结构和 相互作用机制。
流体动力学波动问题的格林函数计算
工程学
在电路分析、控制理论和信号 处理等领域有广泛应用。
生物学
用于研究神经网络的传播和扩 散过程。
金融学
用于描述资产价格波动和风险 评估。
当前格林函数计算中存在的问题与挑战
高维问题
随着问题维度的增加，格林函数的计算变得极为 复杂。
不适定性
在实际应用中，格林函数的求解可能存在数值不 稳定性。
精度要求
有限元法适用于求解复杂的偏微分方程，特别是对于具有复杂边界条件的问题， 有限元法可以更好地处理边界条件。
介观系统中的自旋极化输运
介观系统中的自旋极化输运【摘要】：本论文针对既具有重要应用价值，又具有基础理论研究意义的介观系统中的自旋极化输运现象做了较为系统和深入的理论研究。
其目的一方面在于揭示介观系统中新效应的物理机制和规律，另一方面为设计和实现具有优良性能的量子器件提供物理模型和理论依据。
在简要地回顾了低维介观体系物理研究中的一些重要实验和理论进展，并较详细地介绍了本文所采用的理论工具——非平衡格林函数方法之后，我们针对几个有趣的问题进行了研究。
首先我们从理论上提出了一种新型的能够产生自旋极化电流的设计，该装置构建在由随时间振荡的自旋相关的隧穿所伴随的开放耦合双量子点上。
我们计算出了流过该装置的自旋极化电流的精确表达式。
数值分析的结果表明，流经该装置的电荷流和自旋流可以由门电压、驱动场的频率以及外磁场控制；此外，通过该装置的自旋极化电流能够产生非常有趣的反共振行为。
通过对限制在孤立的耦合双量子点中电子的动力学行为的详细分析，我们对此反共振行为做出了定性地解释并指出了其在自旋电子器件方面的可能应用。
然后我们研究了与局域声子模耦合的单分子和量子点的输运特性，重点关注声子效应对自旋流及其噪声谱的影响。
自旋流由施加在量子点中的旋转磁场产生。
结果表明电声子相互作用可以导致伴峰的出现，它们钉扎在能量等于声子频率整数倍的位置，峰的高度对电声子相互作用的强度非常敏感；此外，声子模对自旋流的零频噪声谱也有显著的影响。
最后，基于TMR体系下的无限UAnderson模型，我们讨论了在强电子关联和电声子耦合的共同作用下与金属铁磁电极相连的单分子或量子点中的量子输运特性。
通过延拓的运动方程方法我们首先计算了谱密度和非线性微分电导。
我们发现电声子相互作用在铁磁—量子点—铁磁强关联系统的自旋极化输运中扮演非常重要的角色。
在铁磁电极处于反平行磁化位形时，其输运特性与其它的理论分析结果相类似。
而在平行位形，则呈现出了非常不同的输运行为。
由于铁磁电极磁特性的影响，Kondo共振峰和声子伴峰在平行位形下均劈裂为不对称的两个低密度的小峰。
非平衡格林函数和介观输运理论2
3）、Kondo效应：W.G. van der Wiel, et.al. Science 289, 2105 (2000)非平衡格林函数和介观输运理论一、Green函数的定义和一些基本关系：二、关于Green函数的三个主要方程：三、电流与Green函数的关系：四、几个用Green函数计算电流的例子：参考书：1、H. Haug, A.-P. Jauho, Quantum Kinetics intransport and optics of semiconductors,Springer-Werlag, 19982、G.D. Mahan, Many-Particle Physics.非平衡格林函数和介观输运理论一、Green函数的定义和一些基本关系：二、关于Green函数的三个主要方程：三、电流与Green函数的关系：四、几个用Green函数计算电流的例子：参考书：1、H. Haug, A.-P. Jauho, Quantum Kinetics intransport and optics of semiconductors,Springer-Werlag, 19982、G.D. Mahan, Many-Particle Physics.二、关于Green 函数的三个主要方程：1、运动方程；2、Dyson 方程；1)、把H 分成：2)、从海森伯表象－>相互作用表象；3)、wick 定理展开，费马图表示；4)、连接图与非连接图可约自能与不可约自能；5)、得到Dyson 方程3、Keldysh 方程；0IH H H =+非平衡格林函数和介观输运理论一、Green函数的定义和一些基本关系：二、关于Green函数的三个主要方程：三、电流与Green函数的关系：参考文献：1、Y. Meir, N.S. Wingreen, Phys.Rev.Lett.68,2512(1992).2、A.-P. Jauho, N.S. Wingreen, Y. Meir,Phys.Rev.B 50,5528 (1994).四、几个用Green函数计算电流的例子：非平衡格林函数和介观输运理论一、Green函数的定义和一些基本关系：二、关于Green函数的三个主要方程：三、电流与Green函数的关系：四、几个用Green函数计算电流的例子：Thank You!。
第三章 输运现象与分子动理学理论的非平衡态理论 2
O2+CO2
P = nkT
( P、T恒定） 恒定） ⇒ n(O + CO ) = nO = nCO 2 2 2 2
P
V
⇒
O2+CO2
扩散现象出现时存在宏观粒子流， 扩散现象出现时存在宏观粒子流， 是非平衡现象， 是非平衡现象，也是一种物质的输运现象 §3.2.1 菲克定律 自扩散与互扩散
V P T CO2
dM dρ A 或： = −D dt dz
气体常压下的扩散是由于粒子数密度空间不均匀造成 的宏观粒子迁移或质量迁移引起 说明： 说明： ⑴ 黏性与扩散均依靠分子无规则热运动实现 ⑵ 液体、固体也有扩散现象，但由于微观结构不同使得其扩散 液体、固体也有扩散现象， 的机理也不同
§3.3 热传导现象的宏观规律 当系统与外界之间或系统内部各部分之间存在温度差时就有 热量的传输 热传递有三种本质不同的基本方式：热传导、对流与辐射。 热传递有三种本质不同的基本方式：热传导、对流与辐射。 §3.3.1傅里叶定律 线性输运与非线性输运 傅里叶定律 一、 傅里叶定律 1. 热传导： 热传导： 相邻的两部分物质之间，不是由于净的物质流动， 相邻的两部分物质之间，不是由于净的物质流动，而仅仅 是由温度差引起的能量传输称为热传导 因而是非平衡态。 热传导过程存在热流 ，因而是非平衡态。 因而是物质的输运现象。 热传导过程存在能量迁移 ，因而是物质的输运现象。 2. 傅里叶定律： 傅里叶定律： 定义： ⑴ 定义：
2. 自扩散 eg: ① 同位素间的互扩散 ② CO、N2 的互扩散 、 二、菲克定律： 菲克定律： (一) 菲克定律： 一 菲克定律： 1. 分子数密度梯度矢量： 分子数密度梯度矢量： 设扩散粒子的数密度n只沿一维方向变化 如z方向 ，即：n=n(z)。 方向)， 设扩散粒子的数密度 只沿一维方向变化(如 方向 只沿一维方向变化 。 则定义分子数密度梯度矢量： 则定义分子数密度梯度矢量： 大小： 大小：
非平衡格林函数模型：单粒子NEGF方程概要
非平衡格林函数模型：单粒子NEGF 方程概要Magnus Paulsson微纳米技术系，NanoDTU ，丹麦技术大学2006年1月4日摘要非平衡格林函数方法常用于计算纳米尺寸的电导器件（包括分子和半导体）外加偏压后的电流及电荷密度。
该方法主要用于处理弹道输运，但扩展后也可处理存在非弹性散射的输运问题。
本文将尽可能清晰的导出NEGF 方法中计算电流及电荷密度矩阵的几个重要方程，并加以解释。
1、引论非平衡和林函数方法常用于计算纳米尺寸的电导器件（包括分子和半导体）外加偏压后的电流及电荷密度。
关于分子电子学的一般性理论可参看文献1，有关半导体纳米器件的相关理论可参看文献2。
本文的目的是使读者对于单电子格林函数以及由此得到的电流、电荷密度矩阵表达式有一个直观的理解。
本文在内容上并不求全责备，只作为文献1-4的补充。
2、格林函数分立的薛定鄂方程H n E n =(1)我们把系统的哈密顿量以及波函数按三个子空间分割：器件(,)d d H ψ以及两个接触电极1,21,2(,)H ψ1111††12222200ddd H H E H τψψττψψτψψ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)其中1,2τ描述器件与接触电极之间的相互作用。
在这里我们假定不同的接触电极之间是相互独立的，亦即，不同的接触间没有相互作用项τ。
我们将格林函数定义为1：()()E H G E I -=(3)2.1 为什么要计算格林函数？如果在薛定鄂方程中加入一个恒定微扰项υ，则格林函数正反映了系统对这种微扰的响应。
具体来看，薛定鄂方程：H E ψψυ=+ (4)对于微扰的响应： ()E H ψυ-=- (5)()G E ψυ=-(6)为什么我们想要知道针对这种微扰的响应呢？因为通常说来，计算格林函数都比直接处理本征值问题要容易（由下一节的阐述可看出）2，更妙的是，体系的大多数性质（对于单粒子系统是所有性质）都可以通过格林函数来得到。
非平衡格林函数方法在量子点电流输运问题中的应用
JIU JIANG UNIVERSITY毕业论文题目用非格林函数计算量子点电流的输运问题英文题目Non-equilibrium Green's function calculation of the quantum dotcurrent transport院系理学学院专业材料物理姓名张贵龙班级学号 A0841指导教师周利玲二零一二年二月摘要笼统地说，空间尺寸介于宏观和微观之间的系统即被称为介观系统．介观系统电子行为的主要特征是电子通过样品之后仍能保持自己波函数的相位相干性．人工微结构包括量子阱、量子线和量子点，电子的运动由有效势控制．有效势在一、二或三个方向上对电子加以限制，这些限制带来明显的量子效应．若将电子或空穴在三个方向上的运动都限制住，我们就可得到具有零维结构的量子点．由于量子局限效应，导致量子点中的电子只能占据类似于原子的分立的能量状态，因此量子点又被称为“人造原子”.本文首先简要介绍了介观系统、量子点的定义和制备、固体中的输运现象、量子点系统的基本结构、量子点输运过程中的两个重要现象：库仑阻塞现象和近藤效应．接着以一个简单的量子点与导线耦合的例子，介绍非平衡格林函数方法用于研究量子点直流输运问题的六个基本步骤．关键词：模型哈密顿量；Heisenberg运动方程；lesser格林函数；宽带近似；自能；推迟格林函数；输运电流表达式AbstractGenerally speaking, the space size between macro and microsystem is called mesoscopic systems. The main features of theelectronic behavior of mesoscopic systems can maintain phasecoherence of the wave function of electrons through the sample afterArtificial micro-structure consists of quantum wells, quantum wiresand quantum dots, the electron motion is controlled by the effective potential. Effective potential in one, two or three directions of electronic restrictions, these restrictions brought about a significantquantum effects. If the electronic or hole in the three directions ofmovement are locked, we can get a zero-dimensional structures of quantum dots. Due to quantum confinement effect, the electron can only occupy discrete energy states is similar to atomic quantum dots, quantum dot is also known as "artificial atoms".This paper briefly introduces the definition and preparation ofmesoscopic systems, quantum dots, the transport phenomena in solids, the basic structure of quantum dots, quantum dot transport processes in two important phenomena: the phenomenon ofCoulomb blockade and the Kondo effect. Then, a simple quantum dots and wires coupled examples, describes the six basic steps ofnon-equilibrium Green's function method is used to study thetransport problems of quantum dots DC.Key words : model Hamiltonian equations of motion; Heisenberg; analytic continuation;Green lesser function approximation; broadband; self; Green function; transport current formula1.1介观系统介观系统(Mesoscopic system)一词第一次是由van Kampen 在1976年关于随机过程的文章中提到的。
理论计算物理中的格林函数方法研究
理论计算物理中的格林函数方法研究一、引言格林函数是量子力学中重要的物理量，其被广泛应用于最先进的理论物理实验和计算中。
因此，理论计算物理中的格林函数方法研究也得到了广泛关注。
本文将介绍格林函数的定义、性质，以及其在物理学中的应用。
二、格林函数的定义在理论计算物理中，格林函数是指解决微分方程或差分方程问题的一种方法。
更具体地说，如果我们给定了一个微分方程或差分方程：Lψ = f其中L是一个线性微分或差分算子，f是一个给定的函数，而ψ是我们所要求解的函数。
那么，我们可以定义一个格林函数G(x,x')，满足下面的式子：L(x)G(x,x') = δ(x - x')其中，δ(x - x')是二维或三维的δ函数。
然后我们就可以得到这个方程的通解：ψ(x) = ∫dxf(x')G(x,x')其中f(x)为任意给定函数。
从上面这个通解可以看出，格林函数在解决微分方程问题时起到了很重要的作用。
三、格林函数的性质在理论计算物理中，格林函数具有一些性质，这些性质使其在物理学中的应用更加方便。
这些性质包括：1. 对称性：对于一个线性微分或差分算子L，其对应的格林函数满足：G(x,x') = G(x',x)这个性质在物理学中很有用，因为这意味着我们可以将体系中任意两点之间的格林函数看作是相等的。
2. 空间平移不变性：对于一个线性微分或差分算子L，其对应的格林函数满足：G(x,x') = G(x - x',0)这个性质也在物理学中很有用，因为它使得我们可以很轻松地将体系中任意两点之间的格林函数与原点之间的格林函数联系起来。
3. 正定性：对于任意一个函数f(x)，其对应的格林函数G(x,x')都满足：∫dxf(x')G(x,x')f(x) ≥ 0这个性质在物理学中也有很大的作用，因为它确保了格林函数在物理上是有意义的。
四、格林函数的应用在理论计算物理中，格林函数被广泛应用于最先进的理论物理实验和计算中。
非平衡格林函数方法
非平衡格林函数方法
非平衡格林函数方法是一种量子力学计算方法，用于研究非平衡态下的电子结构和输运性质。
它通过求解非平衡格林函数来描述系统的电子态和输运性质。
非平衡格林函数是描述非平衡态下的电子密度矩阵和电子自能的重要工具。
在非平衡态下，电子系统中存在着电子的注入和抽出，因此电子系统的密度矩阵和自能不再是平衡态下的对角化态。
非平衡格林函数方法通过求解非平衡态下的格林函数，可以得到体系的电子密度矩阵和自能，从而研究体系的输运性质。
非平衡格林函数方法可以用于研究各种体系的输运性质，如半导体器件、分子器件、纳米结构等。
该方法的优点在于可以考虑电子-电子相互作用和电子-声子相互作用等非平衡效应，可以得到更为准确的结果。
非平衡格林函数方法的实现需要使用一系列数学工具，如Keldysh路径积分、费曼图等。
这些工具的使用使得非平衡格林函数方法的计算复杂度较高，但是在研究非平衡态下的电子输运性质时，该方法是一种非常有效的计算工具。
总之，非平衡格林函数方法是一种重要的量子力学计算方法，可以用
于研究非平衡态下的电子结构和输运性质。
在未来的研究中，非平衡格林函数方法将继续发挥重要作用，推动纳米电子学、分子电子学等领域的发展。
格林函数在输运中的应用
I(t)的傅立叶变换
∞ dEdE ' 2e R I β (ω ) = Re{∫ ∑ [Gmn ( E + ω , E ')Σ T<,β nm ( E ', E ) −∞ (2π ) 2 h mn < + Gmn ( E + ω , E ')Σ Ta, β nm ( E ', E )]}
∞ dEdE ' 2e I β (ω ) = Re{∫ Tr[G R ( E + ω , E ')Σ T<, β ( E ', E ) −∞ (2π ) 2 h
G R , A = [ E − ε 0 − Σ R , A ]−1
Σ R , A, < = Σ L R , A, < + Σ R R , A, < 注意这里的 Σ β R , A,< 不同于上边的 Σ T , β R , A,<
相互作用 自能
只有在没有相互作用时它们才相等。通常 Σ R , A,< = Σ T R , A,< + Σ I R , A,<
§20.3 二端输运问题
IL
L
C
R
无相互作用 的自由电子
−i t dt ε (t ) Σ (t , t ') = miθ (±t m t ')∑ V (t )Vα k ,n (t ') exp ∫ 1 α k 1 t' k 0 < ∗ −i t dt ε (t ) Σ T ,mnα (t , t ') = i ∑ f (ε α k )Vm,α k (t )Vα k ,n (t ') exp ∫ 1 α k 1 t' k
多体物理学中的格林函数理论
多体物理学中的格林函数理论多体物理学中格林函数理论的探索多体物理学是物理学中的一个分支，研究的是多个粒子、多个分子或多个原子之间的相互作用。
多体物理学的研究内容很广泛，包括固体物理学、凝聚态物理学等多个方面。
格林函数理论是多体物理学中重要的理论工具之一，具有重要的科研价值和实际应用价值。
格林函数理论的基本概念格林函数理论最初由数学家格林提出，并在物理学中得到了广泛应用。
在物理学中，格林函数是描述物理场的基本概念。
物理场包括电磁场、热场、声场等。
格林函数描述的是在某一位置上引入一个极化子（在量子计算机中也称量子比特），这个极化子对整个场的影响。
在量子力学中，格林函数是描述任意两个算符之间的关联函数。
这两个算符可以是粒子数、自旋、动量等。
在多体物理学中，格林函数理论可以用于描述多体系统中的相互作用、动量分配等。
格林函数以其极高的数学抽象程度而著称。
格林函数理论的核心是所谓的“量子维数的一致性原理”，即量子态的表达式与物理现象的描述必须具有一致性。
这个“一致性原理”是格林函数理论更高级的理论体系的基础。
格林函数的应用格林函数理论在实际应用中具有很大的价值。
在固体物理学中，格林函数理论可以用于计算材料中的电导率、热导率等物理量。
在量子多体物理学中，格林函数理论可以用于计算多体系统的能级、波函数、动量分配等。
另外，格林函数理论在半导体物理学中也有广泛应用。
在半导体器件中，格林函数理论可用来计算量子阱、量子点和量子井的能带结构、光谱特性等。
在量子计算机领域中，格林函数理论可以用于设计量子比特的形态、体积等。
格林函数理论的发展历程20世纪初，格林函数理论受到了物理学家们的广泛关注。
20世纪中期，Keiji Mori在量子场论中引入了费曼图，为格林函数理论的发展打下了基础。
在费曼图的帮助下，格林函数理论得到了重大进展。
20世纪60年代，量子电动力学和量子色动力学的的诞生，推动了格林函数理论进一步发展。
至今，格林函数理论在量子场论、固体物理学、量子计算机等领域都具有广泛应用。
非平衡格林函数在电子输运问题中的应用
摘要 ： 简单讨 论 了非平衡格 林函数理 论 ， 并利 用非 平衡格 林函数理 论推 导了电子相 互作用体 系的电流佘 式 ， 获
得 了一些一般 性的结果 。 中图分 类号 ： ４ １７ Ｏ ７ ． ． 文献标识码 ： Ａ 关键 词 ： 非平衡格 林函数 ； 电流公 式 ； 电子 输运 ； 态密度 函数
０ 引言
现代纳米技术和材料制备的发展， 得 电子 使 器件越做越小。在这些器件 中， 量子效应和 电荷 量子化效应越来越 明显。这时 ， 电子器件处于非
１ 非平衡格林 函数
在非平衡态 ， 可以像定义平衡 格林 函数一样 定 义 一 种 编 时 格 林 函 数 一闭 路 编 时 格 林 函 数 （ｏｔ ｒ ｏ ｅ） ｃｎｏ — ｒ ｒ 或非平 衡格林 函数 。满足类似 ｕ ｄ 的戴森方程 ， 在非平 衡状态下的哈密顿量中的某
第 ６期
刘 志勇 等 ： 非平 衡 格林 函数 在 电子输 运 问题 中的应 用
・３ ７ Ｉ．
Ｃ ￡ ￡）＝ Ｊ ｄ［ ￡ ￡ （ ，， （ ，， １１ ｔ （ ， ￡ ￡）＋ Ａ １） １１
（１ｔＢ （ ｔ） ｔ，） 。ｔ ］ 数 和推迟 格林 函数 。 同样 有 （） ３ 对非 平 衡 格林 函数 ， 们 还需 要 超前 格 林 函 人
２． ｏ ｅ ｅｏ ｈ ｓｃ Ｃ ￣ ｇ ｆＰ ｙ ｉｓ＆ Ｃ ｍｍｕ ｉａ ｏ ｅ ｔ ｎｃ ，ｉｎ ｘ ｏｍａ ｉｅ ｉ ，ｉｎ ｘ ｎ ｈ ｎ ３ ０ ２Ｐ ｏ ｎｃ ｔ ｎＥｌｃｒｉ ｓＪａ ｇ ｉＮ ｒ ｌＵｎｖｒ ｔ Ｊａ ｇｉＮａ ｅ ａ ｇ３ ０ ２ ＲＣ； ｉ ｏ ｓ ｙ
Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ｓ： ｎｅ ｕ ｌｂ ｉ ｍ ｅ ｎ ｆ ｎ ｔ ｎ， ｒｅ ｏ ｍｕ ａ， ｅ ｔｏ ｒ ｎ ｐ ｒ ， ｎ ｉｙ ｆ ｎ ｔ ｎ ｄ Ｎｏ ｑ ｉｉ ｒｕ Ｇｒ ｅ ｕ ｃｉ ｏ Ｃｕ ｒ ｎｔｆｒ ｌ Ｅｌｃ ｒ ｎ ｔａ ｓ ｏ ｔ Ｄｅ ｓｔ ｕ ｃｉ ｏ
格林函数2
电场线方程
E dl 0
用电场线围成 电场管
几种典型的电场线分布
带电平行板
正电荷
负电荷
由此可见，电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。
16
2. 真空中静电场方程 物理实验表明，真空中静电场的电场强度E 满足下列两个积分形式 的方程
S
q E dS 0
数学物理方程 与特殊函数
格林函数2
本节内容
格林公式 调和函数的基本性质 格林函数
两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解
格林公式
闭曲面所包围的空间
z
光滑闭曲面 （边界）
M0
0
y
x
边界 所包围的空间 + =
2u 2u 2u 2 u 2 0 2 2 x y z
14
1. 电场强度、电通及电场线 电场对某点单位正电荷的作用力称为该点的电场强度，以E 表示。
E
F (V/m ) q
式中q 为试验电荷的电量，F 为电荷q 受到的作用力。 单个点电荷产生的场强
E r q 4 0 R 2
N
eR
q 4 0 R3
N
R
N个点电荷产生的电场强度 对于连续的电荷分布 体分布
17
根据上面两式可以求出电场强度的散度及旋度，即
E
0
E 0
左式表明，真空中静电场的电场强度在某点的散度等于该点的电荷体密 度与真空介电常数之比。右式表明，真空中静电场的电场强度的旋度处 处为零。由此可见，真空中静电场是有散无旋场。
输运现象的两种理论
输运现象的两种理论研究输运现象有两种理论：①唯象理论它是以统计⼒学为基础的，称为不可逆过程热⼒学。
这种理论仅适⽤于对热⼒学平衡状态只有较⼩偏离的体系。
这时“流”和“⼒”呈线性关系。
L.昂萨格根据统计⼒学证明,如果适当选择“流”和“⼒”，则联系“流”和“⼒”的唯象系数矩阵是对称矩阵，这就是昂萨格对易关系。
它表明,只有⼀半交扰效应的系数须⽤理论或实验决定，其他⼀半则可以从对易关系推出。
②⾮平衡统计理论这是研究输运现象最有效和最基本的理论，其核⼼是建⽴并求解适当的动⼒论⽅程，得出粒⼦分布函数及其随时间、空间的变化规律以及各输运系数的微观参量形式的表达式，从⽽计算出各种输运系数。
建⽴动⼒论⽅程，通常采⽤两种途径：分⼦运动论和系综⽅法（即分布函数理论）。
分⼦运动论从粒⼦间相互作⽤模型出发，当粒⼦在空间中运动时,它的代表点就在相空间运动。
因此,研究⼀个体系随时间的变化只须研究粒⼦代表点在相空间的运动。
对于各种具体问题，需要建⽴不同形式的动⼒论⽅程。
各种形式动⼒论⽅程的主要差别就在于碰撞项的不同，⽅程的有效性和局限性也体现在碰撞项上。
L.E.玻⽿兹曼第⼀个从数学上⽤严格的分⼦运动理论来研究动⼒论⽅程。
他假定：碰撞的相互作⽤长度远⼩于分布函数发⽣明显变化的长度；碰撞的持续时间远⼩于分布函数发⽣明显变化的时间;所有的碰撞都是⼆体碰撞;参与碰撞的粒⼦除在碰撞时刻以外都是互不相关的。
由此导出玻⽿兹曼碰撞项，其相应的动⼒论⽅程称为玻⽿兹曼⽅程，它只适⽤于所假定的那种特殊碰撞机制的⽓体，主要是稀薄的中性理想⽓体。
对于完全电离的⽓体，由于温度很⾼，且库仑碰撞截⾯随粒⼦相对速度增⼤⽽迅速减⼩,因此,动⼒论⽅程中的“碰撞项”与“流动项”相⽐可忽略不计，相应的动⼒论⽅程称为符拉索夫⽅程，⼜称⽆碰撞玻⽿兹曼⽅程。
对于部分电离⽓体，带电粒⼦间的远程碰撞将起重要作⽤，此时必须采⽤朗道⽅程或福克-普朗克⽅程。
⽤粒⼦分布函数描写电离⽓体是最细致的⼀种⽅式，但实际上并不⼀定要求细致到这种程度。
量子输运格林函数方法
G(t1, t2 ) = −i
TC [cλ (t1)cλ† (t1)]
≡
⎛ ⎜ ⎝
G++ G−+
G+− G−−
⎞ ⎟ ⎠
（2.2）
其中TC 是回路 C 上的复编时算符，它的作用是将回路 C 上的时间较早的算符排在
右边。+(−) 表示的是时间回路 C 的上（下）支。式（2.1）中 G++ (t1, t2 ) 和 G−− (t1, t2 )
Tp [ A(t1 ) , B (t2 )] ≡ θ (t2 − t1 ) A(t1 ) B (t2 ) ±θ (t1 − t2 ) B (t2 ) A(t1 )
+(−) 分别对应玻色子和费米子。式（2.1）中 G+− (t1, t2 ) 和 G−+ (t1, t2 ) 分别是小于
和大于格林函数： G+− ≡ G< (t1,t2 ) = i cλ† (t2 )cλ (t1)
2.1.1 非平衡格林函数的定义
非平衡格林函数是一种处理非平衡问题的有效方法，它是由平衡态格林函数
推广得到的。首先我们先简单介绍下平衡态理论。平衡态理论中所用到的时间是
定义在实时间轴上的。若系统的哈密顿量可以写为 H = H0 + H ' ，其中 H ' 是相互作
用部分，可以看成是微扰。在薛定谔绘景中 H 0 的基态
∞
∫ Cr (t1, t2 ) = dt[ Ar (t1,t)Br (t, t2 )] −∞
∞
∫ Ca (t1, t2 ) = dt[ Aa (t1, t)Ba (t,t2 )] −∞
（2.9）
同理可以得到常用到的 Lengreth 公式：如果 C(τ ,τ1) = A(τ ,τ1)B(τ1,τ ) ，则有
非平衡格林函数
非平衡格林函数非平衡格林函数（Non-equilibriumGreen'sfunctions,NEGF）是描述非平衡态下系统行为的重要工具。
它是格林函数的一种推广，广泛应用于凝聚态物理、纳米电子学、光电子学等领域。
本文将从NEGF 的基本概念、历史发展、理论框架、应用研究等方面进行介绍和分析。
一、基本概念NEGF是一种描述量子系统非平衡态下的行为的理论工具。
它是格林函数理论的一种推广，用于描述系统中的电荷、能量、自旋等自由度在时间和空间上的演化。
NEGF理论可以用来计算非平衡态下的输运性质，如电导率、热导率等，也可以用于描述非平衡态下的光学性质，如吸收谱、发射谱等。
NEGF理论的核心是非平衡态下的格林函数。
格林函数是描述量子系统中的相互作用效应的数学工具，它反映了系统中某个自由度的激发情况对其他自由度的影响。
在平衡态下，格林函数可以用来描述系统的激发态密度、热力学性质等。
在非平衡态下，格林函数则可以用来描述系统中的输运性质。
二、历史发展NEGF理论的历史可以追溯到20世纪50年代。
当时，人们开始研究电子在晶体中的输运性质，发现传统的电子输运理论无法解释一些实验现象，如局域化、能级移动等。
为了解决这些问题，人们开始研究非平衡态下的电子输运理论。
1960年代初，Kadanoff和Baym等人提出了非平衡态下的格林函数理论，为后来的NEGF理论的发展奠定了基础。
NEGF理论在20世纪80年代得到了快速发展。
当时，人们开始研究纳米电子学、光电子学等领域，需要描述非平衡态下的输运性质。
NEGF理论的优越性质得到了广泛认可，并被应用于多个领域。
目前，NEGF理论已经成为描述非平衡态下的量子系统行为的重要工具。
三、理论框架NEGF理论的核心是非平衡态下的格林函数。
在NEGF理论中，系统的哈密顿量可以表示为H=H0+V其中H0是自由哈密顿量，V是相互作用哈密顿量。
系统的演化可以用密度矩阵来描述。
在NEGF理论中，密度矩阵可以表示为ρ(t)=ρ0+δρ(t)其中ρ0是平衡态下的密度矩阵，δρ(t)是非平衡态下的扰动。
5非平衡格林函数的定义即公式
第十九章 非平衡态的格林函数§19.1 定义与性质非平衡的各个格林函数的定义[1, 2]与§9.1节中在形式上完全一样.只是为了简省起见与为了便于统一构造图形,将记号稍作改变.12C H1H2i (G T A B −−=〈〉))〉〉 (19.1.1) 12C H1H2i (G T A B ++=〈〉 (19.1.2) 1212H1H 2i i (,)G g x x A B +−>==〈 (19.1.3) 1212H2H1i i (,)G g x x B A η−+<==−〈 (19.1.4) R R 121212H1H 2i i (,)()[,]G g x x t t A B ηθ−==−〈〉 (19.1.5)A A 121221H1H2i i (,)()[,]G g x x t t AB ηθ−==−−〈〉 (19.1.6)其中T C 是复编时算符，其物理意义与第九章中的编时算符T t 稍有不同，但总的原则是一样的，即总是将较早的时间排列在右边. i C T 是反复偏时算符.它的作用正好和T t 相反:总是将较早的时间排列在左边. 这两个算符的确切含义在后面再进一步介绍.为简洁计,以下标1,2代表宗量x 1=(x 1,t 1), x 2=(x 2,t 2).有必要的话还自动包括自旋分量,如x 1=(x 1t 1σ1).其中i G 12++这个函数是在这儿新定义的.其实在第九章中,在处理平衡态时,也可定义这个格林函数,只是没有利用到它,所以就不写了.对于格林函数gg g ><=− ,以后不用,所以此处也没有写出来.上述格林函数的定义式中，除了两个编时算符，其它符号及其物理含义与§9.1节都相同.这些格林函数也都适用于各种系统,只有对于玻色系统在发生凝聚的范围内不适用.唯一的不同之处是:现在的求平均〈…〉是对系统中所有的态求平均,包括各种非平衡态.而第九章中的格林函数则只对巨正则系综的所有平衡态求平均.由于这一规定,处理方法就不完全相同了.计算的结果也就会有不同.例如对于无相互作用系统,0a a n +〈〉=k k k (19.1.7)其中n k 是非平衡态的分布函数而不是平衡态时的费米分布或者玻色分布f −η(εk )=1/[exp(βεk )－η]了.这儿仍用下标0表示无相互作用系统.许多情况下,只处理与平衡态不远的情况,称近平衡系统或准平衡系统.当A 和B 分别是费米子(玻色子)的湮灭和产生算符，则以下两个公式与第九章中的完全相同.(19.1.4)式在t 1= t 2= t 时为单粒子密度矩阵.1212i (,)(,,G t t N t ηρ−+=x x x x ) (19.1.8)这儿t 2从哪一侧趋于t 1是无所谓的,因为G −+在t 2= t 1时是连续的.在t 1= t 2时还有121212i[(,)(,)]()G t t G t t δ+−−+−=x x x x x x − (19.1.9)由于定义式(19.1.1，3−6)和(9.1.1−5)相同，所以(9.1.14−19)式中凡是不涉及G ++的关系式都仍然成立.我们重写如下.1212122112()()G t t G t t G θθ−−+−−+=−+− (19.1.10) R 121212121212()()G t t G G G G θ+−−+−−−=−−=−+G *(19.1.11a) A 122112121212()()G t t G G G θ+−−+−−+−=−−−=− (19.1.11b) R A 12121212G G G G +−−+−=− (19.1.12) 涉及G ++后有以下关系.,−++−++−−+=+G G G G (19.1.13)此式说明，这四个格林函数中，只有三个是独立的.此式与(19.1.10−12)结合得到(19.1.14a) 1221121212()()G t t G t t G θθ+++−−+=−+−R G G G G G −−−++−++=−=− (19.1.14b) A G G G G G −−+−−+++=−=− (19.1.14c)以下我们都设A 和B 是一对湮灭和产生算符.由各格林函数的定义式还可得到以下的共轭或者反共轭的关系.推迟与超前格林函数互为共轭:A R 1221G G = (19.1.15) 函数G −−和G ++之间是互为反厄米共轭的:*1221G G −−++=− (19.1.16) 函数G −+和G +−本身是反共轭的:12211221,G G G G −+−+∗+−+−∗=−=− (19.1.17) 在上面取共轭时,不能忘记宗量的交换.对于均匀空间内的稳态,所有函数只依赖于差值t = t 1−t 2, x = x 1−x 2.可对这些量作傅立叶展开.傅立叶分量之间有关系:(,)[(,)]G G ωω−−++∗=−k k ，A R (,)[(,)]G G ωω∗=k k (19.1.18) 又从(19.1.17)得:*(,)[(,)]G G ωω+−+−=−k k ，(,)[(,)]G G ωω−+−+∗=−k k (19.1.19) 说明G +−(k , ω)和G −+(k , ω)是纯虚数.对于无相互作用系统的格林函数，已在§9.4节中求出,只要记住其中的n k 不是平衡分布即可.计算热力学量仍用第九章的公式.§19.3 正规自能与戴森方程(0)(0)*(0)*12121443321443321[G G G G G G ΣΣ−−−−−−−−−−−++−−−=++∫=(0)*(0)*4414433214433234]d d G G G G x ΣΣ−−−++−−++++−++x (19.3.1)类似地写出另外三个格林函数的戴森方程表达式.这四个方程可以压缩地写成矩阵形式.(0)(0)*441212144332341d d G G G G x x Σ=+∫=(19.3.2) 其中*****,G G G G G ΣΣΣΣΣ−−−+−−−++−+++−++⎛⎞⎛==⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎞⎟⎠(19.3.3) 用矩阵相乘的方法展开,就得到(19.3.1)与另外三个方程.有一点必须强调,由于(19.1.13)的线性关系的存在,(19.3.2)中只有三个方程是独立的.为了把这一点明显地表现出来,我们用下面的方法对矩阵G 作线性变换,利用(19.1.13)将其中的一个矩阵元化为零.所采用的线性变换为1g G R GR −= (19.3.8) 其中1111R ⎞=⎟−⎠，11111R −−⎞=⎠⎟ (19.3.9)是幺正矩阵.容易算出,变换的结果为A g R12G G G G G G G G G G G G G G G G G G G F −−+−−+++−−+−−+++−−+−−+++−−+−−+++⎛⎞−−+−+−==⎜⎟+−−+++⎝⎠⎛⎞⎜⎟⎝⎠(19.3.10) 其中用到了(19.1.13、14)并定义了F 函数:(19.3.11) F G G G G ++−−+−−+=+=+这时方程(19.3.2)的形式不变.由于四个格林函数之间有线性关系(19.1.13),因此四个正规自能也不是完全独立的,应该有一个线性关系.现在来找出这个关系.明确写出(19.3.6)的矩阵形式:101**413133232123**131332321010()d 0101G G G G G G G x x x GG ΣΣδΣΣ−−−+−+−++−−−+−−−++−+++−++⎛⎞⎜⎟⎝⎠⎛⎞⎛⎛⎞⎛⎞=−+⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝∫⎞⎟⎠)0 (19.3.12)由(19.1.13),必有G −101(G −−+G ++−G −+−G +−)=0.将(19.3.12)左边的四个矩阵元相加,得到右边被积函数中四个矩阵元相加应该为零.推得结果为****131313133232()(G G ΣΣΣΣ−−−++−++−−−++++−=得到正规自能之间的线性关系为****0ΣΣΣΣ−−−++−+++++= (19.3.13) 注意它与(19.1.13)式符号上的差别.正规自能矩阵的变换结果就成为(19.3.14) R *1*gA0R R ΩΣΣΣΣ−⎛⎞==⎜⎝⎠⎟其中定义了****()ΩΣΣΣΣ−−++−++−=+=−+,R **ΣΣΣ−−+++A **, =ΣΣΣ−++−=+⎞⎟⎠d d (19.3.15)它们与(19.1.14)式有区别.把(19.3.2)式经变换后得到的方程写出来RA A(0)A(0)A4443433212131434A R R (0)R (0)(0)R(0)4332321212121214140000d d 0G G G G x x G F G F G F G F ΩΣΣ⎛⎞⎛⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝∫ (19.3.16)其中G A 矩阵元满足的方程为(19.3.17)A (0)A (0)A A A 44121214433234d d G G G G x x Σ=+∫也可写出G R 矩阵元满足的方程,不过利用(19.1.13)可以发现,它并不比(19.3.17)给出更新的物理内容.G (0)R 和G (0)A 与无相互作用系统的分布函数无关,这可参看(9.4.17)式.因此方程(19.3.17)不依赖于无相互作用系统的分布函数.最后,F 所满足的方程为(0)(0)R A (0)A A (0)R R44121214433214433214433234()F F G G F G G F x x ΩΣΣ=+++∫ (19.3.18)图19.10 复时间回路.§19.4 Lengreth 定理我们现在要再进一步说明复编时算符T C 的含义.前面讲的编时的顺序是，时间上先从−∞演化到+∞,再从+∞演化到−∞,这样才能准确地回到原来的状态.为了明确区分这两步的演化，做如下的规定.从−∞时间演化到+∞时，时间有一正的小虚部，记为t +.称作正向路径(上岸).从+∞演化到−∞时，时间有一负的小虚部，记为t −.称作逆向路径(下岸).见图19.10.正是由于时间是一复数，所以把T C 称为复编时算符.时间回路就是复回路. (19.1.1−6)式中的时间都有一小的虚部，也就都称为复编时格林函数.当t 2在复回路上位于t 1之后，A 和B 就交换次序并加一负号，否则不变.下岸的时间总是晚于上岸的时间. 我们再把(19.1.1−4)中的时间表明如下.1212(,)G G t t −−−−++= (19.4.1)1212(,)G G t t ++++−−= (19.4.2) 1212(,)(,)G t t G t t +−+−−+= (19.4.3) 1212(,)(,)G t t G t t −+−++−= (19.4.4)因果格林函数(19.1.1)式中两个时间都在正向路径上，说明这是一个正编时的效果.(19.1.2)式中两个时间都在逆向路径上，说明这是一个反编时的效果.大于和小于格林函数G <和G >(关联函数)的时间总是分别在上下岸.推迟和超前格林函数的形式不变，因为有阶跃函数决定了时间的顺序.不管时间是在正向还是逆向路径上.松原函数中由于没有时间的概念，所以无法定义非平衡态的松原函数.规定了复时间路径之后，六个格林函数之间仍然存在(19.1.10−14)这些关系. 非平衡统计的微扰论必须建立在复编时格林函数上，而可观察量则与实时格林函数相联系.连接二者的桥梁是Lengreth 定理[4].如果复编时格林函数满足1212C(,)d (,)(,)C t t tA t t B t t =∫ (19.4.5)积分路径是图19.11，那么有R 121212(,)d [(,)(,)(,)(,)]C t t t A t t B t t A t t B t t +∞<<<−∞=+∫A A R A A A R A (19.4.6)R 121212(,)d [(,)(,)(,)(,)]C t t t A t t B t t A t t B t t +∞>>>−∞=+∫ (19.4.7)R R 1212(,)d (,)(,)C t t tA t t B t t +∞−∞=∫ (19.4.8)AA 1212(,)d (,)(,)C t t tA t tB t t +∞−∞=∫ (19.4.9)注意，此四式右边的积分路径已经不是闭合回路.以上四式常简记为如下的形式. (19.4.10)R ()AB A B A B <<<=+R ()AB A B A B >>>=+ (19.4.11) R R ()AB A B = (19.4.12) A A ()AB A B = (19.4.13)图19.11 (19.4.5)式右边的积分路径.图19.12 把图19.11中的积分路径加以简化，上下岸在时间t >max(t 1,t 2)的路径上的积分相互抵消.图19.13 把图19.12中的路径再加以变形.我们来证明(19.4.6)式.由于大于t 2的时间的路径上的积分抵消.先把图19.11的积分路径(,)(,)A t t B t t <+−(19.4.14)第一项变为图19.12的路径.再进一步变形为图19.13的路径.(,)d (,)(,)d (,)(,)d C t t tA t t B t t tA t t B t t t <+−+<−==+∫∫∫1212121212CC C 2(,)B t t <−中积分的时间t 总是超前于2t −，所以标记为2(,)B t t <−.同理，在第二项中则应标记为1(,)A t t <+.(19.4.14)第一项的积分为2− (19.4.15a) 其中第一项111112C 1212112111112R 1d (,)(,)d (,)(,)d (,)(,)d ()(,)(,)d (,)(,)d [()(,)()(,)](,)d (t t t tA t t B t t tA t t B t t tA t t B t t t t t A t t B t t tA t t B t t t t t A t t t t A t t B t t tA t θθθ+−−∞>+<−<+<−−∞+∞+>+<−<+<−∞−∞+∞+>++<+<−−∞+∞−∞=+=−−=−−−=∫∫∫∫∫∫∫2,)(,)t B t t +<−1(,)A t t +中积分的时间t 总是超前于1t +，所以标记为1(,)A t t >+；同理.在第二项中则应标记为1(,)A t t <+.1第二项将积分的上下限换位后，如果要将上限扩展为无穷大，需要加入一个因子()t t θ+−.最后一步则使用了(19.1.11a)式.现在看(19.4.14)式的第二项.222212C 12121221212212d (,)(,)d (,)(,)d (,)(,)d (,)()(,)d (,)(,)d (,)()(,)d (,)()(,t t t tA t t B t t tA t t B t t tA t t B t t tA t t t t B t t tA t t B t t tA t t t t B t t tA t t t t B t t θθθ<+−−∞<+<−<+>−−∞∞<+−<−<+>−−∞−∞∞∞<+−<−<+−>−−∞−∞=+=−−=−−−=∫∫∫∫∫∫∫A 12d (,)(,)tA t t B t t +∞<+−−∞∫2) (19.4.15b)把(19.4.15a ，b)两式代入(19.4.14)，则(19.4.6)式得证.复编时格林函数满足戴森方程.121212133442(,)(,)d d (,)(,)(,)CG t t g t t t t g t t t t G t t Σ=+∫ (19.4.16)此式简记为G g g G Σ=+ (19.4.17)由此式出发，利用Lengreth 定理，可得到以下的实时格林函数满足的方程. (19.4.18) R R R R G g g G Σ=+R A G <G >ΣG ==Σ (19.4.19)A A A A G g g G Σ=+R R A A R A RR 1A 1ARA(1)(1)()()G G g G G G g g g G G GΣΣΣΣ<<−<−<=+++=+ (19.4.20)R R A A R A (1)(1)G G g G G ΣΣΣ>>=+++ (19.4.21) 式(19.4.18−21)这一组方程完备地描述了非平衡动力学的一般性质.但是由于式(19.1.12)，其中只有三个方程是独立的. (19.4.20)被称为Keldish 方程.我们来证明(19.4.20)式：从(19.4.17)得R R R A A A G g g G g G g G ΣΣΣ<<<<<=+++ (19.4.22) 所以：R R A A R A (1)(1)g G g G g G ΣΣ<<<−=++ (19.4.23) 从(19.4.18)式得R R 1R R (1)g g Σ−− (19.4.24) 又R R R R R R R R R R (1)(1)1()1g G G g g G ΣΣΣΣ−+=+−− (19.4.25) 所以R R 1R R (1)1g G Σ−−=+ (19.4.26) 把(19.4.24，26)代入(19.4.23)即得(19.4.20)的第一个等式.第二个等式的证明用到(19.4.19)和(19.4.24)式.下面定义的两个乘积不含积分.(19.4.27)121212(,)(,)(,)C t t A t t B t t =121221(,)(,)(,)D t t A t t B t t = (19.4.28) 可以证明以下关系式.121212(,)(,)(,)C t t A t t B t t <<<= (19.4.29) 121221(,)(,)(,)D t t A t t B t t <<>= (19.4.30) R R R R 12121212121212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)C t t A t t B t t A t t B t t A t t B t t <<=++R (19.4.31)R R A 1212211221AR12211221(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)D t t A t t B t t A t t B t t A t t B t t A t t B t t <<<<=+=+ (19.4.32)最后，再证明一个有用的关系式.[5](19.4.33) R A R R A ()G G G G ΣΣ−=−A H 根据戴森方程(10.4.10)式或者(19.3.17)式，R,A 101R,A ()()G G Σ−−=−注意，现在，其推迟和超前函数只差一个无穷小的虚部，并且只在分子上，所以完全可以忽略这个无穷小的虚部.010()G E −=−A 1R 1R A ()()G G ΣΣ−−−=−两边同时左乘G R 和右乘G A ，即得(19.4.33)式.当一个系统处于平衡态时，小于格林函数可以用推迟和超前格林函数来表示，见(9.2.55)、(9.2.50)和(19.1.12)式A R (,)[(,)(,)]()g g g f ηωηωω<−=−−k k k =ω (19.4.34)。
量子输运格林函数方法
0
0
间趋于 +∞ 时，系统仍然回到初始时刻的基态，而且只相差一个相位，用公式可
以表示为[1]
∞ = S (+∞, −∞) = eiL
0
0
（2.1）
图 2.1 Contour C
在非平衡状态下，系统并不能保证其基态 在经过 S (+∞, −∞) 作用后不变。 0
人们通过将时间轴扩展到复平面上（如图 2.1 所示），引入了时间回路的概念。这 样系统就可以从 t0 = −∞ 出发沿着 t 轴演化到 t1' = +∞ （上支），然后从 t1' = +∞ 沿着 t 轴演化回到 t0 = −∞ （下支）。这样系统通过时间演化又回到了最初的基态，与平 衡态很类似，所以在这种情形下，在平衡态格林函数基础上发展起来的各种理论 仍然可以方便的使用。此时， S 算符的形式变为 SC = S (−∞, +∞)S (+∞, −∞) 。引入 回路 C 上的非平衡格林函数[2]：
t2
图 2.3 图 2.2 中的回路 C 变形为两个时间回路
其中回路 C1 在时间轴上支，回路 C2 在时间轴的下支。则式子（2.4）变为
∫ C(t1, t2 ) = dtA(t1, t)B(t, t2 ) C
∫ ∫ = dt[ A(t1+ , t)B< (t, t2− ) + dtA< (t1+ , t)B(t, t2− )]
Meir和Wingreen推导出了相互作用区域与理想电极相连时的电流公式 [6,7]。随 后人们沿着Meir的思路和步骤对电流公式进行了推广。孙庆丰等人给出了量子点 多电极（可以是正常电极也可以是超导电极）体系的电流表达式[8]。最近，李 保文等人将非平衡格林函数推广到铁磁电极-正常金属-超导电极构成的异质结 中，并且得到了Landauer-Büttiker型的电流普遍公式[9]。利用他们得出的这个公 式，我们可以用同一套理论来研究自旋相关的电流和Andreev反射电流等输运问
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3）、Kondo效应：
W.G. van der Wiel, et.al. Science 289, 2105 (2000)
非平衡格林函数和介观输运理论
一、Green函数的定义和一些基本关系：
二、关于Green函数的三个主要方程：
三、电流与Green函数的关系：
四、几个用Green函数计算电流的例子：
参考书：
1、H. Haug, A.-P. Jauho, Quantum Kinetics in
transport and optics of semiconductors,
Springer-Werlag, 1998
2、G.D. Mahan, Many-Particle Physics.
非平衡格林函数和介观输运理论
一、Green函数的定义和一些基本关系：
二、关于Green函数的三个主要方程：
三、电流与Green函数的关系：
四、几个用Green函数计算电流的例子：
参考书：
1、H. Haug, A.-P. Jauho, Quantum Kinetics in
transport and optics of semiconductors,
Springer-Werlag, 1998
2、G.D. Mahan, Many-Particle Physics.
二、关于Green 函数的三个主要方程：
1、运动方程；
2、Dyson 方程；
1)、把H 分成：2)、从海森伯表象－>相互作用表象；
3)、wick 定理展开，费马图表示；
4)、连接图与非连接图
可约自能与不可约自能；
5)、得到Dyson 方程
3、Keldysh 方程；
0I
H H H =+
非平衡格林函数和介观输运理论
一、Green函数的定义和一些基本关系：
二、关于Green函数的三个主要方程：
三、电流与Green函数的关系：
参考文献：
1、Y. Meir, N.S. Wingreen, Phys.Rev.Lett.
68,2512(1992).
2、A.-P. Jauho, N.S. Wingreen, Y. Meir,
Phys.Rev.B 50,5528 (1994).
四、几个用Green函数计算电流的例子：
非平衡格林函数和介观输运理论
一、Green函数的定义和一些基本关系：
二、关于Green函数的三个主要方程：
三、电流与Green函数的关系：
四、几个用Green函数计算电流的例子：
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