塑性力学

Mises 屈服准则
Mises准则：在主应力空间 中为一垂直于π平面的圆柱
平面应力状态下 3 0
2 12 1 2 2 s2 3 s2
(1.2.15) σ2 σs
-σs
0 -σ s
σs σ1
两屈服准则间的联系与区别
在π平面上两准则有六点重合
若两准则在单向拉伸情 况下一致，Mises圆柱外 接于Tresca六棱柱； 若两准则在纯剪情况下 一致，Mises圆柱内切 于Tresca六棱柱； D C
(1.2.8)
2*
C
B A 2 E F
2 R s 3
D
R' s / 2
1
简单拉伸屈服
R 2 1 s (1.2.2) k s 3 3
3*
(1.2.11)
1*
纯剪屈服
R 2 s
(1.2.12)
J 2 k 2 s2
k s
1 s s (1.2.14) 3 (1.2.13)
3 tan
2 2 1 3 2s2 s1 s3 (1.1.20) 1 3 s1 s3
μσ为Lode应力参数。
e
1 2 2 2 ( x y ) 2 ( y z ) 2 ( z y ) 2 6( xy yz zx ) 2
tan
b 1 2 2 1 3 1 a 3 1 3 3
r
a 30o
2* 1*
3*
其中
e
1 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 2 (1.1.19)
1*
等效应力
复杂应力状态与 简单应力状态等效
3
L( 1 2 3 )

o
2
1
屈服曲线
屈服曲线：屈服曲面在π平面上的投影
i* ：坐标轴 i 在π平面上的投影
2*
* S 3
i* 2 / 3 i 假设1材料是均匀各向同性的, * * 若 S ( 1* , 2 , 3 ) 在屈服曲线上， * * * 则 S ' ( 1* , 3 , 2 ) 必然在屈服曲线 3 * 上. 屈服曲线对称于 1 轴。
§1.2 两个常用的初始屈服准则
Two commonly Used Initial Yielding Criteria Tresca 屈服准则(1864) （ 回忆：最大剪应力理论）
1 3 1. 主应力次序已知时： max k 1 2 3 2 2. 主应力次序未知时： 2 max max{1 2 , 3 2 , 1 3 } 2k (1.2.1)
π
O
σ3
σ1+σ2 +σ3=0
确定屈服曲面与π平面的交线C（屈服曲线，屈服轨迹） 屈服曲面
初始屈服条件在应力空间表示为一个曲面被称为初始屈服曲面, 在π平面上是一条曲线——被称为初始屈服曲线.
(1) 我们知道偏应力向量是在π平面上, 并且s1+s2+s3=0 因 此在π平面上屈服条件表示为一条包围原点的封闭曲线. 如果一个应力状态在初始屈服 曲线(红色曲线)上, 表示这个 应力状态满足屈服条件. 现在 在这个应力状态上再加上一个 静水压力,这时在三维主应力 空间中, 它相当于沿直线L的 平行线上移动, 而应力点仍应 满足屈服条件, 因而在三维主 应力空间中, 屈服面是一个等 截面柱体, 它的母线与L直线 平行.
tan
b 1 2 2 1 3 1 a 3 1 3 3
(1.1.18)
等效应力与Lode应力参数
r OS a 2 b 2 si si
2 2 s12 s2 s3 2J 2
2*
2 e 3
(1.1.18)
S
3*
b
60o
初始屈服函数(yield function) ：
假设1
f ( ij ) k
(1.1.1)
材料的本构行为应该与坐标变换无关, 那么屈服准则就必 然仅仅依赖于偏应力中的不变量,即初始屈服与主应力方 向无关
f ( 1 , 2 , 3 ) k
(1.1.3)
f ( I1 , I 2 , I 3 ) k
' 0
(1.2.4)
平面应力状态下
3 0
σs
σ1
R’是Tresca内接圆半径 1 3 2k 2 s k s
(1.2.7)
(1.2.5)
max{ 1 , 2 , 1 2 } s 2 s
Mises 屈服准则（回忆：畸变能理论）
在区域A中， 1 2 3 1 1 3 2k a ( 1 3 ) 2k 区域A：屈服曲线平行于 2 轴 在区域B中， 2 3 2k
*
2
2*
C D
B
A
区域B：屈服曲线平行于 1 轴
*
2a 6b 2( 2 3 ) 4k
* * * , , 屈服曲线对称于 1 2 3 轴。
120o 90o S’’
120o
2*
1* 1*
S’
假设拉伸和压缩时的屈服 极限相等(没有 * * 若 S ( 1* , 2 在屈服曲线上， , 3 ) Bauschinger效应),因此 * * 则S ' ' ( 1* , 2 必然在屈服曲 , 3 ) 当应力符号改变时, 屈服 线上. 屈服曲线对称于原点。 条件仍不变. * * 屈服曲线对称于过原点垂直于 1* , 2 轴的三条直线。 , 3
总之, 它屈服曲线有六条对称线, 因此, 我们只需确定 平面上30度范围的屈服曲线, 然后利用对称性, 就可以确 定整个屈服曲线.
屈服曲面上一点S在π平面上的投影
i* 2 / 3 i
a
b
2*
S
2 2 1 1 cos30 3 cos30 ( 1 3 ) 3 3 2

形，只引起体积弹性变化)； 假设3:小变形（可用平衡微分方程和几何方程） 。
不考虑时间因素，认为变形为准静态；
§1.1初始屈服准则的一般讨论
General Discussion about Initial Yielding Criteria 屈服准则(yielding criteria) (又称塑性条件plastic conditions):是描述不同应力状态下变形体某点进入塑性 状态并使塑性变形继续进行所必须满足的力学条件。 初始屈服准则：任意可能应力组合下，定义初始弹性极限 的准则 单向拉伸：拉伸应力等于材料的屈服应力时开始屈服 在一般情况下一点的应力状态时六个应力分量, 我们不 能简单地说哪一个分量达到屈服应力,这一点开始屈服. 但有一点可以肯定, 屈服条件应该和这六个分量有关, 把它写成函数关系, 该函数就称为初始屈服函数.
2 2 2 2 1 sin 30 3 sin 30 3 3 3
(1.1.17)
3*
b
60o
r
a 30o
2* 1*
1 (2 2 1 3 ) 6
3*
1*
2 e 3
2 2 r OS a 2 b 2 si si s12 s2 s3 2J 2
(1.1.11) (1.1.12)
σ1+σ2 +σ3=0
以主应力为坐标，每点代表一个应 力状态应力空间。
OQ= σmi+ σm j +σmk
(1.1.13)
OS=(σ1-σm) i+ (σ2-σm) j + (σ3-σm)k s1+s2 +s3=0 (1.1.16)
=s1i+s2 j +s3k
(1.1.14)
1 等倾线ON: l1 l2 l3 (1.1.9) 3
1 OQ i li ( 1 2 3 ) 3 m 3
(1.1.10)
N
Q(σm, σm , σm) P (σ1 , σ2 , σ3 ) P’ σ1 S ( s1 , s2 , s3 )
π
O
π平面:在主应力坐标系中，过 原点并垂直于等倾线的平面 σ3 矢量OP在π 平面上的投影: OS OP=OS+OQ OP=σ1i+ σ2 j +σ3k
2*
B A E F
2 R s 3
R' s / 2
3*
1*
通常令两准则在单向拉伸情况下一致，Mises 准则比Tresca准则与实验结果符合的更好
在已知主应力顺序时Tresca准则比 Mises准则简单，便于应用； 在用计算机计算时，若不知主应力顺序，Mises准则更便于应用；
k s / 2
C D
* 3
B A
2 s 3
k
1 s 3
③ 一般情况下，β=1－1.154
E
F
1*
§1.3 后继屈服准则与加载准则
Subsequent Yielding Criteria and Loading Criteria
硬化材料弹性范围
硬化法则

后继屈服条件的概念 对于硬化材料, 后继屈服面 是不断变化的. 所以后继屈 服面又称为硬化面或加载面, 它是后继弹性阶段的界限面. 确定材料是处于后继弹性状 态还是塑性状态的准则就是 后继屈服准则或称硬化条件. 表示这个条件的函数关系称 为后继屈服函数,硬化函数或 加载函数.对于理想塑性材料 后继屈服面是不变化的, 与 初始屈服面重合.
屈服曲面：用应力空间的曲面表示初始屈服函数
矢量OP’ 在π 平面 上的投影也是OS
若平行于ON的直线SP上的 一点在屈服曲面上，则该 直线上的所有点必然在上 屈服曲面必然是母线平 行于直线ON的柱状曲面 σ2
N
Q(σm, σm , σm) P (σ1, σ2 , σ3 ) P’ σ1 S ( s1 , s2 , s3 )
A 2 E F
σ2 σs σs 0 σs
R' s / 2

1
* 3

* 1
R是Tresca外接圆半径。 1 2k s k s / 2 (1.2.3) 纯剪屈服 1 s 2 0 3 s 点2在π平面内的极坐标：
r ' 2 s R'
后继屈服点
初始屈服点
o

弹性范围的变化与材 料进入塑性的程度有 关
简单拉伸时的塑性现象 初始屈服点 初 OA始 服从 弹 性 E 阶 段
第1章 屈服准则
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 初始屈服准则的一般讨论 两个常用的初始屈服准则 后继屈服准则与加载准则 几种常用的后继屈服准则
单向拉伸试验： 弹性变形→屈服→塑性变形→断裂 复杂应力应力状态屈服条件：两种判别准则．材 料发生屈服后如何？
基本假设

假设1:材料为均匀，连续，且初始各向同性； 假设2:塑性变形时体积不变(静水压力不影响塑性变
Tresca准则：在主应力空间 中为一垂直π平面的正六棱柱；
3*
E
F
1*
2*
C D B
R
2 s 3
在区域A中， 1 3 2k
简单拉伸屈服 1 s 2 3 0 点1在π平面内的极坐标：
r 2 s R 3
30
(1.2.2)
(1那么初始屈服与应 力球量无关，屈服条件只和应力偏量有关, 屈 服条件可以写为 (1.1.7) f (s1 , s2 , s3 ) k (1.1.6) f (J 2 , J3 ) k
π 平面上的应力
以主应力为直角坐标系，用应力 σ2 矢量OP表示体元的应力状态
两准则的统一形式
通过引入罗德参数和中间主应力影响系数β，可以将 两准则写成相同的形式： 1 3 s 其中

2
2 3
称为中间主应力影响系数
2
讨论：① 当材料受单向应力时，β=1，两准则重合； ② 在纯剪应力作用下，两准则差别最大； *
R
按Tresca准则：
按Mises准则：
J2达到某临界值
1 1 2 2 J 2 sij sij ( s12 s2 s3 ) k2 2 2 2 2 r 2 J 2 2k e s 3 3
(1.2.9)
e
1 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 2