变分不等式问题的新发展

收稿日期:1999-12-15

基金项目:陕西省教委自然科学专项基金资助项目(99J K096)

作者简介:邢志栋(1950-),男,副教授.变分不等式问题的新发展

邢志栋1,曾云辉1,刘三阳2

(11西北大学数学系,陕西西安 710069;21西安电子科技大学理学院,陕西西安 710071)

摘要:在简要地介绍变分不等式的基本理论和算法的基础上,归纳出当前求解变分不等式的4类主要

数值方法:投影收缩算法;基于间隙函数的鞍点算法;基于K -K -T 方程组的简单约束优化算法和基于法

方程的解法.

关键词:变分不等式;投影收缩;法方程

中图分类号:O178;O221 文献标识码:A 文章编号:1001-2400(2000)05-0648-05

New advan ces in m ethods for varia tiona l inequa lit y

XI NG Zhi-do ng 1,ZENG Yun-hui 1,LI U Sa n-y ang 2

(1.Dept.of Mathm atics,Northwest Univ.,Xi c an 710069,China;

2.School of Science,Xidian Univ.,Xi c an 710071,China)

Abs t r a c t : The ba s i c t he o r y a nd a l g o r i t hm s o f v a r i a t i o nal i nequa l i t y a r e i nt r o duc e d,

a nd v a r i o us m e t ho ds ha v e be e n de v e l o pe d f o r t he r e s o l ut i o n o f VI P.The y a r e t he

pr o j e c t i o n a nd c o nt r a c t i o n m e t ho d,t he s a ddl e po i nt a l g o r i t hm s ba s e d o n t he g a p

f unc t i o n ,t he s i m pl e c o ns t r a i ne d opt i m i z a t i o n m e t ho d o n K -K -T e qua t i o ns a nd t he

s t a t e g y m a j o r i ng i n t he e qui v a i e nt no r m a l e qua t i o n i ns t e a d o f t he i ni y i a l v ar i a t i o na l

i ne qua l i t y.

Ke y W o r ds: v a r i a t i o na l i ne qua l i t y ;pr o j e c t i o n and co nt r a c t i o n m e t ho d;no r m a l e qua-

t i o n

1 变分不等式问题的基本理论

111 变分不等式的定义及与其他数学规划问题的关系

设X 为n 维欧氏空间R n 中的非空闭凸集,映射F :R n y R m ,则变分不等式问题(VI (X ,F)):

求x I X , 使F (x )T (y -x )\0 , P y I X .

(1)变分不等式问题(VI)与其他数学规划有着密切联系:

1)如果X 取为R n 中的开集,文献[1]称VI (X ,F )为广义方程组,即

F (x )=0 ;

(2) 2)假设F (x )的梯度¨F (x )为对称阵,此时VI (X ,F)的一个解x *为约束优化问题

min g(x )

s.t.x I X

,(3)

的一个驻点,文献[2]称其为驻点问题.

3)当可行集X 为非负象限时,变分不等式VI (X ,F )等价于非线性互补问题NCP (F ),即

2000年10月

第27卷 第5期 西安电子科技大学学报(自然科学版)JOURNAL OF XID IAN UNIVERSITY Oct.2000

Vol.27 No.5

求x I R n +, 使F (x )\0而且x T F (x )=0 .(4)

112 关于R n 中投影映射的性质

设X 为R n 中的非空闭凸集,映射P X (x ):R n y X ,对任意一点x I R n ,称点 x I X 为x 到X 上的投影P X (x ),若满足 x -x =min {y -x :P y I X },P X 具有下列性质:

1)Bourbak-i Cheney -Goldstein 不等式成立,即

(x -P X (x ),P X (x )-y )\0 , P y I X .

(5) 2)(P X (x )-P X (y ),x -y )\0 (单调性) , P x ,y I R n .

(6)3)P X (x )-P X (y )[

x -y (非扩张性) , P x ,y I R n .(7)4)由文献[4]知,R n 中任一局部Lipschitz 连续映射F :R n y R n 几乎处处可微.该结论对P X (#)成立.

定义1 称定义在一个开集X

y 0 , y y x , y X x . 特别,当F 在x 处局部Lipschitz 连续时,F 在x 处B -可微等价于F 在x 处方向可微.

引理1 设X 为n 维欧氏空间R n 中的非空闭凸集,x I R n 满足X 在x 处为多面的,则P X (x )在x 处B 可微,而且P X (x ;d)=P R(x ;X)(d),P d I R n ,其中R (x ;X )表示在x I X 点的临界锥.

若在x I X 处的某种约束品性满足,由于 x =P X (x )等价于约束优化问题:min 1

2z -x 2¨g i (x )[0, 1[i [p ; h j (x )=0, 1[j [q

.(8)

从而得其在 x 处的K -K -T 最优性条件

x -x +E p i=1K i ¨g i ( x )+E q

j =1L j ¨h j ( x )=0 ,K \0, K T g ( x )=0 .

(9)

113 变分不等式的几个等价关系

关于变分不等式有下面一些等价关系:

1)投影方程u =P X (u -B F(u)),其中B >0为常数,定义误差函数

e(u,B )=u -P X (u -B F (u)) , P u I R m ,

(10)则u *为VI 的解Z e(u *,B )=0.

2)定义一般的变分不等式(GVI):设X 为Hilbert 空间H 中的非空闭凸集.T,G 分别为H y H 的非线性连续算子.求u I H ,使

G(u)I X , (T u,G(v)-G (u))\0 , P G(v)I X .

(11) 记P X (x )为H 到X 上的投影算子,Q X =I -P X ,其中I 为单位算子,若G -1存在,Q >0为常数,求z I H 使

T G -1P X (z )+Q -1Q X (z )=0 ,(12)

式(11)和(12)之间有如下等价关系:(GVI)(11)有解u I H ,使G (u)I X Z (12)有解z I H 且满足

z =G(u )-Q T u , 其中Q >0为常数,

G(u )=P X (z ) ,

(13)

特别,H =R n ,G =I ,Q =1,方程(12)即为法方程.

v x I R n , H (x ):=F (P X (x ))+x -P X (x )=0 .

(14)从而,有结论:x *为H (x )=0的解Z u *=P X (x *)为VI (X ,F )的解.649第5期 邢志栋等:变分不等式问题的新发展