2011年中山华附“我爱数学初中夏令营”选拔赛(含参考答案)

2011年中山华附“我爱数学初中夏令营”选拔赛
一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分） 1．若20 10a b b c ==，，则a b b c
++的值为 ______________.
2．若实数a ，b 满足21
202
a a
b b -++=，则a 的取值范围是_________________.
3．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB =23，BC =422-，CD ＝42，则AD 边的长为________________.
4．在一列数12
3x x x ，，，……中，已知11=x ，且当k ≥2
时，
1121444k k k k x x -⎛--⎫
⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎝⎭，（取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，例如[]2.62=，[]0.20=），则2010x 等于____________.
5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1，1），B （2，－1），C （－2，－1），D （－1，1）．y 轴上一点P （0，2）绕点A 旋转180°得点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得点P 2，点P 2绕点C 旋转180°得点P 3，点P 3绕点D 旋转180°得点P 4，……，重复操作依次得到点P 1，P 2，…， 则点P 2010的坐标是 ______________.
6．已知非零实数a ，b 满足 2242(3)42a b a b a -+++-+=，则a b +等于______.
7．菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD ＝1，则a等于____________.
8．已知a＝5－1，则2a3＋7a2－2a－11 的值等于．
9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是．
10．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD
＝CF，则AE
AD
．
11．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000 km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶km ．
12．已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD＝AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A
分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则AH
AB
的值为．
13．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为 ．
14．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为ACB ∠的平分线．若AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，则CE 的长等于 ．
二、解答题（共3题，每题20分，共60分）
15．设实数a ，b 满足：2231085100a ab b a b -++-=，求u =29722a b ++的最小值.
16．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为圆上一点，AD 平分∠BAC 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ，FB 是⊙O 的切线交AD 的延长线于点F . （1）求证：DE 是⊙O 的切线. （2）若DE = 3，⊙O 的半径为5，求BE 的长.
17．如图，给定锐角三角形ABC，BC CA
，AD，BE是它的两条高，过点C作△ABC的外接圆的切线l，过点D，E分别作l的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论．
2011年中山华附“我爱数学初中夏令营”选拔赛参考答案
一、填空题
1．解：由题设得1
201210
111
1110
a a
b b
c b c b +++===
+++． 2．解：因为b 是实数，所以关于b 的一元二次方程21
202
b ab a -++=
21
()41(2)2
a a ∆--⨯⨯+＝≥0, 解得a≤2-或 a≥4．
3． 解：如图，过点A ，D 分别作AE ，DF 垂直于直线BC ，垂足分别为E ，F ．
由已知可得BE=AE=6，CF ＝22，DF ＝26， 于是 EF ＝4＋6．
过点A 作AG ⊥DF ，垂足为G ．在Rt △ADG 中，根据勾股定理得
AD 222(46)(6)(224)=++=+＝226+．
4． 解：由11=x 和1121444k k k k x x -⎛--⎫
⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎝⎭
可得 11x =，22x =，33x =，44x =， 51x =，62x =，73x =，84x =，…… 因为2010=4×502+2，所以2010x =2．
5． 解：由已知可以得到，点1P ，2P 的坐标分别为（2，0），（2，2-）． 记222 )P a b （，
，其中222,2a b ==-．根据对称关系，依次可以求得： 322(42)P a b --，－－，422(2)P a b ++，4，522(2)P a b ---，，622(4)P a b +，． 令662(,)P a b ，同样可以求得，点10P 的坐标为（624,a b +），即10P （2242,a b ⨯+）， 由于2010=4⨯502+2，所以点2010P 的坐标为（2010，2-）．
6.解：由题设知a ≥3，所以，题设的等式为22(3)0b a b ++-=，于是32a b ==-，，从而a b +＝1．
7. 解：因为△BOC ∽ △ABC ，所以
BO BC
AB AC
=，即 11a a a =+，所以， 210a a --=．由0a >，解得152
a +=． 8． 解：由已知得 (a ＋1)2＝5，所以a 2＋2a ＝4，于是2a 3＋7a 2－2a －12＝2a 3＋4a 2＋3a 2－2a －11＝3a 2＋6a －11＝1
9．解：如图，延长BC 交x 轴于点F ；连接OB ，AF ；连接CE ，DF ，且相交于点N ．
由已知得点M （2，3）是OB ，AF 的中点，即点M 为矩形ABFO 的中心，所以直线l 把矩形ABFO 分成面积相等的两部分．又因为点N （5，2）是矩形CDEF 的中心，所以，
过点N （5，2）的直线把矩形CDEF 分成面积相等的两部分．于是，直线MN 即为所求的直线l ．
设直线l 的函数表达式为y kx b =+，则2352k b k b =⎧⎨+=⎩+，
，
解得 13
11
.3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 故所求直线l 的函数表达式为11133y x =-+．
10． 解：见题图，设,FC m AF n ==．因为Rt △AFB ∽Rt △ABC ， 所以2AB AF AC =⋅． 又因为 FC ＝DC ＝AB ，所以 2()m n n m =+，即
2()10n n m m +-=，解得512n m -=，或512
n m --=（舍去）． 又Rt △AFE ∽Rt △CFB ，所以AE AE AF n AD BC FC m ====512-,即AE AD =51
2
-．
11．解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为
5000k ,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000
k
.又设一对新轮胎交换位置前走了x km ，交换位置后走了y km .分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有
,50003000
,50003000
kx
ky k ky kx k ⎧+=⎪⎪⎨
⎪+=⎪⎩ 两式相加，得
()
()25000
3000k x y k x y
k +++=， 则 2
37501150003000
x y +==+
．
12.解：如图，延长AD 与⊙D 交于点E ，连接AF ，EF
．
由题设知13AC AD =
，1
3
AB AE =，在△FHA 和△EF A 中， 90EFA FHA ∠=∠=︒，FAH EAF ∠=∠
所以 Rt △FHA ∽Rt △EF A ， AH AF AF AE =.而AF AB =，所以AH AB 1
3
=.
13.解：因为()()()()()123452009b a b a b a b a b a -----=，且12345a a a a a ，，，，是五个不同的整数，所有12345b a b a b a b a b a -----，，，，也是五个不同的整数．又因为()()2009117741=⨯-⨯⨯-⨯，所以
1234541b a b a b a b a b a -+-+-+-+-=．
由123459a a a a a ++++=，可得10b =．
14.解：如图，由勾股定理知AD ＝9，BD ＝16，所以AB ＝AD ＋BD ＝25 ．
故由勾股定理逆定理知△ACB 为直角三角形，且90ACB ∠=︒．
作EF ⊥BC ，垂足为F ．设EF ＝x ，由1
452
ECF ACB ∠=∠=︒，得CF ＝x ，于
是BF ＝20－x ．由于EF ∥AC ，所以
E F B F
A C
B
C =， 即 201520
x x -=， 解得607x =．所以602
27
CE x ==．
15．解：由2231085100a ab b a b -++-= 可得()()23450a b a b --+=，（6分）
所以 20a b -=，或 3450a b -+=. …………（8分）
（i ）当20a b -=时， ()2
2297223672236134u a b b b b =++=++=+-， 于是1b =-时，u 的最小值为34-，此时2a =-，1b =-. …………（13分）
（ii ）当3450a b -+=时，()2
22972216322716111u a b b b b =++=++=++，
于是1b =-时，u 的最小值为11，此时3a =-，1b =-. …………（18分）
综上可知，u 的最小值为34-. …………（20分）
16．解：(1)如图，连接OD .因为AD 平分∠BAC ,所以∠1=∠2.又因为OA =OD ,所以∠1=∠3.所以∠2=∠3.所以OD ∥AE .因为DE ⊥AE ,所以DE ⊥OD .而点D 在⊙O 上,所以DE 是⊙O 的切线. …………（7分）
(2)如图,连接BE 与OD 交于点H ，作OG ⊥AE 于点G . 则 OG = DE =3， EG = DO =5，所以AG = 2253-= 4，AE = 4+5= 9…………（10分）,因为EA ∥OD ， AO=OB ，所以HO=12AE =
92，HD = 5-92=1
2，故HE = 22137
3+()22
=,BE =
37…………（20分）
17．解法1：结论是DF EG =．下面给出证明． ………………5分
因为FCD EAB ∠=∠，所以Rt △FCD ∽ Rt △EAB ．于是可得
CD
DF BE AB =⋅
． 同理可得 CE
EG AD AB
=⋅． ………………10分
又因为tan AD BE
ACB CD CE
∠==，所以有BE CD AD CE ⋅=⋅，于是可得 DF EG =． ………………20分
解法2：结论是DF EG =．下面给出证明． ……………… 5分 连接DE ，因为90ADB AEB ∠=∠=︒，所以A ，B ，D ，E 四点共圆，故
CED ABC ∠=∠． ………………10分
又l 是⊙O 的过点C 的切线，所以ACG ABC ∠=∠． ………………15分 所以，CED ACG ∠=∠，于是DE ∥FG ，故DF ＝EG ． ……………20分。