黄生洪张量分析和连续介质力学概论PPT课件

• 1.3 曲线坐标系的基矢量与矢量分量
• 1.4 坐标转换
g k ' l' 111 1k 'l'
1 ' 1 ' 2 ' 2 ' 3 ' 3 ' 11 1 1 11
• 1.5 并矢与并矢式
• 1.6 张量的解析定义与表示
矢量的解析定义与表示
1）三维空间中的3个有序数集合 2）坐标转换时满足：
F•V(FxiFyjFzk)•(VxiVyjVzk)
FxVxFyVyFzVz F1V1F2V2F3V3
FiVi
i=1,2,3
爱因斯坦求和约定 若指标中有两个相同， 表示在默认范围内求和
叉积
( u y v z u z v y ) i ( u z v x u x v z ) j ( u x v y u y v x ) k (u2v3u3v2)g1(u3v1u1v3)g2(u1v2u2v1)g3 u2v3g1u3v2g1u3v1g2u1v3g2u1v2g3u2v1g3 eijukivjgk
f
P
n
应力矢量（表面力）
t(n) limf df s0 S dS
ps
S
e3
t (e3 )
把应力矢量分解到三个坐标方向
e2
t e1 ( e 1 )
t(e1)1e1 11e 221e 3 3 t ( e 2 ) t(e2)2e 1 12e 222e 3 3
t(e3)3e1 13e 223e 3 3
j： 哑标
(i, j 1,2,3) i： 自由标
➢ 表达式简洁；如 rpixi, (i1,2,3) ik,k fi 0
(i, k 1,2,3)
➢ 用张量写出的方程（张量方程），与参考系无关，
亦即在所有参考系中都成立。
➢ 张量代数与线性代数密不可分，但二者不等同，
张量代数有自己的体系及侧重。
1 矢量与张量
• 1.1 矢量及其代数运算公式
1.1.1矢量的定义、表示
u 不变量记法：
分量记法：满足一定坐标变换关系的有序数
uuxexuyeyuzez (ux,uy ,uz ) ui i1,2,3 指标记法
矢量的规则
矢量的关系： 矢量空间，线性相关、无关，互表
1.1.2 矢量的运算
点积
指标记法表示
主讲：黄生洪
中国科学技术大学近代力学系
0 绪论
0.1 张量概念的引入 标量 t
物理世界
矢量
e3
e2
e1
值+方向
温度 密度 高度
位移 速度 作用力
S1, S2,S3
标示客观物理量 共性： 具有坐标不变性
满足客观的数学运算规则
以上量是否能描述物质世界所有的物理状态
一微元 受力状态
要描述清楚，则需要知道每个微元表面的受力情况
t *(n)dS t*(e1 )dSn1
nn1e1n2e2n3e3 t*(e2 )dSn2 t*(e3 )dSn3
b*dV 0
底面向P点收缩
t t t t t t *(e1)
(e1 )
*(e2 )
(e2 )
*(e3 )
(e3 )
体积力趋于0
t(n )t(e1)n 1t(e2)n2t(e3)n 3
xy x
y y
zy z
fy
0
xz x
yz y
z z
fz
0
11 x 12 xy 考虑 12 21
等
11
1 21
1 31
1
12
2 22
2 32
2
13
3 23
3 33
3
f1 f2 f3
0
0
0
弹性力学平衡方程
张量方程
ij, j fi 0 “,” 表示求导
线性齐 次变换
张量的解析定义与表示 1）三维空间中的32个有序数集合 2）坐标转换时满足：
有序数集合为张量 推广
2次线性齐 次变换
1）n维空间中的nm个有序数集合 2）坐标转换时满足：
T (i',j',k ',.n ') . .k i'
数空间中的任意一个点的坐标函数
张量是与标量和向量相对来说的,或者说是向量的推广 张量实际上是标量，向量，线性算子的母概念，可以描
述更复杂的物理规律或状态
以上是感性的定义，严格的数学定义将在后面给出
0.2 张量的特点与应用
描述复杂的物理定律非常简单
x x
yx y
zx z
fx
0
令：1,2,3 代替 x, y, z 表示三个方向
也就是说，只要知道这9个相互关联的量，则该点任意方向的 应力矢量均可以得到，它们确定了该点的受力状态，显然，再 用标量、矢量来定义均不合适，于是引入“张量”来描述
11 12 13
21
22
23
31 32 33
应力张量
• 张量定义
一种广义向量,它有超过三个的分量,每个分量是特定维
哑标替换
P•i1 P1g1
P•g1(P1g1P2g2)•g1P1 逆变分量 P•g2(P1g1P2g2)•g2P2
P•g1(P1g1P2g2)•g1P1 协变分量 P•g2(P1g1P2g2)•g2P2
三维情况
Egijgij
g i g i• g j g i j g i j g i j 1 g i jg i g i g jj g i
1, eijk 1,
置换符号
123,312,231 321,132,213
0
偶排列 奇排列
混合积
根据叉积指标记法，容易推得
ux vx wx [uvw ] u y v y w y e ijk uiv j wk
uz vz wz
1.1.21证明
ux vx wx ux vx wx ux uy uz ux vx wx [uvw][uvw] uy vy wy uy vy wy vx vy vz uy vy wy
uz vz wz uz vz wz wx wy wz uz vz wz 行 列式 法P 则A PA
uiui viui wiui u•u v•u w•u uivi vivi wivi u•v v•v w•v
uiwi viwi wiwi u•w v•w w•w
பைடு நூலகம்
• 1.2 斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
11 12 13
21
22
23
31 32 33
9个相关联的数
x3 C
t(e2 )
P
A x1
n t ( e1 )
调整四面体三角形，n方向可以 任意
根据力平衡
B
t
(n
)
t*(n)dS
t*(e1 )dS1
x2
t*(e2 )dS2 t*(e3) • dS3
b*dV 0
t(e3)