第二节 解直角三角形及应用-学而思培优

第二节 解直角三角形及应用
一、课标导靛
二、核心纲要
1.直角三角形的性质（如下表所示）
如下右图所示，在Rt△ABC 中，C B A C ∠∠∠=∠、、,90 的对边分别为a ，b ，c ，斜边中线长为d ．
2．解直角三角形
(1)定义：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． (2)解直角三角形的基本类型（如下表所示）．
3．几种常见的兰角形（如下表所示）
4．相关概念
(1)仰角和俯角都是视线与水平线所成的角，视线在水平线上方的角叫做仰角；视线在水平线下方的 角叫做俯角，如下左图所示．
(2)如下中图所示，坡面的铅直高度h 和水平宽度L 的比叫做坡度（坡比）．用字母i 表示，即⋅=l
h
i 坡度一般写成1：m 的形式，如5:1=i 等，把坡面与水平面的夹角，记作α（叫做坡角），那么l
h
i =
.tan α= (3)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于
90的水平角，叫做方向角．如下右图所示，OA 、OB 、
OC 、OD 的方向角分别是：北偏东,30 南偏东 45（东南方向），南偏西,60 北偏西
45（西北方向）．
本节重点讲解：一个性质，四个图形，五个概念．
三、全能突破
基 础 演 练
1．在坡角为a 的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5m ，那么这两树在坡面上的距离AB 为( )m ．
αcos 5.A αcos 5.
B αsin 5.
C α
sin 5
.D
2．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图28-2-1所示，此时测得地
面上的影长为8m ，坡面上的影长为4m.已知斜坡的坡角为,30
同一时刻，一根长为1m 且垂直于地面 放置的标杆在地面上的影长为2m ，则树的高度为( )m.
36.+A 12.B 324.-C 10.D
3．图28-2-2所示是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为0，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，
CD OE m CD E AB CD ⊥=-,24,//￠于点E ．已测得⋅=
∠13
12
sin DOE 根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，则经过 小时才能将水排干．
4．如图28-2-3所示，在△ABC 中，,32,45,30==∠=∠AC B A o 求△ABC 的面积．
5．小红在学习教科书上相关内容后自制了一个测角仪(如图28-2-4(a)所示），并尝试用它来测量校园内一 座教学楼CD 的高度(如图28-2-4(b)所示）．她先在A 处测得楼顶C 的仰角,30
=α再向楼的方向直10 米到达B 处，又测得楼顶C 的仰角,60o
=β若小红的目高(眼睛到地面的高度)AE 为1.60米，请你帮助她计算出这座教学楼CD 的高度（结果精确到0.1米，参考数据：).24.25,73.13,41.12≈≈≈
6．图28-2-5是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由0
45改为0
30．已知原传送带AB 长为4m.
(1)求新传送带AC 的长度．
(2)如果需要在货物着地点C 的左侧留出2m 的通道，试判断距离B 点4m 的货物MNQP 是否需要挪走，并
说明理由（计算结果精确到0.1m ，参考数据：，45.2624.2573.1.341.12≈≈≈≈，，，）
7．如图28-2-6所示，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机欲测量一岛屿两端A 、B 的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的点C 处测得端点A 的俯角为,60
然后沿着平行于AB 的方向水平飞行了500 米，在点D 测得端点B 的俯角为,45
求岛屿两端A 、B 的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈3
).41.12,73.1≈
8．如图28-2-7所示，一艘货轮在A 处发现其北偏东
45方向有一海盗船，立即向位于正东方向B 处的海 警舰发出求救信号，并向海警舰靠拢，海警舰立即沿正西方向对货轮实施救援，此时距货轮200海里， 并测得海盗船位于海警舰北偏西
60方向的C 处．
(1)求海盗船所在C 处距货轮航线AB 的距离．
(2)若货轮以45海里／时的速度从A 处向正东方向海警舰靠拢，海盗船以50海里／时的速度由C 处沿
正南方向对货轮进行拦截：问海警舰的速度应为多少时才能抢在海盗之前去救货轮（结果保留根号）?
能 力 提 升
9．一副直角三角板按图28-2-8所示放置，点C 在FD 的延长线上，=∠=∠=∠E ACB F CF AB o ,90,//
,212,45,30==∠AC A 则CD 的长为
10.学校校园内有一小山坡，如图28-2-9所示，经测量，坡角,30 =∠ABC 斜坡AB 长为12m ．为方便学 生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD 的坡比是1:3（即为CD 与BC 的长度之比），A 、D 两点处于同一铅垂线上，则开挖后小山坡下降的高度AD 为 m ．
11.如图28-2-10所示，△ABC 内接于⊙0，,m BC =锐角,α=∠A 则⊙0的半径为 ，△ABC 的面积的最大值为
12.在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且,2=AC 设,tan m BOC =∠则m 的取值范围是
13.如图28-2-11所示，四边形ABCD 中，,30,45,60,90,2o CAD ACB B BCD CD =∠=∠=∠=∠=
求AB 的长．
14.如图28-2-12所示，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点ABD CDB DAB E ∠=∠=∠,90,
.6,30,45==∠=AB DCA 求AE 的长和△ADE 的面积．
15.小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图28-2-13所示，把一张长方形卡片AB-
CD 放在每格宽度为12mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知,36 =∠α求长方形卡片的 周长．”请你帮小艳解答这道题(结果精确到1mm).
16.超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图28 -2 -14所示，观测点设在A 处，离益阳大道的距离AC 为30m.这时，一辆小轿车由西向东 匀速行驶，测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为.75,8 =∠BAC s (1)求B 、C 两点的距离．
(2)请判断此车是否超过了益阳大道60km/h 的限制速度？
（计算时距离精确到1m ，参考数据：,732.13,732.375tan ,2588.075cos ,9659.075sin ≈≈≈≈
)/7.16/60s m h km ≈
17.如图28 -2 -15所示，某防洪指挥部发现长江边一处长500m ，高10m ，背水坡的坡角为
45的防洪大堤（横断面为梯形ABCD)急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3m ，加固后背水坡EF 的坡比.3:1=i (1)求加固后坝底增加的宽度AF ．
(2)求完成这项工程需要土石多少立方米（结果保留根号）?
18．如图28 -2 -16所示，在△ABC 中，P AC BC ,2,3==为BC 边上一个动点，过点P 作PD∥AB，交
AC 于点D ，连接BD ．
(1)若,45o
C =∠请直接写出：当
=PC
BP
时，△BDP 的面积最大． (2)若α=∠C 为任意锐角，则当点P 在BC 上何处时，△BDP 的面积最大？
中 考 链 接
19.（2012．杭州）如图28-2 -17所示，在Rt△ABO 中，斜边.1=AB 若,36,// =∠AOC BA OC 则( )．
A.点B 到AO 的距离为o
54sin B ．点B 到AO 的距离为
36tan C ．点A 到OC 的距离为
54sin 36sin D ．点A 到OC 的距离为
54sin 36cos o
20.（2012．张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图28-2-18(a)所示，小明据此构造出
该岛的一个数学模型如图28-2-18(b)所示，其中,23,15,90km CD km BC AB D B ====∠=∠ 请据此解答如下问题：
(1)求该岛的周长和面积（结果保留整数，参考数据).45.2673.13414.12≈≈≈，， (2)求∠ACD 的余弦值．
巅 峰 突 破
21．如图28-2-19所示，在△ABC 中，C C A ∠=∠=∠,80,60
的平分线与∠A 的外角平分线交于点D ，
连接BD ，则BDC ∠tan 的值是( )．
1.A 2
1
.B 3.C 33.D
22.如图28-2-20所示，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，,120,2
1
=∠=ADB DC BD ,2=AD 若△ADC 的面积为,33-则=∠BAC。