第二章运筹学运输问题分解

二. 运输问题的表上作业法 例1 见下表:
收
发 发 量
B1
B2
B3
4
B4
3
B1
B2
11
9 4
B3
3
2 10
B4
12
8 5
A1 A2 A3
收 量
7 3 3
4 1 1
3
1
6
3
9 3 7
3
6
5 4 6 3 20
2. 最优方案的判别
方法一:闭回路法 闭回路:从非基变量格出发,沿水平或垂直方向 前进,碰到适当的基变量格转向,再回到原来的 空格,称为一个闭回路.在闭回路上的基变量格 称为转角点.可以证明,如果不考虑方向,则每一 个空格的闭回路唯一存在.
m n
x0
i 1
i
j 1
j
证明:必要性
设 x 是方程组的一个可行解 , 则 ai x
0 ij i 1 i 1 j 1

n j 1
m
m
n
0 ij
及 b j x ,所以, ai b j .
j 1 i 1 0 ij i 1 j 1
n
m
m
x11 x12 x x1n x 21 xmn
C c11 c12 c1n
c21 c22 c2n cm1 cm2 cmn
定理1 在产销平衡的运输问题中,其约束方程组 的系数矩阵和增广矩阵的秩相等,且等于m+n-1. 定理2 方程组 Ax b 有解的充要条件是 a b .
第二章 运输问题 (Transportation problems)
物资调运是一个典型的线性规划问题.1939 年前苏联经济学家康托洛维奇提出这一问 题,1941年美国数学家F.L.Hitchcock提出运 输问题数学模型,1951年Dantzig将此类问题 的解法系统化,完善化,改为用表上作业法求 解.
第二章 运输问题


产销平衡的运输问题的数学模型 表上作业法 产销不平衡的运输问题及其应用





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教学目的与要求：使学生学会建模方法能用表 上作业法及WinQSB求解运输问题。 重点与难点：重点是产销平衡运输问题的表上 作业法，难点是基变量个数为m+n-1的理论及 操作方法. 教学方法:课堂讲授并辅以课件及软件. 思考题,讨论题,作业:教材中第三章作业. 参考资料:见前言 学时分配:4学时.
c11 c21 cm1
需求量( Demand )
b1 b2 bn
a b
i 1 j 1
m
n
j
建立数学模型
设从i地调往j地的调运量为 xij , i 1,2,, m
min S cij xij
j 1 i 1 n m
j 1,2,, n.
n xij ai 1 jm xij b j i 1 xij 0
i 1,2,, m j 1,2,, n
平衡运输问题数学模型的矩阵表示法
min S Cx Ax b x0
1 1 1 1 1 1 A 1 1 1 1 1 1
a1 a2 am 1 1 1 b 1 b1 b2 1 b 1 n
n
充分性
设 ai b j M , 取x
i 1 j 1 0 ij 0 x ij j 1 j 1 n m n n m n
ai b j M
, i 1,2,, m
j 1,2,, n
ai b j
0 ij
ai M M
n j 1
m n m ai 0 b M a , 故 x j i ij ai , M j 1 i 1 j 1 i 1
注意:1.空格为第0次 转角.2.当第一次出 现正检验数时,可停 止以下检验数的计 算.
调运方案的判优准则:对调运方案表中的每 一空格作一条闭回路,并求出检验数,如果检 验数全部小于等于零,则该调运方案最优.否 则要调整调运方案. 3. 方案的调整 ⑴ 选取入基变量:第一个正检验数的空格对 应的非基变量为入基变量.本例中 x22 为入基 变量. ⑵ 入基变量的取值为θ ,θ =min{奇转角点 运量}.即该非基变量的运量为θ ,同时变为 基变量.
第一节 运输问题数学模型 一.平衡运输问题的数学模型 平衡表
运价
( Destinatio n)
(Cost / Pr ofit)
销地
供应量
B1 B2 Bn
c12 c22 cm 2 c1n c2 n cmn
产地(Source )
( Supply )
a1 a2 am
i
A1 A2 Am
找出上例中各空格的闭回路
收
发
B1
3
B2
B3
4
1
B4
3
发 量
B1
3
1 7
B2
11
9 4
B3
3
2 10
B4
12
8 5
A1 A2 A3
收 量
7
4
6 3 6 5
3 6
9 20
每个空格即非基变量的检验数的求法:
对应于空格xij的检验数ij等于xij的闭回路上奇转角点 运价之和减去偶转角点 运价之和 .
ij 奇转角点运价之和 偶转角点运价之和 .
n
同理, x b j .
i 1 j 1
定理3 平衡的运输问题一定有最优解. 证明:
0 xij 0, cij 0, S cij xij 0, 故 min S存在. i 1 j 1 m n
1.编制初始调运方案 方法一:最小元素法(Minimal elements method) 在平衡表中,按运价最小者优先满足的原则,找 出m+n-1个有数字的格为基变量,空格为非基 变量. 方法二:西北角法(Northwest corner method) 注意:一般来说用最小元素法得到的初始调 运方案更接近于最优方案.
11 (3 1) (2 3) 1 12 (12 4) (5 11) 0 22 (2 12 4) (3 5 9) 1 24 (2 12) (3 8) 3 31 (5 3 1) (12 2 7) 12 33 (5 3) (12 10) 14.