(完整word版)初2第10讲一次函数面积专题.doc

黄金数学组

2014 秋季班专用教材

初二（上）数学

第 10 讲

一次函数几何应用

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面积专题

一、本讲重难点

1、由点坐标引发的面积问题： 坐标三角形面积：

坐标平面内的面积问题。常见方法：直接法（特殊图形的面积公式求解），割补法（把不规则 图形补形成为特殊图形或者把不规则图形分割成为特殊图形，在坐标系中，常见作铅垂高，水平 宽）

2、由面积引发点的坐标问题：

3、由面积引发的综合探究问题：

在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要

-- 康托尔

例 2、（乌鲁木齐中考）如图，在平面直角坐标系中，直线

l ： y

4

x 4 分别交 x 轴， y 轴

3

于点 A 、 B ，将△ AOB 绕点 O 顺时针旋转 90°后得到△ A ′ OB ′．

（ 1）求直线 A ′ B ′的解析式； （ 2）若直线 A ′ B ′与直线 l 相交于点 C ，求△ A ′ BC 的面积．

变式（宜宾中考）已知：如图，在平面直角坐标系 xoy 中，一次函数 y

3

x 3 的图象与 x 轴

4

和 y 轴交于 A 、 B 两点，将△ AOB 绕点 O 顺时针旋转

90°后得到△ A ′

OB ′．

（ 1）求直线 A ′ B ′的解析式； （ 2）若直线 A ′ B ′与直线 AB 相交于点 C ，求 S △A ′ BC ：S △ ABO 的值．

二、典例讲习

例 3：一次函数 y 3x 3 与坐标轴交于 A 、 C 两点，与过 A 点的直线 y x 3 与一次函数

考点一：由坐标引发的面积问题：

1 1

yx 交于点 B ，求 S ABC

b 与 y 轴交于 A(0, b) 、 x 轴交于 B( b

,0) ，则坐标三角形面积

b 2 2 2

一次函数 y

kx S AOB

。

k

2k

例 1：如图，直线 y=2x+3 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ．则 S AOB 的面积为

．

变式：设直线 y kx k 1 和直线 y ( k 1) x

k （ k 是正整数）及 X 轴围成的三角形的面积

为 S k ，求 S 1 S 2 S 2 ... S 2014 的值。

例 4：已知，如图，一次函数 y

1 1 与坐标轴分别交于 A 、 B 两点。点 C 为一象限内的

点，

x

2

初二（上） 第 10 讲 一次函数综合（二）——面积专题

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名师堂 :100 年只做一件事——教育！

黄金数学组2014秋季班专用教材且坐标为 (4,2),求ABC 的面积。

变式：（ 2014? 厦门）当 m，n 是正实数，且满足m+n=mn时，就称点P（ m，m

）为“完美点”，n

已知点 A（ 0， 5）与点 M都在直线y=﹣ x+b 上，点 B，C 是“完美点”，且点 B 在线段 AM上，若MC= ， AM=4，求△ MBC的面积．

考点二：由面积引发的坐标问题：注意分类讨论。

引例：在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（ 0， 6）， B（ 3，0）， C（0， 4），若点 P 是坐标轴上一动点，且S ABP S ABC，则点P的坐标为。

例 5、如图，已知一次函数y

1 x b 的图象经过点A（2，3），AB⊥x轴于B，连接OA．

2

在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要--康托尔（1）求一次函数的解析式；

（2）设点 P 为直线y

1

x b上的一点，且在第一象限内，经过P作x轴的垂线，垂足为Q．若

2

S

POQ

5

S AOB

，求点 P 的坐标．（思考：若点P 为一次函数上任意一点，求点P 的坐标）4

例 6: （太原市竞赛）如图所示 , AOB为正三角形，点 B 坐标为（ 2,0 ），过点 C（ -2,0 ）作直线 l 交

AO于D，交AB于E，且使ADE和 DCO 的面积相等，求直线 l 的解析式。

变式：（ 2013? 宝山区一模）如图，在平面直角坐标系xoy 中，多边形 OABCDE 的顶点坐标为

O (0,0)、 A(2,0), B( 2,2), C ( 4,2), D ( 4,4), E(0,4) ，若如图过点M (1,2) 的直线MP（与y轴交于点 P）将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线MP的函数表达式是．

例 7：如图所示，直线所示，直线y

3 x 1与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为

3

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在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要

-- 康托尔

直角边在第一象限内作等腰Rt ABC ,

BAC 90 ，如果在第二象限内有一点

P(a, 1

) ，且

（1）求点 C 的坐标；

（2）当 0＜t ＜ 5 时，求 S 与 t

S 的最大值；

2

之间的函数关系式，并求 ABP 的面积与 ABC 的面积相等，求 a 的值。

（3）当 t ＞0 时，直接写出点（

4， ）在正方形 PQMN 内部时 t 的取值范围．

变式： 如图，直线 y3x 3 与 x 轴， y 轴分别交于 A,B 两点，以 AB 为边在 AB 上侧作

等边△ ABC ，若平面内有一点 P(m ，

3

) ，使得△ ABP 与△ ABC 的面积相等，求

m 的值。

4

例 10、如图，直线 l 的解析式为 y x 4 ，它与 x 轴、 y 轴分别相交于 A 、 B 两点．平行于直

考点三：由面积引发的综合探究问题

线 l 的直线 m 从原点 O 出发，沿 x 轴的正方形以每秒 1 个单位长度的速度运动，它与

x 轴、 y 轴

例 8、（ 2014? 齐齐哈尔一模）如图，在平面直角坐标系中，函数 y=﹣2x+12 的图象分别交 x 轴、

y 轴于 A 、B 两点，过点 A 的直线交 y 正半轴于点 M ，且点 M 为线段 OB 的中点．

分别相交于 M 、N 两点，设运动时间为

t 秒（ 0 t ≤ 4 ）．

（ 1）求直线 AM 的函数解析式．

（ 1）求 A 、B 两点的坐标；

（ 2）试在直线 AM 上找一点 P ，使得 S =S ，请直接写出点

P 的坐标．

△ ABP △ AOM

（ 2）用含 t 的代数式表示 △MON 的面积 S 1 ；

（ 3）点 C 在直线 AM 上，在坐标平面内是否存在点

D ，使以 A 、 O 、C 、 D 为顶点的四边形是正方

形？若存在，请直接写出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．

（ 3）以 MN 为对角线作矩形

OMPN ，记 △MPN 和 △OAB 重合部分的面积为 S 2 ，

①当 2 t ≤ 4 时，试探究 S 2 与 t 之间的函数关系式；

②在直线 m 的运动过程中，当

5

t 为何值时， S 2 为 △OAB 面积的

16

例 9、（ 2014?

苏州模拟）如图，直线

y=﹣

x+6

分别与

x 轴、 y

轴交于

A 、

B 两点；直线

y= x

与 AB 交于点 C ，与过点度沿 x 轴向左运动．过点

正方形 PQMN ，设正方形运动时间为 t （秒）．

A 且平行于 y 轴的直线交于点 D ．点 E 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速

E 作 x 轴的垂线，分别交直线 AB 、 OD 于 P 、 Q 两点，以 PQ 为边向右作

PQMN 与△ ACD 重叠部分（阴影部分）的面积为 S （平方单位），点 E 的

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