3.1时域分析-一阶系统

2、速度函数（斜坡函数） 速度函数（斜坡函数） r(t) at t≧0 其表达式为： 其表达式为： r(t)= 0 t<0 0 叫做单位速度函数， 当a＝1时，叫做单位速度函数，则有 t r(t)= t≧0 t 0
at t
0 t<0 单位速度函数的拉氏变换为： 单位速度函数的拉氏变换为： R（s）＝ at]=a/s2 ）＝L[ （ ）＝ 常见的有大型船闸的匀速升降、 常见的有大型船闸的匀速升降、数控机床加工斜面时 的进给指令等。 的进给指令等。
或写成： h(t ) = C + C SS u
稳态分量
动态分量，当t趋 于无穷，衰减为零
一阶系统的单位斜坡响应曲线如下所示： r(t) T C(t)
t 一阶系统在斜坡输入下的稳态输出与输入的斜率 相等，只是滞后一个时间T，或者说存在着一个跟踪位 置误差，其数值与时间常数T的数值相等。其稳态误差 为： ess=t-Css=t-[t-T]=T 结论：一阶系统的斜坡响应是单调上升曲线，时间常数T 结论：一阶系统的斜坡响应是单调上升曲线，时间常数T 越小，响应就越快，稳态误差就越小， 越小，响应就越快，稳态误差就越小，输出量对输入信号 的滞后时间也越小。 的滞后时间也越小。
[]
∫
因此，在分析线性系统时，只需要知道一种输入函 因此，在分析线性系统时， 数的输出时间响应就可以确定另外一种输入函数的输 出响应。 出响应。 在实际应用时采用那种典型输入信号， 在实际应用时采用那种典型输入信号，取决于系 统常见的工作状态。 统常见的工作状态。 选择单位阶跃信号作为输入， 选择单位阶跃信号作为输入，研究系统的响应所 具有的特性，其中某些特征参数就衡量了系统的性能， 具有的特性，其中某些特征参数就衡量了系统的性能， 因此被定义为性能指标 性能指标。 因此被定义为性能指标。
控制系统对上述四种典型输入信号的响应分别称为 阶跃响应、斜坡响应、抛物线响应和冲击响应。 阶跃响应、斜坡响应、抛物线响应和冲击响应。 这四种输入信号之间存在如下的关系： 这四种输入信号之间存在如下的关系：
d 1 2 2 t = t; dt
d t = 1; δ (t ) dt = 1(t ) dt
用matlab绘制曲线: (取T＝1) t=[0:0.1:5]; ht=t-1+exp(-t); rt=t; plot(t,t,rt,ht),grid;
四、一阶系统的单位抛物线响应
单位抛物线输入的拉氏变换为：R( s ) = 则：
C (s) = φ ( s) × R(s) = 1 1 ⋅ 3 Ts + 1 s
第三章 时域分析法
对于已经建立起数学模型的线性定常系统进 行控制性能分析常用的方法有：时域分析法、 行控制性能分析常用的方法有：时域分析法、 根轨迹法和频率法。 根轨迹法和频率法。 时域分析法：根据系统的微分方程， 时域分析法：根据系统的微分方程，以拉 普拉斯变换作为数学工具， 普拉斯变换作为数学工具，直接解出控制系统 的时间响应， 的时间响应，然后依据响应的表达式及其描述 曲线来分析系统的控制性能，如稳定性、 曲线来分析系统的控制性能，如稳定性、快速 稳态精度等。 性。稳态精度等。从而判断系统是否达到了规 定的性能指标。 定的性能指标。
σ%=
h(t p ) - h(∞) h(∞)
×100%
6、振荡次数N：阶跃函数响应曲线在0～ts时间内，穿越 稳态值次数的一半称为振荡次数。 7、稳态误差ess：对单位负反馈系统，当时间t趋于无穷时， 系统单位阶跃响应的实际值（即稳态值）与期望值 （即输入量）之差，定义为稳态误差，即： ess＝1－h(∞)
§3－2 一阶系统分析
由一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。 由一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。
一、一阶系统的数学模型（惯性环节） 一阶系统的数学模型（惯性环节）
微分方程为： 微分方程为：
T dc(t ) + c(t ) = r (t ) dt
R(s) K s
一阶系统的结构图为： 一阶系统的结构图为：
用matlab绘制曲线（T=1,2）
t=[0:0.1:5]; ht=1-exp(ht=1-exp(-t); plot(t,ht),grid; plot(t,ht),grid; xlabel(‘时间 时间’ ylabel(‘响应曲线 响应曲线’ xlabel( 时间’)，ylabel( 响应曲线’)
1 s3
对C(s)取拉氏反变换，可得单位抛物线响应：
延迟时间 上升时间 峰值时间 调节时间 超调量 振荡次数 稳态误差
系统的快速性 控制工程领域 常用的三项技 术性能指标
系统的平稳性 系统的稳态精度
显然， 都是以小为好，通常σ 显然， σ% 和ts都是以小为好，通常σ%认为不宜 超过50％，振荡次数不超过一次半，而ts的长短可以随 超过50％，振荡次数不超过一次半， 50％，振荡次数不超过一次半 被控对象本身的时间尺度而可以有很大的差别。 被控对象本身的时间尺度而可以有很大的差别。
h(t)
不稳定系统 h(t)
临界稳定系统 h(t)
t h(t) h(t)
t
t
t 稳定系统
t
3、对系统动态性能的要求 控制系统的典型单位阶跃响应曲线如下图所示：
系统从初始状态到接近最终状态的响应过程称为过 渡过程，可以对它作定量描述，并由次提出以下的性 渡过程，可以对它作定量描述， 能指标： 能指标： 延迟时间t 1、延迟时间ta：单位阶跃响应曲线上升到其稳态值的 50％所需要的时间。 50％所需要的时间。 上升时间t 单位阶跃响应曲线从稳态值的10 10％ 2、上升时间tr：单位阶跃响应曲线从稳态值的10％上 升到90 所需要的时间（对于欠阻尼系统， 90％ 升到90％所需要的时间（对于欠阻尼系统，通常是指 从零增长， 从零增长，第一次达到稳定值或给定值所需要的时 间）。 调节时间t 也叫过渡过程时间， 3、调节时间ts：也叫过渡过程时间，指响应曲线最后 ％（或者 ％）的范围并 或者2 进入偏离稳态值的误差为±5％（或者2％）的范围并 且不再越出这个范围的时间。 且不再越出这个范围的时间。
本章学习要点： 本章学习要点：
1、正确理解单位阶跃响应及其时域性能指标、稳定性、静 正确理解单位阶跃响应及其时域性能指标、稳定性、 态误差系数等； 态误差系数等； 掌握一阶、二阶系统的标准型及其阶跃响应的特点， 2、掌握一阶、二阶系统的标准型及其阶跃响应的特点，并 能掌握分析和综合一、二阶系统的方法（ 能掌握分析和综合一、二阶系统的方法（已知参数计算性 能指标；已知性能指标反求结构参数） 能指标；已知性能指标反求结构参数） 掌握运用代数判据判断系统的稳定性， 3、掌握运用代数判据判断系统的稳定性，并能进行参数的 分析、计算； 分析、计算； 掌握系统稳态误差的计算方法； 4、掌握系统稳态误差的计算方法； 5、掌握高阶系统的近似分析方法 6、掌握改善系统结构不稳定性和稳态精度的方法
3、加速度函数（抛物线函数） 加速度函数（抛物线函数） at2 t≧0 其表达式为： 其表达式为： r(t)= 0 t<0
rห้องสมุดไป่ตู้t)
at2 t
0 0.5时 叫做单位加速度函数， 当a＝0.5时，叫做单位加速度函数，则有 0.5t2 t≧0 r(t)= 0 t<0 加速度函数的拉氏变换为： 加速度函数的拉氏变换为： R（s）＝ at2]=2a/s3 ）＝L[ （ ）＝
§3－1 典型输入信号及性能指标
一、典型输入信号
1、阶跃函数 其表达式为： r(t)= 其表达式为 a 0 t≥0 t<0 r(t) a t
0 叫做单位阶跃函数，记做1(t),则有 当a＝1时，叫做单位阶跃函数，记做 , 1 r(t)= 0 t<0 单位阶跃函数的拉氏变换为： 单位阶跃函数的拉氏变换为： R（s）＝ ）＝L[1(t)]=1/s （ ）＝ 常见的有指令的突然转换、 常见的有指令的突然转换、电源的突然接通等 t≧0
三、一阶系统的单位斜坡响应
单位斜坡输入的拉氏变换为： R( s ) = 则：
C (s) = φ ( s) × R( s) = 1 1 ⋅ 2 Ts + 1 s
1 s2
对C(s)取拉氏反变换，可得单位斜坡响应：
1 1 1 T T ] ⋅ 2 ] = L−1[ 2 − + Ts + 1 s s s s+ 1 t T − 则： h(t ) = t − T + T ⋅ e T (t ≥ 0) h(t ) = L−1[
稳态分量
动态分量，当t趋 于无穷，衰减为零
一阶系统的单位阶跃响应曲线如下所示：
2
起始斜率 T-1
1
一般取： ts=3T(s)(5%误差带) ts=4T(s)(2%误差带)
0.632
0 T 2T
0.865
3T
0.950
0.982
时间T是表示响应特性的唯一参数，它与输出有确定的 对应关系。一阶系统的响应没有超调量，故其性能指标主 要是调节时间ts，且无稳态误差，即ess为零。 结论：一阶系统的阶跃响应是单调上升指数曲线， 结论：一阶系统的阶跃响应是单调上升指数曲线，特性由 决定， 越小，过渡过程进行的越快，系统的快速性越好。 T决定，T越小，过渡过程进行的越快，系统的快速性越好
4、峰值时间tp：单位阶跃响应函数曲线超过其稳态值而 峰值时间t 单位阶跃响应函数曲线超过其稳态值而 峰值时间 达到第一个峰值所需要的时间。 达到第一个峰值所需要的时间。 超调量σ 响应过程中， 5、超调量σ%: 响应过程中，输出量超出稳态值的最大 偏差值，一般用它与稳态值的比值的百分数表示， 偏差值，一般用它与稳态值的比值的百分数表示，即：
4、脉冲函数（脉动函数） 脉冲函数（脉动函数） 1/△ 0<t<△ 其表达式为： 其表达式为： r(t)= 0 t<0,t>△ 若对脉动函数的宽度△取极限， 若对脉动函数的宽度△取极限，则得单位脉冲函数 其数学描述为： δ（t）,其数学描述为： 其数学描述为 ∞ t＝0 +∞ δ(t)= δ(t)dt=1 且 -∞ 0 t≠0
1 s
对C(s)取拉氏反变换，可得单位阶跃响应： 取拉氏反变换， 取拉氏反变换 可得单位阶跃响应：
h(t ) = L−1[ 1 1 1 1 ] ⋅ ] = L−1[ − Ts + 1 s s s+ 1 t T − h(t ) = 1 − e T (t ≥ 1)
则：
或写成： h(t ) = C + C SS u
∫
单位脉冲函数的拉氏变换为： （ ）＝ ）＝1 单位脉冲函数的拉氏变换为：R（s）＝ 幅值无穷大， 幅值无穷大，持续时间为零的脉冲在现实中是不存 在的，它是数学上的假设，但在系统分析上很有用。 在的，它是数学上的假设，但在系统分析上很有用。脉 动电压信号、冲击力、阵风等都可近似为脉冲作用。 动电压信号、冲击力、阵风等都可近似为脉冲作用
二、阶跃响应的性能指标
定性分析的假设：系统是单位反馈的、初始条件为零、 定性分析的假设：系统是单位反馈的、初始条件为零、 单位反馈的 给定输入为单位阶跃函数。时域性能的要求如下： 给定输入为单位阶跃函数。时域性能的要求如下： 1：对系统稳定性的要求 控制系统正常工作的首要条件必须是稳定的， 控制系统正常工作的首要条件必须是稳定的，且其稳 定性与输入量无关，完全由系统的结构和参数确定。 结构和参数确定 定性与输入量无关，完全由系统的结构和参数确定。 2、对系统稳态性能的要求 系统在稳定运行时，其输出量应该达到由给定输入所 系统在稳定运行时， 决定、期望的稳态值。但由于系统结构等因素的原因， 决定、期望的稳态值。但由于系统结构等因素的原因，输 出的实际稳态值达不到期望值，并存在着误差， 出的实际稳态值达不到期望值，并存在着误差，称之为系 统的稳态误差。 统的稳态误差。 系统的稳态性能是由稳态误差的大小来衡量的。 稳态误差的大小来衡量的 系统的稳态性能是由稳态误差的大小来衡量的。
C(s)
其闭环传递函数为： 其闭环传递函数为：
C ( s) 1 1 Φ( s) = = = 1 R( s) s + 1 Ts + 1 K
二、一阶系统的单位阶跃响应
单位阶跃输入的拉氏变换为： 单位阶跃输入的拉氏变换为： R ( s) = 则：
C ( s ) = φ ( s ) × R( s) = 1 1 ⋅ Ts + 1 s