高中数学 必修1 第三章 函数应用 第三章 章末复习课

解析
由题意a＜b＜c，可得f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)· (b － a )
＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0. 显然f(a)· f(b)＜0，f(b)· f(c)＜0， 所以该函数在(a，b)和(b，c)上均有零点，故选A.
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解析
答案
x＋2 4.设函数f(x)＝log3 －a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是 x (log32,1) ________.
第三章 函数的应用
章末复习课
学习目标
1.体会函数与方程之间的联系.
2.了解指数函数、幂函数、对数函数的增长差异.
3.巩固建立函数模型的过程和方法，了解函数模型的
广泛应用．
内容索引
知识梳理 题型探究 当堂训练
知识梳理
1.知识网络
2.要点归纳
(1)函数的零点与方程的根的关系：
①方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有
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解析
答案
2. 如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离 y 与行走 时间x之间函数关系的图象 .若用黑点表示张大爷家的 位置，则张大爷散步行走的路线可能是
解析
由晨练的图象可知，总共分为三部分，前一段随着时间的增加，
√
离家的距离增大，接着一段时间是保持离家距离不变，根据四个选项可
知只有选项 D符合，同时，最后一段是随着时间的增加，离家的距离越
解答
反思与感悟
在建立和应用函数模型时，准确地把题目要求翻译成数学问题 (如最
大射程翻译成y＝0时求x的最大值)非常重要.另外实际问题要注意实际
意义对定义域、取值范Hale Waihona Puke Baidu的影响.
跟踪训练2
某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足
函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品
C.(0,3)
B.(1,2)
D.(0,2)
解析 显然f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
由条件可知f(1)· f(2)＜0，即(2－2－a)(4－1－a)＜0，
即a(a－3)＜0，解得0＜a＜3.
解析
答案
类型二 函数模型及应用
例2 如图，建立平面直角坐标系 xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平
面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方 1 程y＝kx－ (1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关，炮的 20 射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程；
来越小，选项D也符合.故选D.
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解析
答案
3.若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)· (x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的
两个零点分别位于区间
√
A.(a，b)和(b，c)内
B.(－∞，a)和(a，b)内
C.(b，c)和(c，＋∞)内
D.(－∞，a)和(c，＋∞)内
函数.
(3)函数模型
①给定函数模型与拟合函数模型中求函数解析式主要使用待定系数 法.
②建立确定性的函数模型的基本步骤是审题，设量，表示条件，整理
化简，标明定义域.
③所有的函数模型问题都应注意变量的实际意义对定义域 的影响.
题型探究
类型一 函数的零点与方程的根的关系及应用
例1 已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－ －1的零点分别为 x x1＜x2＜x3 x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是__________.
在0℃的保鲜时间是 192小时，在22℃的保鲜时间是 48小时，则该食品在
24 小时. 33℃的保鲜时间是____
解析
11k b e ＝192， 1 22k 依题意得 22k＋b 两式相除可得 e ＝4， ＝48， e
1 33k＋b 33k b 故 e ＝2，故 e ＝e · e ＝24，
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答案
2 5.已知方程2x＝10－x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝____.
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答案
规律与方法
1.对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数 的图象、确定方程的根；对于连续函数，利用零点存在性定理，可用来 求参数的取值范围. 2.函数模型的应用实例的基本题型 (1)给定函数模型解决实际问题； (2)建立确定的函数模型解决问题； (3)建立拟合函数模型解决实际问题.
解答
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问 它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由. 解 因为a＞0，所以炮弹可击中目标⇔
1 存在 k＞0，使 3.2＝ka－20(1＋k2)a2 成立 ⇔
关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根⇔ 判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇔a≤6. 所以当它的横坐标a不超过6时，可击中目标.
零点. 零点存 ②确定函数零点的个数有两个基本方法：借助函数 单调性 和_______ 在性 定理研究图象与x轴的交点个数；通过移项，变形转化成 两 个函数
图象的交点个数进行判断.
(2)在同样是增函数的前提下，当自变量变得充分大之后，指数函数、
对数函数、幂函数三者中增长最快的是指数函数 ，增长最慢的是对数 ____
即该食品在33℃的保鲜时间是24小时.
解析 答案
当堂训练
1.已知函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，a≠1)，那么函数f(x)的零点有
A.0个 B.1个 C.2个
√
D.至少1个
解析
在同一坐标系中作出函数 y＝ax与y＝x＋a的图象，当a＞1时，如
图(1)，当0＜a＜1时，如图(2)，故选D.
1
2
解析 令x＋2x＝0，得2x＝－x；
令x＋ln x＝0，得ln x＝－x；
在同一坐标系内画出y＝2x，y＝ln x，y＝－x的图象，
如图可知x1＜0＜x2＜1.
令 h(x)＝x－ x－1＝0，则( x)2－ x－1＝0，
1＋ 52 1＋ 5 ＞1. 所以 x＝ 2 ，即 x3＝ 2 所以x1＜x2＜x3.
解析
解答 答案
反思与感悟
(1) 函数的零点与方程的根的关系：方程 f(x) ＝0 有实数根 ⇔函数y ＝f(x)
的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.
(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与 x轴的交点个
数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断.
若函数f(x)＝2x－ 2－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a x 的取值范围是 跟踪训练1 A.(1,3)