等差数列求和及练习题(整理)
等差数列求和计算题
等差数列求和计算题
"等差数列求和计算题"是指给定一个等差数列，并要求计算这个数列的前n项和的问题。
在等差数列中，相邻的两项之间的差值保持不变，这个差值称为公差。
求和计算题着重于找出数列的前n项和的数值。
可以使用等差数列求和公式来解决这类问题，这个公式是：Sn = (n/2) * (a1 + an)
其中Sn是数列的前n项和，n是项数，a1是数列的第一项，an 是数列的第n项。
通过将已知的数列信息代入这个公式，就可以得到所求的和的数值。
例：求等差数列1, 4, 7, 10, 13, ... 的前10项和。
首先求出公差d，第二项减去第一项为3，第三项减去第二项也为3，公差为3。
其次，代入公式。
n=10, a1=1, d=3。
Sn = (10/2) * (1 + (1+ (10-1)*3))
= 5 * (1+ 27)
= 140
因此，这个等差数列的前10项和为140。
(完整版)等差等比数列求和与差的练习题
(完整版)等差等比数列求和与差的练习题
题目一：等差数列求和
已知等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，求该等差数列的前$n$项和$S_n$。
解答步骤：
1. 根据公式$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$计算出结果。
题目二：等差数列差的问题
已知等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，依次计算以下问题：
1. $a_3 - a_2$；
2. $a_5 - a_3$；
3. $a_{10} - a_5$。
解答步骤：
1. 利用公式$a_n = a_1 + (n-1)d$计算出各项的值；
2. 按照题目给定的差问题计算出结果。
题目三：等比数列求和
已知等比数列的首项为$a_1$，公比为$r$，求该等比数列的前$n$项和$S_n$。
解答步骤：
1. 如果公比$r=1$，则$S_n = n \cdot a_1$，直接计算结果；
2. 如果公比$r \neq 1$，则$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}$，按照公式计算结果。
题目四：等比数列差的问题
已知等比数列的首项为$a_1$，公比为$r$，依次计算以下问题：
1. $a_2 - a_1$；
2. $a_4 - a_2$；
3. $a_{10} - a_{5}$。
解答步骤：
1. 利用公式$a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$计算各项的值；
2. 按照题目给定的差问题计算出结果。
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高考数学解答题(新高考)数列求和(裂项相消法)(典型例题+题型归类练)(解析版)
专题06 数列求和（裂项相消法）(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍常见的裂项技巧 类型一：等差型类型二：无理型类型三：指数型①11(1)11()()n n n n n a a a k a k a k a k++-=-++++如：11211(2)(2)22n n n n n k k k k++=-++++类型四：通项裂项为“+”型如：①()()()21111111nn n n n n n +⎛⎫-⋅=-+ ⎪++⎝⎭ ②()()131222(1)(11)1n nn n nn n n n n +⎛⎫++⋅-=+- ⎝+⎪⎭本类模型典型标志在通项中含有(1)n -乘以一个分式.二、典型例题类型一：等差型例题1．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，0n a >，315S =，公差1d >，且___________.从①21a -为11a -与31a +等比中项，②等比数列{}n b 的公比为3q =，1124,b a b a ==这两个条件中，选择一个补充在上面问题的横线上，使得符合条件的数列{}n a 存在并作答. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：16nT <. 【答案】(1)选择条件见解析，21n a n =+(2)证明见解析 (1)若选①，21a -为11a -与31a +的等比中项，则()()()2132111a a a -+=-，由{}n a 为等差数列，315S =，得2315a =，∴25a =，把25a =代入上式，可得()()4616d d -+=，解得2d =或4d =-（舍） ∴13a =，21n a n =+；若选②，3q =为等比数列{}n b 的公比，且1124,b a b a ==， 可得213b b =，即413a a =，即有113)3a d a +=（，即123a d =； 又315S =，可得11332152a d +⨯⨯=，即15a d +=，解得12,3d a ==， 此时21n a n =+；第（2）问解题思路点拨：由（1）知：，设，则，典型的裂项相消的特征，可将通项裂项为：解答过程：由题意知：；(2)∵()()111111212322123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭， ∴11111111112355721232323n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭； ∴16n T <，得证 例题2．（2022·广东佛山·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，111a =-，29a =-，且()11222n n n S S S n +-+=+≥． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)已知11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】(1)213n a n =- (2)122212nn -(1)解：由题意得：由题意知()()112n n n n S S S S +----=，则()122n n a a n +-=≥又212a a -=，所以{}n a 是公差为2的等差数列，则()11213n a a n d n =+-=-；感悟升华（核心秘籍）本例是裂项相消法的等差型，注意裂项，是裂通项，裂项的过程中注意前面的系数不要忽略了.第（2）问解题思路点拨：由（1）知：，，则，典型的裂项相消的特征，可将通项裂项为：解答过程：由题意知：；(2)由题知()()11112132112213211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭则1111111111211997213211211211n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+++-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 122212n n-=类型二：无理型例题3．（2022·重庆八中模拟预测）已知各项均为正数的等差数列{}n a 满足11a =，22112()n n n n a a a a ++=++．(1)求{}n a 的通项公式； (2)记11n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】(1)21n a n =-(2)1(211)2n +-(1)解：各项均为正数的等差数列{}n a 满足11a =，22112()n n n n a a a a ++=++，整理得()()()1112n n n n n n a a a a a a ++++-=+，由于10n n a a ++≠， 所以12n n a a +-=， 故数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列．所以21n a n =-．(2)解：由（1）可得111212122121n n n n n b a a n n ++--===+-++，所以11(3153...2121)(211)22n S n n n =⨯-+-+++--=+-．例题4．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3518a a +=，648S =.第（2）问解题思路点拨：由（1）知：，，则，典型的裂项相消的无理型特征，可将通项分母有理化为：解答过程：由题意知：；(1)求{}n a 的通项公式； (2)设112n n n b a a +-=+，求数列{}n b 的前n 项和为n T .【答案】(1)21n a n =+；(2)证明见解析﹒(1)由题可知，11261861548a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，∴21n a n =+；(2)1122232122321n n n n n b a a n n +-+--===+++-，()()()()()1517395212323212n T n n n n ⎡⎤=-+-+-+++--++--⎣⎦12123132n T n n ⎡⎤=+++--⎣⎦感悟升华（核心秘籍）本例是裂项相消法的无理型，具有明显的特征，其技巧在于分母有理化，注意裂项相消的过程中，是连续相消，还是隔项相消，计算注意细节.类型三：指数型第（2）问解题思路点拨：由（1）知：，，则，典型的裂项相消的无理型特征，可将通项分母有理化为：解答过程：由题意知：；例题5．（2022·全国·模拟预测）已知等差数列{}n a 满足()*10n n a a n +->∈N ，且141015a a a ++=，2a ，4a ，8a 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若122n a n n n n a b a a ++⋅=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】(1)n a n =(2)n S 1212n n +=-++(1)解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为2a ，4a ，8a 成等比数列，所以()()()211137a d a d a d +=++，整理得()10d a d -=，又因为10n n a a +->，所以0d >，1a d =，又1410131215a a a a d ++=+=，即15d ＝15， 所以11a d ==，所以n a n =；感悟升华（核心秘籍）第（2）问解题思路点拨：由（1）知：，，则，具有明显的裂项相消法的特征，但是裂项是难点，在裂项时要把握住“型”，再结合待定系数法解答过程：用待定系数法裂通项：与对比，得通分，逆向求裂项求和．(2)解：由（1）知，n a n =， 所以()()12221221n n nn n b n n n n +⋅==-++++，2324312112222222222223243541121n n n n n n n S n n n n n n ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212n n +=-++．例题6．（2022·江西·临川一中模拟预测（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21,*=-∈n n S a n N .(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若数列{}n b 满足22,(1)*++=∈⋅⋅+n n n b n N a n n ，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)12n na ；(2)1112(1)2n n T n +=-+⋅. (1)因为21n n S a =-，当1n =时，1121S a =-，解得11a =，当2n ≥时，1121n n S a --=-，所以()()111212122n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，即12(2)n n a a n -=≥，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列.故11122n n n a --=⨯=.(2)，1122211(1)(1)22(1)2n n n n n n n b a n n n n n n +++++===-⋅⋅++⋅+⋅于是12231111111111122222322(1)22(1)2n n n n T n n n ++=-+-++-=-⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅类型四：通项裂项为“+”型第（2）问解题思路点拨：由（1）知：，，则，具有明显的裂项相消法的特征，但是裂项是难点，在裂项时要把握住“型”，再结合待定系数法解答过程：用待定系数法裂通项：与对比，得通分，逆向求裂项求和例题7．（2022·吉林辽源·高二期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和21,3n S n an b a =++=，数列{}n b 的前n 项和23n n n T b +=，12b =. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)令(1)nnn na cb =-，求数列{}nc 的前n 项和n P .【答案】(1)21n a n =+，()1n b n n =+ (2)2,?1,?1n n n n P n n n +⎧-⎪⎪+=⎨⎪-⎪+⎩为奇数为偶数感悟升华（核心秘籍）第（2）问解题思路点拨：由（1）知：，，则，注意通项中含有明显的裂项的两个特征，①含有分式②含有（注意通项中含有是裂项为“”型的重要标志），但是裂项是难点，在裂项时要把握住“型”，再结合待定系数法解答过程：用待定系数法裂通项：与对比，得则：，注意到通项中含有，需分奇偶讨论通分，逆向求当为偶数（为正），（注意此时为偶数，代入偶数的结论中）当为奇数（为偶数）综上：(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，则22113222n n n n d d S na d n n n a b -⎛⎫=+=+-=++ ⎪⎝⎭， 所以1,23,20,dd a b ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎪⎩所以2,2,0,d a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以数列{}n a 的通项公式为()32121n a n n =+-=+. 因为23n n n T b +=，当2n ≥时，1113n n n T b --+=， 所以112133n n n n n n n b T T b b --++=-=-， 所以11133n n n n b b --+=，即111n n b n b n -+=-. 所以1232112321n n n n n n n b b b b b b b b b b b b -----=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯()11432112321n n n n n n n n +-=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=+---. (2)()()()()()11111111nn n n n n n n a c b n n n n ++⎛⎫=-=-⋅=-+ ⎪++⎝⎭， 当n 为奇数时，11111111223341n P n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++⋅⋅⋅-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12111n n n +=--=-++. 当n 为偶数时，11111111223341n P n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111n n n =-+=-++. 综上所述，数列{}n c 的前n 项和2,1,1n n n n P n n n +⎧-⎪⎪+=⎨⎪-⎪+⎩为奇数为偶数.例题8．（2022·陕西·长安一中高二期中（文））已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令()1141n n n n nb a a -+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =-；（2）2,2122,21n nn n T n n n ⎧⎪⎪+=⎨+⎪⎪+⎩为偶数为奇数 第（2）问解题思路点拨：由（1）知：，，则，注意通项中含有明显的裂项的两个特征，①含有分式②含有（注意通项中含有是裂项为“”型的重要标志），但是裂项是难点，在裂项时要把握住“型”，再结合待定系数法解答过程：用待定系数法裂通项：与对比，得，通分，逆向求当为奇数（为正），（注意此时为奇数，代入奇数的结论中）当为偶数（为奇数）综上：（1）∴等差数列{an }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1、S 2、S 4成等比数列． ∴S n ＝na 1+n （n ﹣1）（2a 1+2）2＝a 1（4a 1+12），a 1＝1，∴an ＝2n ﹣1； （2）∴由（1）可得()()111411112121n n n n n n b a a n n --+⎛⎫=-=-+ ⎪-+⎝⎭， 当n 为偶数时，T n ＝11111111113355723212121n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212121nn n =-=++． 当n 为奇数时，11111111113355723212121n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-⋯-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12212121n n n +=+=++ ． 2,2122,21n nn n T n n n ⎧⎪⎪+∴=⎨+⎪⎪+⎩为偶数为奇数． 三、题型归类练1．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））已知在等差数列{}n a 中，25a =，1033a a =． (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设()21n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】(1)21n a n =+(2)1n n + (1)设等差数列{}n a 的公差为d ， 由210353a a a =⎧⎨=⎩，可得()1115932a d a d a d ⎧+=⎪⎨+=+⎪⎩解得13,2a d==，所以()13122n a n n -⨯=++= (2)由（1）可得2111(1)(22)(1)12n n b n a n n n n n n ====-++++所以111111 (22311)n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2．（2022·山西运城·模拟预测（理））已知单调递增的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，512340,,1,S a a a =-成等比数列，正项等比数列{}n b 满足11631,23b a S b =+=+. (1)求{}n a 与{}n b 的通项公式； (2)设()3123log n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】(1)31n a n =-，3nn b =(2)64n nT n =+ (1)设数列{}n a 的公差为d ，则0d >， 由540S =得1545402a d ⨯+=，即128a d +=①， 又123,1,a a a -成等比数列，所以()22131a a a -=，所以()()211112a d a a d +-=+，所以21(1)2d a -=②，联立①②及0d >解得12,3a d ==. 所以2(1)331n a n n =+-⨯=-. 所以161653,6572b S a d ⨯==+=， 所以35723b =+，解得327b =，又231,0b b q q =>，所以3q =，所以3nn b =.(2)由（1）得()311111(31)23log (31)(32)33132n n c n b n n n n ⎛⎫===- ⎪-+-+-+⎝⎭，所以121111111111325583132323264n n n T c c c n n n n ⎛⎫⎛⎫=+++=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭. 3．（2022·河南·模拟预测（理））已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()222220n n S n n S n n -+--+=．(1)求1a 的值和数列{}n a 的通项公式； (2)设21n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】(1)12a =；2n a n =；(2)()()32316812n n T n n +=-++. (1)由()()222220n n S n n S n n -+--+=得：()()()220n n S S n n +-+=；{}n a 为正项数列，0n S ∴>，2n S n n ∴=+；当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n -=-=+----=；经检验：12a =满足2n a n =；()2n a n n N *∴=∈.(2)由（1）得：()()111112224282n b n n n n n n ⎛⎫===- ⎪⋅+++⎝⎭，11111111111832435112n T n n n n ⎛⎫∴=⨯-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪-++⎝⎭()()()()1111132332318212821216812n n n n n n n n ⎛⎫++⎛⎫=⨯+--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭. 4．（2022·河北保定·一模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1332n n S +-=． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设3314log log n n n b a a +=⋅，求{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)3nn a =；(2)41n nT n =+. (1)因为1332n n S +-=，故当1n =时，13a =，当2n ≥时，1332n n S --=，则()132nn n n a S S n -=-=≥，当1n =时，13a =满足上式，所以3nn a =.(2)由（1）得()33144114log log 11n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅++⎝⎭，所以12311111144141223111n n n T b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫=++++=⨯-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 故数列{}n b 的前n 项和41n nT n =+. 5．（2022·安徽·北大培文蚌埠实验学校高三开学考试（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，525S =，且()*1232n n n n S a S S n ++-=+∈N ．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)21n a n =-(2)n T )112=(1)由1232n n n n S a S S ++-=+得：121211223222n n n n n n n n n n a S S S S S S S a a +++++++-=-+=-+-=-+即122n n n a a a ++=+， 所以数列{}n a 为等差数列， 由53525S a ==得35a =，设公差为d ，315212a a d d ==+=+，得2d =， 所以()11221n a n n =+-⨯=-， 故数列{}n a 的通项公式为21n a n =-．(2)12n b =，所以1122n Tn =++)112=．6．（2022·江苏盐城·三模）已知正项等比数列{}n a 满足1330a a +=，请在①4120S =，②481a =，③2211120n n n n a a a a --+-=，2n ≥，*n N ∈中选择一个填在横线上并完成下面问题：(1)求{}n a 的通项公式；(2)设()()12311n n n n b a a +⋅=++，{}n b 的前n 和为n S ，求证：14n S <．【答案】(1)选择见解析；3nn a =(2)证明见解析(1)设正项等比数列{}n a 公比为q ，又1330a a +=，选①，()()41234131120S a a a a a a q =+++=++=，所以3q =；选②，13431130a a a q q ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，所以()()2310390,3q q q q -++==；选③，()()22111112340n n n n n n n n a a a a a a a a ----+-=-+=，所以13n n a a -=，∴3q =；又1311191030a a a a a +=+==，∴13a =，则3nn a =．(2)因为()()()()1112323111131313131n n n n n n n n n b a a +++⋅⋅===-++++++，所以122231111111313131313131n n n n S b b b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭11114314n +=-<+． 7．（2022·浙江金华·模拟预测）已知数列{}{},n n a b ，其中{}n a 为等差数列，且满足11211,,32a b b ===，21141,2n n n n nn a b a b n N *++-=+∈. (1)求数列{}{},n n a b 的通项公式； (2)设212n n nn n a c a a ++=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：1n T <【答案】(1)21n a n =-，131(21)22n n b n -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭(2)证明见解析(1)解：由数列{}n a 为等差数列，{}n b 且满足11211,,32a b b ===，211412n n n n nn a b a b ++-=+，当1n =时，可得122132a b a b =+，即213322a =⨯+，解得23a =； 因为{}n a 是等差数列，所以21n a n =-，所以2141(21)(21)2n n nn n b n b +--=++，所以1121212n n n b b n n +-=+-， 所以12132121131532123n n n b b b b b b b b n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭11211112211111311222222212n n n ---⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭=++++=+=- ⎪⎝⎭-所以131(21)22n n b n -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.(2)解：由（1）得12311(21)(21)22(21)2(21)n n n n n c n n n n -+==--+-+，所以12n n T c c c =+++211111112323252(21)2(21)n n n n -=-+-++-⋅⋅⋅-+ 1112(21)n n =-<+.8．（2022·湖北·二模）已知正项等差数列{}n a 满足：()33n n a a n *=∈N ，且1382,1,a a a +成等比数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设()()1121212n n n a n a a c ++=++，n R 是数列{}n c 的前n 项和，若对任意n *∈N 均有n R λ<恒成立，求λ的最小值． 【答案】(1)n a n =(2)最小值为23(1)解：设等差数列的公差为d ，由33n n a a =得[]11(31)3(1)a n d a n d +-=+-，则1a d =， 所以1(1)n a a n d nd =+-=．因为12a 、31a +、8a 成等比数列，所以()231812a a a +=⋅，即2(31)28d d d +=⋅， 所以27610d d --=，解得1d =或17d =-，因为{}n a 为正项数列，所以0d >，所以1d =，所以n a n =．(2)解：由（1）可得()()()()1111122112121212121212n n n a n n nn a a n n c +++++⎛⎫===- ⎪++++++⎝⎭， 所以1223111111111122121212121212312n n n n R ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因为对任意n *∈N 均有23n R <，所以23λ≥，所以实数λ的最小值为239．（2022·江西·临川一中高二期末（理））已知数列{}n a ，0n a >，11a =，n S 为其前n 项和，且满足()()()1112n n n n S S S S n --+-=≥.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()11nnn a b =-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)=n a ()1nn T =-(1)由题可知()22112n n S S n --=≥⇒数列是{}2n S 等差数列，所以()2211n S S n n =+-=，)12n n n n S a S S n -=-=≥，又因为11a ==，所以n a(2)()()11nnnnnb a -===-．所以()()311nnn T =-=+-故答案为：n a ()1n- .10．（2022·重庆八中模拟预测）已知n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，36S =，2319a a a =⋅.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设数列()()24141nn n a b n n +=-∈-N ，数列化{}n b 的前2n 项和为2n T ，若2112022n T +<，求正整数n 的最小值. 【答案】(1)*,N na n n =∈(2)505(1)公差d 不为零的等差数列{}n a ，由2319a a a =⋅， ()()211182a a d a d +=+，解得1a d =.又31336S a d =+=，可得11a d ==，所以数列{}n a 是以1为首项和公差的等差数列， 所以*,N na n n =∈.(2)解：由（1）可知()()241111412121nn n n b n n n ⎛⎫=-=-+ ⎪--+⎝⎭， 211111111113355743414141n T n n n n ∴=--++--+--++---+1141n =-++，2111412020n T n +=<+，20194n ∴>所以n 的最小值为505.11．（2022·天津市武清区杨村第一中学二模）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且114342131,2,2,a b a b b b a a ====+．(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)记{}n b 的前n 项和为n S ，证明：()n n n S a b n *≤⋅∈N ；(3)记()311(1)*++⋅=-∈⋅n n n nnn a b c n a a N ，求数列{}n c 的前2n 项和． 【答案】(1)(),2nn n a n b n *=∈=N ；(2)证明见解析；(3)2212221n n T n +=-+(1)设等差数列公差为d ，等比数列公比为q ，所以()2311111132132222222d q d a d b q b q q d q b q a d⎧+==+=⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨=+==+⎩⎩⎩，所以,2n n na b n ==， (2){}n b 的前n 项和为 248222222n n n n n n n n n S n a b =++++≤++++=⋅=⋅，(当1n =时，取等号)命题得证.(3)由（1）得，()()131131222(1)(1)(1)11n nn n n n nn n n n n n a b c a n n a n +++⎛⎫+ ⎪+⋅⋅=-=-=-+⎝+⎭⋅， 所以数列{}n c 的前2n 项和2212244881616122()3222241334522nn n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎝⎭，2212221n n T n +=-+12．（2022·黑龙江实验中学模拟预测（理））已知数列{}n a 满足11a =，11n n n n a a a a --=-，且0n a ≠. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若()()11121n n n n b n a a ++=-+，数列{}n b 前n 项和为nT，求2022T .【答案】(1)1n a n =；(2)20222023. (1)由11n n n n a a a a --=-，0n a ≠得：1111n n a a --=，又111a ，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列，1n n a ∴=，1n a n ∴=；(2)由（1）知：()()()()1121111111n n n n b n n n n +++=-=-+++；20221111111111223342021202220222023T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++--+++⋅⋅⋅+++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12022120232023=-=.13．（2022·湖北·蕲春县第一高级中学模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中1215a S ==，，当2n ≥时，1124n n n a S S +-，，成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式.(2)记数列()()2123211n n n a a ++⎧⎫⋅⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T ，求证：121855n T ≤<.【答案】(1)14n n a -=；(2)证明见解析．(1)依题意，当2n ≥时，1144n n n a S S +-+=， 故11444n n n n a S S a +-=-=， 由1215a S ==，得22144a a a ==，，故数列{}n a 是以1为首项，4为公比的等比数列，则14n n a -=；(2)依题意，()()()()2211123232111141414141n n n n n n n n a a ++++⋅⋅==-++++++，故12231111111111414141414141541n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴n *∈N ，∴1112111855415n T +=≤-<+，即121855n T ≤<．。
等差数列求和基础题
等差数列求和基础题一．选择题1. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若142,20,a S ==则6S = A.16 B.24 C.36 D.422. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,376a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于A.8B.7C.6D.93. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且63S =，1118S =，则9a 等于 A.3 B.5 C.8 D.154. 已知等差数列{a n }前n 项的和为S n , 233=a , S 3=9，则a 1= A.23 B.29C.-3D.6 5. 已知等差数列{}n a 中,256,15a a ==,若2n n b a =,则数列{}n b 的前5项和为 A. 90 B. 45 C. 30 D. 1866. 等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若119717,170a a a S ++=则的值为 A.10 B.20 C.25 D.307. 设等差数列｛a n ｝前n 项和为S n . 若a 1= -11,a 4+a 6= -6 ,则当S n 取最小值时，n 等于 A.6 B. 7 C.8 D.98. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=，则5S 等于 A.10 B.12 C.15 D.309. 已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S = A.138 B.135 C.95 D.2310. 记等差数列的前n 项和为n S ，若244,20S S ==，则该数列的公差d = A.2 B.3 C.6 D.711. 已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于A.30B.45C.90D.18612. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 5 = S 9，则a 3:a 5 = A.5:9 B.9:5 C.3:5 D.5:3 13. 在等差数列}{n a 中，已知S 3=9，S 9=54，则}{n a 的通项n a 为 A.33-=n a n B.n a n 3= C.2+=n a n D.1+=n a n 14. 若等差数列}{n a 的前3项和93=S 且11=a ，则2a 等于 A.3 B.4 C.5 D.615. 等差数列{}n a 中，11a =，3514a a +=，其前n 项和100n S =，则n = A.9 B.10 C.11 D.1216. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若等于则442,10,2S S S == A.12B.18C.24D.4217. 已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差d = Ａ.23-Ｂ.13- Ｃ.13 Ｄ.2318. 在等差数列｛a n ｝中，若a 4+a 6 =12, S n 是数列｛a n ｝的前n 项和，则S 9的值为 A.48 B.54 C.60 D.6619. 一个只有有限项的等差数列,它的前5项的和为34,最后5项和为146,所有项的和为234,则它的第七项等于 A.22 B.21 C.19 D.1820. 已知数列{a n }的通项公式是a n =2n –49 (n ∈N )，那么数列{a n }的前n 项和S n 达到最小值时的n 的值是 A.23 B.24 C.25 D.2621. 已知等差数列{a n }中,a 2+a 8=8,则该数列前9项和S 9等于 A.18 B.27 C.36 D.45 22. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若S 7=35,则a 4= A.8B.7C.6D.523. 等差数列{}n a 中，n S 是前n 项和，且38S S =，7k S S =，则k 的值为 A.4B.11C.2D.1224. 等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则前9项的和S 9等于 A.66 B.99 C.144 D.297 25. 等差数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 50＝200，a 51+a 52+…+a 100＝2700，则a 1等于 A.－1221B.－21.5C.－20.5D.－2026. 等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若a 3+a 17=10，则S 19的值为 A.95 B.100 C.115 D.12527. 在等差数列}{n a 中，，，83125S S a =-=则前n 项和n s 的最小值为 A.80- B.76- C.75- D.74-28. 等差数列{a n }中，若a 3+ a 4+ a 5+ a 6+ a 7=450 则前9项和S 9=A.1620B.810C.900D.67529. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5418a a =-，则8S 等于 A.144 B.72 C.54 D.36 30. 在等差数列{a n }中，前n 项和S n =36n －n 2，则S n 中最大的是 A.S 1 B.S 9 C.S 17 D.S 1831. 将含有k 项的等差数列插入4和67之间，结果仍成一新的等差数列，并且新的等差 数列所有项的和为781，则k 的值为A.20B.21C..22D.2432. 设数列{}n a 是等差数列，且n S a a ,6,682=-=是数列 {}n a 的前n 项和，则 A.S 4<S 3 B.S 4==S 2 C.S 6<S 3 D.S 6=S 333. 已知等差数列前n 项和为S n ，若S 15<0,S 14>0,则此数列中绝对值最小的项为 A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项 34. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知20092007120102010,2,20092007S S a S =--==则 A.2008- B.2008 C.2010- D.201035. 已知等差数列{}n a 中，10795=-+a a a ，记n n a a a S +++= 21，则13S 的值为 A.130 B.260 C.156 D.16836. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且424a a -=，39S =,则数列{}n a 的通项公 式为A.n a n =B.2n a n =+C.21n a n =-D.21n a n =+37. 等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，则数列{}n a 前9项和9S 等于 A.297 B.144 C.99D.6638. 等差数列{}n a 的前n 项和)3,2,1(⋅⋅⋅=n S n 当首项1a 和公差d 变化时，若1185a a a ++是一个定值，则下列各数中为定值的是A. 15SB. 16SC.17SD.18S39. 在公差为2的等差数列{}n a 中，如果前17项和为1734S =，那么12a 的值为 A. 2 B. 4 C. 6 D. 840. 已知等差数列30,240,18,}{49===-n n n n a S S S n a 若项和为的前，则n 的值为 A.18B.17C.16D.1541. 已知等差数列854,18,}{S a a S n a n n 则若项和为的前-== A.18 B.36 C.54 D.72 42. 设函数()f x =，类比课本推导等差数列的前n 项和公式的推导方法计算(4)(3)...(0)(1)...(4)(5)f f f f f f -+-++++++的值为A.2 B. 2 C.2 D. 243. 在等差数列｛a n ｝中，,3321=++a a a 165302928=++a a a ，则此数列前30项和等于 A.810 B.840 C.870 D.90044. 设数列}{n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为 A.1 B.2 C.4 D.645. 已知等差数列{}n a 的公差0<d ，若10,248264=+=⋅a a a a ，则该数列的前n 项和n S 的最大值为 A.50 B.45 C.40 D.3546. 等差数列{}n a 中，11a =,3514a a +=，其前n 项和100n S =,则n = A.9 B.10 C.11 D.1247. 若}{n a 是等差数列，首项01>a ，020082007>+a a ，020082007<⋅a a ，则使数列}{n a 的前n 项和n S 为正数的最大自然数n 是A.4013B. 4014C. 4015D. 401648. 设数列{n a }是等差数列，且n S a a ,6,682=-=是数列{n a }的前n 项和，则A.S 4<S 5B.S 4=S 5C.S 6<S 5D.S 6=S 549. 已知等差数列{}n a 的通项公式()211,2,3n a n n =-=，，记11T a =，1121122,,n n n n n n T a n T T a a n -+-++⎧⎪=⎨++⎪⎩为奇数,为偶数（2,3,n =），那么2n T =A.21n+ B.1162n - C.25 436n n n n ⎧⎨-+≠⎩，=1，，1D.232n n + 50. 已知数列2),1(2,}{a a S S n a n n n n 则且项和为的前-=等于A.4B.2C.1D.—251. 等差数列1062,}{a a a S n a n n ++若项和为的前为一个确定的常数，则下列各个和中，也为确定的常数的是A.S 6B.S 11C.S 12D.S 1352. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3163=S S 则=126S SA.310 B.13 C.81 D.9153. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若9S =18，n S =240，4n a -=30，则n 的值为 A.18 B.17 C.16 D.15 54. 若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a = A.12 B.13 C.14 D.1555. 已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于 A.64B.100C.110D.12056. 等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且3457-+=n n T S n n ，则使得nnb a 为整数的正整数n 的个数是 A.3 B.4 C.5 D.657. 数列{}n a 是公差为2-的等差数列，若509741=+++a a a ，则=++++99963a a a a A.－182 B.－82 C.－148 D.－7858. 设A ．B ．C 三点共线（该直线不过原点O ），数列{a n }是等差数列，S n 是该数列的前n 项和=a 1+a 200，则S 200=A.200B.100C.50D.30059. 一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为 A.14 B.16 C.18D.2060. 等差数列{a n }中，a 1>0，公差d <0, S n 为其前n 项和，对任意自然数n ，若点（n, S n ）在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是61. 已知等差数列{a n }前n 项和S n 有最大值且11011-<a a ，当S n 是最小正数时，n = A.17 B.18 C.19 D.20 62. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，420S =，则6S = A.16B.24C.36D.4863. 设|a n |是等差数列，若a 2=3,a 7=13,则数列{a n }前8项的和为 A.128 B.80 C.64 D.5664. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为S n ，若OC a OA a OB 20043+=，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 2006 ＝A.1003B. 1004C. 2006D.2007 65. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1697=+a a ，77=S ，则12a 的值是 A.15 B.30 C.31 D.6466. 已知数列{a n }、{b n }都是公差为1的等差数列，其首项分别为a 1、b 1，且a 1+b 1=5，a 1、b 1∈N *，设C n =a b （n ∈N *），则数列{C n }前10项和等于A.55B.70C.85D.10067. 已知,)1()1()1(22102nn nx a x a x a a x x x ++++=++++++ 若 ++21a an a n -=+-291，那么自然数n 的值为A. 3B.4C.5D.668. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m >1，m ∈N*，且21121,38m m m m a a a S -+-+==，则m 等于A.11B.10C.9D.869. 已知等差数列{a n }中, S n 是它的前n 项和，若S 16>0, S 17<0, 则当S n 取最大值时，n 的值为 A.16 B.9 C.8 D.10 70. 已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n na b 为整数的正整数n 的个数是A.2B.3C.4D.571. 设数列}{n a 是等差数列，且n S a a ,6,673=-=是数列}{n a 的前n 项和，则 A.54S S =B.56S S =C.64S S >D.56S S <72. 已知数列{－2n+25}，其前n 项和S n 达到最大值时，n 为A.10B.11C.12D.1373. 若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,其首项10a >,991000a a +>,991000a a ⋅<,则使0n S >成立的最大自然数n 是A.198B.199C.200D.20174. 设等差数列{}n a 满足81335a a =.且10a >.n S 为其前n 项之和.则n S 中最大的是 A.10S B.11S C.20S D.21S 75. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 2＋a 4＋a 7＋a 15＝40，则S 13的值为 A.20 B.65C.130D.26076. 等差数列{}n a 的通项公式是12+=n a n ，其前n 项和为n S ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前10项和为A.75B.70C .120 D.10077. 在等差数列}{n a 中，若30,240,1849===-n n a S S ，则n 的值为 A.14B.15C.16D.1778. 在等差数列{}n a 中，若C a a a =++1383，则其前n 项和n S 的值等于5C 的是 A.15S B.17S C.8S D.7S79. 设{}n a 是等差数列，1359a a a ++=，69a =，则这个数列的前6项和等于 Ａ.12Ｂ.24Ｃ.36Ｄ.4880. {}n a 是等差数列，10110,0S S ><，则使n a <0的最小的n 值是 A.5 B.6 C.7 D.881. 等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若10173=+a a ，则19S 的值是 A.55 B.95 C.100 D.不能确定 82. 在等差数列{a n }中，a 1>0,且3a 8=5a 13,则S n 中最大的是 A.S 21B.S 20C.S 11D.S 1083. 设S n 是等差数列前n 项的和，若9535=a a ,则59S S等于 A.1 B.－1 C.2D.2184. 已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7=－12,a 4+a 6=－4,则S 20为 A.180B.－180C.90D.－9085. 若{a n }是等差数列，首项a 1>0,a 2003+a 2004>0,a 2003·a 2004<0,则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是 A.4005B.4006C.4007D.400886. 已知等差数列{}n a 中，247,15a a ==，则前10项的和10S ＝ A.100 B.210 C.380 D.400 87. 设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝A .310 B.13 C.18 D .1988. 设等差数列｛a ｝的前n 项的和为S n ，若a 1＞0，S 4=S 8，则当S n 取得最大值时，n 的值为 A.5 B.6 C.7 D.889. 已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝A.100B. 101C.200D.201 90. 已知等差数列{a n }的前20项的和为100，那么a 7·a 14的最大值为 A.25 B.50 C.100 D.不存在91. 若某等差数列{a n }中，a 2+a 6+a 16为一个确定的常数，则其前n 项和S n 中也为确定的常数 的是 A.S 17 B.S 15 C.S 8 D.S 792. 在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为 A.S 17B.S 18C.S 19D.S 2093. 等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项的和为S n ，当首项a 1和d 变化时，1182a a a ++是一个定值，则下列各数中也为定值的是 A.S 7B.S 8C.S 13D.S 1594. 在等差数列{ a n }中，S 4 =1, S 8 =4,则a 17 + a 18 + a 19+ a 20 的值是 A ．7 B ．8 C ．9 D ．1095. 设a 1, a 2, a 3,……和b 1, b 2, b 3,……都是等差数列，且a 1=25, b 1=75,a 100＋b 100=100,则数列a 1＋b 1, a 2＋b 2,……的前100项的和是A.0B.100C.10000D.不确定96. 等差数列{a n }中，若前15项的和S 15=90，则a 8等于97. 已知S k 表示数列{a k }前k 项和,且S k + S k+1 = a k +1 (k ∈N*),那么此数列是 A ．递增数列 B ． 递减数列 C ．常数列 D ． 摆动数列 98. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若31a a =95,则59S S等于 A.-1 B.21C.1D.2 99. 等差数列{a n }中，a n -4=30,且前9项的和S 9=18，前n 项和为S n =240,则n 等于 A.15B.16C.17D.18100. 等差数列{a n }中，若a 10=10,a 19=100,前n 项和S n =0,则n 等于 A.7B.9C.17D.19参考答案（仅供参考） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 D C A B A D A C C B C B D A B 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 30C D B D B C D A B C A C BB D3132 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 AB C C A C C A D D D B B B B 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 B B B D A B A D B B B B B C C 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 C D C A A C B B C D A C A C C 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 8889 90 A B A B B B B A A B B A BA A 919293949596979899100B C C C C A C C A C。
高二等差数列求和练习题与答案
高二等差数列求和练习题与答案等差数列是数学中的重要概念，也是高中数学中的基础知识点之一。
在高二的学习中，我们要掌握等差数列的求和公式，进一步巩固和应用这一概念。
下面将给出一些高二等差数列求和的练习题，并提供详细的解答。
练习题1：求等差数列1，3，5，7，9的和。
解：根据等差数列的求和公式，我们可以得知，等差数列的和等于首项与末项的和乘以项数再除以2。
这里，首项为1，末项为9，项数为5。
代入公式得：总和 = (首项 + 末项) ×项数 ÷ 2= (1 + 9) × 5 ÷ 2= 10 × 5 ÷ 2= 50 ÷ 2= 25所以，等差数列1，3，5，7，9的和为25。
练习题2：求等差数列2，5，8，11，...，101的和。
解：这是一个公差为3的等差数列，我们需要找到首项、末项和项数，然后代入求和公式进行计算。
首项 a = 2公差 d = 5 - 2 = 3末项 l = 101项数 n = (l - a) ÷ d + 1= (101 - 2) ÷ 3 + 1= 99 ÷ 3 + 1= 33 + 1= 34总和 = (首项 + 末项) ×项数 ÷ 2= (2 + 101) × 34 ÷ 2= 103 × 34 ÷ 2= 3502 ÷ 2= 1751所以，等差数列2，5，8，11，...，101的和为1751。
练习题3：已知等差数列的首项为7，公差为4，和为123。
求该等差数列的项数。
解：我们可以根据求和公式来解题，将已知的数据代入公式求解。
公式为：总和 = (首项 + 末项) ×项数 ÷ 2将已知数据代入得：123 = (7 + l) × n ÷ 2化简得：246 = (7 + l) × n由于等差数列的首项是7，公差是4，所以末项 l = 7 + 4 × (n - 1)。
等差数列求和练习题以及答案解析
等差数列求和练习题以及答案解析练题1已知等差数列的首项为5，公差为3，请求前10项的和。
解析根据等差数列求和公式：其中：a 是首项，d 是公差，n 是项数。
代入已知条件，得到：所以，前10项的和为245。
练题2一等差数列的首项为7，公差为2，已知前6项的和为90，请求这个等差数列的第7项。
解析可利用等差数列求和公式和已知条件来解答该问题。
根据等差数列求和公式：已知前6项的和为90，代入公式得到：90 = (6/2)(2a + (6-1)d)其中，a 是首项，d 是公差。
将已知条件代入方程中，得到：90 = 3(2a + 5d)进一步整理得到：2a + 5d = 30由已知条件可得到方程组：{a = 72a + 5d = 30}解方程组可得到 a = 7，d = 4。
根据等差数列的通项公式：其中，a 是首项，d 是公差，n 是项数。
代入已知条件，得到：an = a + (n-1)da7 = 7 + (7-1)4a7 = 7 + 6*4a7 = 7 + 24a7 = 31所以，该等差数列的第7项为31。
练题3已知等差数列的前15项的和为135，公差为1，请求该等差数列的首项。
解析可利用等差数列求和公式和已知条件来解答该问题。
根据等差数列求和公式：已知前15项的和为135，代入公式得到：135 = (15/2)(2a + (15-1)1)整理得到：270 = 15(2a + 14)进一步整理得到：2a + 14 = 18解方程可得到 a = 2。
所以，该等差数列的首项为2。
练题4一等差数列的首项为3，公差为4，已知该等差数列的前n项和为49n，请问 n 的值是多少？解析可利用等差数列的前n项和公式来解答该问题。
根据等差数列的前n项和公式：已知该等差数列的前n项和为49n，代入公式得到：49n = (n/2)(2a + (n-1)d)其中，a 是首项，d 是公差。
代入已知条件，得到：49n = (n/2)(2*3 + (n-1)*4)整理得到：49n = n(6 + 4n - 4)进一步整理得到：49n = n(4n + 2)解方程可得到 n = 7。
等差数列求和及练习题(整理).doc
等差数列求和引例：计算 1+2+3+4++97+98+99+100一、有关概念 :像1、2、3、4、5、6、7、8、9、这样连起来的一串数称为数列；数列中每一个数叫这个数列的一项，排在第一个位置的叫首项，第二个叫第二项，第三个叫第三项，，最后一项又叫末项；共有多少个数又叫项数；如果一个数列，从第二项开始，每一项与前一项之差都等于一个固定的数，我们就叫做等差数列。
这个固定的数就叫做“公差”。
二、有关公式：和 =（首项 +末项）×项数÷ 2末项 =首项 +公差×（项数 -1）公差 =（末项 -首项）÷（项数 -1）项数 =（末项 -首项）÷公差 +1三、典型例题：例 1、聪明脑筋转转转：判断下列数列是否是等差数列？是的请打“√”，并把等差数列的首项，末项、公差及项数写出来，如果不是请打“×”。
判断首项末项公差项数（1） 1、2、4、8、16、 32.（）（）（）（）（）（2）42、49、56、63、70、77. （）（）（）（）（）（3）5、1、4、1、3、1、2、1. （）（）（）（）（）（4）44、55、66、77、88、99、110（）（）（）（）（）练习1、填空：数列首项末项公差项数2、5、8、 11、140、4、8、 12、163、15、27、39、511、2、3、 4、5、、 48、49、 502、4、6、 8、、 96、 98、100例 2、已知等差数列 1,8,15, , 78.共 12 项，和是多少？（博易 P27例 2）（看 ppt,推出公式）例 3、计算 1+3+5+7++35+37+39练习 2：计算下列各题（1）6+10+14+18+22+26+30 （3）1+3+5+7++95+97+99（2）3+15+27+39+51+63（4）2+4+6+8++96+98+100（3）已知一列数 4,6,8,10 ，，64，共有 31 个数，这个数列的和是多少？例 5、有一堆圆木堆成一堆，从上到下，上面一层有 10 根，每向下一层增加一根，共堆了 10 层。
(完整版)等差数列练习题有答案
数列A 、等差数列知识点及例题一、数列由与的关系求n a n S na 由求时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的n S n a 形式表示为。
11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩〖例〗根据下列条件，确定数列的通项公式。
{}na 分析：（1）可用构造等比数列法求解；（2）可转化后利用累乘法求解；（3）将无理问题有理化，而后利用与的关系求解。
n a n S 解答：（1）（2）……累乘可得，故（3）二、等差数列及其前n 项和（一）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，，第二种是利用等差中项，即。
1()(2)n n a a d n --=≥常数112(2)n n n a a a n +-=+≥2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断。
（1）通项法：若数列{}的通项公式为n 的一次函数，即=An+B,则{}是等差数列；n a n a n a （2）前n 项和法：若数列{}的前n 项和是的形式（A ，B 是常数），则{}是等差数列。
n a n S 2n S An Bn =+n a 注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
〖例〗已知数列{}的前n 项和为，且满足n a n S 111120(2),2n n n n S S S S n a ---+=≥=A （1）求证：{}是等差数列；1nS （2）求的表达式。
n a 分析：（1）与的关系结论；1120n n n n S S S S ---+=A →1n S 11n S -→（2）由的关系式的关系式1nS →n S →n a 解答：（1）等式两边同除以得-+2=0，即-=2（n≥2）.∴{}是以==2为首1n n S S -A 11n S -1n S 1n S 11n S -1n S 11S 11a 项，以2为公差的等差数列。
数列求和方法(带例题和练习题)
数列的求和数列求和主要思路：1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用； 数列求和的常用方法一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 11123(1)2nn k S k n n n ===+++++=+∑… 4、2222211123(1)(21)6nn k S k n n n n ===++++=++∑5、 2333331(1)1232nn k n n S kn =+⎡⎤===++++=⎢⎥⎣⎦∑ 公式法求和注意事项（1）弄准求和项数n 的值；（2）等比数列公比q 未知时，运用前n 项和公式要分类。
例1．求和221-++++n xx x (0,2≠≥x n )二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 例2．求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S例3．求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 三、倒序相加法如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前n 项和即可用倒序相加发，如等差数列的前n 项和就是此法推导的例4．求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值例4变式训练1：求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值. 例4变式训练2： 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.例4变式训练3：在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例5．已知数列{}n a 的通项公式321n n a n =+-，求数列{}n a 的前n 项和n S 。
等差数列求和(共24张PPT)
求1+4+7+10+13的和，这是一个等差数列，公差为3，项数为5。根据等差数 列求和公式，可以得出结果为30。
04
等差数列求和的变种
04
等差数列求和的变种
倒序相加求和
总结词
倒序相加求和是一种特殊的等差数列求和方法，通过将数列倒序排列，再与原数列正序求和，最后除 以2得到结果。
详细描述
倒序相加求和的步骤包括将等差数列倒序排列，然后从第一个数开始与原数列对应项相加，直到最后 一个数。这种方法可以简化等差数列求和的计算过程，特别是对于较大的数列。
计算
使用通项公式，第5项$a_5=a_1+(5-1)d=1+(5-1)times1=5$。
03
等差数列求和公式
03
等差数列求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，将等差数列的 项进行分组求和，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的特性，将等差数列的 项进行倒序相加，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
公式应用
应用场景一
在数学、物理、工程等领域中，常常需要求解等差数列的和 ，如计算等差数列的各项之和、计算等差数列的和的极限等 。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
定义与特性
定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数，这个常数被称为公差。
(简化版)等差等比函数求和练习题
(简化版)等差等比函数求和练习题
本文档为等差等比函数求和练题的简化版本，旨在帮助学生提高对等差等比函数求和问题的理解和应用能力。
题目一：等差数列求和
已知等差数列的首项为a，公差为d，共有n项。
求这个等差数列的和Sn。
题目二：等比数列求和
已知等比数列的首项为a，公比为r，共有n项。
求这个等比数列的和Sn。
题目三：等差等比数列混合求和
已知一个数列前m项为等差数列，后n项为等比数列，求这个数列的和Sn。
题目四：应用题
某地每年的降雨量为等差数列，从第一年开始，每年比前一年多5毫米。
如果第一年的降雨量为100毫米，计算前10年的总降雨量。
提示
- 对于等差数列求和问题，使用公式Sn = (n/2)(a + l)，其中n 为项数，a为首项，l为末项。
- 对于等比数列求和问题，使用公式Sn = (a(1 - r^n))/(1 - r)，其中a为首项，r为公比。
- 以上公式中，n为项数，l为等差数列的末项，r为等比数列的公比。
注意事项
- 请注意计算时的单位一致性，如题目四中的降雨量单位为毫米。
- 在应用题中，根据给定的条件，将问题转化为等差等比函数求和的问题进行解答。
希望本文档能够帮助您巩固和应用等差等比函数求和的知识。
如果有任何问题，请随时向我提问。
(完整版)数列求和合集例题与标准答案)
数列求和汇总答案一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和地最基本最重要地方法.1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q qa a qq a q na S n nn 例1、已知，求地前n 项和.3log 1log 23-=x ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得（利用常用公式）nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32＝＝＝1－x x x n --1)1(211)211(21--n n 21练习：求地和.22222222123456...99100-+-+-+--+解：2222222212345699100-+-+-+--+ ()()()()2222222221436510099=-+-+-++- ()()()()()()()()2121434365651009910099=-++-++-++-+ 3711199=+++ ＋由等差数列地求和公式得()50503199S 50502＋＝＝二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列地前n 项和公式时所用地方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }地前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列.例2求和：………………………①132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S 解：由题可知，{}地通项是等差数列{2n －1}地通项与等比数列{}地通项之积1)12(--n xn 1-n x设……………………….②（设制错位）nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=①－②得（错位相减）n n n x n xx x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--再利用等比数列地求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--∴21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+练习：求数列前n 项地和.⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n解：由题可知，{}地通项是等差数列{2n}地通项与等比数列{}地通项之积n n 22n 21设…………………………………①n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=………………………………②（设制错位）14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ①－②得（错位相减）1432222222222222211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS 1122212+---=n n n ∴1224-+-=n n n S 三、反序相加法求和这是推导等差数列地前n 项和公式时所用地方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个.)(1n a a +例3求地值89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++解：设………….①89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S 将①式右边反序得…………..②（反序）1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S 又因为1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ①+②得（反序相加）＝89)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ∴S＝44.52、求和：222222222222222101109293832921101++++++++++ 四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见地数列，然后分别求和，再将其合并即可.例4、求和:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n y x y x y x 11122 ()1,1,0≠≠≠y x x 解:原式=()nx x x x ++++ 32⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++n y y y 1112=()yy y xx x n n 1111111-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--=nn n n y y y x x x --+--++1111练习：求数列地前n 项和：， (231),,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n 将其每一项拆开再重新组合得（分组）)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n 当a ＝1时，＝（分组求和）2)13(n n n S n -+=2)13(nn +当时，＝1≠a 2)13(1111n n a a S nn -+--=2)13(11n n a a a n -+---练习：求数列地前n 项和.∙∙∙+∙∙∙),21(,,813,412,211nn 解：n n n n n n n n S 211)1(21)21212121()321()21(81341221132-++=+∙∙∙+++++∙∙∙+++=++∙∙∙+++=五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中地具体应用.裂项法地实质是将数列中地每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和地目地.通项分解（裂项）如：例5求数列地前n 项和.⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 解：设（裂项）n n n n a n -+=++=111则（裂项求和）11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n ＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+-＝11-+n 练习：求13，115，135，163之和.解：94911(21)9171()7151()5131()311(21)9171(217151(21)5131(21)311(2197175153131163135115131=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-+-=-+-+-+-=⨯+⨯+⨯+⨯=+++六、合并法求和针对一些特殊地数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊地性质，因此，在求数列地和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .例6、数列{a n }：，求S 2002.n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++由可得n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1,2,3,1654-=-=-=a a a ,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a ……2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a ∵（找特殊性质项）0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a ∴S 2002＝（合并求和）2002321a a a a +⋅⋅⋅+++＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a 2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+＝2002200120001999a a a a +++＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5练习：在各项均为正数地等比数列中，若地值.103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列地性质（找特殊性质项）q p n m a a a a q p n m =⇒+=+和对数地运算性质得N M N M a a a ⋅=+log log log （合并求和）)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++=＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++＝10七、利用数列地通项求和先根据数列地结构及特征进行分析，找出数列地通项及其特征，然后再利用数列地通项揭示地规律来求数列地前n 项和，是一个重要地方法.例7、求5，55，555，…，地前n 项和.解：∵a n =59(10n -1)∴S n =59(10-1)+59(102-1)+59(103-1)+…+59(10n -1)=59[（10+102+103+……+10n ）-n]=（10n ＋1-9n-10）练习：求数列：1，，，地前n 项和.解：=e an dAl l h i ng si nt h er be ng ae od =版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. 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数列求和专项练习(含答案)
数列求和专项练习1.在等差数列{}n a 中，已知34151296=+++a a a a ，求前20项之和。
2.已知等差数列{}n a 的公差是正数，且,4,126473-=+-=a a a a 求它的前20项之和。
3.等差数列{}n a 的前n 项和S n =m ,前m 项和S m =n (m>n )，求前m+n 项和S n+m4.设y x ≠，且两数列y a a a x ，，，，321和4321b y b b x b ，，，，，均为等差数列，求1243a a b b --5.在等差数列{}n a 中，前n 项和S n ,前m 项和为S m ，且S m =S n , n m ≠，求S n+m6.在等差数列{}n a 中，已知1791,25S S a ==，问数列前多少项为最大，并求出最大值。
7.求数列的通项公式：(1){}n a 中，23,211+==+n n a a a(2){}n a 中，023,5,21221=+-==++n n n a a a a a9.求证：对于等比数列前n 项和S n 有)(32222n n n n n S S S S S +=+10. 已知数列{}n a 中，前n 项和为S n ，并且有1),(241*1=∈+=+a N n a S n n (1)设),(2*1N n a a b n n n ∈-=+求证{}n b 是等比数列；(2)设),(2*N n a c nn ∈=求证{}n b 是等差数列；11.设数列满足，（Ⅰ)求数列的通项公式：（Ⅱ）令，求数列的前n 项和.【规范解答】（Ⅰ)由已知，当时，而，满足上述公式，所以的通项公式为. （Ⅱ）由可知，①从而 ②①②得{}n a 12a ={}n a n n b na ={}n b n S 1n ≥[]111211()()()n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+21232(1)13(222)22n n n --+-=++++=12a ={}n a 212n n a -=212n n n b na n -==•35211222322n n n s -=•+•+•++•23572121222322n n n s +=•+•+•++•-3521212(12)22222n n n n s -+-=++++-•即 12.已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ，22. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()n nan a b n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.【答案】(1) n a n = (2) 21222n n T n +=+-13.已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；211(31)229n n S n +⎡⎤=-+⎣⎦（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .（Ⅰ）由题设可知83241=⋅=⋅a a a a ，又941=+a a ， 可解的⎩⎨⎧==8141a a 或⎩⎨⎧==1841a a （舍去）由314q a a =得公比2=q ，故1112--==n n n qa a . （Ⅰ）1221211)1(1-=--=--=n n n n q q a S 又1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-所以1113221211111...1111...++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=n n nn n S S S S S S S S b b b T12111--=+n .14. 设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233nn S =+.（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T . 【解析】所以，13,1,3,1,n n n a n -=⎧=⎨>⎩1363623n n +=-⨯ ，又1T 适合此式.13631243nnn T +=-⨯ 15.知等差数列满足：，，的前n 项和为．（1）求及；（2）令(n N *)，求数列的前n 项和． 【命题立意】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,考查了考生的逻辑推理、等价变形和运算求解能力.【思路点拨】(1)设出首项和公差，根据已知条件构造方程组可求出首项和公差，进而求出求及；(2)由(1)求出的通项公式，再根据通项的特点选择求和的方法.【规范解答】（1）设等差数列的公差为d ，因为，，所以有，解得， 所以；==. （2）由（1）知，所以b n ===， 所以==，即数列的前n 项和=.{}n a 37a =5726a a +={}n a n S n a n S n b =211n a -∈{}n b n T n a nS n b {}n a 37a =5726a a +=112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩13,2a d ==321)=2n+1n a n =+-（n S n(n-1)3n+22⨯2n +2n 2n+1n a =211n a -21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅111(-)4n n+1⋅n T 111111(1-+++-)4223n n+1⋅-11(1-)=4n+1⋅n4(n+1){}n b n T n4(n+1)。
等差数列前n项和公式基础训练题(含详解)
④ ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
11．
【解析】
【分析】
根据 得到 ， ，计算得到答案.
【详解】
； ，解得
故答案为：
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式和前 项和，意在考查学生对于等差数列公式的灵活运用.
12．
【解析】
【分析】
利用 来求 的通项.
A．18B．36C．45D．60
7．设 为等差数列， ， 为其前n项和，若 ，则公差 （）
A． B． C．1D．2
8．等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则当 取最大值时 的值是（）
A．5B．6C．7D．8
9．已知 是数列 的前 项和，且 ，则 （）．
A．72B．88C．92D．98
10．设 为等差数列 的前 项的和 ， ，则数列 的前2017项和为（ ）
所以 ，所以 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查等差数列公差的计算，难度较易.已知等差数列中的两个等量关系，可通过构造方程组求解等差数列的公差，还可以通过等差数列的下标和性质求解公差.
20．已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+3n+5，则an=______．
参考答案
1．A
【解析】
设 ,根据 是一个首项为a,公差为a的等差数列，各项分别为a,2a,3a,4a. .
2．B
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质，求出 ，再由前n项和公式，即可求解.
【详解】
∵ ，
∴ ，∴
∴由 得 ，∴ .
故选:B.
【点睛】
本题考查等差数列性质的灵活应用，以及等差数列的前n项和公式，属于中档题.
等差数列与前n项和练习试题（可编辑修改word版）
等差数列与前n项和练习试题（可编辑修改word版）第1 讲等差数列及其前n 项和⼀、填空题1．在等差数列{a n}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝.2.设等差数列{a }的前n 项和为S ，若S4 －S3＝1，则公差为．n n12 93.在等差数列{a n}中，a1＞0，S4＝S9，则S n取最⼤值时，n＝.4．在等差数列{a n}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则S9＝. 5．设等差数列{a n}的公差为正数，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝.6.已知数列{a n}的前n 项和为S n＝2n2＋pn，a7＝11.若a k＋a k＋1＞12，则正整数k 的最⼩值为．7.已知数列{a n}满⾜递推关系式a n＝2a n＋2n－1(n∈N*)，且a n＋λ为等差数{ 2n }＋1列，则λ的值是．8.已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n 项和，a7－a5＝4，a11＝21，S k＝9，则k＝.10.已知f(x)是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)成⽴．数列{a n}满⾜a n＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2.则数列的通项公式a n＝.⼆、解答题1.已知等差数列{a n}的前三项为a－1,4,2a，记前n 项和为S n.(1)设S k＝2 550，求a 和k 的值；(2)设b n＝S n，求b ＋b ＋b ＋…＋b 的值．3 7 114n－1n12.已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n，若a3，a5分别为等差数列{b n}的第3 项和第5 项，试求数列{b n}的通项公式及前n 项和S n.13.在等差数列{a n}中，公差d＞0，前n 项和为S n，a2·a3＝45，a1＋a5＝18.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝S n(n∈N*)，是否存在⼀个⾮零常数c，使数列{b n}也为等差数列？n＋c若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．第2 讲等⽐数列及其前n 项和⼀、填空题1.设数列{a n2}前n项和为S n，a1＝t，a2＝t2，S n＋2－(t＋1)S n＋1＋tS n＝0，则{a n}是数列，通项a n＝.解析由S n＋2－(t＋1)S n＋1＋tS n＝0，得S n＋2－S n＋1＝t(S n＋1－S n)，所以a n＋2＝ta，所以a n＋2＝t，⼜a2＝t，n＋1a n＋1 a1所以{a n}成等⽐数列，且a n＝t·t n－1＝t n.答案等⽐t n2.等⽐数列{a }的前n 项和为S 8a ＋a ＝0，则S6＝.n n, 2 5S34 2 2 2 8 8 解∵8a 2＋a 5＝8a 1q ＋a 1q 4＝a 1q (8＋q 3)＝0 ∴q ＝－2∴S 6＝1－q 6＝1＋q 3＝－7.S 3 1－q 3 答案－73. 数列{a n }为正项等⽐数列，若 a 2＝2，且 a n ＋a n ＋1＝6a n －1(n ∈N ，n ≥2)，则此数列的前 4 项和 S 4＝ .解析由 a 1q ＝2，a 1q n －1＋a 1q n ＝6a 1q n －2，得 q n －1＋q n ＝6q n －2，所以 q 2＋q ＝6.⼜ q ＞0，所以 q ＝2，a 1＝1.所以 S ＝a 11－q 4＝1－24＝15.1－q 1－2答案 154. 已知等⽐数列{a n }的前 n 项和 S n ＝t ·5n －2－1，则实数 t 的值为．5解析∵a 1＝S 1＝1t －1，a 2＝S 2－S 1＝4t ，a 3＝S 3－S 2＝4t ，∴由{a n }是等⽐数 5 5 5 列知 4t 2＝ 1t 1 ×4t ，显然 t≠0，所以 t ＝5.(5 ) (5－ )5答案 55. 已知各项都为正数的等⽐数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满⾜ a n ·a n ＋1·a n ＋2≥1的最⼤正整数 n 的值为．8解析由等⽐数列的性质，得 4＝a 2·a 4＝a 32(a 3＞0)，所以 a 3＝2，所以 a 1＋a 2＝14－a 3＝12，于是由Error!解得Error!所以 a n ＝8·(1)n －1＝(1)n －4. 于是由 a n ·a n ＋1·a n ＋2＝a n ＋3 1＝(1)3(n －3)＝(1)n －3≥1，得 n －3≤1，即 n ≤4.33答案 46．在等⽐数列{a n }中，a n >0，若 a 1·a 2·…·a 7·a 8＝16，则 a 4＋a 5 的最⼩值为．解析由已知 a 1a 2·…·a 7a 8＝(a 4a 5)4＝16，所以 a 4a 5＝2，⼜ a 4＋a 5≥2 a 4a 5＝2 2(当且仅当 a 4＝a 5＝答案 2 2时取等号)．所以 a 4＋a 5 的最⼩值为 2 2.7. 已知递增的等⽐数列{a }中，a ＋a ＝3，a ·a ＝2，则a 13＝.n 2 8 3 7a 10解析∵{a n }是递增的等⽐数列，∴a 3a 7＝a 2a 8＝2，⼜∵a 2＋a 8＝3，∴a 2，a 8 是⽅程 x 2－3x ＋2＝0 的两根，则 a 2＝1，a 8＝2，∴q 6＝ a 8＝2，∴q 3＝a 22，∴a 13＝q 3＝ 2.a 10答案8. 设 1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中 a 1，a 3，a 5，a 7 成公⽐为 q 的等⽐数列，a 2，a 4，a 6成公差为 1 的等差数列，则 q 的最⼩值为．解析由题意知 a 3＝q ，a 5＝q 2，a 7＝q 3 且 q ≥1，a 4＝a 2＋1，a 6＝a 2＋2 且a 2≥1，那么有 q 2≥2 且 q 3≥3.故 q ≥3 3，即 q 的最⼩值为3 3. 答案⼆、解答题11．在等差数列{a n }中，a 2＋a 7＝－23，a 3＋a 8＝－29.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设数列{a n ＋b n }是⾸项为 1，公⽐为 c 的等⽐数列，求{b n }的前 n 项和 S n .解 (1)设等差数列{a n }的公差是 d .依题意 a 3＋a 8－(a 2＋a 7)＝2d ＝－6，从⽽ d ＝－3.22nn由 a 2＋a 7＝2a 1＋7d ＝－23，解得 a 1＝－1. 所以数列{a n }的通项公式为 a n ＝－3n ＋2.(2)由数列{a n ＋b n }是⾸项为 1，公⽐为 c 的等⽐数列，得 a n ＋b n ＝c n －1，即－3n ＋2＋b n ＝c n －1，所以 b n ＝3n －2＋c n －1.所以 S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋c ＋c 2＋…＋c n －1) ＝n3n －1＋(1＋c ＋c 2＋…＋c n －1)． 2从⽽当 c ＝1 时，S ＝n 3n －1＋n ＝3n 2＋n . 2 2当 c ≠1 时，S n ＝n3n －1＋1－c n . 2 1－c12. 设各项均为正数的等⽐数列{a n }的前 n 项和为 S n ，S 4＝1，S 8＝17.(1)求数列{a n }的通项公式；( 2)是否存在最⼩的正整数 m ，使得 n ≥m 时，a n >2 011恒成⽴？若存在，求15出 m ；若不存在，请说明理由．解 (1)设{a }的公⽐为 q ，由 S ＝1，S ＝17 知 q ≠1，所以得a1q 4－1＝1， n48a 1q 8－1＝17. q－1q －1相除得q 8－1＝17，解得 q 4＝16.所以 q ＝2 或 q ＝－2(舍去)． q 4－1由 q ＝2 可得 a ＝ 1 ，所以 a ＝2n －1.1n15 15 (2)由 a ＝2n －1>2 011，得 2n －1>2 011，⽽ 210<2 011<211，所以 n －1≥11， 1515即 n ≥12.2 011恒成⽴．因此，存在最⼩的正整数m＝12，使得n≥m 时，a n>1513.已知公差⼤于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满⾜a2·a4＝65，a1＋a5＝18.(1)求数列{a n}的通项公式a n.(2)若1＜i＜21，a1，a i，a21是某等⽐数列的连续三项，求i 的值；(3)是否存在常数k，使得数列{S n＋kn}为等差数列？若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由．解(1)因为a1＋a5＝a2＋a4＝18，⼜a2·a4＝65，所以a2，a4是⽅程x2－18x＋65＝0 的两个根．⼜公差d＞0，所以a2＜a4.所以a2＝5，a4＝13. 所以Error!解得a1＝1，d＝4.所以a n＝4n－3.(2)由1＜i＜21，a1，a i，a21是某等⽐数列的连续三项，所以a1·a21＝a2i，即1·81＝(4i－3)2，解得i＝3.(3)由(1)知，S n＝n·1＋n n－1·4＝2n2－n.2假设存在常数k，使数列{ S n＋kn}为等差数列，由等差数列通项公式，可设S n＋kn＝an＋b，得2n2＋(k－1)n＝an2＋2abn＋b 恒成⽴，可得a＝2，b＝0，k＝1.所以存在k＝1 使得{ S n＋kn}为等差数列．第3 讲等差数列、等⽐数列与数列求和⼀、填空题1.设{a n}是公差不为0 的等差数列，a1＝2 且a1，a3，a6成等⽐数列，则{a n}的前 n 项和 S n ＝ .解析由题意设等差数列公差为 d ，则 a 1＝2，a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d .⼜∵a 1，a 3，a 6 成等⽐数列，∴a 32＝a 1a 6，即(2＋2d )2＝2(2＋5d )，整理得 2d 2－d ＝0.∵ d ≠0，∴d ＝1，∴S ＝na ＋n n －1d ＝n 2＋7n .n 12 2 4 4答案 n 24 42. 数列{a n }的通项公式a n＝1，若前 n 项的和为 10，则项数为．n ＋ n ＋1解析∵a n ＝答案 1201＝ n ＋ n ＋1n ＋1－ n ，∴S n ＝ n ＋1－1＝10，∴n ＝120.3. 已知等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{ 1}的前 100a n a n ＋1项和为．解析∵a ＝5，S ＝15，∴5a 1＋a 5＝15，即 a ＝1.5512 ∴d ＝a 5－a 1＝1，∴a ＝n .∴ 1 ＝1 ＝1－ 1 .设数列 1 的前5－1n 项和为 T n .na n a n ＋1 n n ＋1 nn ＋1{a n a n ＋1}∴T 100＝(1－1)＋(1＋…＋(1 )＝1－ 1 ＝100.2 3 答案 100101100 101 101 1014．已知数列{a n }，{b n }都是等差数列，a 1＝5，b 1＝7，且 a 20＋b 20＝60.则{a n ＋b n } 的前 20 项的和为．解析由题意知{a n ＋b n }也为等差数列，所以{a n ＋b n }的前 20 项和为：S 20＝ 20a 1＋b 1＋a 20＋b 20＝20 × 5＋7＋60＝720.2 22 －－ 1c d n22 1 an a n＋1答案7205．已知等⽐数列{a n}的前n项和S n＝2n－1，则a12＋a2＋…＋a n2＝.解析当n＝1 时，a1＝S1＝1，当n≥2 时，a n＝S n－S n－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，⼜∵a1＝1 适合上式．∴a n＝2n－1，∴a n2＝4n－1.∴数列{a n2}是以a21＝1 为⾸项，以4 为公⽐的等⽐数列．∴a12＋a2＋…＋a n2＝1·1－4n＝1(4n－1)．答案1(4n－1)31－4 36．定义运算：|a b|＝ad－bc，若数列{a}满⾜|a1 1|＝1 且| 3 3 |＝12(n∈N*)，则a3＝，数列{a n}的通项公式为a n＝.解析由题意得a1－1＝1,3a n＋1－3a n＝12 即a1＝2，a n＋1－a n＝4.∴{a n}是以2 为⾸项，4 为公差的等差数列，∴a n＝2＋4(n－1)＝4n－2，a3＝4×3－2＝10.答案10 4n－27．在等⽐数列{a n}中，a1＝1，a4＝－4，则公⽐q＝；|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝2.解析∵a 4＝q3＝－8，∴q＝－2.∴a ＝1·(－2)n－1，na1 21n1－2∴|a n|＝2n－2，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝2 ＝2n－1－1.1－2 2 答案－2 2n－1－128.已知S n是等差数列{a n}的前n 项和，且S11＝35＋S6，则S17的值为．解析因S11＝35＋S6，得11a1＋11 × 10d＝35＋6a1＋6 × 5d，即a1＋8d＝2 27，所以S17＝17a1＋17 × 16d＝17(a1＋8d)＝17×7＝119.2答案1199.等差数列{a n}的公差不为零，a4＝7，a1，a2，a5成等⽐数列，数列{T n}满⾜条件T n＝a2＋a4＋a8＋…＋a2n，则T n＝.解析设{a n}的公差为d≠0，由a1，a2，a5成等⽐数列，得a2＝a1a5，即(7－2d)2＝(7－3d)(7＋d)所以d＝2 或d＝0(舍去)．所以a n＝7＋(n－4)×2＝2n－1.⼜a2n＝2·2n－1＝2n＋1－1，故T n＝(22－1)＋(23－1)＋(24－1)＋…＋(2n＋1－1)＝(22＋23＋…＋2n＋1)－n＝2n＋2－n－4.答案2n＋2－n－410.数列{a n}的通项公式a n＝2n－1，如果b n＝2n，那么{b n}的前n 项和a n＋a n＋1为．解析b n＝2n n＝2n＋1－1－2n－1，a n＋a n＋1所以b1＋b2＋…＋b n＝22－1－2－1＋23－1－22－1＋…＋－2n－1＝2n＋1－1－1.答案⼆、解答题2n＋1－1－111.已知{a n}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.2n＋1－1n (1) 求{a n }的通项公式；(2) 若等⽐数列{b n }满⾜ b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求{b n }的前 n 项和公式．解 (1)设等差数列{a n }的公差为 d . 因为 a 3＝－6，a 6＝0，所以Error!解得 a 1＝－10，d ＝2. 所以 a n ＝－10＋(n －1)·2＝2n －12. (2)设等⽐数列{b n }的公⽐为 q .因为 b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8，所以－8q ＝－24，即 q ＝3. 所以{b }的前 n 项和公式为 S ＝b 1 1－q n ＝4(1－3n )．n n 1－q13.记公差 d ≠0 的等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，已知 a 1＝2＋ 2，S 3＝12＋3(1) 求数列{a n }的通项公式 a n 及前 n 项和 S n .(2) 已知等⽐数列{b nk }，b n ＋ 2＝a n ，n 1＝1，n 2＝3，求 n k .(3) 问数列{a n }中是否存在互不相同的三项构成等⽐数列，说明理由．解 (1)因为 a 1＝2＋所以 d ＝2.2，S 3＝3a 1＋3d ＝12＋3 2，所以 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋ 2，S ＝n a 1＋a n ＝n 2＋( 22＋1)n . (2) 因为 b n ＝a n －所以 bn k ＝2n k .2＝2n ，2.⼜因为数列{bn }的⾸项bn ＝b ＝2，公⽐q＝b 3＝3，k 1 1b1 所以bn k＝2·3k－1.所以2n k＝2·3k－1，则n k＝3k－1.(3)假设存在三项a r，a s，a t成等⽐数列，则a2s＝a r·a t，即有(2s＋2)2＝(2r＋2)(2t＋2)，整理得(rt－s2) 2＝2s－r－t.若rt－s2≠0，则2＝2s－r－t，rt－s2因为r，s，t∈N*，所以2s－r－t是有理数，这与rt－s22为⽆理数⽭盾；若rt－s2＝0，则2s－r－t＝0，从⽽可得r＝s＝t，这与r综上可知，不存在满⾜题意的三项a r，a s，a t.。
数列求和和求通项方法总结(定版)(最新整理)
等差等比数列、数列求和、求通项一、单选题1．已知等差数列的前项为，且，，则使得取最小值时的为{}n a n n S 1514a a +=-927S =-n S n （ ）．A ．1B ．6C ．7D ．6或72．已知等比数列满足,,则（ ）{}n a 114a =()35441a a a =-2a =A ．B ．C ．D ．2112183．设等差数列的前项和为，若，，则的值为( ){}n a n n S 11m a =21121m S -=m A. B. C. D.34564．设等差数列的前项和为，若公差，，则的值为( ){}n a n n S 3d =68a =10S A.65B.62C.59D.565．等比数列中，若，是方程的两根，则的值为( )．{}n a 1a 10a 220x x --=47a a ⋅A.2B. C. D.12-1-6．已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）{}n a n n S 452a =1015S =7a =A.B.1C.D.212327．公比为的等比数列中，，，则( )q {}n a 134a a ⋅=48a =1a q +=A. B.3或2C. D.3或-3328．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2=3，S 4=15，则S 6=（ ）A ．31B ．32C ．63D ．649．在各项均为正数的等比数列中，若,则的值为（）{}n a 569a a =3132310log log log a a a ++⋅⋅⋅+A.12 B.10 C.8D.32log 5+10．已知数列满足，且，那么（ ）{}n a 12n n a a +=+12a =5a =A.8B.9C.10D.1111．已知等差数列中，，，则的值是( ){}n a 7916+=a a 41a =12a A ．15B ．30C ．31D ．6412．在等比数列中，，，则（ ）{}n a 212a =68a =4a =A.B.C.D.424±2±13．设等比数列的前项和为，若，则( ){}n a n n S 4813S S =816S S =A.B.C.D.19141521514．在等差数列中，，则等于(){}n a 372a a +=9S A.2B.18C.4D.915．在等比数列中，，，，则等于(){}n a 11a =2q =16n a =n A. B. C. D.345616．已知等差数列中，若，，则（ ）{}n a 21a =-45a =-5S =A. B. C. D.7-13-15-17-17．已知等比数列满足，且，则当时，{}n a 0,1,2,n a n >= 25252(3)nn a a n -⋅=≥1n ≥（ ）2123221log log log n a a a -+++= A ．B ．C ．D ．(21)n n -2(1)n +2n 2(1)n -18．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，73812则塔的顶层共有灯（ ）A ．盏B ．盏C ．盏D ．盏123419．等差数列的公差是2，若成等比数列，则的前项和（ ）{a n }a 2,a 4,a 8{a n }n S n =A ．B ．C ．D ．n(n +1)n(n−1)n(n +1)2n(n−1)220．等差数列的前项和为，若，，则等于（ ）{}n a n n S 24S =410S =6S A. B. C. D.1218244221．已知等比数列中，，，则（ ）{}n a 2341a a a =67864a a a =456a a a =A. B.-8C.8D.168±22．一个等比数列的前项和为48，前项和为60，则前项和为（ ）{}n a n 2n 3n A.63B.108C.75D.8323．等差数列{a n }中，若a 2+a 4+a 9+a 11=32，则a 6+a 7= ( )A ．9B ．12C ．15D ．16二、填空题24．2与4的等比中项为_________.25．已知是等差数列，是其前项和，若，则的值是_____________.{}n a n S n 75230a a --=17S26．等差数列，的前项和分别为，，且，则______．{}n a {}n b n n S n T 313n n S n T n +=+220715a ab b +=+27．设是公差不为0的等差数列的前项和，且，则______.n S {}n a n 712a a =-1197S S a =+28．在各项均为正数的等比数列中，若，则的值为{}n a 10091011 3a a =333122019111log log log a a a +++ ____________．29．在等差数列中，已知，则______．{}n a 4816a a +=11S =数列求和及求通项一、数列求和的常用方法1、公式法：利用等差、等比数列的求和公式进行求和例题．在等差数列中，已知，．{}n a 15a =59113a a =（1）求数列的前项和的最大值；{}n a n n S （2）若，求数列前项和．n n b a ={}nb n nT练习．已知等差数列的前项和为，且，．{}n a n n S 35a =-424S =-（1）求数列的通项公式；{}n a （2）求数列的前项和的最小值.{}n a n n S 作业．已知数列是公差不为0的等差数列,首项,且成等比数列.{}n a 11a =124,,a a a(1)求数列的通项公式.{}n a (2)设数列满足求数列的前项和为.{}n b 2n an b =，{}n b n n T 2、错位相减法：求一个等差数列与等比数列的乘积的通项的前n 项和，均可用错位相减法例：已知数列，求前项和1312--=n n n a n nS 练习．已知的前n 项和，{}n a 243n S n n =-+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)求数列的前n 项和.162n n a +-⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T 作业1．设数列满足：，.{}n a 212321111 (333)n n a a a a n -++++=n ∈+N ⑴求；n a ⑵求数列的前项和.{}n a n n S2．设数列是公差为2的等差数列，数列满足，，．{}n a {}n b 11b =22b =()11n n n n a b b n b ++=+（1）求数列、的通项公式； {}n a {}n b （2）求数列的前项和；{}n n a b n n S 3、裂项相消法：将通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项①形如，可裂项成，列出前项求和消去一些项)(1k n n a n +=)11(1kn n k a n +-=n ②形如，可裂项成，列出前项求和消去一些项kn n a n ++=1)(1n k n ka n -+=n 例：已知数列，求前项和1)2()1)(1(11=≥+-=a n n n a n ，n nS练习1．等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足．{}n a 52a 4a 64a 2434a a =Ⅰ求数列的通项公式；(){}n a Ⅱ设，，求数列的前n 项和．()()()1111n n n n a b a a ++=--*n N ∈{}n b n S 练习2．已知数列满足，且，等比数列中，．{}n a 0n a ≠1133n n n n a a a a ++-={}n b 2146,3,9b a b b ===(1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a (2)求数列的前n 项和．{}1n n a a +n S作业1．在等差数列中，为其前项和，且{}n a n S n *()n N ∈335,9.a S ==（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，求数列的前项和。
等差数列求和练习题
等差数列求和练习题一、基础练习题1. 求和公式：已知等差数列的首项为a₁，公差为d，项数为n，求前n项和Sₙ。
解答：Sn = n/2 * (a₁ + an) = n/2 * (a₁ + a₁ + (n-1)d) = n/2 * (2a₁ + (n-1)d)2. 求和公式：已知等差数列的首项为a₁，公差为d，项数为n，求前n项和Sₙ。
解答：Sn = n/2 * (a₁ + an) = n/2 * (a₁ + a₁ + (n-1)d) = n/2 * (2a₁ + (n-1)d)二、练习题1. 求解下列等差数列的前n项和：（1）首项a₁ = 3，公差d = 2，项数n = 5解答：代入求和公式得：S₅ = 5/2 * (3 + 3 + (5-1)*2) = 5/2 * (6 + 8) = 5/2 * 14 = 35（2）首项a₁ = -2，公差d = 3，项数n = 8解答：代入求和公式得：S₈ = 8/2 * (-2 + (-2) + (8-1)*3) = 8/2 * (-4 + 21) = 8/2 * 17 = 68（3）首项a₁ = 1，公差d = 0，项数n = 10解答：代入求和公式得：S₁₀ = 10/2 * (1 + 1 + (10-1)*0) = 10/2 * (2 + 0) = 10/2 * 2 = 102. 求解下列等差数列的前n项和：（1）首项a₁ = 2，公差d = 4，项数n = 6解答：代入求和公式得：S₆ = 6/2 * (2 + 2 + (6-1)*4) = 6/2 * (4 + 20) = 6/2 * 24 = 72（2）首项a₁ = 0，公差d = -3，项数n = 7解答：代入求和公式得：S₇ = 7/2 * (0 + 0 + (7-1)*(-3)) = 7/2 * (0 - 18) = 7/2 * (-18) = -63（3）首项a₁ = 1，公差d = 1，项数n = 100解答：代入求和公式得：S₁₀₀ = 100/2 * (1 + 1 + (100-1)*1) = 100/2 * (2 + 99) = 100/2 * 101 = 5050三、进阶练习题1. 求解下列等差数列的前n项和：（1）首项a₁ = 3，公差d = 2，项数n为首项的二倍解答：由题可知n = a₁ * 2 = 3 * 2 = 6，代入求和公式得：S₆ = 6/2 * (3 + 3 + (6-1)*2) = 6/2 * (6 + 10) = 6/2 * 16 = 48（2）首项a₁ = -2，公差d = 3，项数n为首项的三倍解答：由题可知n = a₁ * 3 = -2 * 3 = -6，代入求和公式得：S₋₆ = -6/2 * (-2 + (-2) + (-6-1)*3) = -6/2 * (-4 + (-21)) = -6/2 * (-25) = 752. 求解下列等差数列的前n项和：（1）首项a₁ = 2，项数n为公差的四倍，公差d = 3解答：由题可知n = d * 4 = 3 * 4 = 12，代入求和公式得：S₁₂ = 12/2 * (2 + 2 + (12-1)*3) = 12/2 * (4 + 33) = 12/2 * 37 = 222（2）首项a₁ = 0，项数n为公差的五倍，公差d = -2解答：由题可知n = d * 5 = -2 * 5 = -10，代入求和公式得：S₋₁₀ = -10/2 * (0 + 0 + (-10-1)*(-2)) = -10/2 * (0 - 18) = -10/2 * (-18) = 90综上所述，通过练习题的求解，我们熟悉了等差数列的求和公式，并能够灵活运用求和公式解决不同条件下的等差数列求和问题。
(完整版)等差数列求和及练习题(整理)
等差数列求和引例：计算1+2+3+4+……+97+98+99+100一、有关概念:像1、2、3、4、5、6、7、8、9、……这样连起来的一串数称为数列；数列中每一个数叫这个数列的一项，排在第一个位置的叫首项，第二个叫第二项，第三个叫第三项，……，最后一项又叫末项；共有多少个数又叫项数；如果一个数列，从第二项开始，每一项与前一项之差都等于一个固定的数，我们就叫做等差数列。
这个固定的数就叫做“公差”。
二、有关公式：和=（首项+末项）×项数÷2末项=首项+公差×（项数-1）公差=（末项-首项）÷（项数-1）项数=（末项-首项）÷公差+1三、典型例题：例1、聪明脑筋转转转：判断下列数列是否是等差数列？是的请打“√”，并把等差数列的首项，末项、公差及项数写出来，如果不是请打“×”。
判断首项末项公差项数（1）1、2、4、8、16、32. （）（）（）（）（）（2）42、49、56、63、70、77. （）（）（）（）（）（3）5、1、4、1、3、1、2、1. （）（）（）（）（）（4）44、55、66、77、88、99、110（）（）（）（）（）例2、已知等差数列1,8,15,…,78.共12项，和是多少？（博易P27例2）（看ppt,推出公式）例3、计算1+3+5+7+……+35+37+39练习2：计算下列各题（1）6+10+14+18+22+26+30 （3）1+3+5+7+……+95+97+99（2）3+15+27+39+51+63 （4）2+4+6+8+……+96+98+100（3）已知一列数4,6,8,10，…，64，共有31个数，这个数列的和是多少？例5、有一堆圆木堆成一堆，从上到下，上面一层有10根，每向下一层增加一根，共堆了10层。
这堆圆木共有多少根？（博易P27例3）（看ppt）练习3：丹丹学英语单词，第一天学了6个单词，以后每一天都比前一天多学会一个，最后一天学会了26个。
等差数列求和与性质
合作探究：
计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100+101
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创设情景
平行四 三角形 边形
若V形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每 一层都比它下面一层 多放一支，最上面 一层有很多支铅笔， 老师说有n支。问： 这个V形架上共放 着多少支铅笔？ 问题就是： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ (n-1) ＋ n 若用首尾配对相加法，需要分类讨论.
倒序相加法
计算： 1
分析：这 其实是求 一个具体 的等差数 列前n项 和.
2
3 (n 1) n ①
2 ＋1 ②
n ＋ (n-1) ＋ (n-2) ＋…＋
2 1 2 3 (n 1) n n (n 1)
n (n 1) 1 2 3 (n 1) n 2
10 10 1 S10 10 500 50 7250 万元 2
答
变式练习
一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最 上面一层铺瓦片21块，往下每一层多铺1 块，斜面上铺了19层，共铺瓦片多少块？
解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦 片数构成等差数列{an}，且a1=21，d=1， n=19. 于是，屋顶斜面共铺瓦片：
n(n 1) Sn na1 d 2
2．等差数列前n项和五个元素,只要 知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另 两个元素.
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又 a1 an a2 a n1 a3 an2 an a1
n(a1 an ) 2Sn n(a1 an ) 即S n 2
求和公式
等差数列的 前n项和等 等差数列的前n项和的公式： 于首末两项 的和与项数 n(a1 an ) 乘积的一半。
小学奥数等差数列求和习题及答案
等差数列求和知识精讲一、定义：一个数列的前n 项的和为这个数列的和。
二、表达方式：常用n S 来表示 。
三：求和公式：和=(首项+末项)⨯项数2÷，1()2n n s a a n =+⨯÷。
对于这个公式的得到可以从两个方面入手：(思路1)1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（） 101505050=⨯= (思路2)这道题目，还可以这样理解：23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即，和 (1001)100 2 10150 5050=+⨯÷=⨯=。
四、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。
譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯。
例题精讲：例1：求和：（1）1+2+3+4+5+6 = （2）1+4+7+11+13=（3）1+4+7+11+13＋ (85)分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。
例如（3）式项数=（85-1）÷3+1=29和=（1+85）×29÷2=1247答案：（1）21 （2）36 （3）1247例2：求下列各等差数列的和。
（1）1+2+3+4+…+199（2）2+4+6+…+78（3）3+7+11+15+…+207分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。
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等差数列求和
引例：计算1+2+3+4+……+97+98+99+100
一、有关概念:
像1、2、3、4、5、6、7、8、9、……这样连起来的一串数称为数列；数列中每一个数叫这个数列的一项，排在第一个位置的叫首项，第二个叫第二项，第三个叫第三项，……，最后一项又叫末项；共有多少个数又叫项数；如果一个数列，从第二项开始，每一项与前一项之差都等于一个固定的数，我们就叫做等差数列。
这个固定的数就叫做“公差”。
二、有关公式：
和=（首项+末项）×项数÷2
末项=首项+公差×（项数-1）
公差=（末项-首项）÷（项数-1）
》
项数=（末项-首项）÷公差+1
三、典型例题：
例1、聪明脑筋转转转：
判断下列数列是否是等差数列是的请打“√”，并把等差数列的首项，末项、公差及项数写出来，如果不是请打“×”。
判断首项末项公差项数（1）1、2、4、8、16、32. （）（）（）（）（）（2）42、49、56、63、70、77. （）（）（）（）（）（3）5、1、4、1、3、1、2、1. （）（）（）（）（）（4）44、55、66、77、88、99、110（）（）（）（）（）
~
例2、已知等差数列1,8,15,…,78.共12项，和是多少（博易P27例2）（看ppt,推出公式）
例3、计算1+3+5+7+……+35+37+39
练习2：计算下列各题
（1）6+10+14+18+22+26+30 （3）1+3+5+7+……+95+97+99
&
（2）3+15+27+39+51+63 （4）2+4+6+8+……+96+98+100
（3）已知一列数4,6,8,10，…，64，共有31个数，这个数列的和是多少
%
例5、有一堆圆木堆成一堆，从上到下，上面一层有10根，每向下一层增加一根，共堆了10层。
这堆圆木共有多少根（博易P27例3）（看ppt）
练习3：
丹丹学英语单词，第一天学了6个单词，以后每一天都比前一天多学会一个，最后一天学会了26个。
丹丹在这些天中共学会了多少个单词
~
等差数列求和练习题
一、判断下列数列是否是等差数列是的请打“√”，并把等差数列的首项，末项及公差写出来，如果不是请打“×”。
判断首项末项公差
1.2、4、6、8、10、12、14、16.（）（）（）（）
2.1、3、6、8、9、11、12、14. （）（）（）（）
3.5、10、15、20、25、30、35. （）（）（）（）
4.3、6、8、9、12、16、20、26.（）（）（）（）
二、请计算下列各题。
)
（1）3+6+9+12+15+18+21+24+27+30+33
（2）4+8+12+16+20+24+28+32+36+40
（3）求3、6、9、12、15、18、21、这个数列各项相加的和。
（4）2+4+6+8+……+198+200
★（5）求出所有三位数的和。
（其他作业：练习册B 1题、4题、6题）。