江苏省金湖中学1213学年度高三上学期期末考试数学(附答案) (2)

一、填空题

1．

6

1

)x 的展开式中常数项的系数为_____________。

2．若:(3)(1)0p x x -+< ，:12q x -<，则p 是q 的______________ 条件。（填 “充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”）

3．将正整数排成下表： 1

2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 。。。。。。。。。。。。。。

则数表中的2008出现在第_______行。

4．定义在R 上的函数()f x ，其图象是连续不断的，如果存在非零常数λ（λ∈R ，使得对任意的x ∈R ，都有f （x+λ）=λf （x ），则称y=f （x ）为“倍增函数”，λ为“倍增系数”，下列命题为真命题的是____（写出所有真命题对应的序号）。 ①若函数()y f x =是倍增系数λ=-2的倍增函数，则()y f x =至少有1个零点； ②函数()21f x x =+是倍增函数，且倍增系数λ=1； ③函数()x f x e -=是倍增函数，且倍增系数λ∈（0，1）； ④若函数()sin(2)(0)f x x ωω=>是倍增函数，则(*)2

k k N π

ω=

∈ 5．设定义在R 上的函数)2

12

,0)(sin()(πϕπωϕω<<->+=x x f ,给出以下四个论断：

①()f x 的周期为π；

②()f x 在区间（6

π

-

,0）上是增函数；

③()f x 的图象关于点（3π,0）对称；④()f x 的图象关于直线12

π=

x 对称.

以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题（写成“q p ⇒”的形式）: （其中用到的论断都用序号表示） 6．已知集合}023|{2=+-=x ax x A 至多有一个元素，则a 的取值范围 ； 若至少有一个元素，则a 的取值范围 。

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7．设不等式组⎪⎩

⎪

⎨⎧+-≤≥≥k

kx y y x 4,0,

0在直角坐标系中所表示的区域的面积为S ，则当1k >时，

1-k kS 的最小值为 。

8．下列四个命题中，真命题的序号有 （写出所有真命题的序号）。

①两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线.

②圆x2+y2+4x+2y+1=0与直线y=x 21相交，所得弦长为2.

③若sin （α+β）=21 ,sin （α－β）=31

,则tan αcot β=5.

④如图，已知正方体ABCD- A1B1C1D1，P 为底面ABCD 内一动点，P 到平面AA1D1D 的距离与到直线CC1的距离相等，则P 点的轨迹是抛物线的一部分． 9．函数

log (1)1(01)a y x a a =-+>≠且的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y mx n

=+的图象上，其中,0,m n >则12m n +

的最小值为 。

10．若数列{}n a 满足：*1111,()2n n a a a n N +==

∈，其前n 项和为n S ，则44

S

a = 。 11．把1，3，6，10，15，21，这些数叫做三角形，这是因为这些数目的点可以排成一

个正三角形（如下面），则第七个三角形数是 。

12．已知函数2

211)(x

x x f +-=，则 =++++++)5

1

()21()1()4()5(f f f f f 。

13．函数12+=

x y 的定义域为________。

14． 已知a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，在下列命题

//////a a ααββ⎫⇒⎬⎭；②//a a ααββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭；③b //a //b //a ⇒⎭⎬⎫αα；④b //a b a ⇒⎭

⎬⎫

α⊥α⊥

中，正确的命题是 （只填序号）。

三、解答题

15．如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ︒∠=．点E F 、分别在边CD CB 、上，点E 与

点C D 、不重合，,EF AC EF AC O ⊥=．沿EF 将CEF ∆翻折到PEF ∆的位置，使平面PEF ⊥平面ABFED ．

（1）求证：BD ⊥平面POA ；

（2）设点Q 满足(0)AQ QP λλ=>，试探究：当PB 取得最小值时，直线OQ 与平面PBD 所成角的大小是否一定大于

4

π

？并说明理由．

16．袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：

（Ⅰ）取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （Ⅱ）随机变量ξ的分布列和数学期望； （Ⅲ）计分介于20分到40分之间的概率

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17．已知点()0,1A ，()1,0B ，()1,2C ，()2,1D ，试判断向量AB 和CD 的位置关系，并给出证明。 18．（12分）预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1 5倍，问桌、椅各买多少才行？

19．在极坐标系中，曲线2

:sin

2cos L ρθθ=，过点A （5，α）

（α为锐角且3

tan 4

α=）作平行于()4

R π

θρ=

∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点.

(Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程； (Ⅱ)求|BC|的长.