全国高中数学联赛试题

全国高中数学联赛试题

一、填空题

1、若正数b a ,)log(log 3log 232b a b a +=+=+,则b

a 11+的值为__________ 2、设集合}21|3{≤≤≤+

b a b a 中的最大值与最小值分别为m M ,，则m M -=_________

3、若函数|1|)(2-+=x a x x f 在),0[+∞上单调递增，则a 的取值范围为_______

4、数列}{n a 满足)(1

)2(2,211⋅+∈++==N n a n n a a n n ，则2013212014...a a a a +++=_________ 5、已知正四棱锥ABCD P -中，侧面是边长为1的正三角形，N M ,分别是边BC AB ,的中点，则异面直线MN 与PC 之间的距离是_____________

6、设椭圆Γ的两个焦点是21,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点Q P ,，若||||212F F PF =，且||4||311QF PF =，则椭圆Γ的短轴与长轴的比值为__________

7、设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I 。若点P 满足1=PI ，则ABC ∆与APC ∆的面积之比的最大值为__________

8、设D C B A ,,,是空间四个不共面的点，以2

1的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则B A ,可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率是__________

二、解答题

9、平面直角坐标系xOy 中，P 是不在x 轴上一个动点，

满足条件：过P 可作抛物线x y 42=的两条切线，两切点连线P l 与PO 垂直。设直线P l 与PO ，x 轴的交点分别为R Q ,，

（1）证明：R 是一个顶点

（2）球

|

|||QR PQ 的最小值

10、数列}{n a 满足))(arctan(sec ,6

11*∈==+N n a a a n n π求正整数m ，使得1001

sin ......sin sin 21=m a a a

11、确定所有的复数α，使得对任意的复数2

1,z z （

2121,1|||,|z z z z ≠<），均有221121)()(z z z z αααα++≠++

2014全国高中数学联赛二试

一、（本题满分40分）设R c b a ∈,,，满足1=++c b a ，0>abc ， 求证：4

12+<++abc ab ca bc