高数考试试卷及答案

东 北 大 学

课程名称：高等数学 试卷： A 答案 考试形式： 闭卷 试卷：共2页

授课专业： 管理、电子商务、计工、自动化、材料、环境

考试日期：2009年12月29日

一、填空题（每题4分，共24分）

1、极限222121

lim[]______122

n n n n n n →∞+++=+++L

2

、已知1,x

x →

= 则3

__2a =

3、曲线2

2arctan 3

23ln(1)

x t t y t t =-+⎧⎨=-++⎩ 在0t =处的切线方程为__5_______x y += 4、已知函数()(1)(2)(3)f x x x x =---，则'

()0f x =的实根个数为__2__ 5、曲线y =_(0,0)_

6、定积分

1

sin )_

__2

x dx π

-+=⎰

二、选择题（每题3分，共21分）

1、极限sin 0

lim x

x x +

→=[ B ]

(A). 0 (B)1 (C)e (D)1

e -

2、函数1,0,()10,

x x

x f x e ⎧≠⎪

=⎨+⎪

⎩其它. 在0x =处 [ B ]

(A) 极限不存在 (B) 连续不可导 (C) 极限存在不连续 (D) 可导

3、设0x 是()f x 的极值点，则[ C ]

(A) '0()0f x = (B) '0()f x 不存在 (C) '0()0f x =或不存在 (D) '

0()(0)f x c c =≠

4、函数1

y x x

=+

的单调减区间为[ B ] (A) (,0)-∞ (B) [1,0)(0,1]-U (C) (,1][1)-∞-+∞U ， (D) [1)+∞， 5、曲线x

y xe -=[ B ]

(A)在(,2)-∞是凹的，在(2,)+∞是凸的 (B) 在(,2)-∞是凸的，在(2,)+∞是凹的 (C)在(,)-∞+∞是凸的 (D) 在(,)-∞+∞是凹的 6、设()F x 为()f x 的一个原函数，则下列正确的是[ D ]

(A) ()()()d

f x dx F x =⎰ (B)'

()()F x dx f x c =+⎰

(C) '

()()F x dx f x =⎰ (D)()()()d

f x dx f x dx

=⎰ 7、已知

()1f x dx +∞

-∞

=⎰

，其中,01()0,x ce x f x ⎧≤≤=⎨⎩

，

其它. 则c =[ B ]

(A) 1

e - (B)1

1

e - (C) 1 (D) 1e -

三、计算题（39分）

装

订

线

装 订 线 内 不 要 答 题

学 号

姓 名

班 级

1、（8分）讨论函数221()lim 1n

n n x f x x →∞-=+的连续性，若有间断点，判别其类型.

解：22,1,

1()lim

0,1,1, 1.

n

n

n x x x f x x x x x →∞⎧->-⎪===⎨+⎪<⎩

，-------------4分 在1x =-处，11

lim ()lim ()1,x x f x x --→-→-=-=

11

lim ()lim 1,x x f x x +

+→-→-==-

1

1

lim ()lim ()x x f x f x -+→-→-≠---------------------6分

所以1x =-为第一类跳跃间断点. 在1x =处，1

1

lim ()lim 1,x x f x x --

→→== 1

1lim ()lim()1,x x f x x ++

→→=-=- 11

lim ()lim ()x x f x f x -

+

→→≠ 所以1x =为第一类跳跃间断点.---------------------------8分

2、（7分）求由方程00

cos 0xy

x

t

e dt tdt +=⎰

⎰所确定的隐函数的导数

dy

dx

. 解：对方程

cos 0xy

x

t

e dt tdt +=⎰

⎰左右两边同时对x 求导得

'()cos 0xy e y xy x ++= ----------------5分

即cos xy xy dy ye x

dx xe

+=- ----------------7分 3、（8

分）计算不定积分⎰

解：

2

,,2t x t dx tdt ===则即，从而 -----------2分

2222

2

2

22

22

2arctan arctan 4arctan arctan arctan 111arctan arctan arctan 61(8t tdt t dt t t t d t

t t t dt t t t t dt t t t t C t

x C ==-----=-=-++-=-=-++---+=+-----------------⎰⎰⎰⎰⎰⎰分

分分

4、（8分）求

2

(1)f x dx -⎰

，其中2

2

1

,0,1(),x x x f x xe ⎧≥⎪+=⎨⎪⎩

其它.

解：设1,x t dx dt -==则，从而

2

101

1

1

(1)()()()f x dx f t dt f t dt f t dt ---==+⎰

⎰⎰⎰ ---------4分

2

1

2

1

01

1t te dt dt t -=++⎰⎰

20

11arctan 102

t e t =+- ------------------------6分

124

e π

-=

+ ------------------------8分 5、（8分）求常数k 的值使得曲线2

y x =与直线,2,0x k x k y ==+=所围图形的面积最小。

解: 选x 为积分变量,变化区间为[],2k k +,面积元素2

dA x dx =,所求面积为

()()2

2 k k

A k x dx k +=-∞<<+∞⎰

,----------------4分

要求k 使()A k 取最小值,()A k 是积分上(下)限函数,故

()()2

2241dA k k k dk

=+-=+,令0dA dk =,解得驻点1k =-, -------------------6分

因为2240d A

dk

=>,则1k =-为()A k 在(),-∞+∞内唯一极小值点,即当1k =-时,所围成图形的面积