两数N次方差的一般计算公式
两数N次方差的一般计算公式
两数N次方差的一般计算公式在数学的学习中，有时候会碰到求两数的平方差的题目，在六年级的奥数学习中，通过面积和体积的计算公式，发现了相邻两数二次方和三次方的计算规律，后来我把它推演到不相邻两个数的N次方，发现同样有效。
就如同二次方差用于计算面积差，三次方的差用于计算体积差一样，也许N次方的差在将来用于计算N维度的差。
推导过程：一、由二次方看首先，我们知道两个数的二次方的计算方法已知一个数A的平方，求这个数相邻数的平方。
解答：如图，一个数A的平方如图中有色部分，即A^2；这个数的相邻数的平方可以看图中的白色方框包含的部分和绿色边框包含的部分，他们分别是：5^2-4^2=5^(2-1)+4^(2-1)=5+4=9几何上可以理解为：图中白色框的一边5与另一边4相加4^2-3^2=4^(2-1)+3^(2-1)=4+3=7几何上可以理解为：图中绿色框的一边3与另一边4的相加所以对于相邻两数的二次方的差计算的一般公式如下：(A+1)^2-A^2=(A+1)^(2-1)*A^(2-2)+(A+1)^(2-2)*A^(2-1)对于最外边白色框与里边绿色框的平方差，可通过图形看到(A+1)^2-（A-1)^2=(A+1)^(2-1)* (A-1)^(2-2)*2+(A+1)^(2-2)*(A-1)^(2-1)*2=[(A+1)^(2-1)* (A-1)^(2-2)+(A+1)^(2-2)*(A-1)^(2-1)]*2几何上理解为：长方向的A+1与[(A+1)-(A-1)]=2的面积、宽方向上A-1与[(A+1)-(A-1)]=2的面积，两块面积的和。
同理，推广到两个不相邻数P与Q的平方差，可表示为：P^2-Q^2=[P^(2-1)*Q^(2-2)+P^(2-2)*Q^(2-1)]*(P-Q)二、再看三次方的情况我们看相邻两个数的三次方的差的计算方法：已知一个数A的三次方，求这个数相邻数的三次方。
设A的相邻数为A+1和A-1，则他们的三次方可以用一个三维立体图形形象地表示，如右图：(A+1)^3-A^3=(A+1)^(3-1)*A^(3-3)+(A+1)^(3-2)*A^(3-2)+(A+1)^(3-3)*A^(3-1)A^3-(A-1)^3=A^(3-1)*(A-1)^(3-3)+A^(3-2)*(A-1)^(3-2)+A^(3-3)*(A-1)^(3-1)几何上的理解是：长方向的A与高方向上的A厚度为1的体积、宽方向上的（A-1）与高方向上的A厚度为1的体积、长方向上的（A-1）与宽方向上的（A-1）厚度为1的体积，这三块体积之和。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第一讲因式分解的常用方法和技巧(含答案)
第一讲因式分解的常用方法和技巧趣题引路】你知道如何分解因式^-+X9+/+/+1吗？试作一代换：若令疋= )，,贝IJ原式=h + )，3+y2 + y+l,指数为连续整数,可考虑用公式/-l = (^-l)(/ + / + / + y+l),则原式=V4 + V3 + V2 + V + 1 = —(y5 -1))‘一1x-l x2 + X + 1= (x4 + x3 +x2 +x+ l)(x8 -x7 +x5 +x3 -x + 1)一个代换，把一个复杂的问题转化为一个较简单的问题，这是数学方法之美.多项式的因式分解是数学中恒等变形的一种重要方法，它在初等数学乃至高等数学中都有广泛的应用，因式分解的方法很多，技巧性强，认真学好因式分解，不仅为以后学习分式的运算及化简、解方程和解不等式等奠定良好的基础，而且有利于思维能力的发展.知识拓展】因式分解与整式乘法的区别是：前者是把一个多项式变成几个整式的积，后者是把几个整式的积变成一个多项式，因式分解初中可在有理数域或实数域中进行，高中还可在复数域中进行.因式分解后每个因式应在指定数域中不能再分.“例如X4-A在有理数域内可分解为(X+2)(/-2),其中每个因式就不能再分，不然分解式的系数会超过有理数的范围；在实数域中，它的分解式是(X2+2)(X+>/2)(X->/2):在复数域中，它的分解式是因式分解的方法很多，除了数学教材中的提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法以外, 还有换元法、待定系数法、拆项添项法和因数定理法等.本讲在中学数学教材的基础上，对因式分解的方法、技巧作进一步的介绍.一、用换元法分解因式换元法是指将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来进行运算，从而使运算过程简单明了.换元法是中学数学中常用的方法之一.例1 (1999年希望杯题)分解因式(X2-1)(X +3)(X+5)+12.解析若全部展开，过于复杂，考虑局部重新组合.注意到在(x + l)(x + 3) = X + 4x + 3和(X-1)(X+5)= X2+4X-5中出现了相同部分X2+4X ,可考虑引入辅助元y = x2+4x分解(也可设y = F+4x + 3,y = x'+4x-l 等).解原式=[(x + l)(x + 3)][(A-1)(X + 5)] +12=(x2 +4x+ 3)(x2 + 4x-5)+12设y = x2 +4x f贝!I原式= (y+3)(y-5)+12= r-2y-3= (y-3)(y + l)=(x2+4x+ 3)(x2 +4x-l)点评换元法体现了数学中的整体代换思想，它是化繁为简的重要手段这里y取(x2 +4X + 3)和(x2 + 4X-1)的平均值时分解过程最为简便例2 (2001年天津初二题)分解因式(弓-1)= + (x+_ 2)(x+ > - 2xy).解析题中巧和卄y多次出现启发我们换元分解：设xy=d, x+y=b.解设xy=a, x+y=b,则，原式=(a -1)： + (b - 2)(b - 2a)=cr -2a + l+br -2b-2cib+4a=a2 +b2 +l+2a-2ab-2b=(a-b+[)2注：这里用到公式a，+b2 +c2 + 2ab + 2bc + lac = (a + b +c)2.点评换元必须考虑多项式的结构特征：当代数式中出现相同、相近或相关联(如：互为相反数，互为倒数)的部分时都可以考虑换元.二、用待定系数法分解因式待定系数法是初中数学中的又一重要方法，其应用很广泛.在因式分解时，只要假定一个多项式能分解成某几个因式的乘积，而这些因式中某些系数未定，可用一些字母来表示待定的系数•根据两个多项式恒等的性质，即两边对应项的系数必相等，可列出关于待定系数的方程或方程组，解此方程(组)即可求出待定系数.这种因式分解的方法叫做待定系数法.例3 (第9届五羊杯初二题)设x3 + 3x2-2xy + kx-4y可分解为一次与二次因式之积，则k= ______________________ .解析首先确定两个因式的结构：因多项式中疋的系数是1，常数项是0,以及没有护项，所以分解所得因式可设为x+a 和x2+bx + cy,其中e b, c为待定系数.解设x3 + 3x2 - 2xy + kx-4y可分解为(x+a)(x2 +bx+cy),贝ijx3 + 3x2 -2xy + kx-4y = x3 +(a + b)x2 + cxy + abx + acy比较系数，得a+b=3 ,a +b = 3消去c,得\ab = -k ,消去a,b,解得k=-2.ab = -ka = 2ac = -4 i点评用待定系数法分解因式，关健在于确定因式分解的最终形式.三、用公式法分解因式初中教材中出现的公式有平方差公式，完全平方公式，在因式分解中还常用到下列公式：立方和公式：a3 +b3 = (a + b)(a2 -ab + b2)立方差公式：a3 -b3 =(a-b)(a2 +ab+b2)和的立方公式：(a + b)3 =a3 + 3a2b + 3ab2 + b3差的立方公式：(a - b)3 =a3 - 3crb + 3ab2 -b3三数和的平方公式：(tz + b + c)' =a2 +b2 +c2 + 2ab 4- lac + 2bc两数n 次方差公式：a” -b n =(a-b)(a n~l + a n~2b + • • • + ab"~2 + b n~l)三数立方和公式：a3 +b3+c‘ = (a + b +c)3 -3(a + b)(b + c)(a + c)在具体问题中要根据代数式的结构特征来选用适当的公式.例4 分解因式x l5+x l4+x l3+-+x2+x+l.解析对于指数成连续整数的多项式我们可以考虑公式a" - b n =(a- + a"~2b + ab"~2 + b n~l),令b=l,得a" = + a n~2 + …+ a + l).为化繁为简，及能用公式，给原式乘以x-1解原it= (x15 +x14 +X13 + - -X2 +X+1) -_ =- ---------------------- --x-l x-l=(土 + 1)(疋 + 1)(F + l)(x + 1)(— 1)=(x8 + l)(x4 + l)(x2 + l)(x + 1)点评这里原式乘以吕很必要，这种先乘以再除以(或先加上再减去)同一个式子的变形技能经常用到.例5 (昆明市初中数学竞赛题)分解因式(c-a)2-4(b-c)(a-b).解析把拾号展开后重新组合.解原式=c? 一 2ac十/ 一 4ab + 4ac — 4bc + 4b‘=c2 + lac + a2 - Aab一4bc + 4b2=(c2 + 2ac + a2)-4b(a + c) + (2b)2= (a + c- 2b)2点评欲进先退，这是为了更清楚地认识代数式的结构特征.例6 分解因式(x+2y_77)，+ (3x_4y + 6zF_(4x_2y_z)B解析本题与三个数的立方和有关.联想到公式a3 + + c5 = (a + b + c)(«2 + b2 +c2 -ab-be- ca)+ 3abc , 而(x + 2y- 7z)+(3x - 4y + 6乙)+ (- 4x + 2y+ z)= 0.故原式可分解为3(x + 2y - 7z)(3x - 4y + 6乙)(-4x + 2y + z) ■四、用拆项添项法分解因式在对某些多项式分解因式时，需要对某些项作适当的变形，使其能分组分解，添项和拆项是两种重要的技巧例7分解因式：x3-9x+8.解析多项式有三项，若考虑拆项，有三种选择.注意只有让分解能继续的拆法才是可取的.若考虑添项，式中无二次项，可添加-F + F.解法1将常数项拆成一1+9,原式=/3_9大_] + 9 =疋_1_9(尤_1) = (—1)(疋+尤_8)解法2 将一次项-9兀拆成-x-3x ,原式=X3-X-3X +3=(X3-X)- 8(x-l)=x(x + l)(x-1)-8(x-1) = (x - l)(x: +x-8)解法3 将三次项/拆成9疋-8疋，原式=9X3-8X3-9X +8=(9X3-9X)+(-8X3+8)=9x(x + l)(x-1)-8(x - l)(x2 + x + l)=(X-1)(X2+ X-8)解法4添加-x2+x2,原式=x3 -x2 +x2 -9x+8= X2(X-1)+(X-8)(X-1)= (x-l)(x2 +x-8)点评一题四种解法，可谓“横看成岭侧成峰，左添右拆都成功”.拆项、添项是因式分解中技巧性最强的一种例8己知x2 + x+l = O ,试求X8 + x4 +1的值.解析设法使疋+疋+1变成含x2+x+l的式子，因x8 = (x4)2,可考虑完全平方公式，将十拆成2x4-%4.解原式=^8+2X4+1-X4=(X4+1)-(x2)2 =(x2+x + IX%2 -x + 1)因为疋+"1 = 0,所以原式的值为0.五、利用因式定理分解因式因式定理的内容：如果x=a时，多项式的值为零，即f(a) = 0 ,则/'(x)能被x-a整除，即/(兀)一定有因式x-d・运用因式定理和综合除法可以解决一些较复杂的多项式分解问题.例9 分解因式X4+2?-9X:-2X+8.解析设f(x) = x4 + 2x3-9x2-2x + 3,可知/(1) = 0, /(-1) = 0,因此/⑴有因式(x+l)(x-l),用综合除法可求另外因式.解依题意知y(l) = /(-l) = 0,故/'(x)有因式x-1, x+1,作综合除法：12-9-2811 3 -6 -813-6-80—]—1 — 2 812-80因此f(x) = (x- l)(x + l)(x2 + 2x- 8),则原式=(x- 1)(A-+l)(x一2)(A-+4) •好题妙解】佳题新题品味例1 (2001年呼和浩特市中考题)要使二次三项式x^rnx-6能在整数范围内分解因式，则加可取的整数为.解析该式可用十字相乘法分解.那么m等于一6的两个整因数之和.而—6=lx ( —6) = ( — 1) x6=2x ( —3) = ( —2) x3,因而m 可能的值为一5, 5, —1, 1. 点评本题训练逆向思维及枚举法.例2 (2003年江苏初中竞赛)若a, b, c为三角形三边，则下列关系式中正确的是()A. a2-b2-c2-2bc>QB. a2-b2-c2-2bc = QC. a2-b2-c2-2bc<0D. a2 -b2-c2-2bc<0解析因a' -b1 -c2 -2bc = a2 -(b2 +c2 + 2bc) = a2 -(b + c)1 =(a + b + c)(a-b-c)而在三角形中，a<b+c ,即a~b—c<Q,故选C.点评注意隐含条件：三角形中两边之和大于第三边中考真题欣赏例1 (武汉中考题)分解因式a2-l+b2-2ab= _________________________ .解析将a2 +b2 -2ab作一组恰为(«-b)2与1构成平方差，应填(a—b+1) (a—b—1).例2 (北京朝阳区)分解因式m3-2m2-4m+8.解析第一、二项作一组可提公因式沪，后两项作一组可提公因数4,于是m3 -2nr一4m+3 = m2(m-2)-4(m-2) = (m2一4)(m-2) = (m—2):(m+2).点评分解因式一定分解到不能再分解为止.例3 (1999年北京中考题)多项式x2 + axy + by1 -5x+ y + 6的一个因式是x+y-2,试求d+b的值.解析 利用待定系数法，设原式=（x+y-2）（x+^y-3）展开比较系数得号; 解得 a=~l, b=~2,因此 a+b=—3.竞赛样题展示例1 （江苏省第十七届初中数学竞赛）如果是ax 3+bx 2+l 的一个因式，则b 的值为（）A.-2B.-lC.OD.2解析 运用待定系数法，依题可设另一因式为ax-1,比较系数可得b=—2,选A.(23 -1)(33 ~1)(43 -1) - (1003 -1)(23 +1](33 +1J43 +1)---(1003 +1)a 3 -1 _(a ~ 1)3 + a + l) _ fl-1 (a +1)3 +1 (a + 2)(a 2 4-ti + l) a + 2故呼式=(2-1X3-1)…(99-山00，-1) 収 玖 (23 +1)(3 +1X4+ 1)-(100-1)1X 2X 3X (1OO 3-1) 3367 小― (23 +1)x99x100x1015050例3设多项式与多项式F+x-a 有非常数公因式，贝仏= ______________________________ . 解析 0或6.因为（兀3-X-d ） - （F+x-d ） = x （x+l ）（x-2）,所以，X’-X-d 与 F +兀-4 的公因式必为 X 、兀+1、X-2中的一个.当公因式为x 或x+1时，£7=0；当公因式为X —2时，a = 6.例4 （2003年太原市初中数学竞赛）已知直角三角形的各边长为正整数，它的周长为80.则三边长分 别是 •解析涉及直角三角形问题勾股定理举足轻重！ 解 30、 16、 34.设直角三角形的三边长分别为4、b 、c.由题设得a 2+b 2^c 2且a+b+c=80.将 c=SQ-a~b 代入a 2+b 2=c 2,整理得 6400—80a — 80b+ab=3200,即（80—。
n次方差公式记忆口诀
n次方差公式记忆口诀好嘞，今天咱们就来聊聊那个让人又爱又恨的数学知识——n次方差公式。
听起来挺复杂吧？其实不然，我们可以把它说得简单有趣点。
你知道吗？数学就像那种每次都给你带来惊喜的朋友，虽然有时候让你抓狂，但一旦你搞懂了，嘿，它就变得超级好玩了。
n次方差就是用来衡量一组数据的波动幅度，或者说是数据的“乖戾程度”。
就好比你跟朋友一起吃饭，有的人爱点辣的，有的人只要清淡的，这样一来，大家的口味差异就大了。
咱们就可以引入个小口诀：“均值为王，差异为臣，n次方差，方差不偏。
”听上去是不是很酷？这其实就是在提醒咱们，得先算出均值，再看看每个数据和这个均值的差距。
均值就是那种“老大”，而每个数据就像小弟弟，得听老大的话。
就要说到这个公式的具体步骤了。
咱得找出所有数据的均值，记得哦，均值是关键。
然后，逐个数据减去均值，别忘了，减完要平方，这可不是随便玩的。
平方的好处就是，负数变成了正数，避免了那些不必要的负号，让我们可以专心致志地计算。
再把所有平方后的结果加起来，最后再除以数据个数，简单又直接。
你们有没有发现，数学其实是个相当有意思的“游戏”？想想看，每次你都在“较劲”，就像打麻将，每一张牌都有可能改变局势。
这个n次方差的公式就像是麻将中的“碰”，有时候碰到了个大牌，运气好得不得了，有时候却是个小牌，唉，心里那个失落。
可是没关系，这就是生活嘛，起起伏伏才有意思。
再说说如何记忆这个公式。
这里有个小技巧，想象一下你在开派对，均值是你派对的中心，大家围着它转，互相之间有差异。
为了让大家更好地聚在一起，咱们得量量每个人的距离。
用个简单的口诀吧：“聚众前先测距离，平方相加再除以人数。
”就这么简单，记住这些，随便哪个数学考场你都能大杀四方。
数学不光是公式，还有应用。
想象一下，科学家们用这个方差公式来分析实验数据，发现哪些因素影响了结果。
就像你去超市购物，有时候一买就是一大堆，最后发现回家后又吃不完。
这时候你就得思考，哪些东西是必需的，哪些是多余的。
2018考研高数必会公式：N次方差公式
2018考研高数必会公式：N次方差公式
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a^n-b^n公式
a^n-b^n公式公式的形式是：其中，a和b是任意实数，n是一个正整数。
这个公式可以通过展开两个数的高次方并将其相减得到。
具体来说，假设要计算的是a^3-b^3，根据公式我们可以得到：a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)通过这个公式，我们可以简化计算，将一个高次方差转化为了两个低次方的乘积和。
公式的证明可以通过数学归纳法来进行。
首先，当n=1时，a-b等于a^1 - b^1、因此，公式对于n=1时成立。
接下来，假设当n=k时，公式成立，即a^k - b^k = (a-b)(a^(k-1) + a^(k-2)b + a^(k-3)b^2 + ... + ab^(k-2) + b^(k-1))。
我们通过n=k+1的情况来证明公式对于n=k+1时也成立。
根据公式，我们有：a^(k+1)-b^(k+1)=a·a^k-b·b^k=a·a^k-a·b^k+a·b^k-b·b^k=a(a^k-b^k)+b·(a^k-b^k)根据我们的假设，我们可以将这个式子分解为：a(a^k - b^k) + b·(a^k - b^k) = a(a-b)(a^(k-1) + a^(k-2)b + a^(k-3)b^2 + ... + ab^(k-2) + b^(k-1)) + b(a-b)(a^(k-1) + a^(k-2)b + a^(k-3)b^2 + ... + ab^(k-2) + b^(k-1))通过合并相同的项，我们可以得到：(a-b)(a^(k+1-1) + a^(k+1-2)b + a^(k+1-3)b^2 + ... + ab^(k+1-2) + b^(k+1-1)) = (a-b)(a^k + a^(k-1)b + a^(k-2)b^2 + ... +ab^(k-1) + b^k)由此，我们证明了当n=k+1时，公式也成立。
n 次方差公式
n 次方差公式【原创实用版】目录1.引言：介绍 n 次方差公式2.n 次方差公式的定义与表示3.n 次方差公式的性质与特点4.n 次方差公式的求解方法5.n 次方差公式的应用领域6.结论：总结 n 次方差公式的重要性和应用价值正文1.引言在数学领域，方差公式是一种衡量数据离散程度的重要工具。
而在方差公式的基础上，n 次方差公式被广泛应用于各种数据分析和建模场景。
本文将详细解读 n 次方差公式的定义、性质、求解方法和应用领域，以帮助大家更好地理解和运用这一重要的数学工具。
2.n 次方差公式的定义与表示次方差公式，又称为 n 次方差，是指数据集合中各数据与数据平均值之差的 n 次方和的平均值。
用数学符号表示为：Var(X^n) = E[(X - μ)^n]，其中 X 表示数据集合中的每一个数据，μ表示数据集合的平均值，E[·] 表示数学期望，n 表示方差的次数。
3.n 次方差公式的性质与特点次方差公式具有以下性质和特点：(1) 当 n=1 时，n 次方差公式即为常见的方差公式。
(2) n 次方差公式的值随着 n 的增大而增大，这意味着数据集合的离散程度越高，n 次方差公式的值越大。
(3) 当 n 趋近于无穷大时，n 次方差公式可以衡量数据集合中任何偏离平均值的数据对整体分布的影响，从而刻画数据的稳定性。
4.n 次方差公式的求解方法求解 n 次方差公式的方法有多种，其中一种常见的方法是使用矩估计法。
具体步骤如下：(1) 计算数据集合的平均值μ。
(2) 对数据集合中的每一个数据进行标准化处理，即减去平均值并除以标准差。
(3) 计算标准化处理后的数据集合的 n 次方和。
(4) 计算标准化处理后数据集合的 n 次方和的期望值，即为 n 次方差公式的值。
5.n 次方差公式的应用领域次方差公式在许多领域具有广泛的应用，如金融、统计学、信号处理等。
其中，n 次方差公式在风险管理领域的应用尤为重要。
在金融市场中，投资者需要对投资组合的风险进行量化分析，n 次方差公式可以帮助投资者更好地衡量投资组合的离散程度，从而评估风险水平。
n次方和差公式因式分解
n次方和差公式因式分解因式分解这部分知识在数学学习中可是相当重要的，就像一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多数学难题的大门。
今天咱们就来好好聊聊 n 次方和差公式因式分解。
咱们先从最基本的说起，那就是平方差公式，(a+b)(a-b) = a² - b²。
这就好比我们分水果，把一堆水果按照不同的种类分成两堆，然后算出总数，是不是很简单直观？再来说说立方和与立方差公式，a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) ，a³ - b³= (a - b)(a² + ab + b²) 。
这两个公式就像是给我们的数学工具包又增添了两个厉害的工具。
那 n 次方和差公式因式分解到底有啥用呢？我给您讲个事儿。
有一次我去逛菜市场，看到一个摊主在卖苹果。
他的苹果分成了大中小三种规格，大苹果每个 5 元，中苹果每个 3 元，小苹果每个 1 元。
他想知道如果卖出去 n 个大苹果、m 个中苹果和 k 个小苹果，一共能收多少钱。
这时候咱们的 n 次方和差公式因式分解就派上用场啦。
我们可以把每种苹果的总价分别计算出来，然后相加，就像把一个复杂的式子进行因式分解一样，最终得出一个简洁明了的结果。
对于 n 次方和差公式因式分解，咱们得多多练习才能熟练掌握。
比如说，给您一个式子 x⁴ - y⁴，您就得马上想到可以用平方差公式先分解成 (x² + y²)(x² - y²) ，然后再把 x² - y²继续用平方差公式分解，最终得到 (x² + y²)(x + y)(x - y) 。
还有像 x⁶ - 1 这样的式子，咱们可以先把它写成 (x³)² - 1²，然后利用平方差公式得到 (x³ + 1)(x³ - 1) ，接着再对 x³ + 1 和 x³ - 1 分别使用立方和与立方差公式进行分解。
高中n次方差公式
高中n次方差公式是统计学中一个非常重要的公式，它可以用来计算数据的离散程度。
本文将为读者详细介绍这一公式的含义、计算过程、应用以及注意事项。
一、公式含义
高中n次方差公式指的是把数据集中的每个数据与其算术平均数的差的n次方进行平均后所得到的一个值。
这个计算结果越大，则表示数据集的离散程度越大，反之则表示数据集的离散程度越小。
二、计算过程
高中n次方差公式的计算过程较为繁琐，需要依次完成以下几个步骤：
1、计算平均值：首先计算数据集中所有数据的平均值。
2、计算差的n次方：将每个数据与平均值的差的n次方计算出来。
3、求和：将上一步得到的差的n次方相加。
4、除以n：将第三步得到的结果除以n。
三、应用
高中n次方差公式的应用非常广泛，可以用来计算各种各样的数据的离散程度。
比如，在经济学中，我们可以用这个公式来计算某个地区内某个行业的工资差异程度；在医学研究中，可以用这个公式来计算某种药物的有效性和安全性等等。
四、注意事项
在使用高中n次方差公式时，需要注意以下几个问题：
1、较小的n值可能会导致部分数据对离散度计算结果的影响过大。
2、对于容易受到异常值影响的数据集，可以考虑使用修正过的n次方差公式进行计算。
3、在公式的应用过程中需要保持数据的正确性和有效性，避免出现数据误差和数据不准确现象。
总之，高中n次方差公式是统计学中非常重要的一个工具，它可以用来帮助人们更好地理解和分析各种各样的数据。
在学习和使用这个公式的过程中，需要严格遵守相关的计算规则和注意事项，以保证数据分析的准确性和有效性。
n次方差公式推导过程
n次方差公式推导过程显然x=1x=1是xn−1=0x^n-1=0的根，因此x−1x-1是xn−1x^n-1的因式，下面通过比较系数凑出x−1x-1除xn−1x^n-1的商式。
显然商式中最高次项为xn−1,x^{n-1}, 此时(x−1)⋅xn−1=xn−xn−1,(x-1)\cdot x^{n-1} =x^n-x^{n-1},而xn−1x^n-1中xn−1x^{n-1}项的系数为0，因此商式中的第二项应为xn−2,x^{n-2},此时(x−1)⋅xn−2=xn−1−xn−2(x-1)\cdot x^{n-2}=x^{n-1} -x^{n-2}中的xn−1x^{n-1}恰好与−xn−1-x^{n-1}消掉，以此类推，易得xn−1=(x−1)(xn−1+xn−2+⋯+x+1).x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots +x+1).因此an−bn=bn((ab)n−1)=bn(ab−1)((ab)n−1+(ab)n−2+⋯+ab+1)=(a−b)(an−1+an−2b+⋯+abn−2+bn−1).\begin{split} a^n-b^n &= b^n \left( \left( \frac{a}{b}\right)^n-1 \right) \\&=b^n \left( \frac{a}{b}-1 \right) \left( \left(\frac{a}{b} \right) ^{n-1} + \left(\frac{a}{b} \right) ^{n-2}+\cdots +\frac{a}{b}+1 \right)\\ &=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}). \end{split}同样的方法可以得到当n 为奇数时an+bna^n+b^n的展开式。
当n 为偶数时，由于an+bn=0a^n+b^n=0没有实根，因此没有一次因式，所以没有相应的展开式。
n次方和差公式推导过程
n次方和差公式推导过程n次方和差公式是数学中的一种重要的公式，它可以用来求解一些特定的数列。
在本文中，我们将详细介绍n次方和差公式的推导过程，以帮助读者更好地理解和应用这个公式。
我们来考虑一个简单的数列：1、2、3、4、5。
我们可以观察到，这个数列的每一项都是前一项加上1得到的。
也就是说，第n项可以表示为第n-1项加上1，即an = an-1 + 1。
现在，我们将这个数列进行求和，即S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5。
很显然，这个和是有规律的。
我们可以将它分解为多个部分，如下所示：S = (1 + 2 + 3 + 4) + 5其中，1 + 2 + 3 + 4可以写成一个等差数列的和的形式，即S1 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10。
所以，原式可以进一步化简为：S = S1 + 5接下来，我们来看看S1这个数列的和是如何求解的。
根据等差数列的求和公式，我们可以得到：S1 = n(a1 + an) / 2其中，n表示数列的项数，a1表示首项，an表示末项。
在这个例子中，n = 4，a1 = 1，an = 4。
代入公式，我们可以得到：S1 = 4(1 + 4) / 2 = 10将S1的值代入原式，我们可以得到：S = 10 + 5 = 15所以，原来的数列1、2、3、4、5的和为15。
现在，我们来考虑一个更一般化的情况，即数列的首项不是1，而是任意一个数a。
同样地，我们可以将这个数列的和表示为S = a + (a+1) + (a+2) + ... + (a+n-1)。
我们可以观察到，每一项都是前一项加上1得到的。
也就是说，第n项可以表示为第n-1项加上1，即an = an-1 + 1。
现在，我们将这个数列进行求和，即S = a + (a+1) + (a+2) + ... + (a+n-1)。
同样地，我们可以将它分解为多个部分，如下所示：S = (a + (a+1) + (a+2) + ... + (a+n-2)) + (a+n-1)其中，a + (a+1) + (a+2) + ... + (a+n-2)可以写成一个等差数列的和的形式，即S1 = a + (a+1) + (a+2) + ... + (a+n-2)。
次方的简便运算公式
次方的简便运算公式摘要：一、次方运算的定义二、次方运算的基本性质三、简便运算公式1.指数相加2.指数相减3.幂的乘方4.幂的除方四、实际应用举例五、结论正文：一、次方运算的定义次方运算是一种将一个数不断乘以自身的运算。
例如，2的3次方（2^3）表示2乘以自身3次，即2×2×2=8。
二、次方运算的基本性质次方运算具有以下基本性质：1.幂的乘方：a^m × a^n = a^(m+n)2.幂的除方：a^m ÷ a^n = a^(m-n)3.指数相加：a^m + a^n = a^(m+n)4.指数相减：a^m - a^n = a^(m-n)三、简便运算公式1.指数相加：当需要计算两个数的次方时，可以利用指数相加的性质，将底数保持不变，指数相加。
例如，计算2的3次方和2的5次方，可以写成2^(3+5) = 2^8。
2.指数相减：当需要计算两个数的次方的差时，可以利用指数相减的性质，将底数保持不变，指数相减。
例如，计算2的3次方和2的5次方的差，可以写成2^(3-5) = 2^-2。
3.幂的乘方：当需要计算一个数的次方的乘积时，可以利用幂的乘方法则，将底数相乘，指数相加。
例如，计算2的3次方和2的5次方的乘积，可以写成2^(3×5) = 2^15。
4.幂的除方：当需要计算一个数的次方的商时，可以利用幂的除方法则，将底数相除，指数相减。
例如，计算2的3次方和2的5次方的商，可以写成2^(3-5) = 2^-2。
四、实际应用举例1.计算2的10次方：根据幂的乘方法则，2的10次方可以写成2^(5+5) = 2^5 × 2^5 = 32 × 32 = 1024。
2.计算8的平方根：根据幂的除方法则，8的平方根可以写成8^(1/2) = (2^3)^(1/2) = 2^(3/2) = √16 × √2 = 4√2。
两数N次方差的一般计算公式
两数N次方差的一般计算公式在数学的学习中，有时候会碰到求两数的平方差的题目，在六年级的奥数学习中，通过面积和体积的计算公式，发现了相邻两数二次方和三次方的计算规律，后来我把它推演到不相邻两个数的N次方，发现同样有效。
就如同二次方差用于计算面积差，三次方的差用于计算体积差一样，也许N次方的差在将来用于计算N维度的差。
推导过程：一、由二次方看首先，我们知道两个数的二次方的计算方法已知一个数A的平方，求这个数相邻数的平方。
解答：如图，一个数A的平方如图中有色部分，即A^2；这个数的相邻数的平方可以看图中的白色方框包含的部分和绿色边框包含的部分，他们分别是：5^2-4^2=5^(2-1)+4^(2-1)=5+4=9几何上可以理解为：图中白色框的一边5与另一边4相加4^2-3^2=4^(2-1)+3^(2-1)=4+3=7几何上可以理解为：图中绿色框的一边3与另一边4的相加所以对于相邻两数的二次方的差计算的一般公式如下：(A+1)^2-A^2=(A+1)^(2-1)*A^(2-2)+(A+1)^(2-2)*A^(2-1)对于最外边白色框与里边绿色框的平方差，可通过图形看到(A+1)^2-（A-1)^2=(A+1)^(2-1)* (A-1)^(2-2)*2+(A+1)^(2-2)*(A-1)^(2-1)*2=[(A+1)^(2-1)* (A-1)^(2-2)+(A+1)^(2-2)*(A-1)^(2-1)]*2几何上理解为：长方向的A+1与[(A+1)-(A-1)]=2的面积、宽方向上A-1与[(A+1)-(A-1)]=2的面积，两块面积的和。
同理，推广到两个不相邻数P与Q的平方差，可表示为：P^2-Q^2=[P^(2-1)*Q^(2-2)+P^(2-2)*Q^(2-1)]*(P-Q)二、再看三次方的情况我们看相邻两个数的三次方的差的计算方法：已知一个数A的三次方，求这个数相邻数的三次方。
设A的相邻数为A+1和A-1，则他们的三次方可以用一个三维立体图形形象地表示，如右图：(A+1)^3-A^3=(A+1)^(3-1)*A^(3-3)+(A+1)^(3-2)*A^(3-2)+(A+1)^(3-3)*A^(3-1)A^3-(A-1)^3=A^(3-1)*(A-1)^(3-3)+A^(3-2)*(A-1)^(3-2)+A^(3-3)*(A-1)^(3-1)几何上的理解是：长方向的A与高方向上的A厚度为1的体积、宽方向上的（A-1）与高方向上的A厚度为1的体积、长方向上的（A-1）与宽方向上的（A-1）厚度为1的体积，这三块体积之和。
两项差的n次方公式
两项差的n次方公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：【两项差的n次方公式】在数学中，两项差的n次方公式是指对两个数相减后再进行幂运算的公式。
这个公式在代数中扮演着非常重要的角色，不仅在数学理论的证明中有用，也在实际问题中有着广泛的应用。
在代数中，两项差的n次方公式通常表示为(a - b)^n，其中a和b 是两个任意的实数，n是一个非负整数。
这个公式可以展开成一系列项的和，每一项都有着特定的系数和幂指数，展开后的结果是一个多项式。
下面我们将详细介绍这个公式的展开过程以及一些相关的性质和应用。
我们来看两项差的一次方的情况。
当n=1时，两项差的n次方公式变为(a - b)^1 = a - b。
这个公式非常简单，它表示了两个数相减的结果。
这个结果可以理解为从a点到b点的距离，或者从起点a出发朝向负方向b移动的距离。
接着，我们来看两项差的二次方的情况。
当n=2时，两项差的n 次方公式变为(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2。
这个公式的展开过程可以通过平方法进行推导，即(a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2。
这个公式表示了两个数相减后再进行平方运算的结果，其中包含了三个部分：a的平方、2ab的负值、和b的平方。
可以看到，随着n的增大，两项差的n次方公式的展开式中会出现越来越多的项，而每一项的系数和指数也会随之变化。
这种多项式的形式在代数中有着很多重要的应用，比如在解方程、求导数等方面都有着关键作用。
除了展开式之外，两项差的n次方公式还有一些有趣的性质。
当n 为偶数时，展开式中含有对称的项，而当n为奇数时，展开式中不含对称的项。
这种对称性质在研究对称多项式和对称函数时有着很大的意义。
两项差的n次方公式还可以通过二项式定理来推导，这种方法更加直观和简洁。
两项差的n次方公式是代数中一个非常重要且有趣的工具。
n次方和及n次方差公式
For personal use only in study and research; not for commercial usen 次方和及n 次方差公式（1）n 次方差公式：123221()()n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=-+++++L ，n N *∈（2）n 次方和公式：123221()()n n n n n n n a b a b a a b a b ab b -----+=+-++-+L ，n N *∈，n 为奇数注意：n 为偶数时，没有n 次方和公式实际上，12322211,()((1)(1)),n n n n n n n n n n n a b n a b a a b a b ab b a b n -------⎧+⎪+-++--+-=⎨-⎪⎩L 为奇为偶即n 为偶数时，立方和公式有两个：123221123221()()()()n n n n n n n n n n n n a b a b a a b a b ab b a b aa b a b ab b -----------=-+++++=+-+++-L L 常用公式：1.平方差公式：22()()a b a b a b -=+-2.立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+3.四次方差公式：4432233223()()()()a b a b a a b ab b a b a a b ab b -=-+++=+-+- 4.1231(1)(1)n n n n x x xx x x ----=-+++++L ，n N *∈ 1231(1)(1)n n n n x x xx x x ---+=+-+++-L ，n N *∈，n 为奇数For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.以下无正文For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.以下无正文。
x的n次方的相对误差与x的相对误差
x的n次方的相对误差与x的相对误差相对误差是一种比较常见的误差度量指标，常用于评估测量值与真实值之间的差异程度。
在数学中，我们常常会遇到计算x的n次方的情况，而相对误差的概念则可以帮助我们评估这一计算的准确性。
首先，我们来定义相对误差。
相对误差可以用以下公式表示：相对误差 = |测量值 - 真实值| / |真实值|其中，测量值是我们计算得到的x的n次方的值，真实值则是数学上精确的值。
通过计算相对误差，我们可以了解计算结果与真实值之间的差别，从而评估计算的准确性。
接下来，我们要探讨x的相对误差与x的n次方的相对误差之间的关系。
这里需要注意，x的相对误差与x的n次方的相对误差是两个不同的概念。
对于x的相对误差，它描述了x的测量值与真实值之间的差异程度。
因为x的相对误差直接与x的值有关，所以当x的值变化时，它的相对误差也会相应地发生变化。
而对于x的n次方的相对误差，它描述了x的n次方的测量值与真实值之间的差异程度。
当n为正整数时，x的n次方的相对误差与x的相对误差之间存在一定的关系。
具体来说，当x的相对误差较小的时候，x的n次方的相对误差也相对较小；当x的相对误差较大的时候，x的n次方的相对误差可能会更大。
这是由于x的n次方的计算涉及到了指数运算，而指数运算对于输入值的敏感度比较高。
当x的相对误差较小的时候，x的n次方的计算结果不会受到太大的影响，因此相对误差也相对较小；而当x的相对误差较大的时候，x的n次方的计算结果可能会受到较大的影响，导致相对误差增大。
综上所述，x的n次方的相对误差与x的相对误差之间存在一定的关系，但并不是绝对的线性关系。
需要根据具体的x值和n值进行具体的计算与分析。
我们可以通过实际的数值计算来验证这个关系，并探索更多关于相对误差和指数运算的数学性质。
在实际应用中，了解相对误差与指数运算的关系对于评估计算结果的准确性具有重要意义。
它不仅可以帮助我们选择合适的计算方法和算法，还可以指导我们在科学实验、数据分析等领域中正确理解和解释计算结果。
次方差公式
次方差公式
【实用版】
目录
1.次方差公式的定义
2.次方差公式的计算方法
3.次方差公式的应用
4.总结
正文
1.次方差公式的定义
次方差公式，是统计学中用来衡量一组数据离散程度的一种指标。
它是各数据与其算术平均数差的平方和的平均数，用公式表示为：s = Σ(xi - x)/n，其中，s表示次方差，xi 表示每一个数据，x表示这组数据的算术平均数，n 表示数据的数量。
2.次方差公式的计算方法
次方差的计算步骤如下：
（1）计算每个数据与算术平均数的差：xi - x
（2）将上述差的平方求和：Σ(xi - x)
（3）将求和结果除以数据的数量：Σ(xi - x)/n
得到的结果就是次方差。
3.次方差公式的应用
次方差公式在实际应用中，可以帮助我们了解数据的离散程度。
次方差越大，说明数据的离散程度越大，数据的稳定性就越差；反之，次方差越小，说明数据的离散程度越小，数据的稳定性就越好。
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两数N次方差的一般计算公式在数学的学习中，有时候会碰到求两数的平方差的题目，在六年级的奥数学习中，通过面积和体积的计算公式，发现了相邻两数二次方和三次方的计算规律，后来我把它推演到不相邻两个数的N次方，发现同样有效。
就如同二次方差用于计算面积差，三次方的差用于计算体积差一样，也许N次方的差在将来用于计算N维度的差。
推导过程：一、由二次方看首先，我们知道两个数的二次方的计算方法已知一个数A的平方，求这个数相邻数的平方。
解答：如图，一个数A的平方如图中有色部分，即A^2；这个数的相邻数的平方可以看图中的白色方框包含的部分和绿色边框包含的部分，他们分别是：5^2-4^2=5^(2-1)+4^(2-1)=5+4=9几何上可以理解为：图中白色框的一边5与另一边4相加4^2-3^2=4^(2-1)+3^(2-1)=4+3=7几何上可以理解为：图中绿色框的一边3与另一边4的相加所以对于相邻两数的二次方的差计算的一般公式如下：(A+1)^2-A^2=(A+1)^(2-1)*A^(2-2)+(A+1)^(2-2)*A^(2-1)对于最外边白色框与里边绿色框的平方差，可通过图形看到(A+1)^2-（A-1)^2=(A+1)^(2-1)* (A-1)^(2-2)*2+(A+1)^(2-2)*(A-1)^(2-1)*2=[(A+1)^(2-1)* (A-1)^(2-2)+(A+1)^(2-2)*(A-1)^(2-1)]*2几何上理解为：长方向的A+1与[(A+1)-(A-1)]=2的面积、宽方向上A-1与[(A+1)-(A-1)]=2的面积，两块面积的和。
同理，推广到两个不相邻数P与Q的平方差，可表示为：P^2-Q^2=[P^(2-1)*Q^(2-2)+P^(2-2)*Q^(2-1)]*(P-Q)二、再看三次方的情况我们看相邻两个数的三次方的差的计算方法：已知一个数A的三次方，求这个数相邻数的三次方。
设A的相邻数为A+1和A-1，则他们的三次方可以用一个三维立体图形形象地表示，如右图：(A+1)^3-A^3=(A+1)^(3-1)*A^(3-3)+(A+1)^(3-2)*A^(3-2)+(A+1)^(3-3)*A^(3-1)A^3-(A-1)^3=A^(3-1)*(A-1)^(3-3)+A^(3-2)*(A-1)^(3-2)+A^(3-3)*(A-1)^(3-1)几何上的理解是：长方向的A与高方向上的A厚度为1的体积、宽方向上的（A-1）与高方向上的A厚度为1的体积、长方向上的（A-1）与宽方向上的（A-1）厚度为1的体积，这三块体积之和。
对于不相邻两个数P、Q的三次方的差，可以看作是厚度为（P-Q）的形成体积的体积差，一般公式为：P^3-Q^3=[P^(3-1)*Q^(3-3)+P^(3-2)*Q^(3-2)+P^(3-3)*Q^(3-1)]*(P-Q)三、推广到四次方同样，可以知道相邻两个数的四次方之差公式：(A+1)^4-A^4=(A+1)^(4-1)*A^(4-4)+(A+1)^(4-2)*A^(4-3)+(A+1)^(4-3)*A^(4-2)+(A+ 1)^(4-4)*A^(4-1)不相邻两数的四次方之差的一般公式：P^4-Q^4=[P^(4-1)*Q^(4-4)+P^(4-2)*Q^(4-3)+P^(4-3)*Q^(4-2)+P^(4-4)*Q^(4-1)]* (P-Q)四、结论：两个数的n次方之差计算方法，综上，我们可以由简单而复杂，推而广之，得出相邻两个数的n次方的差的一般公式：P^n - Q^n=P^(n-1)*Q^(n-n)+P^(n-2)*Q^1+ P^(n-3)*Q^2+ P^(n-4)*Q^3+……+ P^(n-n)*Q^(n-1)不相邻两个数的n次方的差的一般公式：P^n - Q^n=[P^(n-1)*Q^(n-n)+P^(n-2)*Q^1+ P^(n-3)*Q^2+ P^(n-4)*Q^3+……+ P^(n-n)* Q^(n-1)]*(P-Q)五、验证：⑴ 相邻两数的N次方的差的计算验证3^4-2^4=81-16=653^4-2^4=3^3*2^0 + 3^2*2^1 + 3^1*2^2 + 3^0*2^3=656^6-5^6=46656-15625=310316^6-5^6=6^5*5^0 + 6^4*5^1 + 6^3*5^2 + 6^2*5^3 + 6^1*5^4 + 6^0*5^5=31031⑵不相邻两数的N次方的计算验证10^5-5^5=10000-3125=9687510^5-5^5=[10*10*10*10*1+10*10*10*5+10*10*5*5+10*5*5*5+5*5*5*5]*5=[10000+5000+2500+1250+625]*5=19375*5=9687511^6-9^6=1771561-531441=124012011^6-9^6=[11^5*1+11^4*9+11^3*9^2+11^2*9^3+11^1*9^4+1*9^5]*(11-9)=[161051+131769+107811+88209+72171+59049]*2=620060*2=1240120方差公式的应用刘君 王永会方差公式在数学解题中有着极其广阔的应用价值。
然而由于统计初步列入中学数学时间不长，因而有关方差公式在数学解题中的应用资料甚少，故给学生一种错觉，好像学了方差公式仅仅是为了统计计算而已，别无它用。
为延伸教材内容，紧跟素质教育和新课程改革的步伐，笔者就八个方面的应用介绍如下：若x 为一组数据x x x x n 123，， 的平均数，S 2为这组数据的方差，则有 S n x x x x x x nx x x nx n n 21222212222211=-+-++-=+++-[()()()][)] 由方差定义公式，显然有S 20≥，当且仅当x x x n 12=== 时S 20=1. 求值例1. 已知实数x 、y 、z 满足 x y x y xy z +=<>+-+=<>⎧⎨⎩361322022试求xy z2+的值。
解：<1>－<2>得：xy z =+<>233<>12得：x y xy2233664+=-<>()将<3>代入<4>得：x y z 2223186+=-()，把x ，3y 视为一组数据，由方差公式，得 S x y x y z z 2222222123232121861263=+-⨯+=--⨯=-[()()]() 因为S 20≥，所以-≥302z 所以z ＝0，所以S 20=所以x y =3代入<1>得x y ==31， 所以x y z2239+==2. 解方程例2. 解方程4129()x y z x y z +-+-=+++解：设x a y b z c =-=-=，，12，则 x a y b z c ==+=+22212，，原方程可化为412222()a b c a b c ++=+++ 所以a b c a b c 222412++=++-() 由方差公式，得a 、b 、c 的方差为： S a b c a b c 222221313=++-++[()()] =++--++13412132[()()]a b c a b c =-++-1962()a b c 因为S 20≥所以()a b c ++-≤602所以a b c ++=6所以S 20=，从而a b c ===2故x y z ===456，，，经检验x y z ===456，，是原方程的解。
3. 解方程组例3. 解关于实数x 、y 、z 的方程组23131492153822222x y z x y z x y z ++=<>++-++=<>⎧⎨⎩ 解：由<1>得23316x y z ++=-()<1>＋<2>，得()()2334104222x y z z ++=--+ 由方差公式，得233x y ，+的方差为： S x y x y 22221223312233=++-++[()()()] =--+--=--1241041216344222[()()]()z z z z因为S 20≥，所以--≥34402()z 所以()z -=402所以z =4，所以S 20= 所以233x y =+把z x y ==+4233，代入<1>得y ＝1，从而x ＝3，所以x y z ===314，，4. 证明不等式例4. 已知x y z a ++=，求证：x y z a 222213++≥证明：设x y z w 222++=，由方差公式，得x 、y 、z 的方差为 S x y z x y z w a 22222213131313=++-++=-[()()]() 因为S 20≥，所以131302()w a -≥ 所以w a ≥132，即x y z a 222213++≥5. 证明等式例5. 已知实数a 、b 、c 满足a b =-6，c ab 29=-，求证：a ＝b 证明：由已知得a b +=6a b ab c c 22223623629182+=-=-+=-() 由方差公式，得实数a 、b 的方差为 S a b a b c c 2222222121212182126=+-+=--⨯=-[()()][()] 因为S 20≥，所以-≥c 20 所以c ＝0，所以S 20=，则a ＝b6. 求字母的取值范围例6. 设实数a 、b 、c 满足a bc abc bc a 22287016602--+=<>++-+=<>⎧⎨⎪⎩⎪则a 的取值范围是_________。
解：<1>＋<2>得b c a a 2221413+=-+-<2>－<1>得()()b c a +=-221 由方差公式得b 、c 的方差为 S b c b c 22221212=+-+[()()] =-+---=--+12141312134109222[()()]()a a a a a因为S 20≥ 所以--+≥3410902()a a 所以a a 21090-+≤ 解得19≤≤a7. 求最值例7. 实数x 、y 满足454522x xy y -+=，设S x y =+22，则1S max=_______。
解：设x y t 22+=，由方差公式得x 、y 的方程 S x y x y 22221222=+-+[()()] =+-++=+-122224222222[()]()x y x xy y x y xy =-t xy24①因为454522x xy y -+= 所以54522xy x y =+-() 所以xy x y t =+-=4-4515122()，代入①，得 S t t t 28524310200=-+=-+≥所以3100t -≤所以t ≤103，即S max =103所以1310S max=8. 判断三角形形状例8. 设∆ABC 的三边a 、b 、c 满足：b c +=8，bc a a =-+21252，试问∆ABC 是什么三角形（按边分类）？并证明你的结论。