4 函数 的单调性及其应用

函数x xyln =的单调性及其应用1 函数xxy ln =的单调性及其相应的结论 用导数可证得： 定理1 (1)函数xxy ln =在),e [],e ,0(+∞上分别是增函数、减函数(其图象如图1所示).图1(2)②当e b a ≤<<0时，ab b a <； ②当b a e <≤时，ab b a >；③当10≤<a 且b a <时，ab b a <；④当e a <<1且e b >时，ab a b a b b a b a b a >=<,,均有可能． 2 定理1的应用2.1 推广2014年高考湖北卷文科压轴题的结论高考题1 (2014年高考湖北卷第22题)π为圆周率，e=2.718 28…为自然对数的底数． (1)求函数xxx f ln )(=的单调区间； (2)(文)求3ee3,3,,e ,3,e ππππ这6个数中的最大数与最小数；(理)将3e e3,3,,e ,3,e ππππ这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论． 下面给出这道高考题的解法．解 (1)增区间为(0,e)，减区间为),e (+∞．(2)(文)由(1)的结论还可证得结论：当b a <≤e 时，abb a >．由此结论，得3e e 33,e ,3e ππππ>>>．又由幂函数、指数函数的单调性，得ee 333,e e 3>>>>ππππ．所以所求最大数与最小数分别是e3,3π．(由此解法还可得结论：若e a b c ≤<<，则,,,,,bacacba b a c b c 中的最大者、最小者分别是,c ab b ．)(理)由(1)的结论可得e)0(e 1ln <<<x x x ．在此结论中，可令π2e =x ，得 ππe2ln -> ②πππ>->->e 63e63lnππe 3>由式②，还可得3024.3)88.02(7.21.32.7227.2e 2e eln >=->⎪⎭⎫ ⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛->ππ3e e >π再由(文)的解法可得，e3e 33e e 3>>>>>ππππ． 定理2 (1)若{}{}n j i j i a A a a a ja in n ,,2,1,;e,021 ∈≠=≤<<<<，则211min ,max an a nn a A a A n ==-，且集合n A 的各元素中最大者、最小者均唯一；(2)若{}12e (2),;,{1,2,,}j an n i a a a n A a i j i j n ≤<<<≥=≠∈，则112max ,min n a a n n n A a A a -==，且集合n A 的各元素中最大者、最小者均唯一．证明 对n 用数学归纳法来证．(1)由定理1(2)②知，2n =时成立． ②假设(2)n k k =≥时成立： 若{}{}k j i j i a A k a a a j ai k k ,,2,1,;,)2e(021 ∈≠=≥≤<<<<，则21-1min ,max ak a kk a A a A k ==．若{}{}1,,2,1,;,)2e(01121+∈≠=≥≤<<<<++k j i j i a A k a a a ja ik k ，则{}11112112111,,,,,,,k k k k a a a a a a k k k k k k A A a a a a a a +++++++=⋃又因为{}{}111112121111max ,,,,max ,,,k k k k k k a a a a a a a a k k k k k k a a a a a a a a ++++++++==所以{}{}{}11112112111max max max ,max ,,,,max ,,,k k k ka a a a a a k k k k k k A A a a a a a a +++++++={}k k k k a k a k a ka ka a a a 11,,max 11-++==+(因为由定理1(2)②可得1-11k k k ak a k a k a a a >>++)又因为{}{}11111211211111min ,,,,min ,,,k k k k k a a a a a a a a k k k k k a a a a a a a a ++++++++==所以{}{}{}11112112111min min min ,min ,,,,min ,,,k k k ka a a a a a k k k k k k A A a a a a a a +++++++={}21121111,,max aak a a a a a a k ==++(因为由定理1(2)②可得112111ak aaa a a k +<<+)得1n k =+时也成立． 所以欲证结论成立．(2)①由定理1(2)②知，2n =时成立．②假设(2)n k k =≥时成立： 若{}12e (2),;,{1,2,,}j ak k i a a a k A a i j i j k ≤<<<≥=≠∈，则112max ,min k a a k k k A a A a -==．若{}1211e (2),;,{1,2,,1}j ak k i a a a k A a i j i j k ++≤<<<≥=≠∈+，则{}11112112111,,,,,,,k k k k a a a a a a k k k k k k A A a a a a a a +++++++=⋃又因为{}{}111112121111max ,,,,max ,,,k k k k k k a a a a a a a a k k k k k k a a a a a a a a ++++++++==所以{}{}{}11112112111max max max ,max ,,,,max ,,,k k k ka a a a a a k k k k k k A A a a a a a a +++++++={}1111max ,,k k k k a a a a k k k k a a a a ++-+==(因为由定理1(2)②可得111k k k a a a k k k a a a +-+<<)又因为{}{}11111211211111min ,,,,min ,,,k k k k k a a a a a a a a k k k k k a a a a a a a a ++++++++==所以{}{}{}11112112111min min min ,min ,,,,min ,,,k k k ka a a a a a k k k k k k A A a a a a a a +++++++={}11112112min ,,k a a a a k a a a a ++==(因为由定理1(2)②可得111112+<<+k a a k a a a a )得1n k =+时也成立． 所以欲证结论成立．猜想 (1)若{}{}3,2,1,,;,,e,0321∈≠≠≠=≤<<<k j i i k k j j i a G a a a ka j a i，则321213min ,max a a a n a aA a G ==；(2)若{}123e ,,,;,,{1,2,3}a kj a ia a a G a i j j k k i i j k ≤<<=≠≠≠∈，则312213max ,min a a a a G a G a ==．例1 设{}{}4,,3,e ,2,π∈=b a a G b，求G G min ,max .解 由定理2(2)，可得{}{}{}{}e434,,3,e ,min ,4,,3,e ,max =∈=∈πππb a a b a a bb.由指数函数xy 2=是增函数，可得{}{}{}{}e 424,,3,e 2min ,24,,3,e 2max =∈=∈ππb b b b .由幂函数)0(2>=x x y 是增函数，可得{}{}{}{}22422e 4,,3,e min ,244,,3,e max =∈==∈ππa a a a .所以{}{}{}{}{}{}{}{}444422,2,max 4,,3,e ,4,,3,e 2,4,,3,e ,max max πππππ==∈∈∈=a a b b a a G b b{}{}{}{}{}{}{}{}e 2e e 22e ,2,3min 4,,3,e ,4,,3,e 2,4,,3,e ,min min ==∈∈∈=πππa a b b a a G b b(因为由定理1(2)②可得2ee 2<)2.2 研究另3道高考题高考题2 (2005年高考全国卷Ⅲ理科第6题)若55ln ,33ln ,22ln ===c b a ，则( ) A.a b c << B.c b a << C.c a b << D.b a c << 根 C.由定理1(1)、图2及44ln 22ln =，可得选C.图2例2 (文献[1]变式题1)设ππln ,2ln ,e 1===c b a ，其中e 为自然对数的底数，则c b a ,,的大小关系为( )A.a b c >>B.c a b >>C.a c b >>D.b a c >>原解 因为22ln 2ln ,e e ln e 1====b a ，且π<<e 2，而函数x xx f ln )(=在)e ,0(上单调递增，在),e (+∞上单调递减，所以c a b a >>,.又02ln 2ln 2ln 22ln ln 22ln 2<-=-=-=-ππππππππc b ，所以c b <. 因此，a b c >>，A 正确.订正笔误 原解的最后一行有误，应订正为“因此，a c b >>，C 正确”.质疑 原解中的“02ln 2ln 2<-πππ”即“22ππ<”是怎么来的？ 简解 C.由定理1(1)及44ln 22ln =，可得选C. 注 简解也给出了22ππ<的证明.高考题3 (2001年高考全国卷理科第20题)已知n m i ,,是正整数，且n m i <≤<1.(1)证明i n i i m i m n A A < (注：原题是“证明in i i m i m n P P <”，两者意义相同)； (2)证明mn n m )1()1(+>+ .证明 (1)略.(2)即证nn m m n m m n )1ln()1ln(),1ln()1ln(+>++>+. 设)2()1ln()(≥+=x x x x f ，得)2()1ln(1)(2≥+-+='x x x x xx f . 由2≥x ，得)1ln(11x xx+<<+，所以)2(0)(≥<'x x f ，即函数)(x f 在),2[+∞上是减函数，所以)()(n f m f >，即欲证成立.注 用同样的方法(但还须对由)(x f '的分子得到的函数)0)(1ln(1>+-+=x x xxy 再求导)还可证得：若n m <<0，则mn n m )1()1(+>+.高考题4 (1983年高考全国卷理科第9题)(1)已知b a ,为实数，并且b a <<e ，其中e 是自然对数的底，证明ab b a >；(2)如果正实数b a ,满足ab b a =，且1<a ，证明b a =.证明 (1)由推论立得.(2)由正实数b a ,满足ab b a =，得b a a b ln ln =.再由10<<a ，得10,0ln ln <<<=b b a a b .再由反证法及定理1(2)②可得欲证结论成立.2.3 关于x 的方程∈≠≠>=ααα,0,0,0(b a bx a xZ)根的个数下面再用定理1来讨论关于x 的方程∈≠≠>=ααα,0,0,0(b a bx a x Z ) ②根的个数.定理3 (1)若α,0>b 为奇数，则 (i)当且仅当21ln e ααα>-a b时，方程②根的个数是0；(ii)当且仅当αα⎪⎭⎫⎝⎛=a b ln e 或0ln ≤a α时，方程②根的个数是1；(iii)当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧<>-21ln e 0ln ααααa b a 时，方程②根的个数是2. (2)若α,0<b 为奇数，则 (i)当且仅当21ln e ααα>-a b时，方程②根的个数是0；(ii)当且仅当αα⎪⎭⎫⎝⎛=a b ln e 或1=a 时，方程②根的个数是1；(iii)当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧<<-21ln e 0ln ααααa b a 时，方程②根的个数是2. (3)若α,0>b 为非零偶数，则(i)当且仅当ααab ln e 1<时，方程②根的个数是1；(ii)当且仅当ααab ln e 1=或1=a 时，方程②根的个数是2；(iii)当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧>≠ααa b a ln e 11时，方程②根的个数是3.(4)若α,0<b 为非零偶数，则方程②根的个数是0. 证明 (1)易知方程②的的根0>x .可设x b t ac bd bααα11,,1===-，可得t c d ,,均是正数.还可得关于x 的方程②根的个数即关于t 的方程αα,0(>=c t c t 是奇数;)0>t也即αα,0(ln ln >=c ct t 是奇数) 根的个数.由定理1(1)及图1，可得(i)当且仅当e1ln >αc即21ln e ααα>-a b 时，方程②根的个数是0； (ii)当且仅当0ln ≤αc 或e 1ln =αc即αα⎪⎭⎫⎝⎛=a b ln e 或0ln ≤a α时，方程②根的个数是1； (iii)当且仅当e 1ln 0<<αc即⎪⎩⎪⎨⎧<>-21ln e 0ln ααααa b a 时，方程②根的个数是2. (2)易知方程②的的根0<x . 可设x x -='，得0>'x .还可得关于x 的方程②根的个数即关于x '的方程αα,0,01(1>->'-=⎪⎭⎫ ⎝⎛'b a x b a x 是奇数)根的个数.再由结论(1)可得结论(2)成立. (3)易知方程②的的根0≠x .可设x b t ac bd bααα11,,1===-，可得c d ,均是正数，0≠t .还可得关于x 的方程②根的个数即关于t 的方程αα,0(>=c t c t 是非零偶数;)0≠t也即αα,0(ln ln >=c ctt 是非零偶数)根的个数.由定理1可作出函数tt y ln =的图象如图3所示：图3由图3可得(i)当且仅当e 1ln >αc即ααa b ln e 1<时，方程②根的个数是1； (ii)当且仅当e 1ln =αc或0即ααa b ln e 1=或1=a 时，方程②根的个数是2； (iii)当且仅当e 1ln 0<<αc 即⎪⎩⎪⎨⎧>≠ααab a ln e 11时，方程②根的个数是3. (4)显然成立.读者还可讨论关于x 的方程∈≠≠>=ααα,0,0,0(b a bx a x R )根的个数(可参考上面的研究方法和文献[2]).参考文献1 何勇波.一道课本题根的推广与应用[J].数学通讯，2015(4下)：29-322 甘志国.幂、指函数图象交点个数的完整结论[J].中学数学月刊，2008(9)：30-32。