高三模拟考试数学试卷(含答案)(3)
2025届北京市牛栏山一中高三第三次模拟考试数学试卷含解析
2025届北京市牛栏山一中高三第三次模拟考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在直角坐标系中，已知A （1，0），B （4，0），若直线x +my ﹣1=0上存在点P ，使得|PA |=2|PB |，则正实数m 的最小值是( )A ．13B ．3C ．33D ．32．已知四棱锥S ABCD -的底面为矩形，SA ⊥底面ABCD ，点E 在线段BC 上，以AD 为直径的圆过点E .若33SA AB ==，则SED ∆的面积的最小值为（ ）A ．9B ．7C ．92D ．72 3．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ） A ．B ．C ．D ． 4．直角坐标系 xOy 中，双曲线2222 1x y a b-=（0a b ，>）与抛物线2 2?y bx =相交于 A 、 B 两点，若△ OAB 是等边三角形，则该双曲线的离心率e =（ ） A ．43 B ．54 C ．65 D ．765．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为[)0,+∞的是（ ）A ．()lg 1y x =+B ．12y x = C ．2x y = D ．ln y x =6．已知复数(1)(3)(z i i i =+-为虚数单位） ，则z 的虚部为（ ）A ．2B ．2iC ．4D ．4i 7．已知集合{}{}22(,)4,(,)2x A x y x y B x y y =+===，则A B 元素个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，AB DA ⊥，1AB AD ==，2BC =ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PA AC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．823π 9．一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ）A ．16B ．12C ．8D ．6 10．双曲线2212y x -=的渐近线方程为（ ） A ．32y x =± B ．y x =± C ．2y x = D ．3y x =11．盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取()1,2i i =个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后放回，此时盒中黑球的个数()1,2i X i =，则( )A ．()()1233P X P X =>=，12EX EX >B ．()()1233P X P X =<=，12EX EX >C ．()()1233P X P X =>=，12EX EX <D ．()()1233P X P X =<=，12EX EX <12．已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为1的正方形，1ED =，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ）A ．26B ．13C ．23D ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
重庆市巴蜀2024-2025学年高三上学期适应性月考卷(三)数学试题含答案
巴蜀2025届高三适应性月考卷（三）数学试卷（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}0,1,2,3,4,5,6U =，{}0,1,2,4A =，{}1,2,3,4,5B =，则()U A B = ð（）A.{}3,5,6 B.{}3,5 C.{}5 D.{}5,62.某地区组织了一次高三全体学生的模拟考试，经统计发现，数学成绩近似服从正态分布()2,N μσ，已知数学成绩高于110分的人数与低于70分的人数相同，那么估计本次考试的数学平均分为（）A.85B.90C.95D.1003.若复数111i z =+，211iz =-，则2212z z -=（）A.-1B.1C.i- D.i4.在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 在DE 上，且12AF AB AD μ=+，则实数μ的值为（）A.14B.13C.12D.345.已知,a b +∈R ，且230ab a b ++-=，则a b +的最小值为（）A.32B.53C.3D.3-6.重庆被媒体评价为“最宠游客的城市”.现有甲、乙、丙三位游客慕名来重庆旅游，准备从洪崖洞、磁器口、长江三峡、大足石刻和天生三桥等五个景点中各自随机选择一个景点游玩，则他们三人所选景点全部不同的概率是（）A.225 B.1225C.16D.6257.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）的关系为0e kt P P -=，其中，0P ，k 是正的常数.如果在前5h 消除了10%的污染物，那么要消除90%的污染物，至少需要的时间是（）h.（参考数据：lg30.477≈）A.45B.76C.109D.1188.已知函数()()1ln ,14xf x a b a b x =+++∈-R 为奇函数，且()f x 在区间()21,2t t t --上有最小值，则实数t 的取值范围是（）A.（3，4）B.)C.)D.)二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，将小球的球心视为质点，它在t （单位：s ）时相对于平衡位置（图中0h =处）的高度h （单位：cm ）由关系式()sin h A t ωϕ=+确定，其中0A >，0ω>，0t ≥，[]0,πϕ∈.小球从最高点出发，经过0.5s 后，第一次到达最低点，经过的路程为10cm ，则下列说法正确的是（）A.2πω= B.π2ϕ=C.小球在[]8,9t ∈内经过的路程为10cmD.9.75t =时，小球正在向上运动10.在等腰梯形ABCD 中，AB DC ∥，2DA DC ==，4AB =，点P 是梯形ABCD 内部一点（不含边界），且满足(),AP AB AD λμλμ=+∈R，则下列说法正确的是（）A.若0PA PB PC PD +++= ，则38λ=，12μ=B.当2μλ=时，PB的最小值为2C.若21λμ+=，则PBC △的面积为定值D.若22421λμλμ++=，则PC的最小值为1-11.已知由实数构成的数列{}n a 满足()2*12n n n a a a n +=-+∈N，则以下说法正确的是（）A.存在*k ∈N 且2k ≥，使2k a =B.若()10,1a ∈，则数列{}n a 是递增数列C.若()11,2a ∈，则数列{}n a 的最大项为1aD.若1910a =，设()1lg 1n n b a =-，{}n b 的前n 项和为n S ，则2n S >-三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.等比数列{}n a 的公比0q <，其前n 项和为n S ，且341a a +=，45S =，则5a =_____..13.已知π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4cos 25β=-，()cos 5αβ-=-，则α的值为_____.（用弧度制表示）14.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()12f x -是偶函数，当[]0,1x ∈时，()2f x x =-，则()10021i i f i ==∑_____.四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且35S a =，()*221n n a a n =+∈N .（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 是递增的等比数列，其公比为q ，且{}n b 中的项均是{}n a 中的项，11b a =，当q 取最小值时，若()*k i b a k =∈N ，请用k 表示i .16.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，BC 的中点为D ，记ABC △的面积为S ，已知π4B =，2c =.（1）若b =cos C 以及线段AD 的长度；（2）若ABC △是锐角三角形，求S 的取值范围.17.已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过F 作倾斜角为θ的动直线l 交E 于A ，B 两点.当60θ=︒时，163AB =.（1）求抛物线E 的方程；（2）证明：无论θ如何变化，OA OB ⋅是定值（O 为坐标原点）；（3）点()3,0M ，直线AM 与E 交于另一点C ，直线BM 与E 交于另一点，证明：ABM △与CDM△的面积之比为定值.18.已知函数()ln 1x f x x+=.（1）求证：()1f x ≤；（2）若(0,)x ∈+∞时，不等式()1a x f x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若直线l 是曲线()y f x =在点()(),A t f t 处的切线，求证：当t >时，除点A 外，直线l 与曲线()y f x =有唯一公共点()(),s f s ，且1es t <<.19.设A ：12,,,m a a a ⋅⋅⋅和B ：12,,,m b b b ⋅⋅⋅是两个项数为m 的非负整数数列()3m ≥，定义()1,mi i i T A B a b ==-∑，()()1,miii t A B a b ==-∑.（1）对于数列A ：1，2，3，10，11，12和B ：4，5，6，7，8，9，求()(),,T A B t A B -的值；（2）设1,,n A A ⋅⋅⋅均为项数为3且每项为0或1的数列()2n ≥，且对于任意1i j n ≤<≤，都有(),2i j T A A ≥，求n 的最大值；（3）若62m =，数列A ，B 严格递增且每项不大于755，求()(),,T A B t A B -的最大值.数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案BBCDCBCA【解析】1.∵{}U 3,5,6A =ð，∴(){}U 3,5A B = ð，故选B.2.由正态密度函数的对称性，70110902μ+==，故选B.3.2212i i i 22z z ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C.4.设()1AF AE AD λλ=+- ，则()()112AF AB BE AD AB AD λλλλ⎛⎫=++-=+- ⎪⎝⎭，又12λ=,∴3124λμ=-=，故选D.5.由230ab a b ++-=得32b a b -=+,∴()3551233222ba b b b b b b b -+=+=+-=++-≥-+++，当且仅当1a =，2b =-取到等号，故选C.6.由题意知：三人从5个景点中各自随机选择3个景点游玩，总的有35125=种选法，所选景点全部不同有3s A 60=种，所以所求概率为1225，故选B.7.由题意得500005ln 0.90.9e ln 0.1ln 0.15ln 0.90.1ek ktk P P t kt P P --⎧-==⎧⇒⇒=⎨⎨-==⎩⎩，∴5lg 0.155108.7lg 0.91lg 912lg 3t ===≈--，故选C.8.因为()()1ln ,14xf x a b a b x =+++∈-R 为奇函数，所以其定义域关于原点对称，易知1x ≠，所以1x ≠-，即有1011a +=--，得到12a =-，所以()()111ln ln 214214x x xf x b b x x +=-+++=++--，函数定义域为{}11x x x ≠-≠且，得到()10ln02f b =+=，所以ln 2b =.故()()11lnln 2ln 21414x x x xf x x x ++=++=+--，此时有()()11lnln 1414x x x xf x f x x x -++-=-=--=-+-，即12a =-，ln 2b =满足题意，所以()1lnln 1ln 1144x x xf x x x x +=+=+--+-，定义域为{}11x x x ≠-≠且，结合奇函数的性质，可得函数的大致图象如图，当1x >时，()()()ln 1ln 14xf x x x =+--+，()()22111911441x f x x x x -'=-+=+--，由()()229041x f x x -'==-，得到3x =是唯一的极小值，又()f x 在区间()21,2t t t --上有最小值，所以21132t t t <-<<-，解得34t <<，故选A.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ABDACBCD【解析】由题意，0.52T =，∴1T =，∴2π2πTω==，当0t =时，小球位于最高点，则sin 1ϕ=，[]0,πϕ∈，∴π2ϕ=，故A ，B 正确；对于C ，由题意5A =，当[]8,9t ∈，小球经过一个周期，则其路程为420A =，故C 错误；对于D ，当9.75t =时，由周期性，等价于0.75t =，此时πsin 2π0.75sin 2π02h ⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭，由正弦函数的图象可知，图象自下而上穿过x 轴，小球正在向上运动，故D 正确，故选ABD.10.取AB 的中点E ，对于A ，由0PA PB PC PD +++=，得0AP AP AB AP AC AP AD +-+-+-= ，所以()1113144282AP AB AC AD AB AB AD AD AB AD ⎡⎤⎛⎫=++=+++=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故A 正确；对于B ，当2μλ=时，()122202AP AB AD AB AD AC λλλλλ⎛⎫=+=+=> ⎪⎝⎭，点P 在AC 上，由于B 到直线AC 的距离为2，此时点P 与C 重合，故取不到最小值2，故B 错误；对于C ，若21λμ+=，则222ABAP AD AE AD λμλμ=+=+，所以点P 在DE 上，由于DE CB ∥，所以PBC △，故C 正确；对于D ，∵22421λμλμ++=，∴2222222216484AP AB AD AB AD λμλμλμλμ=++⋅=++= ，所以点P 的轨迹是以A 为圆心，2为半径的圆位于梯形ABCD 内部的圆弧（圆心角为60°的扇形弧），所以PC 的最小值为2AC -，即为2-，故D 错误，故选AC.11.BCD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号121314答案125π45000【解析】12.由已知求得18a =，12q =-，∴45112a a q ==.13.∵24cos 22cos15ββ=-=-，∴21cos 10β=，又π,π2β⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴cos 10β=-，进而sin 10β=，∵π3π,22α⎛⎫∈⎪⎝⎭，ππ,2β⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，∴,ππ2αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又()cos 05αβ-=-<，∴π,π2αβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴()sin 5αβ-=，∴()()()22322sin sin sin cos cos sin 10102ααββαββαββ=-+=-+-=---⎡⎤⎣⎦，结合π3π,22α⎛⎫∈⎪⎝⎭可知：5π4α=.14.∵()12f x -是偶函数，∴()()1212x f x f -=+，即(1)(1)f x f x +=-，从而()()2f x f x -=+，又()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-，∴()()2f x f x +=-，进而()(4)(2)f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期为4的周期函数，由当[]0,1x ∈时，()2f x x =-，得()00f =，()11f =-，()()200f f ==，()()311f f =-=，()40f =，即()40f k =，()411f k +=-，()()431f k k +=∈Z ，∴()10022222222125241357997992581650002i i f i =⨯=-+-+-+⋅⋅⋅-+=⨯+⨯=∑.四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）解：（1）由352,21n n S a a a =⎧⎨=+⎩得()()1111334,21211,a d a d a n d a n d +=+⎧⎪⎨+-=+-+⎡⎤⎪⎣⎦⎩即112,1,a d a d =⎧⎨+=⎩解得11a =，2d =，∴()1121n a a n d n =+-=-.（2）由11b =且{}n b 是递增的等比数列，得2211b q b b ==>.故2k b a =（k ∈N 且2k ≥），由于数列{}n a 是递增数列，则当q 取最小值时，223b a ==，即3q =，∴11133n n n b --=⨯=，若k i b a =，则1321k i -=-，∴1312k i -+=.16.（本小题满分15分）解：（1）由正弦定理，π2sinsin 54sin sin sin 5b c c BC B C b=⇒==，又c b <，∴π04C <<，∴25cos 5C ==，∵3πcos cos cos sin 42210BAC C C C ⎛⎫⎛⎫∠=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵()12AD AB AC =+，∴()22211524102244102AD AB AC AB AC ⎡⎤⎛=++⋅=++⋅⋅-=⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴102AD =.（2）∵sin sin c a C A =，∴π2sin sin 4sin sin C c A a C C⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，∴π2sin 11sin cos 14sin 2122sin 2sin tan ABCC C C S ac B C C C⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==⋅⋅⋅==+△，∵ABC △是锐角三角形，∴π0,23π0,4π2C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩∴ππ42C <<，∴tan 1C >，∴101tan C<<.∴12S <<.17.（本小题满分15分）（1）解：根据题意直线l 的斜率不为0，可设直线l ：2px ty =+，()11,A x y ，()22,B x y 代入抛物线方程22y px =得：2220y pty p --=，∴()22410p t =+>△，122y y pt +=，212y y p =-，∴()21221AB y p t =-==+，当60θ=︒时，3t =，∴81633p AB ==，∴2p =，抛物线E 的方程为24y x =.（2）证明：由（1）可知，2124y y p =-=-，则()222221212212244p y y p x x p p p -=⋅===，∴1212413OA OB x x y y ⋅=+=-+=-.（3）证明：设()33,C x y ，()44,D x y ，直线AC 的方程：3x my =+，直线BD 的方程：3x ny =+，由23,4,x my y x =+⎧⎨=⎩得24120y my --=，∴1312y y =-，同理，2412y y =-，∴()()12341324144y y y y y y y y ==，由（2）知124y y =-，则3436y y =-，12341sin 4121369sin 2ABM CDM MA MB AMB MA MB S y y S MC MD y y MC MD CMD ∠=====∠△△.18.（本小题满分17分）（1）证明：()()2ln 1ln x x f x f x x x+-'=⇒=，当()0,1x ∈时，()()0f x f x '>⇒在()0,1上单调递增；当()1,x ∈+∞时，()()0f x f x '<⇒在()1,+∞上单调递减，所以()()max 11f f x ==，即()1f x ≤.（2）解：令1x =，则()12112a f a ≥=⇒≥；当12a ≥时，∵()0,x ∈+∞，∴()1111122a x x f x x x ⎛⎫⎛⎫+≥+≥⋅=≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以原不等式成立，故实数a 的取值范围是12a ≥.（3）证明：()()2ln 1ln x x f x f x x x+-'=⇒=，所以在点()(),A t f t 处的切线l 方程：()2ln 1ln t t y x t t t +--=-，即l ：2ln 2ln 1t t y x t t -+=+，与ln 1x y x +=联立得：2ln 1ln 2ln 10x t t x x t t+++-=，即证：当t >时，方程2ln 1ln 2ln 10x t t x x t t +++-=除x t =外，还有另一根x s =，且1es t <<.设()2ln 1ln 2ln 1x t t h x x x t t++=+-，则()0h t =.又()22ln ln x t h x x t -'=+，()0h t '=，()32ln 1x h x x -''=，当(x ∈时，()()0h x h x '''<⇒在(上单调递减：当)x ∈+∞时，()()0h x h x '''>⇒在)+∞上单调递增，所以()min h x h '='，∵t >，∴()0h t h ''=>，又()2ln 10t h t'=>，所以存在唯一实数(0x ∈，使()00h x '=，当(),x t ∈+∞时，()()0h x h x '>⇒在(),t +∞上单调递增；当()00,x x ∈时，()()0h x h x '>⇒在()00,x 上单调递增；当()0,x x t ∈时，()()0h x h x '<⇒在()0,x t 上单调递减，所以当()()0,,x x t t ∈+∞ 时，()()0h x h t >=，又()221ln 12ln 1ln 112e 0e e e t t t h t t t t+⎛⎫=⋅-=--< ⎪⎝⎭，所以存在唯一实数01,e s x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()0h s =，即：当t >时，方程2ln 1ln 2ln 10x t t x x t t +++-=除x t =外，有唯一根x s =，且1es t <<，故结论成立.19.（本小题满分17分）解：（1）()(),,36018T A B t A B -=⨯-=.（2）若5n ≥，则数列12,,,n A A A ⋅⋅⋅中必有两个数列前两项相同（因每项为0或1，前两项至多有2×2=4种组合）：不妨设该二者为1A ，2A ，则必有()12,0T A A =（两数列的第三项也相同）或()12,1T A A =（两数列的第三项相异），故5n ≥不合题意；当4n =时，可构造1A ：0，0，0；2A ：0，1，1；3A ：1，1，0；4A ：1，0，1满足题意，故n 的最大值为4.（3）记{},162,i i P i a b i i +=≤≤≥∈N ∣，{}*,162,i i Q i b a i i =>≤≤∈N ∣，显然P Q =∅ ，{}1,2,,62P Q =⋅⋅⋅ .设()i i i P a b α∈=-∑，()i ii Q b a β∈=-∑，()()()()()(),,i i i i i i i i i P icQ i P i Q T A B t A B a b b a a b a b ∈∈∈-=-+---+-∑∑∑∑{}2min ,αβαβαβ=+--=，若P =∅或Q =∅，则已有()(),,0T A B t A B -=.下不妨设P ≠∅且Q ≠∅，由平均值原理，()*1,62,i j i j ∃≤≤∈N ，使得,i i j j a b b a P Q αβ≥-≥-，且i P ∈，j Q ∈（其中P ，Q 为集合P ，Q 的元素个数）()()i j i j a a b b P Q αβ⇒---≥+，不妨设i j >，则()6262693i a a i i --≤≤+，1j a j ≥-，j j b b i j -≥-()()()6931694i j i j P Qαβ⇒+≤+----=，且()2P Q P Q αβ⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭，≤{}2min min ,10757αβ≥⇒≤()(){},,2min 21514T A B t A B αβ⇒-=≤≤.上式取等时，构造：10757αβ==，有31P Q ==，347i i j j a b b a P Q αβ-====-，事实上，取A 为0，1，…，30，725，726，…，755；B 为347，348，…，408，有()(),,3476221514T A B t A B -=⨯=满足题意，为所求最大值.。
上海市嘉定区第二中学2025届高三第四次模拟考试数学试卷含解析
上海市嘉定区第二中学2025届高三第四次模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．231+=-ii （ ） A ．15i 22-+ B ．1522i -- C ．5522i + D ．5122i - 2．直角坐标系 xOy 中，双曲线2222 1x y a b -=（0a b ，>）与抛物线2 2?y bx =相交于 A 、B 两点，若△ OAB 是等边三角形，则该双曲线的离心率e =（ ） A ．43B ．54C ．65D ．763．正项等比数列{}n a 中，153759216a a a a a a ++=，且5a 与9a 的等差中项为4，则{}n a 的公比是 ( ) A ．1B ．2C ．22D ．24．已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为(),f x π的图象向左平移6π个单位长度后关于y 轴对称，则()6f x π-的单调递增区间为( )A ．5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B ．,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D ．,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦5．已知函数有三个不同的零点 （其中），则 的值为( )A ．B ．C ．D ．6．执行如图所示的程序框图，若输入的3t =，则输出的i =( )A ．9B ．31C ．15D ．637．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，12a =，且139,,a a a 成等比数列，则8S =（ ） A ．56B ．72C ．88D ．408．下图所示函数图象经过何种变换可以得到sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 9．已知函数()222ln 02x x e f x e x x e ⎧<≤=⎨+->⎩，，，存在实数123x x x <<，使得()()()123f x f x f x ==，则()12f x x 的最大值为（ ） A ．1eB ．1eC ．12eD ．21e 10．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁11．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为2317,,927n S S S ==，则12n a a a 的最小值为（ ） A ．24()27B ．34()27C ．44()27D ．54()2712．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm ）服从正态分布()280,5N ，则直径在(]75,90内的概率为（ ）附：若()2~,X N μσ，则()0.6826P Xμσμσ-<+=，()220.9544P X μσμσ-<+=.A ．0.6826B ．0.8413C ．0.8185D ．0.9544二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
通州区2024届高三二模数学试题及答案
通州区2024届高三年级模拟考试数学试卷 2024年4月本试卷共9页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。
1. 已知集合{}1,0,1,2,3U =−，{}1,2A =，{}0,2,3B =，则()U C A B =A.{}3B.{}0,3C.{}1,2,3D.{}0,1,2,32. 在复平面内，复数z 对应的点的坐标为(1,1)−，则2i z =A.1i −+B.22i −+C.1i −D.22i − 3. 在262()x x−的展开式中，常数项为A.60B.120C.180D.2404. 下列函数中，是奇函数且在区间(0,)+∞上单调递减的是A.1()1f x x =+B.3()f x x =−C.()tan f x x =D.12()log ||f x x =5. 在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AD DC BC ===，4AB =，则AB AC ⋅=A. B.8 C.12 D.6. 在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点43(,)55P −，则cos(π2)α−=A.925−B.725−C.725D.9257. 已知圆心为C 的圆22(2)(4)16x y ++−=与双曲线222:14x y E b −=(0)b >交于,A B 两点，且CA CB ⊥，则双曲线E 的渐近线方程为A.y x =B.12y x =±C.y =D.2y x =±8. 某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S （单位：平方米）与时间t （单位：月）的关系式为1t S a +=(0,1)a a >≠且，图象如图所示. 则下列 结论正确的个数为①浮萍每个月增长的面积都相等；②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；③浮萍面积每个月的增长率均为50%；④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是123,,t t t ，则123t t t +=.A.0B.1C.2D.39. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“2220S a −<”是“1(1)n n nS n S +>+”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10. 已知函数2||1,1()log 1,1x x x f x x x −≤⎧=⎨+>⎩，()ln g x x x =，若关于x 的方程(()2)(())0f x g x m −−=恰有3个不同的实数根，则实数m 的取值范围是A.1(,0)e −B.1(,1)e −C.(0,)+∞D.(1,)+∞第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2024年高考第三次模拟考试高三数学(考试版)
2024年高考第三次模拟考试高三数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{}4A x x =∈<N ，{}21,B x x n n A ==-∈，P A B = ，则集合P 的子集共有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．8个2.古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分隔率，黄金分割率的值也可以用2sin18°表示，即12sin182-=,设12m =,则2tan 811tan 81=+（）A.4mB.2m C.m3.若5(4)(2)x m x --的展开式中的3x 的系数为600-,则实数m =（）A.8.B.7C.9D.104.甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（）A ．518B ．625C ．925D ．895.设n S 为正项等差数列{}n a 的前n 项和．若20232023S =，则4202014a a +的最小值为（）A.52B.5C.9D.926.已知函数()()()sin f x x x ωω=+，若沿x 轴方向平移()f x 的图象，总能保证平移后的曲线与直线1y =在区间[]0,π上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数ω的取值范围为（）A.82,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.10,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.[)2,47.已知()6116,ln ,log 71ln 510115a b c =+==-,则（）A.a b c >> B.b c a>> C.a c b >> D.c a b>>8.已知正方体1121ABCD A B C D -的棱长为2,P 为线段11C D 上的动点，则三棱锥P BCD -外接球半径的取值范围为（）A．,24⎤⎥⎣⎦B．4⎣C．1⎣D．4⎣二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9．已知复数123,,z z z ,下列说法正确的有（）A.若1122z z z z =,则12||||z z =B.若22120z z +=,则120z z ==C.若1213z z z z =,则10z =或23z z =D.若1212||||z z z z -=+,则120z z =10.已知抛物线2:4C x =y 的焦点为F ,准线为l ,过F 的直线与抛物线C 交于A,B 两点，M 为线段AB 中点，,,A B M '''分别为A,B,M 在ι上的射影，且||3||AF BF =,则下列结论中正确的是A.F 的坐标为(1,0)B.||2||A B M F '''=C.,,,A A M F ''四点共圆D.直线AB 的方程为313y x =±+11.对于[]()0,1,x f x ∈满足()()()11,23x f x f x f x f ⎛⎫+-== ⎪⎝⎭，且对于1201x x ≤≤≤．恒有()()12f x f x ≤．则（）A ．10011011002i i f =⎛⎫=⎪⎝⎭∑B ．112624f f⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．118080f ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．1113216016f ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分．12.某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布2(100,)N σ．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到95.45%，则需调整生产工艺，使得σ至多为.（若2~(,)X N μσ，则{||2}0.9545)P X μσ-<=13.ABC △中，,,a b c ,分别为角,,A B C的对边，若3A π=，a b c +=+，则ABC △的面积S 的最小值为.14.函数sin cos ()e e x x f x =-在(0,2π)范围内极值点的个数为.四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分13分)己知函数()ln f x x ax =-,其中a R ∈.(I)若曲线()y f x =在1x =处的切线在两坐标轴上的截距相等,求a 的值;(II)是否存在实数a ,使得()f x 在(0,]x e ∈上的最大值是-3?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.16.(本小题满分15分)某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24．（1）若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．（2）记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m （2m >且*m ∈N ）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A ，否则该组标为B ，记询问的某组被标为B 的概率为p ．（i ）试用含m 的代数式表示p ；（ii ）若一共询问了5组，用()g p 表示恰有3组被标为B 的概率，试求()g p 的最大值及此时m 的值．17.(本小题满分15分)如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC BD O = ，2AB AD ==，13AA =，11π3BAA BAD DAA ∠=∠=∠=，点P 满足1221333DP DA DC DD =++ ．(1)证明：O ，P ，1B 三点共线；(2)求直线1AC 与平面PAB 所成角的正弦值．18.(本小题满分17分)已知椭圆22:11612x y E +=的左右焦点分别为12,F F ,点A 在椭圆E 上,且在第一象限内,满足1|| 5.AF =(1)求12F AF ∠的平分线所在的直线l 的方程；(2)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异的两点,若存在,请找出这两点；若不存在请说明理由；(3)已知双曲线M 与椭圆E 有共同的焦点,且双曲线M 与椭圆E 相交于1234,,,P P P P ,若四边形1234P P P P 的面积最大时,求双曲线M 的标准方程.19.(本小题满分17分)已知数列{}n a ,记集合()(){}*1,,...,1,,N i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++≤<∈.（1）若数列{}n a 为1,2,3,写出集合T ；（2）若2n a n =,是否存在*,N i j ∈,使得(),512S i j =？若存在,求出一组符合条件的,i j ；若不存在,说明理由；（3）若n a n =,把集合T 中的元素从小到大排列,得到的新数列为12,,...,,...m b b b ,若2024m b ≤,求m 的最大值．。
山东省高中名校2025届高三第三次模拟考试数学试卷含解析
山东省高中名校2025届高三第三次模拟考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某高中高三（1）班为了冲刺高考，营造良好的学习氛围，向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上，小王，小董，小李各写了一幅书法作品，分别是：“入班即静”，“天道酬勤”，“细节决定成败”，为了弄清“天道酬勤”这一作品是谁写的，班主任对三人进行了问话，得到回复如下： 小王说：“入班即静”是我写的；小董说：“天道酬勤”不是小王写的，就是我写的； 小李说：“细节决定成败”不是我写的.若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“入班即静”的书写者是（ ） A ．小王或小李B ．小王C ．小董D ．小李2．已知函数()()614,7,7x a x x f x a x -⎧-+≤=⎨>⎩是R 上的减函数，当a 最小时，若函数()4y f x kx =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1(,0)2-B ．1(2,)2- C ．(1,1)-D ．1(,1)23．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为()32222x y x y +=.给出下列四个结论：①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为18； ④四叶草面积小于4π. 其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②④4．已知向量(,1)a m =，(1,2)b =-，若(2)a b b -⊥，则a 与b 夹角的余弦值为（ ） A ．21313-B ．21313C ．61365-D ．613655．若()()()20192019012019111x a a x a x -=+++++，x ∈R ，则22019122019333a a a ⋅+⋅++⋅的值为（ ）A ．201912--B ．201912-+C ．201912-D ．201912+6．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（ ）A ．45B ．50C ．55D ．607．在260202x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩条件下，目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为40，则51a b +的最小值是（ ）A ．74B ．94C ．52D ．28．从抛物线24y x =上一点P (P 点在x 轴上方)引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且||5PM =，设抛物线的焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）A ．2-B ．2C ．43-D ．439．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图，则它的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．642+D ．83π10．若202031i iz i+=+，则z 的虚部是（ ）A ．iB ．2iC ．1-D ．111．已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合|2B x y x ⎧==⎨-⎩，则()R A C B ⋂=（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{|13}x x << C ．{|23}x x ≤<D ．{|12}x x <<12．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（ ） A ．4B ．6C ．3D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广西柳州市2024届高三第三次模拟考试数学试题含答案
柳州市2024届高三第三次模拟考试数学（考试时间120分钟满分150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有90%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，80%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A ．70%B ．60%C ．50%D ．40%2．已知i 是虚数单位，若()()1i i a ++为实数，则实数a 的值为（）A ．1B ．2-C ．0D ．1-3．已知()()12,3,3,,1AB AC t BC ===，则AB BC ⋅= （）A ．3-B ．2-C ．2D ．34．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。
两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=，其中星等为k m 的星的亮度为()1,2k E k =，已知太阳的星等是26.7-，天狼星的星等是 1.45-，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A ．10.110B ．10.1C ．lg10.1D ．10.110-5．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有（）A ．60种B ．48种C ．30种D ．10种6．已知,,,P A B C 是半径为2的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为4，则三棱锥P ABC -体积的最大值为（）A ．334B ．934C．D ．153410．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为e ，右焦点为(),0F c ，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点()12,P x x （）A ．必在圆222x y +=内B ．必在圆222x y +=上C ．必在圆222x y +=外D ．与圆222x y +=的关系与e 有关8．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对于任意的,x y R ∈，都有()()f x f y x y -<-，若函数()()g x f x x -=，则不等式()()2220g x x g x -+-<的解集是（）A ．()1,2-B ．()1,2C ．()(),12,-∞-+∞ D ．()(),12,-∞+∞ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2024年山东潍坊市高三三模数学高考试卷试题(含答案详解)
潍坊市高考模拟考试（潍坊三模）数学2024.5一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.1．设复数πsin 2i 4z θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是纯虚数，则θ的值可以为（）A ．π4B ．5π4C ．2023π4D ．2025π42．已知集合{}{}3,2,1,0,1,2,3,|3,Z A B x x n n =---==∈，则A B ⋂的子集个数是（）A ．3个B ．4个C ．8个D ．16个3．如图，半径为1的圆M 与x 轴相切于原点O ，切点处有一个标志，该圆沿x 轴向右滚动，当圆M 滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为N )，标志位于点A 处，圆N 与x 轴相切于点B ，则阴影部分的面积是（）A ．2B ．1C ．π3D ．π44．某同学在劳动课上做了一个木制陀螺，该陀螺是由两个底面重合的圆锥组成．已知该陀螺上、下两圆锥的体积之比为1:2，上圆锥的高与底面半径相等，则上、下两圆锥的母线长之比为（）A B ．12C ．2D 5．牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程()0f x =的根就是函数()f x 的零点r ，取初始值()0,x f x 的图象在点()()00,x f x 处的切线与x 轴的交点的横坐标为()1,x f x 的图象在点()()11,x f x 处的切线与x 轴的交点的横坐标为2x ，一直继续下去，得到12,,,n x x x ，它们越来越接近r ．设函数()2f x x bx =+，02x =，用牛顿迭代法得到11619x =，则实数b =（）A ．1B ．12C ．23D ．346．已知1F ，2F 分别为椭圆C ：22162x y+=的左、右焦点，点()00,P x y 在C 上，若12F PF ∠大于π3，则0x 的取值范围是（）A ．(),-∞+∞B ．(C ．(),-∞+∞D ．(7．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()1e f =，当0x >时，()1e xf x x<'+，则不等式()ln 1e xf x x ->的解集为（）A ．()0,1B ．()0,∞+C ．()1,∞+D ．()()0,11,∞⋃+8．已知()()()()()()828901289321111x x a a x a x a x a x ++=+++++++++ ，则8a =（）A ．8B ．10C ．82D ．92二、多项选择题:本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为棱111,C D C C 的中点，则（）A ．直线BN 与1MB 是异面直线B ．直线MN 与AC 所成的角是3πC ．直线MN ⊥平面ADND ．平面BMN 截正方体所得的截面面积为98.10．下列说法正确的是（）A ．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，事件“至少有一个黑球”与事件“至少有一个红球”是互斥事件B ．掷一枚质地均匀的骰子两次，“第一次向上的点数是1”与“两次向上的点数之和是7”是相互独立事件C ．若123452,,,,,x x x x x 的平均数是7，方差是6，则12345,,,,x x x x x 的方差是65D ．某人在10次射击中，设击中目标的次数为X ，且()10,0.8B X ，则8X =的概率最大11．已知12F F ，双曲线()222:104x y C b b-=>的左、右焦点，点P 在C 上，设12PF F △的内切圆圆心为I ，半径为r ，直线PI 交12F F 于Q ，若53PQ PI = ，1215PI PF t PF =+，R t ∈则（）A ．25t =B ．圆心I 的横坐标为1C ．5r =D ．C 的离心率为2三、填空题:本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12．已知向量()()()1,2,4,2,1,a b c λ==-=，若()20c a b ⋅+= ，则实数λ=13．已知关于x 的方程()()2cos 0x k ωϕω+=≠的所有正实根从小到大排列构成等差数列，请写出实数k 的一个取值为14．已知,,a b c 均为正实数，函数()()22ln f x x a b x x =+++．（1）若()f x 的图象过点()1,2，则12a b+的最小值为；（2）若()f x 的图象过点(),ln c ab c +，且()3a b t c +≥恒成立，则实数t 的最小值为．四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、说明过程或演算步骤.15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AB AC AB AC AA ⊥==，E 是棱BC的中点．(1)求证：1//A C 平面1AB E ；(2)求二面角11A B E A --的大小．16．已知正项等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且12311S S S ++，，成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若()1,1sin ,2nn n n S b n S n π⎧⎪⎪=⎨-⎪⋅⎪⎩为奇数，为偶数，求数列{}n b 的前4n 项和.17．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，E 为直线:1l y =-上一点，动点F 满足FE l ⊥，OF OE ⊥ .(1)求动点F 的轨迹C 的方程;(2)若过点1,02T ⎛⎫⎪⎝⎭作直线与C 交于不同的两点,M N ，点()1,1P ，过点M 作y 轴的垂线分别与直线,OP ON 交于点,A B .证明：A 为线段BM 的中点.18．某高校为了提升学校餐厅的服务水平，组织4000名师生对学校餐厅满意度进行评分调查，按照分层抽样方法，抽取200位师生的评分(满分100分)作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级:满意度评分[0,60)[60,80)[80,90)[]90100，满意度等级不满意基本满意满意非常满意(1)求图中a 的值，并估计满意度评分的25%分位数;(2)若样本中男性师生比为1:4，且男教师评分为80分以上的概率为0.8，男学生评分为80分以上的概率0.55，现从男性师生中随机抽取一人，其评分为80分以上的概率为多少?(3)设在样本中，学生、教师的人数分别为()1200m n n m ≤≤≤，，记所有学生的评分为12,,m x x x ，，其平均数为x ，方差为2x s ，所有教师的评分为12,,n y y y ，，其平均数为y ，方差为2y s ，总样本的平均数为z ，方差为2s ，若245x y x y s s s ==，试求m 的最小值.19．一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰・伯努利等得到“悬链线”方程e e 2x xccc y -⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，其中c 为参数.当1c =时，就是双曲余弦函数()e e ch 2x x x -+=，类似地双曲正弦函数()e e sh 2x xx --=，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.(1)类比三角函数的三个性质：①倍角公式sin22sin cos x x x =；②平方关系22sin cos 1x x +=；③求导公式()()''sin cos cos sin x x x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；(2)当0x >时，双曲正弦函数()sh y x =图象总在直线y kx =的上方，求实数k 的取值范围；(3)若1200x x >>，，证明：()()()()()2221112121ch sh 1ch sh sin sin cos .x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤+--⋅+>+--⎣⎦⎣⎦1．C【分析】根据题意得到πsin 04θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，将四个选项代入检验，得到答案.【详解】由题意得πsin 04θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，A 选项，当π4θ=时，ππsin 144⎛⎫+= ⎪⎝⎭，不合题意，A 错误；B 选项，当5π4θ=时，5ππsin 144⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，不合要求，B 错误；C 选项，当2023π4θ=时，2023ππsin sin 506π044⎛⎫+==⎪⎝⎭，故C 正确；D 选项，当2025π4θ=时，2025ππsin 144⎛⎫+=⎝⎭，D 错误.故选：C 2．C【分析】由交集的定义求得A B ⋂，根据子集个数的计算方法即可求解．【详解】由题意得，{3,0,3}A B ⋂=-，则A B ⋂的子集有328=个，故选：C ．3．B【分析】根据给定条件，求出劣弧AB 的长，再利用扇形面积公式计算即得．【详解】由圆M 与圆N 外切，得2MN =，又圆M ，圆N 与x 轴分别相切于原点O 和点B ，则2OB MN ==，所以劣弧AB 长等于2OB =，所以劣弧AB 对应的扇形面积为12112⨯⨯=.故选：B 4．A【分析】由圆锥的体积公式及圆锥高、半径与母线的关系计算即可．【详解】设上、下两圆锥的底面半径为r ，高分别为12,h h ，体积分别为12,V V ，因为上圆锥的高与底面半径相等，所以1h r =，则2111222221π1312π3r h V h r V h h r h ====得，22h r =，=，5=，故选：A ．5．D【分析】求得()f x 在()()22f ,的切线方程，代入16,019⎛⎫⎪⎝⎭求解即可．【详解】()2f x x b '=+，(2)4f b '=+，()242f b =+，则()f x 在()()22f ,处的切线方程为()()()4242y b b x -+=+-，由题意得，切线过16,019⎛⎫⎪⎝⎭代入得，()()16424219b b ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，解得34b =，故选：D ．6．D【分析】由已知可知1PF ，2PF的坐标和模，由向量数量积的定义及坐标运算可得关于0x 的不等关系，即可求解.【详解】因为椭圆C ：22162x y +=，所以26a =，22b =，所以2224c a b =-=，所以()12,0F -，()22,0F ，因为点()00,P x y 在C 上，所以2200162x y +=，所以2200123y x =-，0x <<，又()1002,PF x y =--- ，()2002,PF x y =-- ，所以222120002423PF PF x y x ⋅=+-=- ，又)10033PF x ==+=+ ，)2003PF x x ==-=- ，所以121212cos PF PF PF PF F PF ⋅=⋅∠ ，因为12F PF ∠大于π3，所以121212πcos cos 3PF PF F PF PF PF ⋅∠<⋅ ，所以()()2000221233332x x x -<+⋅-⋅，解得0x <<所以0x 的取值范围是(.故选：D .7．A【分析】由不等式化简构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，即可求解原不等式.【详解】不等式()ln 1exf x x->等价于()e ln x f x x >+，即()e ln 0x f x x -+>，构造函数()()e ln ,0x g x f x x x =-+>，所以1()()e xg x f x x''=--，因为0x >时，()1e xf x x<'+，所以()0g x '<对(0,)∀∈+∞x 恒成立，所以()g x 在(0,)+∞单调递减，又因为(1)(1)e ln10g f =--=，所以不等式()e ln 0x f x x -+>等价于()(1)g x g >，所以01x <<，即()ln 1exf x x->的解集为()0,1.故选：A.8．B【分析】由()()()()88321211x x x x ⎡⎤⎡⎤++=++++⎣⎦⎣⎦，利用二项式定理求解指定项的系数.【详解】()()()()88321211x x x x ⎡⎤⎡⎤++=++++⎣⎦⎣⎦，其中()811x ⎡⎤++⎣⎦展开式的通项为()()88188C 11C 1rrr r rr T x x --+=+⋅=+，N r ∈且8r ≤，当0r =时，()()8818C 11T x x =+=+，此时只需乘以第一个因式()12x ⎡⎤++⎣⎦中的2，可得()821x +；当1r =时，()()77128C 181T x x =+=+，此时只需乘以第一个因式()12x ⎡⎤++⎣⎦中的()1x +，可得()881x +.所以82810a =+=.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键点是把()()832x x ++表示成()()81211x x ⎡⎤⎡⎤++++⎣⎦⎣⎦，利用即可二项式定理求解.9．ABD【分析】根据异面直线成角，线面垂直的判定定理，梯形面积公式逐项判断即可.【详解】对于A ，由于BN ⊂平面11BB C C ，1MB 平面1111BB C C B ,B BN =∉，故直线BN 与1MB 是异面直线，故A 正确；对于B ，如图，连接1CD ，因为M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，所以1∥MN CD ，所以直线MN 与AC 所成的角即为直线1CD 与AC 所成的角，又因为1ACD △是等边三角形，所以直线1CD 与AC 所成的角为π3，故直线MN 与AC 所成的角是π3，故B 正确；对于C ，如图，假设直线MN ⊥平面ADN ，又因为DN ⊂平面ADN ，所以MN DN ⊥，而222MN DN DM ===，这三边不能构成直角三角形，所以DN 与MN 不垂直，故假设错误，故C 错误；对于D ，如图，连接11,A B A M ，因为111,A B CD CD MN ∥∥，所以1//A B MN ，所以平面BMN 截正方体所得的截面为梯形1A BNM ，且11,2MN A B A M BN ====4，所以截面面积为19(2248⨯+⨯=，故D 正确.故选：ABD.10．BCD【分析】由互斥事件的定义即可判断A ；由独立事件的乘法公式验证即可判断B ；由平均值及方差的公式即可判断C ；由二项分布的概率公式即可判断D ．【详解】对于A ，事件“至少有一个黑球”与事件“至少有一个红球”可以同时发生，所以不是互斥事件，故A 错误；对于B ，设A =“第一次向上的点数是1”，B =“两次向上的点数之和是7”，则()16P A =，()61366P B ==，()136P AB =，因为()()()P AB P A P B =⋅，所以事件A 与B 互相独立，故B 正确；对于C ，由123452,,,,,x x x x x 的平均数是7，得12345,,,,x x x x x 的平均数为8，由123452,,,,,x x x x x 方差是6，则()()222222123451234514752536xx x x x x x x x x ++++-+++++⨯+=，所以()()222222123451234516856x x x x x x x x x x ++++-+++++⨯=，所以12345,,,,x x x x x 的方差()()22222212345123451685655xx x x x x x x x x ++++-+++++⨯=，故C 正确；对于D ，由()10,0.8B X 得，当()110,Z x r r r =≤≤∈时，()101041C 55rrr P x r -⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当2r ≥时，令()()()101011111041C 411551141C 55r rr r r r P x r r P x r k ----⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪=-⎝⎭⎝⎭==≥=-⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即445r ≤，令()()()10101911041C 1551141041C 55r rrr r r P x r r P x r k -+-+⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪=+⎝⎭⎝⎭==≥=+-⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得395r ≥，即394455r ≤≤，所以当8r =时，()8P X =最大，故D 正确，故选：BCD ．11．ACD【分析】由121533PQ PF t PF =+ ，且12,,F Q F 三点共线，得到25t =，可判定A 正确；根据双曲线的定义和122EF EF c +=，求得12,EF a c EF c a =+=-，可判定B 错误；利用角平分线定理得到11222PF QF PF QF ==，结合三角形的面积公式，分别求得,c r 的值，可判定C 正确；结合离心率的定义和求法，可判定D 正确.【详解】对于A 中，因为12515333PQ PI PF t PF ==+，且12,,F Q F 三点共线，所以15133t +=，可得25t =，所以A 正确；对于B 中，设切点分别为,,E F G ，则12122EF EF PF PF a -=-=，又因为122EF EF c +=，所以12,EF a c EF c a =+=-，所以点E 为右顶点，圆心I 的横坐标为2，所以B 错误；对于C 中，因为121233PQ PF PF =+ ，所以122QF QF =，由角平分线定理，得11222PF QF PF QF ==，又因为1224PF PF a -==，所以128,4PF PF ==，由53PQ PI = 可得52P y r =，所以()121152122222PF F S c r c r =+⋅=⨯⨯ ，可得4c =，所以128F F =，则12PF F △为等腰三角形，所以1211(812)422PF F S r =+⋅=⨯⨯ 5r =，所以C 正确；对于D 中，由离心率422c e a ===，所以D 正确.【点睛】方法点拨：对于双曲线的综合问题的求解策略：1、与双曲线的两焦点有关的问题，在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合122PF PF a -=，运用平方的方法，建立12PF PF ⋅的联系；2、当与直线有关的问题，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式，根与系数的关系构造相关变量关系式进行求解；3、当与向量有关相结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系转化为点的坐标问题，再根据与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解.12．3-【分析】根据向量线性运算和数量积公式得到方程，求出答案.【详解】()()()22,44,26,2a b +=+-=，()()()21,6,2620c a b λλ⋅+=⋅=+=，解得3λ=-.故答案为：3-13．10,,12（答案不唯一，填写其中一个即可）【分析】根据三角降幂公式化简，再结合图象求得k 的取值即可.【详解】因为()()2cos 0x k ωϕω+=≠，所以cos 2()12x k ωϕ++=，即cos 2()21x k ωϕ+=-，要想方程所有正实根从小到大排列构成等差数列，则需要210k -=或1±，所以10,1,2k =.故答案为：10,,12（答案不唯一，填写其中一个即可）.14．9113【分析】（1）由()f x 的图象过点()1,2得21a b +=，根据基本不等式“1”的妙用计算即可；（2）由()f x 的图象过点(),ln c ab c +得()22c ac b a c +=-，进而得出22c ac b a c+=-，利用换元法及基本不等式即可求得3ca b+的最大值，即可得出t 的最小值．【详解】（1）由()f x 的图象过点()1,2得，(1)122f a b =++=，即21a b +=，所以()12222559b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =，即13a b ==时等号成立．由()3a b t c +≥恒成立得，3ct a b≥+，（2）因为()f x 的图象过点(),ln c ab c +，则()()22ln ln f c c a b c c ab c =+++=+，即()22c ac b a c +=-，当2a c =时，0c =不合题意舍，所以2a c ≠，即2a c ≠，则22c acb a c+=-，则由0b >得2a c >，所以222222233533512ac c c ac a ac c c a b a ac c a a a c c c --===+-+⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭+-，设20am c-=>，所以()()222237332521351a m m c m m a a m m c c -==+++-++⎛⎫-+ ⎪⎝⎭1131337m m =≤++，当且仅当33m m=，即1m =，则3,4a c b c ==时，等号成立，故答案为：9；113．【点睛】方法点睛：第二空由()f x 的图象过点(),ln c ab c +得出22c acb a c+=-，代入消元得出关于,a c 的齐次式，换元后根据基本不等式计算可得．15．(1)证明见解析(2)30︒【分析】（1）取11B C 的中点D ，连接1,,A D CD DE ，先得出平面1//A DC 平面1AB E ，由面面平行证明线面平行即可；（2）建立空间直角坐标系，根据面面夹角的向量公式计算即可．【详解】（1）取11B C 的中点D ，连接1,,A D CD DE ，由直三棱柱111ABC A B C -得，1111,//B C BC B C BC =，1111,//AA BB AA BB =，因为E 是棱BC 的中点，点D 是11B C 的中点，所以1B D CE =，所以四边形1ECDB 为平行四边形，所以1//CD B E ，同理可得四边形1BEDB 为平行四边形，所以11,//,BB DE BB DE =所以11,//AA DE AA DE =，所以四边形1AEDA 为平行四边形，所以1//A D AE ，因为AE ⊂平面1AB E ，1A D ⊄平面1AB E ，所以1A D //平面1AB E ，同理可得//CD 平面1AB E ，又1A D CD D = ，1,A D CD ⊂平面1A DC ，所以平面1//A DC 平面1AB E ，又1AC ⊂平面1A DC ，所以1//A C 平面1AB E ．（2）设122AB AC AA ===，以A 为原点，分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()()()()110,0,0,0,0,1,2,0,1,1,1,0A A B E ，所以()()()()11111,1,0,2,0,1,2,0,0,1,1,1AE AB A B EA ====--，设平面1AEB 的一个法向量为()1111,,n x y z =，由11100AE n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得，1111020x y x z +=⎧⎨+=⎩，取11x =，的()11,1,2n =-- ，设平面11A EB 的一个法向量为()2222,,n x y z =，由112120A B n EA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得，2222200x x y z =⎧⎨--+=⎩，取21y =，的()20,1,1n = ，设平面1AEB 与平面11A EB 的夹角为θ，则1212cos n n n n θ⋅===由图可知二面角11A B E A --为锐角，则二面角11A B E A --的大小为30︒．16．(1)21n a n =+(2)28(1)41nn n n -++【分析】（1）根据12311S S S ++，，成等比数列求得1a ，即可求得{}n a 的通项公式.（2）根据{}n a 的通项公式求得n S ，分奇偶项分别求出n b 再求和，即可求得{}n b 的前4n 项和.【详解】（1）因为2213(1)(1)S S S =++，所以2111(22)(1)(37)a a a +=++，即11(1)(3)0a a +-=，解得11a =-或3，又因为0n a >，所以13a =，所以32(1)21n a n n =+-=+.（2）1()(2)2n n n a a S n n +==+，所以1111()22nS n n =-+，所以n 为奇数时，1341134111111111111(1()()2323524141n n b b b S S S n n --+++=+=-+-++--+ 11(1)241n =-+，n 为偶数时，424424(42)44(42)16n n n n b b S S n n n n n--+=-=-⨯-⨯+=-24416(12)8(1)n b b b n n n +++=-+++=-+ ，所以前4n 项和4112(1)8(1)8(1)24141n nT n n n n n n =--+=-+++.17．(1)2y x =(2)证明见详解.【分析】（1）设动点F 的坐标为(),x y ，直接利用题中的条件列式并化简，从而求出动点F 的轨迹方程；（2）要证A 为线段BM 的中点，只需证12A B x x x =+即可，设直线的方程为12x my =+，设点()11,M x y ，()22,N x y ，()1,A A x y ，()1,B B x y ，联立直线与曲线的方程，列出韦达定理，由直线OP ，ON 可求得点,A B ，计算120B A x x x +-=即可证.【详解】（1）设点(),F x y ，则(),1E x -，因为OF OE ⊥，所以0OF OE =⋅ ，所以20x y -=，即2x y =，所以动点F 的轨迹方程为：2y x =；（2）因为BM y ⊥轴，所以设()11,M x y ，()22,N x y ，()1,A A x y ，()1,B B x y ，若要证A 为线段BM 的中点，只需证12A B x x x =+即可，当直线MN 斜率不存在或斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不满足题意，所以直线MN 斜率存在且不为0，12120x x y y ≠，设直线MN ：12x my =+，0m ≠，由212x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得22210mx x -+=，442148m m ∆=-⨯⨯=-，由题意可知，直线MN 与抛物线C 有两个交点，所以0∆>，即480m ->，所以12m <，由根与系数的关系得，121x x m +=，1212x x m=，由题意得，直线OP 方程y x =，所以()11,A y y ，直线ON 方程22y y x x =，所以2112,x y B y y ⎛⎫⎪⎝⎭，所以22212111111111222222212B A x y x x x x x x x y x x x x y x x ⎛⎫⋅+-=+-=+-=+- ⎪⎝⎭()121211112122222112202x x x x x x x x x x x x x x m m +-⎛⎫=⋅=+-=-⨯= ⎪⎝⎭，所以A 为线段BM 的中点.18．(1)0.035a =；72.5(2)0.6(3)160【分析】（1）由频率分布直方图的概率和为1，列出方程，求得0.035a =，再利用百分位数的计算方法，即可求解；（2）设“抽到男学生”为事件A ，“评分80分以上”为事件B ，结合全概率公式，即可求解；（3）根据题意，利用方差的计算公式，求得245x y s s s =，得到160y x y x s s m n s s +=，令x y s t s =，得到160n my t +=，利用基本不等式求得nmy t+≥200n m =-，得出不等式160≥m 的范围，即可求解.【详解】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得：(0.0020.0040.00140.00200.0025)101a +++++⨯=，解得0.035a =，设25%分位数为0x ，由分布直方图得0.020,040.140.2++=，所以0700.05100.2x -=，解得072.5x =.（2）解：设“抽到男学生”为事件A ，“评分80分以上”为事件B ，可得()0.8,(|)0.55,()0.2,(|)0.8P A P B A P A P B A ====，由全概率公式得()()(|)()(|)0.80.550.20.80.6P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅=⨯+⨯=.（3）解：由x y =，可得mx n yz x m n+==+，所以22222111111[()()][()()]200200m n m ni i i i i j i j s x z y z x x y y =====-+-=-+-∑∑∑∑2214()2005x y x y ms ns s s =+=，所以22160x y x y ms ns s s +=，即160y xy xs s mn s s +=，令x y s t s =，则160nmy t+=，由于n my t +≥=n my t =时，等号成立，又因为200n m =-，可得160≥=220064000m m -+≥，解得40m ≤或160m ≥，因为1200n m ≤≤≤且200m n +=，所以160m ≥，所以实数m 的最大值为160.19．(1)答案见解析，证明见解析(2)(],1-∞(3)证明见解析【分析】（1）类比，写出平方关系，倍角关系和导数关系，并进行证明；（2）构造函数()()sh F x x kx =-，()0,x ∞∈+，求导，分1k ≤和1k >两种情况，结合基本不等式，隐零点，得到函数单调性，进而得到答案；（3）结合新定义将所证变为()()121112121e sin e sin e cos x x x x x x x x x +-+>-+-，设函数()=e sin x f x x -，即证()()()12121f x x f x x f x >+'+，先利用导数求得()=e cos x f x x -'在()0,∞+上单调递增，再设()()()()()111,0h x f x x f x xf x x =+-->'，利用导数得其单调性及()0h x >，从而()()()111f x x f x xf x >+'+，得证.【详解】（1）平方关系：()()22chsh 1x x -=；倍角公式：()()()sh 22sh ch x x x =；导数：()()sh()ch()ch()sh()x x x x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩.理由如下：平方关系，()()2222e e e e ch sh 22x x x x x x --⎛⎫⎛⎫+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222e e e e 12244x x x x --++=--=+；倍角公式：()()()()()22e e e e e e sh 22sh ch 22x x x x x x x x x ----+-===；导数：()()e e ee sh()ch 22x xxxx x --'--+===，()e e ch()sh 2x x x x -'-==；以上三个结论，证对一个即可.（2）构造函数()()sh F x x kx =-，()0,x ∞∈+，由（1）可知()()ch F x x k ='-，①当1k ≤时，由e e ch()12x xx -+=≥，又因为0x >，故e e x x -≠，等号不成立，所以()()ch 0F x x k '=->，故()F x 为严格增函数，此时()(0)0F x F >=，故对任意0x >，()sh x kx >恒成立，满足题意；②当1k >时，令()()(),0,G x F x x ∞∈'=+，则()()sh 0G x x ='>，可知()G x 是严格增函数，答案第15页，共15页由(0)10G k =-<与1(ln 2)04G k k=>可知，存在唯一0(0,ln 2)x k ∈，使得0()0G x =，故当0(0,)x x ∈时，0()()()0F x G x G x =<='，则()F x 在0(0,)x 上为严格减函数，故对任意0(0,)x x ∈，()()00F x F <=，即()sh x kx >，矛盾；综上所述，实数k 的取值范围为(],1-∞；（3）因为()()ch sh e xx x +=，所以原式变为()()21212121e 1e sin sin cos x x x x x x x x --⋅>+--，即证()()121112121e sin e sin e cos x x x x x x x x x +-+>-+-，设函数()=e sin x f x x -，即证()()()12121f x x f x x f x >+'+，()=e cos x f x x -'，设()()=e cos x t x f x x =-'，()e sin x t x x '=+，0x >时()0t x '>，()t x 在()0,∞+上单调递增，即()=e cos x f x x -'在()0,∞+上单调递增，设()()()()()111,0h x f x x f x xf x x =+-->'，则()()()11h x f x x f x =+'-''，由于()=e cos x f x x -'在()0,∞+上单调递增，11x x x +>，所以()()11f x x f x +>''，即()0h x '>，故()h x 在()0,∞+上单调递增，又()00h =，所以0x >时，()0h x >，所以()()()1110f x x f x xf x +-->'，即()()()111f x x f x xf x >+'+，因此()()()12121f x x f x x f x >+'+恒成立，所以原不等式成立，得证.【点睛】思路点睛：对新定义的题型要注意一下几点：（1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点（2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件（3）含有参数是要注意分类讨论的思想.。
安徽省“江淮十校”2025届高三第三次模拟考试数学试卷含解析
安徽省“江淮十校”2025届高三第三次模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数()2ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,2D ．()2,e2．若复数z 满足()1i z i +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．12B ．12-C ．12i D ．12i -3．已知函数()(0x f x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，则|(2)|a f =，384b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，|(0)|c f =的大小关系为( ) A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c <<D ．b a c <<4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．53π B ．43π C ．223π+D ．243π+5．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()22125x y -+-=的圆心，则11m n+的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则AB =A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,77．给出下列四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p ﹑q 均为假命题；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③若命题0:p x R ∃∈，200x ≥，则命题:p x R ⌝∀∈，20x <；④设集合{}1A x x =>，{}2B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件；其中正确命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述： 甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路； 乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路； 丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ） A ．甲走桃花峪登山线路 B ．乙走红门盘道徒步线路 C ．丙走桃花峪登山线路D ．甲走天烛峰登山线路9．若双曲线E ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22136x y -=10．水平放置的ABC ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的A B C '''，其中2,O A O B ''''== 3O C ''=，则ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）A ．83πB ．163πC ．(833)π+D ．(16312)π+11．已知全集，，则（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知向量11,,2a b m ⎛⎫==⎪⎝⎭，若()()a b a b +⊥-，则实数m 的值为（ ） A ．12B ．32C ．12±D ．32±二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江西省宜春市第一中学2024届高三下学期第三次模拟考试数学试卷(含答案与解析)_9968
2024年江西省宜春市第一中学高三下学期第三次模拟考试数学试卷（新高考）本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{|lg 0}M x x =>，{|N x y ==，则M N ⋂=（ ） A. （1，2]B. (4,)+∞C. (1,2)[4,)+∞D. (1,2][4,)+∞2. 已知复数z 满足2(1i)|34i |(1i)z -=++，则z 的虚部是（ ）A. -25B. -5C. 1D. 53. 下列说法不正确的是（ ）A. 一组数据1，4，14，6，13，10，17，19的25％分位数为5B. 一组数据m ，3，2，5，7中位数为3，则m 的取值范围是(,3]-∞C. 若随机变量1~(4,)3X B ，则方差(31)4D X +=D. 若随机变量2~(1,)X N σ，且(01)0.4<<=P X ，则(2)0.1P X >= 4. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1248S S -=，则133S S -=（ ） A. 10B. 12C. 14D. 165. 已知,m n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（ ） A. 若m α⊥、//n α，则m n ⊥ B. 若m α⊥，//m n ，则n α⊥ C. 若//m n ，n β⊥，m α⊥，则//αβD. 若m α⊥，m n ⊥，则//n α的6. 已知0a >，且1a ≠，若函数1()(ln )x f x a x a -=-在(1,)+∞上单调递减，则a 的取值范围是（ ） A. 1(0,]eB. 1[,1)eC. (1,e]D. [e,)+∞7. 已知抛物线C ：24y x =焦点为F ，动直线l 与抛物线C 交于异于原点O 的A ，B 两点，以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点()4,P m （0m >），则当||||AF BF +取最小值时，m =（ ） A. 2B.C. 3D.8.已知a =，b =，ln 44c =，其中e 2.71828= 为自然对数的底数，则（ ） A. b a c <<B. b c a <<C. a b c <<D. c b a <<二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 同时抛出两枚质地均匀骰子甲、乙，记事件A ：甲骰子点数为奇数，事件B ：乙骰子点数为偶数，事件C ：甲、乙骰子点数相同．下列说法正确的有（ ） A. 事件A 与事件B 对立 B. 事件A 与事件B 相互独立 C. 事件A 与事件C 相互独立D. ()()P C P AB =10. 古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗尼斯圆的定义：在平面内，已知两定点A ，B 之间的距离为a （非零常数），动点M 到A ，B 的距离之比为常数λ（0λ>，且1λ≠），则点M 的轨迹是圆，简称为阿氏圆．在平面直角坐标系xOy 中，已知()()4,0,2,0A B -，点M 满足||2||MA MB =，则下列说法正确的是（ ）A. AMB 面积的最大值为12B. MA MB ⋅的最大值为72C. 若()88Q ,，则||2||MA MQ +的最小值为10D. 当点M 不在x 轴上时，MO 始终平分AMB ∠11. 设椭圆C ：22184x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，坐标原点为O ．若椭圆C 上存在一点P ，使得||OP = ）A. 123cos 5F PF ∠=B. 125PF PF ⋅=C. 12F PF △的面积为2D. 12F PF △1-的的12. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，设P 是棱1CC 的中点，Q 是线段1C P 上的动点（含端点），M 是正方形11BCC B 内（含边界）的动点，且1//A M 平面1D AP ，则下列结论正确的是（ ）A. 存在满足条件的点M ，使11A M AD ⊥B. 当点Q 在线段1C P 上移动时，必存在点M ，使1A M BQ ⊥C. 三棱锥11C A PM -的体积存在最大值和最小值D. 直线1A M 与平面11BCC B 所成角的余弦值的取值范围是11[,]32三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知a ，b 均为非零向量，若|2|||2||a b b a -== ，则a 与b的夹角为________．14. 已知π0θ4<<，且πtan 2θtan(θ)44⋅+=，则cos 2θ1sin 2θ=-________． 15. 已知0x >，0y >，且满足2249630x y xy ++-=，则23x y +最大值为________． 16. 已知方程ln e 1xx mx+=+在(0,1)上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知120C =︒，ABC 的周长为15，面积为． （1）求ABC 的外接圆面积；（2）设D 是边AB 上一点，在①CD 是边AB 上的中线；②CD 是ACB ∠的角平分线这两个条件中任选一个，求线段CD 的长．18. 在正项数列{}n a 中，已知11a =，且11(1)1n n n nna n a a a +++-=． （1）求数列{}n a 的通项公式；的（2）求证：2(1)3nn a ≤+<．19. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，已知底面ABCD 为菱形，平面PAB ⊥底面ABCD ，M 为棱BC 上异于点C 的一点，O 为棱AB 的中点，且PA PB AB ==，60ABC ∠=︒．（1）若BD PM ⊥，求证：M 为BC 中点；（2）若平面POM 与平面PAC，求BM BC 的值．20. 据教育部统计，2024届全国高校毕业生规模预计达1179万，同比增加21万，岗位竞争激烈．为落实国务院关于高校毕业生就业工作的决策部署，搭建高校毕业生和用人单位求职招聘的双向对接通道，促进高校毕业生高质量充分就业，某市人社局联合市内高校开展2024届高校毕业生就业服务活动系列招聘会．参加招聘会的小王打算依次去甲、乙、丙三家公司应聘．假设小王通过某公司的专业测试就能与该公司签约，享受对应的薪资待遇，且不去下一家公司应聘，或者放弃签约并参加下一家公司的应聘；若未通过测试，则不能签约，也不再选择下一家公司．已知甲、乙、丙三家公司提供的年薪分别为10万元、12万元、18万元，小王通过甲、乙、丙三家公司测试的概率分别为23，12，13，通过甲公司的测试后选择签约的概率为34，通过乙公司的测试后选择签约的概率为35，通过丙公司的测试后一定签约．每次是否通过测试、是否签约均互不影响．（1）求小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率；（2）设小王获得的年薪为X （单位：万元），求X 的分布列及其数学期望． 21. 已知函数()e l R n (e ),x x f x x x a a --∈=，．（1）若()0f x ≤对(0,)∀∈+∞x 恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若曲线()y f x =与x 轴交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为00(),M x ，求证：01x >．22. 已知以点M 为圆心的动圆经过点1(3,0)F -，且与圆心为2F 的圆22(3)12x y -+=相切，记点M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；的（2）若动直线l 与曲线C 交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点（其中120y y >），点A 关于x 轴对称的点为A'，且直线BA'经过点()1,0P -． （ⅰ）求证：直线l 过定点；（ⅱ）若||||PA PB +=，求直线l 的方程．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{|lg 0}M x x =>，{|N x y ==，则M N ⋂=（ ） A. （1，2] B. (4,)+∞ C. (1,2)[4,)+∞ D. (1,2][4,)+∞【答案】D 【解析】【分析】分别化简集合,M N ，取交集即可.【详解】{|lg 0}{|1}M x x x x =>=>，{|{|4N x y x x ===≥或2}x ≤，所以{}1{|4M N x x x x ⋂=⋂≥或][()2}1,24,x ∞≤=⋃+. 故选:D .2. 已知复数z 满足2(1i)|34i |(1i)z -=++，则z 的虚部是（ ） A. -25 B. -5C. 1D. 5【答案】B 【解析】【分析】由复数的模定义求得|34i |+，利用复数的四则运算求得z ，再由共轭复数定义得55i z =--即可得出结论. 【详解】由2(1i)|34i |(1i)z -=++，得(1i)52iz -=， 所以10i 10i(1i)55i 1i 2z +===-+-，所以55i z =--． 故选：B ．3. 下列说法不正确的是（ ）A. 一组数据1，4，14，6，13，10，17，19的25％分位数为5B. 一组数据m ，3，2，5，7的中位数为3，则m 的取值范围是(,3]-∞C. 若随机变量1~(4,)3X B ，则方差(31)4D X +=D. 若随机变量2~(1,)X N σ，且(01)0.4<<=P X ，则(2)0.1P X >= 【答案】C 【解析】【分析】对于A ，先把数据从小到大排列，利用百分位定义计算即可；对于B ，根据中位数的定义讨论即可；对于C ，根据二项分布的方差公式计算即可；对于D ，根据正态分布的对称性求解.【详解】对于A ，该组数据共8个，且825%2⨯=，所以25％分位数为从小到大排列后第2个数和第3个数的平均数，即为4652+=，故A 正确； 对于B ，若5m ≥，则这组数据由小到大排列依次为2，3，5，m ，7或2，3，5，7，m ，中位数为5，不合题意；若35m <<，则这组数据由小到大排列依次为2，3，m ，5，7，中位数为3m ≠，不合题意； 若3m ≤，则这组数据由小到大排列依次为2，m ，3，5，7或m ，2，3，5，7，中位数为3，故实数m 的取值范围是(,3]-∞，故B 正确；对于C ，若随机变量1~(4,3X B ，则118()4(1)339D X =⨯⨯-=，所以28(31)3()989D X D X +==⨯=，故C 错误；对于D ，若随机变量2~(1,)X N σ，且(01)0.4<<=P X ，则(2)0.5(12)0.5(01)0.1P X P X P X >=-<<=-<<=，故D 正确．故选：C ．4. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1248S S -=，则133S S -=（ ） A. 10 B. 12C. 14D. 16【答案】A 【解析】【分析】利用等差数列求和公式化简1248S S -=可得12152a d +=，将133S S -化简可得13315(215)S S a d -=+，计算可得结果.【详解】设{}n a 的公差为d ，由1248S S -=，得1112114312(4)822a d a d ⨯⨯+-+=， 化简为12152a d +=， 所以1331111312321335(215)521022S S a d a d a d ⨯⨯⎛⎫-=+-+=+=⨯= ⎪⎝⎭． 故选：A ．5. 已知,m n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（ ） A. 若m α⊥、//n α，则m n ⊥ B. 若m α⊥，//m n ，则n α⊥ C. 若//m n ，n β⊥，m α⊥，则//αβ D. 若m α⊥，m n ⊥，则//n α【答案】D 【解析】【分析】对于A ，可过n 作平面β，使l βα⋂=，则//n l ，即可判断；对于B ，由线面垂直的性质即可判断；对于C ，由条件，可得m β⊥，又m α⊥，则//αβ，即可判断；对于D ，要考虑n 可能在平面α内，即可判断．【详解】对于A ，当//n α时，过n 作平面β，使l βα⋂=，则//n l ，因为m α⊥，l ⊂α，所以m l ⊥，所以m n ⊥，故A 正确；对于B ，当m α⊥，//m n ，由线面垂直的性质可得n α⊥，故B 正确；对于C ，因为//m n ，n β⊥，所以m β⊥，又m α⊥，所以//αβ，故C 正确； 对于D ，当m α⊥，m n ⊥时，n 可能在平面α内，故D 错误． 故选：D ．6. 已知0a >，且1a ≠，若函数1()(ln )x f x a x a -=-在(1,)+∞上单调递减，则a 的取值范围是（ ） A. 1(0,]eB. 1[,1)eC. (1,e]D. [e,)+∞【答案】D 【解析】【分析】根据题意，转化为()0f x '≤在(1,)+∞上恒成立，令()()g x f x '=，利用导数求得函数()g x 单调递减，得到()(1)ln g x g a a a <=-，得出ln 0a a a -≤，即可求解. 【详解】由函数1()(ln )x f x a x a-=-，可得()ln x af x a a x-'=因为()f x 在(1,)+∞上单调递减，所以()0f x '≤在(1,)+∞上恒成立， 令()()ln x a g x f x a a x '==-，则22()(ln )0x ag x a a x'=--<， 所以()g x 在(1,)+∞上单调递减，所以()(1)ln g x g a a a <=-，即()ln f x a a a '<-， 则ln 0a a a -≤，解得e a ≥，即实数a 的取值范围是[e,)+∞． 故选：D ．7. 已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，动直线l 与抛物线C 交于异于原点O 的A ，B 两点，以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点()4,P m （0m >），则当||||AF BF +取最小值时，m =（ ） A. 2B.C. 3D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由抛物线的方程可得焦点坐标以及准线方程，然后分别过A 、B 、M 向准线作垂线，||||AF BF +取最小值即直线AB 过焦点()1,0F 时，再结合点差法代入计算，即可得到结果.【详解】由题可知焦点()1,0F ，准线=1x -，设线段AB 中点为00(,)M x y ，即为OP 中点， 则0422x ==，02my =．分别过A 、B 、M 向准线作垂线，垂足分别为1A ，1B ，1M ，如图所示．则||||||AF BF AB +≥，当直线AB 过焦点()1,0F 时取等号，此时10||2||2|1|426AB MM x ==+=+=．的设11(,)A x y 、22(,)B x y ，直线AB 的斜率为k ，由21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减，得2212124()y y x x -=-，所以12121222y y y y x x +-⋅=-， 即02y k =，得00221y y ⋅=-，所以22y =，又0m >，所以02m y == 故选：B ． 8.已知a =，b =，ln 44c =，其中e 2.71828= 为自然对数的底数，则（ ） A. b a c << B. b c a <<C. a b c <<D. c b a <<【答案】A 【解析】【分析】首先将,,a b c 化成统一形式，构造函数()ln xf x x=()0x >，研究单调性进而比较大小即可.【详解】由题意得a ==，b ==，ln 42ln 2ln 2442c ===； 设()ln x f x x =，则21ln ()xf x x -'=， 当0e x <<时，()0f x '>，所以()f x单调递增，又02e <<<<，所以(2)f f f <<ln 22<<，所以b a c <<. 故选：A .二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件A ：甲骰子点数为奇数，事件B ：乙骰子点数为偶数，事件C ：甲、乙骰子点数相同．下列说法正确的有（ ） A. 事件A 与事件B 对立 B. 事件A 与事件B 相互独立 C. 事件A 与事件C 相互独立 D. ()()P C P AB =【答案】BC 【解析】【分析】对于A ，甲骰子点数为奇数，乙骰子点数为偶数，事件可以同时发生，由对立事件的概念可判断；对于B ，计算出()()()P A P B P AB ，，根据()()()P AB P A P B =可以判定两个事件是否相互独立；对于C ，计算出()()()P A P C P AC ，，根据()()()P AC P A P C =可以判定两个事件是否相互独立；对于D ，由前面可知()()P C P AB ，，即可判断是否相等.【详解】由题意，得1()2P A =，1()2P B =，61()366P C ==， 对于A ，当甲为奇数点，且乙为偶数点时，事件可以同时发生，所以事件A 与事件B 不互斥，故事件A 与事件B 不对立，故A 错误；对于B ，由题意知11331166C C 1()C C 4P AB ==，又111()()()224P A P B P AB =⨯==，故事件A 与事件B 相互独立，故B 正确； 对于C ，31()3612P AC ==，又111()()()2612P A P C P AC =⨯==，故事件A 与事件C 相互独立，故C 正确；对于D ，由上知，11()()64P C P AB =<=，故D 错误． 故选：BC ．10. 古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗尼斯圆的定义：在平面内，已知两定点A ，B 之间的距离为a （非零常数），动点M 到A ，B 的距离之比为常数λ（0λ>，且1λ≠），则点M 的轨迹是圆，简称为阿氏圆．在平面直角坐标系xOy 中，已知()()4,0,2,0A B -，点M 满足||2||MA MB =，则下列说法正确的是（ ）A. AMB 面积的最大值为12B. MA MB ⋅的最大值为72C. 若()88Q ,，则||2||MA MQ +的最小值为10D. 当点M 不在x 轴上时，MO 始终平分AMB ∠【答案】ABD 【解析】【分析】设点(,)M x y ，由条件可得点M 的轨迹方程，即可判断A ，由向量数量积的运算律代入计算，即可判断B ，由点与圆的位置关系，即可判断C ，由角平分线定理即可判断D【详解】对于A ，设点(,)M x y ，由||2||MA MB ==， 化为22(4)16x y -+=，所以点M 的轨迹是以点()4,0为圆心、4为半径的圆，所以AMB 面积的最大值为11||641222AB r =⨯⨯=，故A 正确； 对于B ，设线段AB 的中点为N ，2222()()||(81)(14)72MA MB MN NA MN NB MN NA ⋅=+⋅+=-≤+--+= ，当点M 的坐标为()8,0时取等号，故MA MB ⋅的最大值为72，故B 正确； 对于C ，显然点()8,8Q 在圆外，点()2,0B 在圆内，()2222220MA MQ MB MQ MB MQ BQ +=+=+≥==，当B ，M ，Q 三点共线且点M 在线段BQ 之间时，min (||2||)20MA MQ +=，故C 错误； 对于D ，由||4OA =，||2OB =，有||||2||||OA MA OB MB ==，当点M 不在x 轴上时， 由三角形内角平分线分线段成比例定理的逆定理知，MO 是AMB 中AMB ∠的平分线，故D 正确．故选：ABD ． 11. 设椭圆C ：22184x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，坐标原点为O ．若椭圆C 上存在一点P ，使得||OP = ）A. 123cos 5F PF ∠=B. 125PF PF ⋅=C. 12F PF △的面积为2D. 12F PF △1-【答案】ACD 【解析】【分析】根据已知求出P 点坐标，根据两点间距离公式分布求出12,PF PF ，在12F PF △中利用余弦定理可判定A ，利用向量数量积公式可判定B ，三角形面积公式可判定C ，根据等面积法可判定D.【详解】法1：由题意得a =12||24F F c ===，则1(2,0)F -，2(2,0)F ．由对称性可设00(,)P x y （00x >，00y >），1||PF m =，2||PF n =，12F PF θ∠=，由2200184x y ⎧+=⎪=，解得001x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩1(2,0)F -，2(2,0)F ，所以m ==，n ==，所以5mn ===．由椭圆的定义得2m n a +==12F PF △中，由余弦定理，得22212||2cos F F m n mn θ=+-，即2224()22cos 2525cos m n mn mn θθ=+--=-⨯-⨯， 解得3cos 5θ=，故A 正确； 123cos 535PF PF mn θ⋅==⨯= ，故B 错误；12F PF △的面积为1211sin 5222F PF S mn θ==⨯= ，故C 正确； 设12F PF △的内切圆半径为r ，由12F PF △的面积相等，得12121(||)2F PF S m n F F r =++△，即124)2r =+，解得1r =-，故D 正确． 故选：ACD ．法2：设1||PF m =，2||PF n =，12F PF θ∠=．易知a =，2c ==，由极化恒等式，得22121||||743PF PF OP OF ⋅=-=-=，故B 错误；由中线长定理得222212(||||)22m n OP OF +=+=，由椭圆定义得2m n a +== 所以222()222232m n m n mn mn +=++=+=，所以5mn =，所以123cos 5PF PF mn θ⋅== ，故A 正确；由3cos 5θ=，得4sin 5θ==，所以12114sin 52225F PF S mn θ==⨯⨯= ，故C 正确； 设12F PF △的内切圆半径为r ，由12F PF △的面积相等，得12121(||)2F PF S m n F F r =++△，在即124)2r =+，解得1r =-，故D 正确． 故选：ACD ．12. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，设P 是棱1CC 的中点，Q 是线段1C P 上的动点（含端点），M 是正方形11BCC B 内（含边界）的动点，且1//A M 平面1D AP ，则下列结论正确的是（ ）A. 存在满足条件的点M ，使11A M AD ⊥B. 当点Q 在线段1C P 上移动时，必存在点M ，使1A M BQ ⊥C. 三棱锥11C A PM -的体积存在最大值和最小值D. 直线1A M 与平面11BCC B 所成角的余弦值的取值范围是11[,]32【答案】ABC 【解析】【分析】由已知，取11B C 的中点E ，1BB 的中点F ，并连接，可得点M 的轨迹为线段EF ．对于A ，连接1AC ，1B C 交1BC 于点O ，可得1BC ⊥平面11A B C ，当M 为线段EF 中点时，11BC A M ⊥，又11//BC AD ，则可判断：对于B ，分别以向量DA ，DC ，1DD的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，由空间向量坐标运算可得存在10A M BQ ⋅=，即可判断；对于C ，设点M 到1C P 的距离为h ，可知当M 与E 重合时，min 11h EC ==，当M 与F 重合时，max 2h FP ==，即可求出三棱锥11C A PM -的体积存在最大值和最小值，则可判断；对于D ，由11A B ⊥平面11BCC B 知，11A MB Ð即为直线1A M 与平面11BCC B 所成的角，在1B EF 中，可得11B M ≤≤，则得2tan θ≤≤进而得1cos 3θ≤≤.【详解】取11B C 的中点E ，1BB 的中点F ，连接1A E ，1A F ，EF ，1BC ，如图所示．易知11////EF BC AD ，11//A F D P ，因为EF ⊂平面1A EF ，EF ⊄平面1D AP ，所以//EF 平面1D AP ， 同理，1//A F 平面1D AP ，又1A F EF F ⋂=，又1,EF A F ⊂平面1A EF ， 所以平面1//A EF 平面1D AP ，又1//A M 平面1D AP ， 所以1A M ⊂平面1A EF ，故点M 的轨迹为线段EF ．对于A ，连接1AC ，1B C 交1BC 于点O ，如图所示．则11BC B C ⊥，又111A B BC ⊥，1111A B B C B = ，111A B B C ⊂、平面11A B C ， 所以1BC ⊥平面11A B C ，当M 为线段EF 中点时，11BC A M ⊥， 因11//BC AD ，所以11A M AD ⊥，故A 正确；对于B ，分别以向量DA ，DC ，1DD的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．为则1(2,0,2)A ，()()()()2,2,0,1,2,2,2,2,1,0,2,B E F Q m ()12m ≤≤，设EM EF λ=（01λ≤≤），得(1,2,2)M λλ+-，从而1(1,2)A M λλ=-- ， 又(2,0,)BQ m =-，令10A M BQ ⋅= ，得2(1)0m λλ---=，当0λ=时，显然不合题意； 当01λ<≤时，由2212m λλ-≤=≤，解得1223λ≤≤， 即当点Q 在线段1C P 上移动时，均存在点M ，使1A M BQ ⊥，故B 正确； 对于C ，设点M 到1C P 的距离为h ， 则三棱锥11C A PM -的体积为111111111111113323C A PM A C PM C PM V V S A B C P h A B h --==⨯=⨯⨯⨯=△，当M 与E 重合时，min 11h EC ==，得11min 1()3C A PM V -=；当M 与F 重合时，max 2h FP ==，得11max 2()3C A PM V -=，故C 正确；对于D ，设直线1A M 与平面11BCC B 所成的角为θ、连接1B M ，如图所示．由11A B ⊥平面11BCC B 知，11A MB θ∠=，在1B EF 中，11111B E B F B M B F EF ⨯=≤≤=，得2tan θ≤≤， 所以2222sin 1cos 48cos cos θθθθ-≤=≤，所以1cos 3θ≤≤D 错误． 故选：ABC ．【点睛】关键点点睛，本题关键是先找到点M 的轨迹，对于B 选项，通过设出向量的含参坐标，借助参数的范围满足条件，得到答案；对于C 选项，利用等积转化，转化成棱锥高取得最值，可得体积最值；对于D 选项，关键是找到线面角正切的范围，进而得到余弦的范围.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知a ，b 均为非零向量，若|2|||2||a b b a -== ，则a 与b的夹角为________．【答案】π3【解析】【分析】根据题意，求得2||a b a ⋅= ，结合||2||b a =，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由|2|||a b b -= ，可得22|2|||a b b -= ，即2224||4||||a a b b b -⋅+= ，解得2||a b a ⋅= ， 因为||2||b a = ，所以22||1cos ,2||||2||a b a a b a b a ⋅=== ， 又因为0,πa b ≤≤ ，所以π,3a b = ．故答案为：π3.14. 已知π0θ4<<，且πtan 2θtan(θ)44⋅+=，则cos 2θ1sin 2θ=-________． 【答案】3 【解析】【分析】先结合二倍角的正切与两角和的正切公式及角θ的取值范围，得到tan θ，再利用倍角公式把cos 2θ1sin 2θ-转化为齐次式求解.【详解】由πtan 2θtan(θ44⋅+=，得22tan θtan θ141tan θ1tan θ+⋅=--， 即22tan θ5tan θ20-+=，又π0θ4<<，所以1tan θ2=，从而2222cos 2θcos θsin θ1sin 2θsin θcos θ2sin θcos θ-=-+-2(cos θsin θ)(cos θsin θ)(cos θsin θ)+-=-cos θsin θcos θsin θ+=-111tan θ2311tan θ12++===--． 故答案为：315. 已知0x >，0y >，且满足2249630x y xy ++-=，则23x y +的最大值为________． 【答案】2 【解析】【分析】解法1、根据题意，得到22491236x y xy xy ++=+，结合基本不等式求得23(23)34x y +≤，进而求得23x y +的最大值；解法2、根据题意，得到222(96)33x y xy x +++=，利用权方和不等式得24(23)x y +≥，进而求得23x y +的最大值．【详解】解法1、由2249630x y xy ++-=，可得22491236x y xy xy ++=+， 由基本不等式得2223(23)3233()2x y x y x y ++=+⋅≤+，可得23(23)34x y +≤， 所以232x y +≤，当且仅当23x y =时取等号，联立方程组222349630x y x y xy =⎧⎨++-=⎩，解得12x =，13y =，故23x y +的最大值为2． 解法2、由2249630x y xy ++-=，可得222(96)33x y xy x +++=，因为0,0x y >>，由权方和不等式得222(3)(3)111133x y x x y x +++++≥，即24(23)x y +≥， 所以232x y +≤，当且仅当3113x y x+=，即23x y =时取等号， 联立方程组222349630x y x y xy =⎧⎨++-=⎩，解得12x =，13y =，故23x y +的最大值为2． 故答案为：2.16. 已知方程ln e 1xx mx+=+在(0,1)上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________． 【答案】(1,e 1)- 【解析】【分析】先分离参数m ，构造函数()e ln xf x x x x =--，将问题转化为函数()y f x =的图象与直线y m =在(0,1)上有两个交点，再将()f x 变形，构造函数()ln h t t t =-，0e t <<，通过导数研究函数()h t 进而求出m 的取值范围.【详解】由ln e 1xx mx+=+，得e ln x m x x x =--，令()e ln x f x x x x =--， 则函数()y f x =的图象与直线y m =在(0,1)上有两个交点， 而()e (ln e ln )e ln(e )x x x xf x x x x x =-+=-；令()e x g x x =，(0,1)x ∈，则()(1)e 0x g x x '=+>恒成立，故()g x 在(0,1)上单调递增，故(0)()(1)g g x g <<，即0e e x x <<， 令e x t x =，函数()ln h t t t =-，0e t <<，则函数()y h t =的图象与直线y m =有两个交点，由11()1t h t t t-'=-=， 则当(0,1)t ∈时，()0h t '<，当(1,e)t ∈时，()0h t '>，故()h t 在(0,1)上单调递减，在(1,e)上单调递增，所以函数()h t 在1t =处有极小值， 且e 1(e)()(1)1ln11h h t h -=>=-=≥，当0t >且0t →时，()h t →+∞， 所以1e 1m <<-，即实数m 的取值范围是(1,e 1)-. 故答案为：(1,e 1)-.【点睛】方法点睛：()()()()e ln e ln e ln e ln e 0xxxxxf x x x x x x x x x =--=-+=->，将函数化成相同整体变量进而构造函数解决参数取值范围是解决导数问题的常用方法.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知120C =︒，ABC 的周长为15，面积为．（1）求ABC 的外接圆面积；（2）设D 是边AB 上一点，在①CD 是边AB 上中线；②CD 是ACB ∠的角平分线这两个条件中任选一个，求线段CD 的长． 【答案】（1）49π3（2）答案见解析 【解析】【分析】（1）由ABC，求得15ab =，再由ABC 的周长为15，得到15a b c +=-，结合余弦定理，求得7c =，再由正弦定理，求得外接圆半径即可求解； （2）若选择①：法1：由1()2CD CA CB =+ ，结合向量的运算法则，即可求解； 法2：设b a >，列出方程组求得3,5a b ==，结合cos cos 0ADC CDB ∠+∠=，列出方程，即可求解； 若选择②，设b a >，求得3,5a b ==，根据ABC ACD BCD S S S =+△△△，列出方程，即可求解； 法2：由sin sin sin ACB BCD ACDCD AC BC∠∠∠=+，列出方程，即可求解.【小问1详解】 解：由ABC，可得1sin1202ABC S ab =︒=△15ab =， 又由ABC 的周长为15，可得15a b c ++=，即15a b c +=-， 由余弦定理得22222cos ()22cos120c a b ab C a b ab ab =+-=+--︒21(15)215215()2c =--⨯-⨯⨯-，解得7c =，设外接圆半径为R ，由正弦定理得72sin120R =︒，所以R =，所以ABC 的外接圆面积为249ππ3R =． 【小问2详解】 解：若选择①：法1：由（1）知，158a b c +=-=及15ab =，由1()2CD CA CB =+ ，可得222211||()(2cos120)44CD CA CB b a ab =+=++︒的221119[()3](8315)444a b ab =+-=⨯-⨯=，所以||CD =CD =． 法2：不妨设b a >，由158a b c +=-=及15ab =，解得3,5a b ==， 在ACD 和BCD △中，可得cos cos 0ADC CDB ∠+∠=，由余弦定理得22222277()5()3220772222CD CD CD CD +-+-+=⨯⨯⨯⨯，解得CD =． 若选择②，不妨设b a >，由158a b c +=-=及15ab =，解得3,5a b ==， 法1：由ABC ACD BCD S S S =+△△△，115sin 603sin 6022CD CD =⨯⨯︒+⨯⨯︒，解得158CD =． 法2：由张角定理，得sin sin sin ACB BCD ACDCD AC BC∠∠∠=+，即sin120sin 60sin 6053CD ︒︒︒=+，解得158CD =， 18. 在正项数列{}n a 中，已知11a =，且11(1)1n n n nna n a a a +++-=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：2(1)3nn a ≤+<． 【答案】（1）1n a n= （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据题意，化简得到1(1)0n n n a na ++-=，得到数列{}n na 为等差数列，进而求得数列的通项公式；（2）由（1）知1n a n =，结合二项式定理，得到111(1)(1)1C n n n n a n n+=+≥+⋅，再结合1C 11!2k nk k n k -≤≤，结合等比数列的求和公式，即可得证. 【小问1详解】解：由11(1)1n n n nna n a a a +++-=，可得2211(1)0n n n n n a a a na ++++-=， 即11()[(1)]0n n n n a a n a na ++++-=，因为10,0n n a a +>>，所以1(1)0n n n a na ++-=， 所以数列{}n na 是首项为1，公差为0的等差数列，又因为11a =，所以1n na =，所以数列{}n a 的通项公式为1n a n=． 【小问2详解】 解：由（1）知1n a n=， 则121211111(1)(11C C 1C 2nnn n n n n a n n n n n+=+=+⋅+⋅+++⋅= ≥，当1n =时，取等号， 因为1C (1)(2)(1)11!!2k nk k k n n n n k n n k k ----+=≤≤ ， 所以12221111111111121C C 111331222212n n n n n n n n n ---+⋅+⋅++≤+++++=+=-<- ， 所以2(1)3nn a ≤+<．19. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，已知底面ABCD 为菱形，平面PAB ⊥底面ABCD ，M 为棱BC 上异于点C 的一点，O 为棱AB 的中点，且PA PB AB ==，60ABC ∠=︒．（1）若BD PM ⊥，求证：M 为BC 的中点；（2）若平面POM 与平面PAC，求BM BC 的值．【答案】（1）证明见解析（2）14BM BC = 【解析】【分析】（1）根据题意，证得PO ⊥平面ABCD ，得到BD PO ⊥，再证得BD ⊥平面POM ，得到BD OM ⊥，进而得到//OM AC ，即可得到M 为BC 的中点；（2）以O 为原点，建立空间直角坐标系， 设BM BC λ=，分别求得平面PAC 和平面POM 的法向量，结合向量的夹角公式，列出方程求得λ的值，即可求解. 【小问1详解】证明：因为PA PB =，O 为AB 的中点，所以PO AB ⊥，又平面PAB ⊥底面ABCD ，平面PAB ⋂底面ABCD AB =，PO ⊂平面PAB ， 所以PO ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以BD PO ⊥，因为BD PM ⊥，且PO PM P = ，,PO PM ⊂平面POM ，所以BD ⊥平面POM ， 又因为OM ⊂平面POM ，所以BD OM ⊥，因为BD AC ⊥，且,OM AC ⊂底面ABCD ，所以//OM AC ， 又因为O 为AB 的中点，所以M 为BC 的中点． 【小问2详解】解：连接OC ，因为,60AB BC ABC =∠=︒，所以ABC 为正三角形，所以OC AB ⊥，以O 为原点，分别以向量OB ，OC ，OP的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，设4AB =，则(2,0,0),(2,0,0),(0,(0,0,A B C P -，所以(0,0,OP =，(BC =-，AC =，(2,0,AP =， 设1111(,,)n x y z = 是平面PAC的一个法向量，则1111112020n AC x n AP x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =111y z ==-，所以11,1)n =--，设(01)BM BC λλ=≤<，则(22,,0)M λ-，即(22,,0)OM λ=- ， 设2222(,,)n x y z = 是平面POM的一个法向量，则22222(22)0n OM x y n OP λ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩， 取21x =，可得220y z ==，所以2(1,n = ， 因为平面POM 与平面PAC所以121212cos ,n n n n n n ⋅===整理得24510λλ-+=，解得14λ=，或1λ=（舍去），所以14BM BC =．20. 据教育部统计，2024届全国高校毕业生规模预计达1179万，同比增加21万，岗位竞争激烈．为落实国务院关于高校毕业生就业工作的决策部署，搭建高校毕业生和用人单位求职招聘的双向对接通道，促进高校毕业生高质量充分就业，某市人社局联合市内高校开展2024届高校毕业生就业服务活动系列招聘会．参加招聘会的小王打算依次去甲、乙、丙三家公司应聘．假设小王通过某公司的专业测试就能与该公司签约，享受对应的薪资待遇，且不去下一家公司应聘，或者放弃签约并参加下一家公司的应聘；若未通过测试，则不能签约，也不再选择下一家公司．已知甲、乙、丙三家公司提供的年薪分别为10万元、12万元、18万元，小王通过甲、乙、丙三家公司测试的概率分别为23，12，13，通过甲公司的测试后选择签约的概率为34，通过乙公司的测试后选择签约的概率为35，通过丙公司的测试后一定签约．每次是否通过测试、是否签约均互不影响．（1）求小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率；（2）设小王获得的年薪为X （单位：万元），求X 的分布列及其数学期望． 【答案】（1）19180（2）分布列见解析，295【解析】【分析】（1）记事件A ：小王通过甲公司的测试，但未通过乙公司的测试，记事件B ：小王通过甲、乙公司的测试，但未通过丙公司的测试，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；（2）依题意X 的可能取值为0，10，12，18，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.【小问1详解】记事件A ：小王通过甲公司的测试，但未通过乙公司的测试， 记事件B ：小王通过甲、乙公司的测试，但未通过丙公司的测试， 则2311()(1(1)34212P A =⨯-⨯-=，231311()(1)(1)(13425345P B =⨯-⨯⨯-⨯-=， 显然A 与B 互斥，所以小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率1119()()1245180P P A P B =+=+=． 【小问2详解】依题意X 的可能取值为0，10，12，18， 则11979(0)3180180P X ==+=，231(10)342P X ==⨯=， 21131(12)342520P X ==⨯⨯⨯=，211211(18)3425390P X ==⨯⨯⨯⨯=，则X 的分布列如下表：X 0 10 12 18P7918012120 190故7911129()0101218180220905E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 21. 已知函数()e l R n (e ),x x f x x x a a --∈=，．（1）若()0f x ≤对(0,)∀∈+∞x 恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若曲线()y f x =与x 轴交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为00(),M x ，求证：01x >． 【答案】（1）(,e]-∞（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据题意，把不等式()0f x ≤转化为e ln e x xx a x ≤-恒成立，令e ln ()e x xx h x x=-，求得2(1)(1ln )()e xx x x h x x-+-'=，设()1ln g x x x =+-，利用导数求得()g x 的单调性，结合()0g x >，进而得到()h x 单调性和()min e h x =，即可求解；（2）根据题意，转化为()a h x =有两个实根，设1201x x <<<，因为ln ()(ln )e x x h x x x -=-，转化为1122ln ln 1122(ln )e (ln )e x x x x x x x x ---=-，构造()e x H x x =，利用导数得到()H x 在[1,)+∞递增，得到12121ln ln x x x x -=-，转化为证1211222(1)ln 1x x x x x x ->+，令2(1)()ln 1x G x x x -=-+在利用导数求得函数()G x 的单调性，得到()0G x >，取12(0,1)x x x =∈，即可得证. 【小问1详解】解：因为函数()e ln (e )xxf x x x a =--，可得其定义域为(0,)+∞，由()0f x ≤，即e ln (e )0xxx x a --≤，化为e ln e x xxa x≤-，因为()0f x ≤对(0,)∀∈+∞x 恒成立，即e ln e x xxa x≤-恒成立，令e ln ()e x xx h x x =-，则min [()]a h x ≤，可得2221(1)ln (1)(1ln )()e e x xx x x x x x h x x x-+--+-'==， 设()1ln g x x x =+-，则11()1x g x x x-'=-=， 当(0,1)x ∈时，()0g x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，故()g x 在区间(0,1)内单调递减，在区间(1,)+∞内单调递增，所以()(1)20g x g ≥=>， 当(0,1)x ∈时，()0h x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，故()h x 在区间(0,1)内单调递减，在区间(1,)+∞内单调递增，则()()min 1e h x h ==， 所以实数a 的取值范围是(,e]-∞． 【小问2详解】 证明：令()0f x =，由（1）知方程()a h x =有两个不等实根，且一根小于1，另一根大于1，不妨设1201x x <<<，因为ln e ln ()e (ln )e x xx x xh x x x x-=-=-，所以1122ln ln 1122(ln )e (ln )e x x x x x x x x ---=-，又因为ln 1x x -≥，构造函数()e x H x x =，[1,)x ∈+∞，则()(1)e 0x H x x '=+>， 得()H x 在[1,)+∞单调递增，12()()H x H x =，即1122ln ln x x x x -=-，即1212ln ln x x x x -=-，即12121ln ln x x x x -=-， 要证01x >，即证1212x x +>， 即证1212122ln ln x x x x x x +->-，即证1211222(1)ln 1x x xx x x ->+， 构造函数2(1)()ln ,(0,1)1x G x x x x -=-∈+， 则22222414(1)(1)()0(1)(1)(1)x x x G x x x x x x x -+-'=-==-<+++， 故()G x 在区间(0,1)内单调递减，则()(1)0>=G x G ，即2(1)ln 01x x x -->+， 取12(0,1)x x x =∈，则有1211222(1)ln 01x x xx x x -->+，即12121212ln ln x x x x x x +->=-，故01x >． 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．22. 已知以点M 为圆心的动圆经过点1(3,0)F -，且与圆心为2F 的圆22(3)12x y -+=相切，记点M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 方程；的（2）若动直线l 与曲线C 交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点（其中120y y >），点A 关于x 轴对称的点为A'，且直线BA'经过点()1,0P -． （ⅰ）求证：直线l 过定点；（ⅱ）若||||PA PB +=，求直线l 的方程．【答案】（1）22136x y -=（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）30x y ±+= 【解析】【分析】（1）根据动圆M 与圆2F 相切，由1212||||||||6MF MF F F -=<=，利用双曲线的定义求解；（2）（ⅰ）设直线l 的方程为x my t =+（显然l 与x 轴不平行），与22136x y-=联立，由0AP BP k k +=求解；（ⅱ）由（ⅰ）知，当3t =-时，1221221m y y m +=-，12212021y y m =>-，然后由||||||||||PA PB PA PB A B ''+=+=求解.【小问1详解】圆22(3)12x y -+=的圆心坐标为2(3,0)F ，半径r =． 动圆M 与圆2F 相切有两种情况，即内切或外切，所以1212||||||||6MF MF F F -=<=，所以点M 在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，且该双曲线的实轴长为2a =，26c =， 所以2226b c a =-=，所以曲线C 的方程是22136x y -=．【小问2详解】（ⅰ）设直线l 的方程为x my t =+（显然l 与x 轴不平行），与22136x y -=联立，得222(21)4260m y mty t -++-=，。
2025届高三上学期月考(三)(11月)数学试卷[含答案]
![2025届高三上学期月考(三)(11月)数学试卷[含答案]](https://img.taocdn.com/s3/m/5baaa64dbc64783e0912a21614791711cc79793d.png)
2025届高三上学期月考（三）（11月）数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．若复数满足，则（ ）z 1i34i z +=-z =A ．B ．C ．D ．252．已知数列的前项和，则等于（ ）{}n a n 22n S n n =-345a a a ++A ．12B ．15C ．18D ．213．抛物线的焦点坐标为（ ）24y x =A ．B ．(1,0)(1,0)-C ．D ．1(0,)16-1(0,164．如图是函数的部分图象，则函数的解析式可为（ ）()sin y x ωϕ=+A ．B ．πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．D ．πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5．1903年，火箭专家、航天之父康斯坦丁・齐奥尔科夫斯基就提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度满足公式：，其中v 1201lnm m v v m +=分别为火箭结构质量和推进剂的质量，是发动机的喷气速度.已知某单级火12,m m 0v 箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为，则火箭发动机的喷气8km /s 速度为（ ）（参考数据：，）ln20.7≈ln3 1.1,ln4 1.4≈≈A ．B ．C ．D ．10km /s 20km /s80km /s 340km /s6．若，，则的值为（ ）83cos 5αβ=63sin 5αβ=()cos αβ+A ．B ．C ．D ．7．如图，一个质点从原点O 出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度，向左的概率为，向右的概率为，共移动4次，则该质点共两次到达1的位置的概2313率为（ ）A ．B ．C ．D ．42782729498．设为数列的前n 项和，若，且存在，，n S {}n a 121++=+n n a a n *N k ∈1210k k S S +==则的取值集合为（ ）1a A ．B ．{}20,21-{}20,20-C ．D ．{}29,11-{}20,19-二、多选题（本大题共3小题）9．如图，在正方体中，点，分别为，的中点，则下列说1111ABCD A B C D -E F 1AD DB 法正确的是（ ）A ．直线与为异面直线B ．直线与所成的角为EF 11D B 1D E1DC 60C ．D ．平面1D F AD⊥//EF 11CDD C 10．已知是圆上的动点，直线与P 22:4O x y +=1:cos sin 4l x y θθ+=交于点，则（ ）2:sin cos 1l x y θθ-=Q A ．B ．直线与圆相切12l l ⊥1l OC ．直线与圆截得弦长为D ．的值为2l O OQ11．已知三次函数有三个不同的零点，，，()32f x ax bx cx d=+++1x 2x ()3123x x x x <<函数也有三个零点，，，则（ ）()()1g x f x =-1t 2t()3123t t t t <<A ．23b ac>B ．若，，成等差数列，则1x 2x 3x 23b x a=-C ．1313x x t t +<+D ．222222123123x x x t t t ++=++三、填空题（本大题共3小题）12．已知随机变量服从二项分布，若，，则 .X (),B n p ()3E X =()2D X =n =13．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则a b 2a = 1= b b a 14a - 为 .a b+ 14．如图，已知四面体的体积为32，，分别为，的中点，，ABCD E F AB BC G 分别在，上，且，是靠近点的四等分点，则多面体的体积H CD AD G H D EFGHBD 为 .四、解答题（本大题共5小题）15．设的内角，，的对边分别为，，，已知.ABC A B C a b c sin cos 0a B A =(1)求；A(2)若，且的面积为的值.sin sin 2sin B C A +=ABC a 16．设，.()()221ln 2f x x ax x x=++a ∈R (1)若，求在处的切线方程；0a =()f x 1x =(2)若，试讨论的单调性.a ∈R ()f x 17．已知四棱锥，底面为菱形，为上的点，过的P ABCD -ABCD ,PD PB H =PC AH 平面分别交于点，且∥平面．,PB PD ,M N BD AMHN(1)证明：；MN PC ⊥(2)当为的中点，与平面所成的角为，求平面H PC ,PA PC PA ==ABCD 60︒与平面所成的锐二面角的余弦值．PAM AMN18．已知双曲线的左、右焦点为，，过的直线与双曲线交于，22:13y x Γ-=1F 2F 2F l ΓA 两点.B (1)若轴，求线段的长；AB x ⊥AB (2)若直线与双曲线的左、右两支相交，且直线交轴于点，直线交轴l 1AF y M 1BF y 于点.N （i ）若，求直线的方程；11F AB F MNS S = l （ii ）若，恒在以为直径的圆内部，求直线的斜率的取值范围.1F 2F MN l 19．已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，设集合{}n a *k ∈N ，设为集合中的元素个数，当时，规定.{}*k i B i a k=∈<N ∣kb kB k B =∅0k b =(1)若，求，，的值；2n a n =1b 2b 17b (2)若，设的前项和为，求；2n n a =n b n n S 12n S +(3)若数列是等差数列，求数列的通项公式.{}n b {}n a参考答案1．【答案】C【详解】由可得，1i 34i z +=-()()()()1i 34i 1i 17i 34i 34i 34i 25z +++-+===--+故选：C 2．【答案】B 【详解】因为数列的前项和，{}n a n 22n S n n =-所以.34552=a a a S S ++-()2252522215=-⨯--⨯=故选：B.3．【答案】D【详解】解：由，得，24y x =214x y =所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，且，y 124p =所以，，18p =1216p =所以焦点坐标为，1(0,16故选：D 4．【答案】A【详解】观察图象可得函数的最小正周期为，()sin y x ωϕ=+2ππ2π36T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以，故或，排除B ；2ππω=2ω=2ω=-观察图象可得当时，函数取最小值，π2π5π63212x +==当时，可得，，2ω=5π3π22π+122k ϕ⨯+=Z k ∈所以，，排除C ；2π2π+3k ϕ=Z k ∈当时，可得，，2ω=-5ππ22π122k ϕ-⨯+=-Z k ∈所以，，π2π+3k ϕ=Z k ∈取可得，，0k =π3ϕ=故函数的解析式可能为，A 正确；πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，D 错误5ππππcos 2cos 2sin 26233y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A.5．【答案】B 【详解】由题意，，122m m =122200122lnln 82m m m m v v v m m ++===得，故，03ln82v =0888203ln3ln 2 1.10.7ln 2v ==≈=--故选：B 6．【答案】C 【详解】因为，，83cos 5αβ=63sin 5αβ=所以，，25(3cos 4)62αβ=2(3sin)2536αβ=即所以，2259cos co 6s 1042cos ααββ++=，229sin sin +10sin2536ααββ-=两式相加得，9)104αβ+++=所以cos()αβ+=故选：C ．7．【答案】A【详解】共移动4次，该质点共两次到达1的位置的方式有和0101→→→，且两种方式第次移动向左向右均可以，0121→→→4所以该质点共两次到达1的位置的概率为.211124333332713⨯⨯+⨯⨯=故选：A.8．【答案】A 【详解】因为，121++=+n n a a n 所以，()()()()()()212342123+41=++++++37+41=212n n n n n S a a a a a a n nn --⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅-=+假设，解得或（舍去），()2=21=210n S n n +=10n 21=2n -由存在，，所以有或，*N k ∈1210kk S S +==19k =20k =由可得，，两式相减得：，121++=+n n a a n +1223n n a a n ++=+22n n a a +-=当时，有，即，20k =2021210S S ==210a =根据可知：数列奇数项是等差数列，公差为2，22n n a a +-=所以，解得，()211+11120a a =-⨯=120a =-当时，有，即，19k =1920210S S ==200a =根据可知：数列偶数项也是等差数列，公差为2，22n n a a +-=所以，解得，()202+10120a a =-⨯=218a =-由已知得，所以.123a a +=121a =故选：A.9．【答案】ABD【详解】如图所示，连接，，，AC 1CD EF 由于，分别为，的中点，即为的中点，E F 1AD DB F AC 所以，面，面，1//EF CD EF ⊄11CDD C 1CD ⊆11CDD C 所以平面，即D 正确；//EF 11CDD C 所以与共面，而，所以直线与为异面直线，即A 正确；EF 1CD 1B ∉1CD EF 11D B 连接，易得，1BC 11//D E BC 所以即为直线与所成的角或其补角，1DC B ∠1D E 1DC 由于为等边三角形，即，所以B 正确；1BDC 160DC B ∠=假设，由于，，所以面，1D F AD ⊥1AD DD ⊥1DF DD D = AD ⊥1D DF 而面显然不成立，故C 错误；AD ⊥1D DF 故选：ABD.10．【答案】ACD 【详解】选项A ：因，故，A 正确；()cos sin sin cos 0θθθθ+-=12l l ⊥选项B ：圆的圆心的坐标为，半径为，O O ()0,02r =圆心到的距离为，故直线与圆相离，故B 错误；O 1l 14d r==>1l O 选项C ：圆心到的距离为，O 1l21d ==故弦长为，故C正确；l ==选项D ：由得，cos sin 4sin cos 1x y x y θθθθ+=⎧⎨-=⎩4cos sin 4sin cos x y θθθθ=+⎧⎨=-⎩故，()4cos sin ,4sin cos Q θθθθ+-故，故D 正确OQ ==故选：ACD 11．【答案】ABD 【详解】因为，()32f x ax bx cx d=+++则，，对称中心为，()232f x ax bx c '=++0a ≠,33bb f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于A ，因为有三个不同零点，所以必有两个极值点，()f x ()f x 即有两个不同的实根，()2320f x ax bx c '=++=所以，即，故A 正确；2Δ4120b ac =->23b ac >对于B ，由成等差数列，及三次函数的中心对称性，123,,x x x 可知为的对称中心，所以，故B 正确；()()22,x f x ()f x 23b x a =-对于C ，函数，当时，，()()1g x f x =-()0g x =()1f x =则与的交点的横坐标即为，，，1y =()y f x =1t 2t 3t 当时，画出与的图象，0a >()f x 1y =由图可知，，，则，11x t <33x t <1313x x t t +<+当时，则，故C 错误；0a <1313x x t t +>+对D ，由题意，得，()()()()()()32123321231a x x x x x x ax bx cx d a x t x t x t ax bx cx d ⎧---=+++⎪⎨---=+++-⎪⎩整理，得，123123122331122331b x x x t t t ac x x x x x x t t t t t t a ⎧++=++=-⎪⎪⎨⎪++=++=⎪⎩得，()()()()2212312233112312233122x x x x x x x x x t t t t t t t t t ++-++=++-++即，故D 正确.222222123123x x x t t t ++=++故选：ABD.12．【答案】9【详解】由题意知随机变量服从二项分布，，，X (),B n p ()3E X =()2D X =则，即得，()3,12np np p =-=1,93p n ==故答案为：913．【答案】【详解】因为在上的投影向量为，b a14a -所以，又，14b a a a aa ⋅⋅=-2a =所以，又，1a b ⋅=-1= b 所以a b+==== 故答案为：14．【答案】11【详解】如图，连接，则多面体被分成三棱锥和四棱锥.,EG ED EFGHBD G EDH -E BFGD -因是上靠近点的四等分点，则，H AD D 14DHE AED S S =又是的中点，故，E AB 11114428DHE AED ABD ABD S S S S ==⨯= 因是上靠近点的四等分点，则点到平面的距离是点到平面的G CD D G ABD C ABD 距离的，14故三棱锥的体积；G EDH -1113218432G EDH C ABD V V --=⨯=⨯=又因点是的中点，则，故，F BC 133248CFG BCD BCD S S S =⨯= 58BFGD BCD S S =又由是的中点知，点到平面的距离是点到平面的距离的，E AB E BCD A BCD 12故四棱锥的体积，E BFGD -51532108216E BFGD A BCD V V --=⨯=⨯=故多面体的体积为EFGHBD 11011.G EDH E BFGD V V --+=+=故答案为：11.15．【答案】(1)π3A =(2)2a =【详解】（1）因为,即，sin cos 0a B A =sin cos a B A =由正弦定理得，sin sin cos A B B A ⋅=⋅因为，所以,则，sin 0B ≠sin A A =tan A =又，所以.()0,πA ∈π3A =（2）因为，由正弦定理得，sin sin 2sin B C A +=2b c a +=因为，所以，π3A =11sin 22ABC S bc A bc === 4bc =由余弦定理，得，2222cos a b c bc A =+-⋅224b c bc +-=所以，则，解得.()234b c bc +-=()22344a -⨯=2a =16．【答案】(1)4230--=x y (2)答案见解析【详解】（1）当时，，，因0a =()221ln 2f x x x x=+()2(ln 1)f x x x =+'，1(1),(1)22f f '==故在处的切线方程为，即；()f x 1x =12(1)2y x -=-4230--=x y （2）因函数的定义域为，()()221ln 2f x x ax x x=++(0,)+∞，()(2)ln 2(2)(ln 1)f x x a x x a x a x =+++=++'① 当时，若，则，故，即函数在2a e ≤-10e x <<ln 10,20x x a +<+<()0f x '>()f x 上单调递增；1(0,e 若，由可得.1e x >20x a +=2a x =-则当时，，，故，即函数在上单调1e 2a x <<-20x a +<ln 10x +>()0f x '<()f x 1(,e 2a-递减；当时，，故，即函数在上单调递增；2a x >-ln 10,20x x a +>+>()0f x '>()f x (,)2a-+∞② 当时，若，则，故，即函数在2e a >-1e x >ln 10,20x x a +>+>()0f x '>()f x 上单调递增；1(,)e +∞若，则，故，即函数在上单调递减；12e a x -<<ln 10,20x x a +<+>()0f x '<()f x 1(,)2e a -若，则，故，即函数在上单调递增，02a x <<-ln 10,20x x a +<+<()0f x '>()f x (0,2a-当时，恒成立，函数在上单调递增，2e a =-()0f x '≥()f x ()0,+∞综上，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在2e a <-()f x 1(0,)e 1(,)e 2a -上单调递增；(,)2a-+∞当时，函数在上单调递增；2e a =-()f x ()0,+∞当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上2e a >-()f x (0,2a -1(,2e a -1(,)e +∞单调递增.17．【答案】(1)证明见详解【详解】（1）设，则为的中点，连接，AC BD O = O ,AC BD PO 因为为菱形，则，ABCD AC BD ⊥又因为，且为的中点，则，PD PB =O BD PO BD ⊥，平面，所以平面，AC PO O = ,AC PO ⊂PAC BD ⊥PAC 且平面，则，PC ⊂PAC BD PC ⊥又因为∥平面，平面，平面平面，BD AMHN BD ⊂PBD AMHN PBD MN =可得∥，所以.BD MN MN PC ⊥（2）因为，且为的中点，则，PA PC =O AC PO AC ⊥且，，平面，所以平面，PO BD ⊥AC BD O = ,AC BD ⊂ABCD ⊥PO ABCD 可知与平面所成的角为，即为等边三角形，PA ABCD 60PAC ∠=︒PAC 设，则，且平面，平面，AH PO G = ,G AH G PO ∈∈AH ⊂AMHN PO ⊂PBD 可得平面，平面，∈G AMHN ∈G PBD 且平面平面，所以，即交于一点，AMHN PBD MN =G MN ∈,,AH PO MN G 因为为的中点，则为的重心，H PC G PAC 且∥，则，BD MN 23PM PN PG PB PD PO ===设，则，2AB=11,32PA PC OA OC AC OB OD OP ========如图，以分别为轴，建立空间直角坐标系，,,OA OB OP ,,x y z 则，)()22,0,0,3,0,,1,0,,133AP M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得，()24,1,0,,0,33AM NM AP ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面的法向量，则，AMN ()111,,x n y z =1111203403n AM y z n NM y ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩ 令，则，可得，11x=110,y z ==(n = 设平面的法向量，则，PAM ()222,,m x y z =2222220330m AM y z m AP z ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ 令，则，可得，2x =123,1y z ==)m = 可得，cos ,n m =所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值PAMAMN18．【答案】(1)线段的长为；AB 6(2)（i）直线的方程为；l 2x y =+（ii ）直线的斜率的取值范围为.l 33()(44- 【详解】（1）由双曲线的方程，可得，所以22:13y x Γ-=221,3a b ==，1,2a b c ====所以，，若轴，则直线的方程为，1(2,0)F -2(2,0)F AB x ⊥AB 2x =代入双曲线方程可得，所以线段的长为；(2,3),(2,3)A B -AB 6（2）（i）如图所示，若直线的斜率为0，此时为轴，为左右顶点，此时不构成三角形，矛l l x ,A B 1,,F A B 盾，所以直线的斜率不为0，设，，l :2l x ty =+1122()A x y B x y ,,(,)联立，消去得，应满足，22132y x x ty ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩x 22(31)1290t y ty -++=t 222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩由根与系数关系可得，121222129,3131t y y y y t t +=-=--直线的方程为，令，得，点，1AF 110(2)2y y x x -=++0x =1122y y x =+112(0,)2y M x +直线的方程为，令，得，点，1BF 220(2)2y y x x -=++0x =2222y y x =+222(0,)2y N x +，121122221111|||||2||2|F F F B A A F B F S y F S S F y y y -=⨯-==- 111212221||||||222F M N M F MN N S y y x y y y y x x =-=-=-++ ，12122112212121212222(4)2(4)8()||||||44(4)(4)4()16y y y ty y ty y y ty ty ty ty t y y t y y +-+-=-==+++++++由，可得，11F AB F MN S S = 1212212128()||2||4()16y y y y t y y t y y -=-+++所以，所以，21212|4()16|4t y y t y y +++=222912|4()16|43131tt t t t ⨯+-+=--解得，，解得，22229484816||431t t t t -+-=-22916||431t t -=-22021t =经检验，满足，所以222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩t =所以直线的方程为；l 2x y =+（ii ）由，恒在以为直径的圆内部，可得，1F 2F MN 2190F MF >︒∠所以，又，110F F N M < 112211,22(2,)(2,22F y y N x x M F =+=+所以，所以，1212224022y y x x +⨯<++121210(2)(2)y y x x +<++所以，所以，1221212104()16y y t y y t y y +<+++2222931109124()163131t t t t t t -+<⨯+-+--所以，解得，解得或，22970916t t -<-271699t <<43t <<43t -<<经检验，满足，222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩所以直线的斜率的取值范围为.l 33()(44- 19．【答案】(1)12170,1,4b b b ===(2)1(1)22n n +-⨯+(3)n a n=【详解】（1）因为，则，2n a n =123451,4,9,16,25a a a a a =====所以，，{}*11i B i a =∈<=∅N ∣{}*22{1}i B i a =∈<=N ∣，{}*1717{1,2,3,4}i B i a =∈<=N ∣故.12170,1,4b b b ===（2）因为，所以，2nn a =123452,4,8,16,32a a a a a =====则，所以，，**12{|1},{|2}i i B i a B i a =∈<=∅=∈<=∅N N 10b =20b =当时，则满足的元素个数为，122i i k +<≤ia k <i 故，121222i i i b b b i+++==== 所以()()()1112345672122822n n n n S b b b b b b b b b b b ++++=++++++++++++ ，1212222n n =⨯+⨯++⨯ 注意到，12(1)2(2)2n n nn n n +⨯=-⨯--⨯所以121321202(1)21202(1)2(2)2n n nS n n ++=⨯--⨯+⨯-⨯++-⨯--⨯ .1(1)22n n +=-⨯+（3）由题可知，所以，所以，11a ≥1B =∅10b =若，则，，12a m =≥2B =∅1{1}m B +=所以，，与是等差数列矛盾，20b =11m b +={}n b 所以，设，11a =()*1n n n d a a n +=-∈N 因为是各项均为正整数的递增数列，所以，{}n a *n d ∈N 假设存在使得，设，由得，*k ∈N 2k d ≥k a t =12k k a a +-≥12k a t ++≥由得，，与是等差数列矛盾，112k k a t t t a +=<+<+≤t b k <21t t b b k ++=={}n b 所以对任意都有，*n ∈N 1nd =所以数列是等差数列，.{}n a 1(1)n a n n =+-=。
浙江省宁波市2025届高三上学期高考模拟考试数学试卷(宁波一模)(含答案)
浙江省宁波市2025届高三上学期高考模拟考试数学试卷（宁波一模）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合A ={−2,0,1}，B ={y|y =x 2,x ∈A}，则A ∪B =A. {−2,0,1}B. {0,1,4}C. {0,1}D. {−2,0,1,4}2.复数z 满足z =5i−2，则|z|=A. 1B. 2C.5D. 53.向量a ，b 满足|a |=|b |=1，a ⊥b ，则|a−3b |=A.3B.7C.10D.134.研究小组为了解高三学生自主复习情况，随机调查了1000名学生的每周自主复习时间，按照时长(单位：小时)分成五组：[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)，得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第60百分位数的估计值是A. 7B. 7.5C. 7.8D. 85.圆台的高为2，体积为14π，两底面圆的半径比为1:2，则母线和轴的夹角的正切值为A.33B.32C. 233D.36.已知椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过上顶点A 作直线AF 2交椭圆于另一点B.若|AB|=|F 1B|，则椭圆C 的离心率为A. 13B. 12C.33D.227.不等式(x 2−ax−1)(x−b)≥0对任意x >0恒成立，则a 2+b 2的最小值为A. 22−2B. 2C. 22 D. 22+28.设a ∈R ，函数f(x)={sin (2πx−2πa),x <a,|x−a−1|−3a +6,x ≥a 若f(x)在区间(0,+∞)内恰有6个零点，则a 的取值范围是A. (2,72]B. (2,3]C. (2,73]∪(52,72]D. (2,73]∪(52,3]二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列{a n}，{b n}都是正项等比数列，则A. 数列{a n+b n}是等比数列B. 数列{a n·b n}是等比数列C. 数列{a n b n}是等比数列D. 数列{a n b n}是等比数列10.函数f(x)=e x−a ln x，则A. f(x)的图象过定点B. 当a=1时，f(x)在(0,+∞)上单调递增C. 当a=1时，f(x)>2恒成立D. 存在a>0，使得f(x)与x轴相切11.已知曲线C：(x2+y2−1)3−7sin2x+7cos2y=6，下列说法正确的是A. 曲线C过原点OB. 曲线C关于y=x对称C. 曲线C上存在一点P，使得|OP|=1D. 若P(x,y)为曲线C上一点，则|x|+|y|<3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2025届北京市人民大学附属中学高三第三次模拟考试数学试卷含解析
2025届北京市人民大学附属中学高三第三次模拟考试数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系；用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法.现向一边长为2a 的正方形模型内均匀投点，落入阴影部分的概率为p ，则圆周率π≈（ ）A ．42p +B ．41p +C ．64p -D ．43p +2．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．在边长为1的等边三角形ABC 中，点E 是AC 中点，点F 是BE 中点，则AF AB ⋅=（ ） A ．54B ．34C ．58D ．384．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW ，达到114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（ ）A ．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B ．10年来全球新增装机容量连年攀升C ．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD ．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过135．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是( ) A ．18种B ．36种C ．54种D ．72种6．已知函数()32,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则3=3f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．22B ．12C ．3log 2-D ．3log 27．设,,D E F 分别为ABC ∆的三边BC,CA,AB 的中点，则EB FC +=（ ） A ．12AD B ．AD C ．BCD ．12BC 8． 若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6, +∞）D ．[4, +∞）9．已知函数log ()a y x c =+（a ，c 是常数，其中0a >且1a ≠）的大致图象如图所示，下列关于a ，c 的表述正确的是（ ）A ．1a >，1c >B ．1a >，01c <<C ．01a <<，1c >D ．01a <<，01c <<10．已知复数2(1)(1)i z a a =-+-（i 为虚数单位，1a >），则z 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知函数()sin 3cos f x a x x =-的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( ) A ．3π-B ．0C ．3π D ．23π 12．已知函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）在区间[],2m m 上的值域为[],2m m ，则a =（ ）A ．2B ．14C ．116或2 D ．14或4 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
内蒙古师范大学附属中学2025届高三第三次模拟考试数学试卷含解析
内蒙古师范大学附属中学2025届高三第三次模拟考试数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知EF 为圆()()22111x y -++=的一条直径，点(),M x y 的坐标满足不等式组10,230,1.x y x y y -+≤⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩则ME MF ⋅的取值范围为（ ）A ．9,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]4,13C ．[]4,12D ．7,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．已知实数,x y 满足,10,1,x y x y y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．32C ．1D ．03．执行如下的程序框图，则输出的S 是（ ）A ．36B ．45C ．36-D ．45-4．过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点作倾斜角为30的直线l ，若l 与y 轴的交点坐标为()0,b ，则该双曲线的标准方程可能为（ ）A ．2212x y -=B ．2213x y -=C ．2214x y -=D ．22132x y -=5．已知111M dx x =+⎰，20cos N xdx π=⎰，由程序框图输出的S 为（ ）A ．1B ．0C ．2πD ．ln 26．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上,PA ⊥平面ABC ,ABC ∆是边长为23,若球O 的表面积为20π,则直线PC 与平面PAB 所成角的正切值为( ) A ．34B 7C 377D 77．已知,a b 为非零向量，“22a b b a =”为“a a b b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件8．集合{}2,A x x x R =>∈，{}2230B x x x =-->，则AB =（ ）A ．(3,)+∞B ．(,1)(3,)-∞-+∞C ．(2,)+∞D ．(2,3)9．已知函数()e ln mx f x m x =-，当0x >时，()0f x >恒成立，则m 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．[1,)+∞D ．(,e)-∞10．若x ，y 满足约束条件0,2,10,x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则4z x y =+的取值范围为（ ）A ．[]5,1--B ．[]5,5-C ．[]1,5-D ．[]7,3-11．已知i 为虚数单位，复数()()12z i i =++，则其共轭复数z =（ ） A ．13i +B ．13i -C ．13i -+D ．13i --12．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ） A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2025届福建省福州市三校联考高三第三次模拟考试数学试卷含解析
2025届福建省福州市三校联考高三第三次模拟考试数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|A x y ==，2{|}10B x x x =-+≤，则A B =( ) A ．[12]-， B．[-C．(-D．⎡⎣2．若关于x 的不等式1127kxx ⎛⎫≤⎪⎝⎭有正整数解，则实数k 的最小值为（ ） A ．9B ．8C ．7D ．63．将函数()2sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向右平移8π个单位长度后，得到函数的图象关于直线3x π=对称，则函数()f x 在,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（ ） A ．[1,2]-B．[C．⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．[4．已知点()11,A x y ，()22,B x y 是函数()2f x bx =的函数图像上的任意两点，且()y f x =在点1212,22x x x x f ⎛++⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与直线AB 平行，则( ) A ．0a =，b 为任意非零实数 B ．0b =，a 为任意非零实数 C ．a 、b 均为任意实数D ．不存在满足条件的实数a ，b5．已知集合{2,3,4}A =，集合{},2B m m =+，若{2}A B =，则m =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．46．已知1F 、2F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点A 、B ，过点B 作x 轴的垂线，垂足恰为1F ，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2BC．D7．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为9，若点， 则的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．128．已知命题p ：,x R ∃∈使1sin 2x x <成立． 则p ⌝为（ ） A ．,x R ∀∈1sin 2x x ≥均成立 B ．,x R ∀∈1sin 2x x <均成立 C ．,x R ∃∈使1sin 2x x ≥成立D ．,x R ∃∈使1sin 2x x 成立 9．已知直线2:0l x m y +=与直线:0n x y m ++=则“//l n ”是“1m =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ）A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．1010202111．已知向量(,1),(3,2)a m b m ==-，则3m =是//a b 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件12．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省郑州市2024届高三下学期第三次模拟考试 数学含答案
2024学年郑州市高三（下）第三次模拟考试数学（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知实数a ，b 且0ab >，则222229aba b a b +++取得最大值时，a b +的值为（）B. C.- D.-2.已知32a =，35b =，58c =，则（）A.a b c<< B.a c b << C.c b a<< D.<<b c a3.法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数()1111cos isin z r θθ=+，()()222212cos isin ,0z r r r θθ=+>，则()()12121212cos isin z z r r θθθθ⎡⎤=+++⎣⎦.设12z =-，则2024z 的虚部为（）A. B.2C.1D.04.已知,αβ满足πππ2π,44αβ≤≤-≤≤，且553π32cos 5,962sin252ααββ⎛⎫-+=+=- ⎪⎝⎭，则24πsin 994αβ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（）5.在平面直角坐标系中，集合(){},0A x y kx y k =-+=，集合(){},1B x y y kx ==-，已知点M A ∈，点N B ∈，记d 表示线段MN 长度的最小值，则d 的最大值为（）A.2C.16.算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项伟大的发明.在阿拉伯数字出现前，算盘是世界广为使用的计算工具，下图一展示的是一把算盘的初始状态，自右向左分别表示个位、十位、百位、千位，L ，上面的一粒珠子（简称上珠）代表5，下面的一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小.例如如图二，个位上拨动一粒上珠、两粒下珠，十位上拨动一粒下珠至梁上，代表数字17.现将算盘的个位、十位、百位、千位、万位、十万位分别随机拨动一粒珠子至梁上，则表示的六位数至多含4个5的情况有（）A.57种B.58种C.59种D.60种7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，58102a a a +=-，3726a a +=-，则满足10n n S S +<的值为（）A.14 B.15C.16D.178.已知为定义在−∞,0∪0,+∞上的偶函数，已知1=0，当＞0时，有2−B '＞0，则使＞0成立的的取值范围为（）A.−∞,−1∪0,1B.−1,0∪1,+∞C.−∞,−1∪1,+∞D.−1,0∪0,1二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.已知()sin cos sin 2f x x x x =+，则（）A.()f x 的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称B.()f x 的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.()f x 在区间()0,50上有33个零点D.若方程()34f x =在()0,t （0t >）有4个不同的解i x （1i =，2，3，4），其中1i i x x +<（1i =，2，3），则1234x x x x t ++++的取值范围是55π85π,1212⎛⎤⎥⎝⎦10.已知正方体ABCD A B C D -''''的棱长为1M ，是AA '中点，P 是AB 的中点，点N满足[]()0,1D N D C λλ'''=∈ ，平面MPN 截该正方体，将其分成两部分，设这两部分的体积分别为12V V ，，则下列判断正确的是（） A.12λ=时，截面面积为32B.12λ=时，12V V =C.12V V -随着λ的增大先减小后增大 D.12V V -的最大值为51211.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点A 到其两条渐近线的距离之积为32，则下列结论正确的是（）A.221123a b += B.3ab ≤ C.226a b +≥ D.11a b +≤三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.曲线()()1ln 211f x x x x =-++在点()()1,1f 处的切线方程为.13.已知有,A B 两个盒子，其中A 盒装有3个黑球和3个白球，B 盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从A 盒、乙从B 盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入A 盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入B 盒中.按上述方法重复操作两次后，B 盒中恰有7个球的概率是.14.一个圆锥的顶点和底面圆都在半径为2的球体表面上，当圆锥的体积最大时，其底面圆的半径为.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知等比数列{}n a 的公比3q =，且1289a a +=.(1)求{n a }的前n 项和n S ；(2)若等差数列{}n b 的前2项分别为2a ，312a ，求{}nb 的前n 项和n T .16.(15分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面,ABCD PD 与底面所成的角为45︒，E 为PD 的中点.(1)求证：⊥AE 平面PCD ；(2)若2,AB G =为BCD △的内心，求直线PG 与平面PCD 所成角的正弦值.17.(15分)某地区工会利用“健步行APP”开展健步走活动.为了解会员的健步走情况，工会在某天从系统中抽取了100名会员，统计了当天他们的步数（千步为单位），并将样本数据分为[)3,5，[)5,7，[)7,9，…，[)17,19，[]19,21九组，整理得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，估计样本数据的70%分位数；(2)据统计，在样本数据[)3,9，[)9,15，[]15,21的会员中体检为“健康”的比例分别为15，13，35，以频率作为概率，估计在该地区工会会员中任取一人，体检为“健康”的概率.18.(17分)已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，3,2M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭为C 上一点，且32MF =.(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 且斜率存在的直线l 与C 交于不同的两点,A B ，且点B 关于x 轴的对称点为D ，直线AD 与x 轴交于点Q .（i）求点Q 的坐标；（ii）求OAQ 与OAB 的面积之和的最小值.19.(17分)对于函数12(),,(),y f x x D y g x x D =∈=∈及实数m ，若存在1122,x D x D ∈∈，使得()()12f x g x m +=，则称函数()f x 与()g x 具有“m 关联”性质.(1)若()sin f x x =与()cos 2g x x =具有“m 关联”性质，求m 的取值范围；(2)己知0a >，()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足；①在[0,2]a 上，当且仅当2ax =时，()f x 取得最大值1；②对任意x ∈R ，有()()0f a x f a x ++-=.求证：1sin π()y x f x =+与2cos π()y x f x =-不具有“4关联”性.2024学年郑州市高三（下）第三次模拟考试数学•参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【解析】22222222299292ab ab a b a b ab a b ab ab≤=+++++++，又0ab >，所以96ab ab +≥，所以22222194ab a b a b ≤+++，当且仅当3ab =，即a b ==a b ==所以a b +=a b +=-.故选：D 2.【答案】C【解析】由题意得3log 5b =，5log 8c =，因为32333log 3log log 52a b ===>=，即a b >，32553log 5log log 82a ===，即a c >，因为2222222lg5lg5(lg5)(lg5)4(lg5)lg 25×=1lg3+lg8lg3lg8lg3×lg8lg 24lg 24()2b c =>==>，所以b c >，故a b c >>.故选：C .3.【答案】B【解析】14π4πcos isin233z =--=+，所以20244π20244π2024cos isin 33z⨯⨯=+2π2π1cosisin 332=+=-,所以2024z的虚部为故选:B.4.【答案】D【解析】由5962sin25ββ+=-，得()53(2)2sin 250ββ-+--=，由53π32cos 52αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，得53π3π32sin 5022αα⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2β-和3π2α-是方程532sin 50x x +-=的两个实数根.因为[]πππ,2π,,44αβ⎡⎤∈∈-⎢⎥⎣⎦，所以3π2α-和2β-的取值范围都是ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，因为函数53,2sin y x y x ==在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上均单调递增，所以函数532sin y x x =+在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故方程532sin 50x x +-=在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上只有一个根，所以3π22αβ-=-，即3π22αβ+=，于是有24π993αβ+=，所以24πππππππsin sin sin cos cos sin 9943434344αβ⎛⎫⎛⎫+-=-=-=⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.5.【答案】D【解析】集合{}|0A x kx y k =-+=可以看作是表示直线1:0-+=l kx y k 上的点的集合，由0kx y k -+=变形可得，()10k x y +-=，由100x y +=⎧⎨=⎩可得，10x y =-⎧⎨=⎩，所以直线1:0-+=l kx y k 过定点()1,0E -.集合(){},1B x y y kx ==-可看作是直线2:1l y kx =-上的点的集合，由1y kx =-变形可得，()10kx y -+=，由010x y =⎧⎨+=⎩可得，01x y =⎧⎨=-⎩，所以，直线2:1l y kx =-过定点()0,1F -.显然，当点,M N 与点,E F 分别重合，且线段MN 与直线12,l l 都垂直时，d 有最大值EF =故选：D.6.【答案】A【解析】至多含4个5，有以下5种情况：不含5，有06C 1=种；含1个5，有16C 6=种；含2个5，有2615C =种；含3个5，有36C 20=种；含4个5，有46C 15=种；所以，所有的可能情况共有6016346626C C C C C 57++++=种，故选：A.7.【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为581037226a a a a a +=-⎧⎨+=-⎩，则()111211292826a d a d a d ⎧+=-+⎨+=-⎩，解得1294a d =-⎧⎨=⎩，可得()()12942312n n n S n n n -=-+⨯=-，且*n ∈N ，当15n ≤时，0n S <；当16n ≥时，0n S >；可知：当14n ≤或16n ≥时，10n n S S +>；当15n =时，10n n S S +<；若10n n S S +<，所以15n =.故选：B.8.【答案】D 【解析】令=，其中≠0，因为函数为定义在−∞,0∪0,+∞上的偶函数，则−=，所以，−===为偶函数，当＞0时，'=4，所以，函数在0,+∞上为减函数，且1==0，由＞0可得=，则=|U ＞0=1，所以，，解得−1＜＜0或0＜＜1，因此，使＞0成立的的取值范围为−1,0∪0,1.故选：D.二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.【答案】AB 【解析】对A：由()()()()()()()πsin πcos πsin 2πsin cos sin 2sin cos sin 2f x x x x x x x x x x f x -=--+-=⨯--=--=-，所以()()π0f x f x -+=，则()f x 的图象关于π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，故A 正确；对B：由()sin cos sin 2sin cos 2sin cos f x x x x x x x x =+=+，因为()()()()()2πsin 2πcos 2πsin 24πsin cos 2sin 2f x x x x x x x f x +=++++=+=，所以()f x 的一个周期为2π，不妨讨论[]0,2π一个周期的值域情况，当π02x ≤≤，此时sin 0,cos 0x x ≥≥，则()113sin cos sin 2sin cos sin 2sin 2sin 2sin 2222f x x x x x x x x x x =+=+=+=，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]20,πx ∈，则[]sin 20,1x ∈，则()30,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；当ππ2x <≤，此时sin 0,cos 0x x ≥≤，则()113sin cos sin 2sin cos sin 2sin 2sin 2sin 2222f x x x x x x x x x x =+=+=+=，因为π,π2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以(]2π,2πx ∈，则[]sin 21,0x ∈-，则()3,02f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，当3ππ2x <≤，此时sin 0,cos 0x x ≤≤，则()111sin cos sin 2sin cos sin 2sin 2sin 2sin 2222f x x x x x x x x x x =+=-+=-+=，因为3ππ,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以(]22π,3πx ∈，则[]sin 20,1x ∈，则()10,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当3π2π2x <≤，此时sin 0,cos 0x x ≤≥，则()111sin cos sin 2sin cos sin 2sin 2sin 2sin 2222f x x x x x x x x x x =+=-+=-+=，因为3π,2π2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以(]23π,4πx ∈，则[]sin 21,0x ∈-，则()1,02f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，综上所述()33,22f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故B 正确；对C ：()()cos sin 2sin f x x x x =+，令()0f x =得sin 0x =或cos 0x =，可得1π2x k =（k ∈Z ），所以31π502<，32π502>，所以()f x 在()0,50上有31个零点，故C 错误；对D：()f x 是以2π为周期的周期函数，当(]0,πx ∈时()33,22f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()34f x =在(]0,π上有2个实根1x ，2x ，且1x 与2x 关于π4x =对称，所以12π2x x +=；当(]π,2πx ∈时()11,22f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()34f x =在(]π,2π上没有实根，则()34f x =在(]2π,3π上有2个实根3x ，4x ，且3x 与4x 关于9π4对称，且349π2x x +=，且3π2π12x =+，45π2π12x =+，当(]3π,4πx ∈时()11,22f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()34f x =在(]π,2π上没有实根，当(]4π,5πx ∈时，()34f x =有2个实根，但()f x 只需有4个零点，所以29π49π1212t <≤，又因为12345πx x x x +++=，所以1234x x x x t ++++的取值范围是89π109π,1212⎛⎤⎥⎝⎦，故D 错误，故选：AB.10.【答案】BCD 【解析】如图1，当12λ=时，点N 是D C ''的中点，易得截面为正六边形.其棱长为=26(),424⨯⨯=故A 项错误；由对称性可知.当12λ=时.平面分两部分是全等的，故体积相等，故B 项正确；如图2.当λ从0变化到1时.截面从四边形MD CP '变化至五边形MPJC Q '（其中J 为BC 靠近B 点的三等分点）.结合B 项可知，被截面所分两部分体积之差的绝对值先减小至0，再逐渐增大，故C 项正确；12V V -取最大值时对应为0λ=，或1λ=时情形.当0λ=时，不妨记1V 为截面MD CP '左上角的部分几何体，则1111117(113423224P AMD D P DD C V V V ''--=+=-⨯+⨯⨯=,则271712424V =-=,此时121775242412V V -=-=；当1λ=时，不妨记1V 为截面MPJC Q '左上角的部分几何体，则1P DAMQD P DCC D Q PCJ Q JC C V V V V V ''''----=+++1111111147(1)111131223363372=-⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,则2472517272V =-=，此时12472511727236V V -=-=.12V V ∴-的最大值为512，故D 项正确.故选：BCD.11.【答案】ACD【解析】易知：双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为b y x a =±，设点(,)A x y 到两条渐近线的距离分别为12,d d ，则利用点到直线的距离公式可得221222()()bx ay d d a b -=+.因为22221x y a b-=，所以2222()()bx ay a b -=，所以222212222232a b a b d d a b a b ===++，所以221123a b +=，A 正确；因为2211223a b ab+=≥，所以3ab ≥，B 错误；因为()222222222211333226222b a a b a b ab a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++⨯=++⨯≥+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当a b =时等号成立，C 正确;因为22211112222243333a b a b ab ab ⎛⎫+=++=+≤+= ⎪⎝⎭，所以11a b +≤，当且仅当a b =时等号成立，D 正确.故选:ACD.三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.【答案】7450x y --=【解析】因为()()1ln 211f x x x x =-++，则()1111ln1112f =⨯+=+，所以切点为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且()()()221ln 21211x f x x x x '=-+--+，则()22171ln12124k f '==+-=-，由直线的点斜式可得()17124y x -=-，化简可得7450x y --=，所以切线方程为7450x y --=.故答案为：7450x y --=13.【答案】77300【解析】若两次取球后，B 盒中恰有7个球，则两次取球均为乙获胜；若第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率为121255⨯=，第一次取球后A 盒中有2个黑球和3个白球，B 盒装有4个黑球和2个白球，第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为22348565615⨯+⨯=；此时B 盒中恰有7个球的概率为18851575⨯=；若第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率为1332510⨯=，第一次取球后A 盒中有3个黑球和2个白球，B 盒装有3个黑球和3个白球，第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为3323156562⨯+⨯=；此时B 盒中恰有7个球的概率为31310220⨯=；所以B 盒中恰有7个球的概率为83777520300+=.故答案为：7730014.【答案】【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则圆锥的体积为21π3V r h =，当圆锥顶点与底面在球心O 的同侧时，有122h OO =-=02h ≤≤，()24r h h ∴=-，()()32211182256ππ4π82π366381h h h V h h h h ++-⎛⎫∴=-=-≤⨯=⎪⎝⎭，当且仅当82h h =-，即83h =时等号成立，又02h ≤≤，所以等号不成立.当圆锥顶点与底面在球心O 的异侧时，122h OO =+=24h ≤≤，()24r h h ∴=-，()()32211182256ππ4π82π366381h h h V h h h h ++-⎛⎫∴=-=-≤⨯=⎪⎝⎭，当且仅当82h h =-，即83h =时等号成立.此时2329r =，即r 所以当圆锥的体积最大时，其底面圆的半径为423.故答案为：423.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)【答案】(1)2139n n S -=-(2)236n n nT +=【解析】（1）解：因为等比数列{}n a 的公比3q =，所以121118349a a a a a +=+==，可得129a =，所以1323239n n n a --=⨯=⨯，所以()()1221311931139n n n n a q S q ---===---.（2）解：由（1）得1223b a ==，23112b a ==，所以{}n b 的公差21133d =-=，所以()()2111232366n n n n n n n T nb d n --+=+⋅=+.16.(15分)【答案】(1)证明见解析(2)24【解析】（1）因为PA ⊥平面,ABCD CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，因为PD 与平面ABCD 所成的角为45,PA ︒⊥平面ABCD ，所以45PDA ∠=︒，且45PDA APD ∠=∠=︒，所以PA AD =，又E 为PD 的中点，所以AE PD ⊥，因为四边形ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥，又,,,CD PA PA AD A PA AD ⊥=⊂ 平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，因为AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥，因为,,PD CD D PD CD ⋂=⊂平面PCD ，所以⊥AE 平面PCD .（2）因为底面ABCD 为正方形，G 为BCD △的内心，所以G 在对角线AC 上.如图，设正方形的对角线的交点为O ，所以,OG GF CG ==，所以))1,221CO CG OG OG AC CO OG =+===，所以)21AG AO OG CO OG OG =+=+==+，所以AG AC =，又因为2AB =，所以2AG =.由题意知,,AB AD AP 两两垂直，以,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.所以)G，由（1）知AP AD =，所以()()()0,0,2,0,2,0,0,1,1P D E ，所以)2PG =- .又因为⊥AE 平面PCD ，所以平面PCD 的一个法向量为()0,1,1AE =.设直线PG 与平面PCD 所成角为θ，则2sin cos ,4AE PG AE PG AE PGθ⋅=〈〉=⋅.17.(15分)【答案】(1)14.5；(2)0.38【解析】（1）解：（1）由于在[)3,13的样本数据比例为：0.010.020.120.170.230.55++++=∴样本数据的70%分位数在[)13,15内∴估计为：0.70.5513214.50.750.55-+⨯=-.（2）（2）设任取的会员数据在[)3,9，[)9,15，[]15,21中分别为事件1A ，2A ，3A ，∴()10.010.020.120.15P A =++=，()20.170.20.230.6P A =++=，()30.170.060.020.25P A =++=设事件A =在该地区工会会员中任取一人体检为“健康”()1130.150.60.250.38535P A =⨯+⨯+⨯=.18.(17分)【答案】(1)23y x =(2)（i）(4,0)Q -；（ii）86【解析】（1）由题意可得322924p m pm ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得32p =，所以C 的方程为：23y x =；（2）（i）由已知可得直线l 的斜率不为0，且过点()4,0，故可设的直线l 的方程为4x my =+，代入抛物线23y x =的方程，可得23120y my --=，方程23120y my --=的判别式2Δ9480m =+>，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，22(,)D x y -不妨设10y >，则12123,12y y m y y +==-,所以直线AD 的方程为：121112()y y y y x x x x +-=--，即121112()()y y y y x x m y y +-=--即()11123y y x x y y -=--，令0y =，可得()()212113y y y x y -⋅-=-，所以()()2121112312x y y y y y y =-⋅-+==-，所以4x =-所以(4,0)Q -；（ii）如图所示，可得111114222OAQ S OQ y y y =⋅⋅=⨯⨯= ，121211442222OAB S y y y y =⨯⨯+⨯⨯=+ ，所以OAQ 与OAB 的面积之和1121222242OAQ OAB S S S y y y y y =+=++=+11111224424y y y y -=+=+≥=当且仅当11244y y =时，即1y =时，等号成立，所以OAQ 与OAB的面积之和的最小值为19.(17分)【答案】(1)[2,2]-(2)证明见解析【解析】（1）由题意可知1122()sin [1,1],()cos2[1,1]f x x g x x ∈-∈=-=，故()()12[2,2]f x g x +∈-，则m 的取值范围为[2,2]-；（2）证明：因为在[0,2]a 上，当且仅当2ax =时，()f x 取得最大值1，且()f x 为定义在R 上的奇函数，故在[2,0]a -上当且仅当2ax =-时，()f x 取得最小值-1，由对任意x ∈R ，有()()0f a x f a x ++-=，可知()f x 图象关于点(0)a,对称，又()()()f a x f a x f x a +=--=-，即(2)()f x a f x +=，故2a 为函数()f x 的周期，故()[1,1]f x ∈-，[][]sinπ1,1,cosπ1,1x x ∈-∈-，当()11f x =时，12,Z 2ax na n =+∈，1sin π1x =时，112,Z 2x k k =+∈，若12222a na k +=+，4141k a n +=+，,Z k n ∈，此时有()111sin π2y x f x =+=为最大值；当()21f x =-时，22,Z 2ax ma m =-+∈，2cos π1x =时，22,Z x t t =∈，若222a ma t -+=，4,,Z 41t a t m m =∈-，此时有()222cos π2y x f x =-=为最大值，由于4144141k ta n m +=≠+-，故()()1122sin πcos π4x f x x f x ++-<，即不存在12R,R x x ∈∈，使得()()1122sin πcos π4x f x x f x ++-=，所以1sin π()y x f x =+与2cos π()y x f x =-不具有“4关联”性.。
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高考数学模拟试卷
注意事项:
1 .本试题满分150分，考试时间为120分钟.
2 .答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上.
3 .使用答题纸时，必须使用
0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区
书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效.
一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选 项符合题目要求.
A .
1 i
B .
1 i
C . 1+i
D . 1 — i
2.若集合M
x x
1 , N
x Z 0 x 4，则
C R M
N
A .
B . 0,1
C .
0,1,2 D .
2,3,4
1.已知复数z 满足1 i z 2i （i 为虚数单位），则
z
一个球，则取出的两球中至少有 1个红球的概率为
1
1
2
5
A . -
—
C .—
D . —
3
2
3
6
4. “ b a 0”是“
1 1
—”的
a b
A .充分不必要条件
B 充要条件
C .必要不充分条件
D .既不充分也不必要条件
x 轴的非负半轴重合，终边经过点
1)，则 cos2
3 3
4 4 A .
-
B .-
C .
D .-
5
5
5
5
A . 8
7.在 ABC 中,
2 uur uuur 2
BC ，则 AD 3
22 A .
B . 16
AB 2, AC =3, uuu BD
C . 32
D . 64
uuu
BAC —,若 BD
3
3.已知甲袋中有
1个红球1个黄球，乙袋中有
2个红球1个黄球，现从两袋中各随机取
的顶点在原点，始边与 5.在平面直角坐标系 xOy 中，角 6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是
，则z 2x y 的最小值是 0
&我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理： “缘幕势既同，
则积不容异也”.“幕”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几 何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等.已知某不 规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幕势既同” ，其中俯视图
1
1
圆周，则该不规则几何体的体积为
4
中的圆弧为 C . 1
9.将函数f sin x
0,
的图象向右平移 一个单位长度后，所得图象关于 y
6
轴对称，且 则当 取最小值时，
函数 f x 的解析式为
sin 2x —
6
sin
2x -
6 sin 4x —
6
sin
4x 一
6
10 .设 A , ABC 体积的最大值为 27,则该球的表面积为 A . 36 B , C , D 是同一个球面上四点, ABC 是斜边长为 6的等腰直角三角形，若三棱锥 D —
B . 64
C . 100
D . 144
11 .若函数f x
sin2x , 则满足
f 2x 2 0的x 的取值范围为
1
A .
1,丄 B .
2
2
x
12.已知F 2分别为双曲线一
4
2
—1的左、
6 右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足
uuuu luuu
MF 1 MF 2 0，若直线MF 2与双曲线的另一个交点为
N ，贝U MF 1N 的面积为
A . 12
B . 12 2
C . 24
二、填空题：本大题共有 4个小题，每小题5分，共
20分.
5
13 .已知a x 2 x 的展开式中
3
x 的系数为40, 则实数a 的值为
3x 14 .己知x, y 满足约束条件 x
15.在 ABC 中，a,b,c 分别为内角A , B , C 的对边，若a 2, as in B .. 3bcos A ,则 ABC 周 长的最大值为
三、解答题：共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•第 题考生都必须作答•第 22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分. 17. （12 分）
已知数列 a n 中，a , 1,a n 2a n , 1 n 2,n N . （1）记b n lOg 2 a n 1 ,判断
a n 是否为等差数列，并说明理由：
K
⑵在（1）的条件下，设C n —，求数列 C n 的前n 项和「.
a n 1
In x, 0 x 2e ,，、一 16.已知f x
，右方
f 4e
x ,2e x 4e
f x mx 0有2个不同的实根，则实数 m 的
17~21题为必考题，每个试 取值范围是（结果用区间表示）
如图，在平面四边形ABCD中，△ ABC等边三角形，AC DC，以AC为折痕将厶ABC折起，使得平面ABC 平面ACD .
⑴设E为BC的中点，求证：AE 平面BCD :
3
(2)若BD与平面ABC所成角的正切值为，求二面角A BD C的余弦值.
2
已知F为抛物线C : y2 2px p 0的焦点，过F的动直线交抛物线C于A, B两点.
当直线与x轴垂直时，AB 4 .
(1) 求抛物线C的方程；
(2) 若直线AB与抛物线的准线I相交于点M,在抛物线C上是否存在点P,使得直线PA, PM , PB 的斜率成等差数列？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
20. （12 分）
2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布,
旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习
惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设.某
高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查
了200名学生每周阅读时间X(单位：小时)并绘制如图所
示的频率分布直方图.
(1) 求这200名学生每周阅读时间的样本平均数X和
2
样本方差s (同一组中的数据用该组区间的中间值代
表)；
(2) 由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间
X服从正态分布N , 2，其中近似为样本平
均数X , 2近似为样本方差s2.
(i) 一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若
X a
X~N , 2,令Y ，则Y~N 0,1，且P X a P Y
利用直方图得到的正态分布，求P X 10。
(ii)从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P Z 2 (结果精确到0.0001)以及Z的数学期望.
参考数据：178 40,0.7734190.0076若Y~N 0,1，贝V P Y 0.75 0.7734 .
3
21．(12分)
已知函数f x e x 2ax 3a2e x a R ，其中e 2.71828 为自然对数的底数．
(1)讨论f x 的单调性；
(2)当x 0, 时，e x x a 3a2e x x2 a2 10 f x 恒成立，求a 的取值范围．
（二）选考题：共10分•请在第22、23题中任选一题作答•如果多做，则按所做的第一题 计分. 22. ［选修4—4:坐标系与参数方程］（10分）
1旦
2 （t 为参数），以坐标原点为极点,
3 -t
2
轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
（1）求直线I 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程；
23. ［选修4—5:不等式选讲］（10分） 已知函数f x 2x 1 m x 2。
（1）当m=1时，求不等式f x 2的解集;
（2）若实数m 使得不等式f x 2
m 在x
1,1恒成立，求m 的取值范围.
在平面直角坐标系 xOy 中，直线I 的参数方程为
22 ■, 2 cos 2
⑵设点P 1,
，直线I 与曲线C 相交于两点A , B ,求
1 PA
1 PB
的值.。