理论力学全部教程

理论力学
静力学基础
1.2 力系等效原理 1.3 力偶与力偶矩
1.2 力系等效原理
1.2.1 力系的主矢和主矩 ● 力系的主矢
作用于某刚体上的若干个力F1,F2,„,Fn 构成空 间一般力系(three dimensional force system)，通常 表示为（F1,F2,„,Fn）。这n个力的矢量和
集 中
F1 F2
力
实际上要经一个几何点来传递作用力是不可能 的，集中力只是作用于一个小区域上的分布力， 一切真实力都是分布力。
P
A
C
B
集中力只是分布力在一定条件下的理想化模型。 能否进行这种简化主要取决于我们所研究的问题 的性质。
● 力在坐标轴上的投影
F Fx i Fy j Fz k
已知力F在各坐标轴上的投影，则可求得力F的大 小和它相对于各轴的方向余弦，即
cos( F , i ) Fx / F cos( F , j ) Fy / F cos( F , k ) Fz / F
1.1.2 力对点的矩
力矩(moment of a force)是用来量度力使物体 产生转动效应的概念。 ● 力对点的矩的概念 作用于刚体的力F对空间任意一点O的力矩 定义为
理论力学
理论力学
第一部分 静力学
第一部分 静力学
• 引论
刚体静力学(statics of rigid bodies)研究刚体 (rigid body)在力系的作用下相对于惯性系静止 的力学规律。
(1) 力学模型—刚体
在力的作用下不变形的物体称为刚体。 在实际生活中，完全不变形的物体并不存在， 刚体不过是实际物体和构件的抽象和简化。
F1
F2
● 分布力(distributed force) 与集中力(concentrated force)
表面力(surface forces): ○分布力
连续作用于物体的某一面积上的力.
体积力(body forces):
连续作用于物体的某一体积内的力.
○集中力—集中作用于物体上一点的力.
分 布 力
(2) 力系
作用于同一刚体的一组力称为力系 ( system of forces) 。 F4 F2
A FAy FAx FB q
F3
F1
M
B
α
平衡力系(force system of equilibrium) —使刚体的原有运动状态不发生改变的力系。
平衡条件(equilibrium conditions)
y O
F
x
M Oz ( F ) ( r F ) k
r rz + rxy F Fz + Fxy
z
M Oz ( F ) ( r F ) k
F
MOz(F) MO(F)
r O rxy
Fxy
y
x
即有
M O z ( F ) [( rz + rxy ) ( Fz + Fxy )] k
因此
M z ( F ) = M Oz ( F )
我们得到一个说明力对轴之矩与力对点 之矩的关系的重要结论：力对任意轴之 矩等于该力对轴上任一点之力矩矢在该 轴上的投影。
于是我们有力对坐标轴之矩的解析表达式：
M x ( F ) M Ox ( F ) yFz zFy M y ( F ) M Oy ( F ) zFx xFz M z ( F ) M Oz ( F ) xFy yFx
力F在坐标轴上的投影为
Fx = 0
3 Fy = F sin = F 2
1 Fz = F cos = F 2
故
r = 3a ( i + j )
1 F = F ( 3 j + k) 2
因此
i
j
3a 3 F 2
k 0
1 F 2
MO ( F ) r F
3a
0
3 Fa ( i j 3k ) 2
矩轴 (axis of moment) Oz
z
F
● 力对轴的矩的概念
作用于刚体的力F 对 z 轴的矩定义为
Fz
z
F
h
M z ( F ) = M O ( Fxy ) = Fxy h
O
Fxy 空间力对轴之矩归结为平 面上的力对点之矩。
力对轴的矩是代 数量。正负号的规 定是按右手定则与z 轴的指向一致时为 正，反之为负。
○力矢量的表示: F1、FA… ○力矢量的模: F1、FA…
F1 、 A F
○力的作用点 ○力的作用线 ○量度力的大小的单 位,在国际单位制中用 牛顿（N） 千牛顿（kN）
FA C FC B A F1
● 作用力和反作用力
力的另一重要性质是由牛顿第三定律 (Newton’s third law)所描述的作用力和反作用 力之间的关系，即: 两个物体之间的作用力与反作用力总是同时 存在，且大小相等、方向相反、沿同一直线， 并分别作用在两个不同的物体上。
平面问题
平面问题中，由于矩心与力矢均在同一个特 定的平面内，力矩矢总是垂直于该平面，即力 矩的方向不变，指向可用正、负号区别，故力 矩由矢量变成了代数量，且有
O●
MO(F ) Fh
r
h
F
O●
h
MO(F) = ± Fh
F
正负号通常规定为:
+
逆时针为正
–
顺时针为负
平面问题 —矢量表达式
z
MO(Fxy)=(rxy× Fxy) · k
Fx F i F cos Fy F j F cos Fz F k F cos
Fxi
Fzk γ F
β
α Fyj
力在坐标轴上的投影是代数量，应特别注意 它的符号。
二次投影法 (second projection)
z
F
γ φ x Fxy y
k
Fxy
y
O
h
rxy
x
力矩的单位在国际单位制(SI)中为牛顿· 米 (N· m)或千牛顿· 米(kN· m)。
● 力对点的矩在坐标轴上的投影
z MO(F) k r
F
i
x
O
j
y
F Fx i Fy j Fz k
r xi yj zk
i
MO ( F ) r F x
j y Fy
k z Fz
Fx
(yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
M Ox ( F ) = yFz zFy M Oy ( F ) = zFx xFz M Oz ( F ) = xFy yFx
1.1.3 力对轴的矩
力对轴的矩(moment of a force about an axis) 用来量度力对其所作 用的刚体绕某固定轴 转动的效应。
M y ( F ) zFx xFz 0
6 M z ( F ) xFy yFx Fr 6
x = r, y = 0, z = 2r
6 Fx F , 6 6 Fy F, 6 6 Fz F 3
由此即有
6 MO ( F ) Fr ( 2i k ) 6
6 MO ( F ) Fr ( 2i k ) 6
将上式右端展开，并注意到
rz Fz 0 ( rz Fxy ) k 0
( rxy Fz ) k 0
则有MO(F)在 z 轴上的投影
M Oz ( F ) ( r F ) k ( rxy Fxy ) k
而另一方面力F 对z轴之矩可表示为
M z ( F ) = M O ( Fxy ) = ( rxy Fxy ) k
MO (F)通常被看作为一个定位矢量，习惯 上总是将它的起点画在矩心O处，但这并不 意味着O就是MO (F)的作用点。
力矩矢的三要素
力矩矢的三要素为大小、方向和矩心。 MO (F)的大小即它的模
MO(F ) = r F Fr sin Fh
式中θ为r和F正方向间的夹角，h为矩心 到力作用线的垂直距离，常称为力臂 (moment arm)。MO (F)的方向垂直于r和 F所确定的平面，指向由右手定则确定。
例1.2 园柱的底半径为r，高为2r，求图中作用于 B点的力F 对x、y、z轴以及OE轴之矩。
z A E e
B
F
O D x C
y
解 ：力F 的作用 点B的 坐 标为
x = r, y = 0, z = 2r
而
6 Fx F , 6 6 Fy F, 6 6 Fz F 3
O A
z
e E
—平衡力系所要满足的数学条件。 刚体在平衡力系的作用下并不一定处于静止 状态，它也可能处于某种惯性运动状态。
(3) 基本问题：
● 物体的受力分析； ● 力系的等效替换及简化； ● 力系的平衡条件及其应用。
1. 工程力学教程 (Ⅰ)
范钦珊 主编 高等教育出版社（‘九五’
参 考 书 目
国家级重点教材）
z
z
M z (F) > 0
M z (F) < 0
• 当力的作用线与z轴பைடு நூலகம்行(Fxy = 0)或相交 (h=0)时，或概括起来讲，当力与轴共面时， 力对轴的矩等于零。
力对轴之矩 M z ( F ) = M O ( Fxy ) = ( rxy Fxy ) k
z k F O h rxy
Fz
Fxy
设沿OE轴的单位矢为e，则有
5 e ( j 2k ) 5