2009-2010第一学期数理统计与随机过程(研)试题(答案)
专业课2010数理统计与随机过程试题
山东科技大学2010—2011学年第一学期《数理统计与随机过程》考试试卷班级 姓名 学号1.已知0.975 1.96u =,~(2,4)X N ，则0.025{22}P X u -<=；{21}P X -≥=。
正态分布2. 设某样本的观测值为-1，-1，0，1，1，则对应的经验分布函数观测值为。
3.设126,,,X XX 为总体的样本，分布密度为[0,1]上的均匀分布，则样本的最大次序统计量()n X 的分布密度函数为。
4. 设129,,,X X X 为取自总体的样本，又已知XN(0,1)，9i i 11X X 9==∑，则52i i 1E (X X)=-=∑9i X∑所服从的分布为。
5. 设随机过程{()cos ,}X t U t t T =∈，为随机变量，且5,6EU DU ==，求()X t 的方差函数=；自相关函数=。
6.设{(),0}N t t ≥是强度为的泊松过程，则(){1}P N k ==；(){3(1)}P N t N t k +-+==。
7. 设{(),0}X t t ≥为参数是维纳过程，则()5EX =；()()31E N N =⎡⎤⎣⎦。
二、计算与证明（14:小题每题13分，5小题12分，共64分）1.设()1,,n X X 是取自总体的一个样本，总体X 的密度函数为()(),;0,x e x f x θθθ--⎧≥=⎨⎩其余（1）求的矩估计和极大似然估计；（2）的矩估计和极大似然估计是否为无偏的； 2.设某种清漆的9个样品，其平均干燥时间和方差分别为6x =和20.33S =，设干燥时间2~(,)X N μσ，（1）求的置信度为0.95的置信区间；（2）给定水平0.05α=，求假设2200:0.5;:0.5H H σσ≤>的拒绝域（已知0.975(8) 2.3060t =； 20.05(8) 2.733χ=）。
3.假设六个整数1，2，3，4，5，6被随机地选择，重复60次独立实验中出现1，2，3，4，5，6的次数分别为13，19，11，8，5，4，问在5%的显著性水平下随机地选择是否等概率的。
随机过程试题及答案
随机过程试题及答案随机过程是概率论与数理统计的重要理论基础之一。
通过研究随机过程，可以揭示随机现象的规律性，并应用于实际问题的建模与分析。
以下是一些关于随机过程的试题及答案，帮助读者更好地理解与掌握这一概念。
1. 试题：设随机过程X(t)是一个马尔可夫过程，其状态空间为S={1,2,3}，转移概率矩阵为：P =| 0.5 0.2 0.3 || 0.1 0.6 0.3 || 0.1 0.3 0.6 |(1) 计算X(t)在t=2时的转移概率矩阵。
(2) 求X(t)的平稳分布。
2. 答案：(1) 根据马尔可夫过程的性质，X(t)在t=2时的转移概率矩阵可以通过原始的转移概率矩阵P的2次幂来计算。
令Q = P^2，则X(t=2)的转移概率矩阵为：Q =| 0.37 0.26 0.37 || 0.22 0.42 0.36 || 0.19 0.36 0.45 |(2) 平稳分布是指随机过程的状态概率分布在长时间内保持不变的分布。
设平稳分布为π = (π1,π2, π3)，满足πP = π（即π为右特征向量），且所有状态的概率之和为1。
根据πP = π，可以得到如下方程组：π1 = 0.5π1 + 0.1π2 + 0.1π3π2 = 0.2π1 + 0.6π2 + 0.3π3π3 = 0.3π1 + 0.3π2 + 0.6π3解以上方程组可得到平稳分布：π = (0.25, 0.3125, 0.4375)3. 试题：设随机过程X(t)是一个泊松过程，其到达率为λ=1，即单位时间内到达的事件平均次数为1。
(1) 请计算X(t)在t=2时的累计到达次数的概率P{N(2)≤3}。
(2) 计算X(t)的平均到达速率。
4. 答案：(1) 泊松过程具有独立增量和平稳增量的性质，且在单位时间内到达次数服从参数为λ的泊松分布。
所以，P{N(2)≤3} = P{N(2)=0} + P{N(2)=1} + P{N(2)=2} +P{N(2)=3}，其中P{N(2)=k}表示在时间间隔[0,2]内到达的次数为k的概率。
数理统计与随机过程试题
一、（10分）某工程部队的工程师向领导建议，他提出的一项新工艺在不降低工程质量和影响工程进度的同时，还将节省机器运转的开支。
假如采用旧工艺时机器每星期运转开支平均是1000元，又假定新旧工艺机器每星期运转开支X 都是服从正态分布，且具有标准差250元。
使用新工艺后观察了9个星期，其机器运转开支平均每星期是750元。
试在01.0=α的水平下，检验工程师所述是否符合实际，即新工艺是否能节省开支。
（3554.3)8(005.0=t ，8965.2)8(01.0=t ，57.2005.0=u ，33.201.0=u ） 二、（12分）设母体X服从正态分布),(2σμN ，X 是子样),,,(21n X X X Λ的平均数，∑=-=ni i nX X n S 12___2)1（是子样方差，又设),(~21σμN X n +，且与n X X X ,,,21Λ独立，求：（1）X E ，X D ，2n ES ，2n DS ；（2）统计量111+--+n n S XX nn 的分布。
三、（13分）一个罐中装有黑球和白球，其中黑球、白球的个数均未知，如何用统计的方法估计其中黑球与白球的比例。
（建立模型并给出两种估计方法） 四、（15分）以下为温度对某个化学过程的生产量的影响的数据：已知X 和Y 之间具有线性依赖关系。
（1）写出其线性回归模型，并估计参数βα,； （2）讨论回归系数的性质（分布）。
五、（10分）设有一随机过程)( t X ，它的样本函数为周期性的锯齿波。
下图（a ）、（b ）画出了二个样本函数图。
各样本函数具有同一形式的波形，其区别仅在于锯齿波的起点位置不同。
设在0=t 后的第一个零值点位于0τ，0τ是一个随机变量，它在) , 0 ( T 内均匀分布，即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它值001)( 0T t Tt f τ若锯齿波的幅度为A ，求随机过程)( t X 的一维分布函数和分布密度。
六、（10分）() t X 通过一线性系统后产生输出() t Y ，有⎰-=tT t du u X Tt Y )(1)(（1） 求该系统的频率响应函数；（2） 若()t X 为一平稳过程，且其相关函数为,41)(2τλτ-=e R X （λ为常数），求输出过程的谱密度。
数理统计与随机过程 随机过程试题
数理统计和随机过程考试试题一、填空(1，2小题每空3分,3，4，5每空4分，共21分) 1. 设1,,X X X 是来自总体(0,1)XN 的简单随机样本，统计量12()~()C X X t n +，则常数C = ,自由度n = .2. 设),,,(21n X X X 是来自正态总体),(2σμN 的简单随机样本。
记∑==n k k X n X11，*2211()1n k k S X X n ==--∑，则()(X S μ-服从 分布。
3. 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为621()/()X k S k k ωω==+∑,则(0)X R = 。
4．设随机过程()X t ，t T ∈，若 ，则称()X t 为弱平稳过程。
5．设()X t 为标准的Wiener 过程，则其相关函数12(,)X R t t = 。
二、假设总体的分布密度为2222exp(),0(;)00x x x f x x θθθ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩其中0θ>是未知参数，试求参数θ的极大似然估计量.（14分） 三、设112,,,n X X X 是来自总体211~(,)X N μσ的一组样本，212,,,n Y Y Y 是来自总体222~(,)Y N μσ的一组样本，两组样本独立.其样本方差分别为*2*212,S S ，且设221212,,,μμσσ均为未知. 欲检验假设22012:H σσ=，22112:H σσ<，显著性水平α事先给定. 试构造适当检验统计量并给出拒绝域（临界点由分位点给出）.（10分）四、试求随机过程{()cos ,}X t A t t R ω=∈的一维分布函数、一维概率密度函数，自相关函数与协方差函数 ，其中A 服从标准正态分布(0,1).N （15分） 五、（1） 二阶矩过程()X t (01)t ≤<的自相关函数为21212(,)1X R t t t t σ=-，其中120,1t t ≤<，此过程是否均放连续、均方可导，为什么？若均方可导，试求12(,)X R t t '和12(,)XX R t t '（8分）；（2） 设()cos sin X t A t B t αα=+，α为常数，,A B 相互独立同分布于2(0,)N σ，判断()X t 是否均方可积。
华中师范大学2009年随机过程试题A卷附答案
得分 评阅人
三、计算题：（共 1 题，每题 15 分）
设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有 2 户定居，即 2 .如果每户的人口数是随机
变量，一户四人的概率为 1 ，一户三人的概率为 1 ，一户二人的概率为 1 ，一户一人的概率为 1 ，并且每
6
3
3
6
户的人口数是相互独立的，求在五周内移民到该地区人口的数学期望与方差。
2
4t
2
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3 2
(
5
)
= 3
4t 3 页(共 页)
i0
i!
(n i)!
e = (12 ) ((1 2 ) ) n n!
故{Y (t)}服从参数(1 2 ) 的泊松过程。
（2） EZ (t) E[ X1(t) X 2 (t)] EX1(t) EX 2 (t) (1 2 )t,
DZ(t) D[X1(t) X 2 (t)] DX1(t) DX 2 (t) (1 2 )t 由于 EZ(t) DZ(t) ，故 Z (t) 不是泊松过程。
n
=
P {X 2 (t ) X 2 (t) n i, X1(t ) X1(t) i}
i0
n
= P{X 2 (t ) X 2 (t) n i} P{X1 (t ) X1 (t) i} i0
= n e 1 (1 )i e 2 (2 ) ni
从而
x k ( j i) , y k ( j i) .
2
2
由于 x,y 都只能取整数，所以k ( j i) 必须是偶数，又在 k 步中哪 x 步向右，哪 y 步向左是任意的，
2009-2010第一学期数理统计与随机过程(研)试题(答案)
北京工业大学2009-20010学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。
考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。
可以看笔记、作业，但不允许看其它任何打印或复印的资料。
考试时允许使用计算器。
考试时间120分钟。
考试日期：2009年12月31日一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？解：这是单个正态总体),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法.解 85:0=μH ，85:1≠μH选统计量n s x T /0μ-= 已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ， 计算得n s x T /0μ-=31.328/88580=-=查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>，故拒绝0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为该班的英语成绩为85分.解：由极大似然估计得.2ˆ==x λ在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。
则}{k X P =有估计=i p ˆ ,7,0,!2}{ˆ2===-k k e k X P k=0ˆp三、某公司在为期10年内的年利润表如下：(1)求该公司年利润对年份的线性回归方程;(2)对回归方程进行显著性检验：（取05.0=α）；(3)解释回归系数的意义；（4）求第11年利润的预测区间（取050.=α）。
四、用三种不同材料的小球测定引力常数，实验结果如下：在单因素试验方差分析模型下，检验材料对引力常数的测定是否有显著影响？取显著性水平05.0=α, 计算结果保留三位小数。
09年多统B试卷答案
7. 若相互独立的随机变量X 与Y 满足1)(=X D ，4)(=Y D ，则=-)2(Y X D8. 设1216,,,x x x 为正态总体2(, 0.4)N μ的一组样本观测值，样本均值4.36x =，则参数μ的置信水平为0.95的置信区间为 ．二、设随机变量X 的分布函数为()arctan F x A B x =+⋅ ， ()x -∞<<+∞，（1）求 , A B 的值； （2）求概率密度()f x ； （3）求概率()1P X <. （10分）五、已知随机变量(3,1)，且X与Y相互独，(2,1)X N-Y N立，设随机变量27Z X Y=-+，试求()D Z，并求出Z的概率密度E Z和()函数.（8分）生的成绩，算得平均成绩x 为66.5分，标准差s 为7分。
问在显著性水平05.0=α下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？ （8分）九、为研究儿子的身高y (单位：cm)与父亲的身高x (单位：cm)之间的关系，现调查10对父子，得到10对身高数据（略）. 经计算得169.68x =,171.13y =,1108.1xx S =,588.986xy S =,317.461yy S =。
求y 关于x 的经验回归直线方程。
（8分）四：解； 设Y 的分布函数为()Y F y ，()Y F y =()P Y y ≤=(28)P X y +≤=8()2y P X -≤=8()2X y F - （3分）于是Y 的概率密度函数()Y f y =()Y dF y dy=81().22X y f - （6分）注意到 04x <<时， 即816y <<.所以 ()Y f y =8,816320,y y -⎧<<⎪⎨⎪⎩其他 （8分）五：解 由已知有()3E X =-，()1D X =，()2E Y =，()1D Y =，依独立性可得()()2()732270,E Z E X E Y =-+=--⨯+= （2分），()()4()1415D Z D X D Y =+=+⨯=， （4分）再由,X Y 都是正态随机变量，且相互独立，则Z 也服从正态分布，因此Z 的概率密度为：210(), zf z ez -=∈ （8分）参考数据： 20.05(15)25χ=；()1.6450.95Φ= ；()1.50.9332Φ=；()2.50.9938Φ=； ()0.025352.03t = 六：解 设()2221σχS n -=，则()15~22χχ， （2分）因此()()22222151.6664 1.6664151524.996S S P P P χσσ⎛⎫⎛⎫≤=≤⨯=≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（6分） 查表得()20.051524.996χ=， 故有()()21524.9960.95P χ≤= （8分）。
随机过程期末试题及答案
随机过程期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 随机过程的数学定义是：A. 一系列随机变量的集合B. 一系列随机事件的集合C. 一系列随机数的集合D. 一系列确定的数列答案：A2. 马尔可夫性指的是：A. 过程的未来状态只依赖于当前状态B. 过程的过去状态只依赖于当前状态C. 过程的未来状态和过去状态都依赖于当前状态D. 过程的未来状态和过去状态都不依赖于当前状态答案：A3. 泊松过程的特征是：A. 事件在连续时间内均匀且独立地发生B. 事件在离散时间内均匀且独立地发生C. 事件在连续时间内非均匀且独立地发生D. 事件在离散时间内非均匀且独立地发生答案：B4. 布朗运动是：A. 一种确定性过程B. 一种随机游走过程C. 一种马尔可夫过程D. 一种泊松过程答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 随机过程的数学定义是一系列______的集合。
答案：随机变量2. 马尔可夫链的基本性质是______。
答案：无后效性3. 泊松分布的参数λ表示单位时间内事件发生的______。
答案：平均次数4. 布朗运动的增量具有______性。
答案：独立三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述随机过程与随机变量的主要区别。
答案：随机变量是单个的随机试验结果，而随机过程是一系列随机试验结果的集合，具有时间序列特性。
2. 描述马尔可夫链的无后效性。
答案：无后效性指的是马尔可夫链的未来状态只依赖于当前状态，而与过去状态无关。
3. 说明泊松过程的独立增量特性。
答案：泊松过程的独立增量特性指的是在不相交的时间间隔内发生的事件是相互独立的。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 设随机过程{X(t)}为泊松过程，参数λ=3，求t=2时的事件数的分布。
答案：泊松分布，参数λ=6。
2. 给定马尔可夫链的状态转移矩阵P和初始状态分布π，求马尔可夫链在第n步的状态分布。
答案：根据马尔可夫链的性质，第n步的状态分布为πn = πP^n。
【清华】2009-2010秋季学期概率统计参考答案
0 μ1μ2 eμ2u dv −∞ μ1 + μ2
= μ1 μ1 + μ2
pW
,V
(w,
v)
=
μ μ e 1 −μ1wv−μ2v
12
w>0,v>0
pW
(w)
=
μ1μ2
( μ1w + μ2
)2
1w>0
∫ P ( X1 < X 2 ) = P(W < 1) =
1 μ1μ2
0 ( μ1w + μ2
)2
dw
X
≤
t)
=
P( X
≥
e−t )
=
⎧1 − e−t , ⎨ ⎩ 0,
t ≥ 0; t < 0.
故 Z ∼ Exp(1)
(2) 解法 1：卷积公式
+∞
∫ f X +Y (t) = −∞ f X (x) fY (t − x)dx
∫=
1 0
e−
(t
−
x
)1t
−
x
>0
dx
∫ = 1t>0 e−t
min(1,t ) ex dx
∫ ∫ ⎪ t t−x
=⎨ ⎪0 0
f X (x) fY ( y)dydx,
⎪
0
⎩
t ≥ 1; 0 ≤ t < 1;
t < 0.
∫⎧
⎪
1
1
−
e
x−t
dx
0
= 1 − e−t (e −1)
∫ ⎪
=⎨
t
1−
ex−t dx
=
t
+
e−t
随机过程第一、二章测验题答案(2010)
随机过程测试题一答案每题10分1. 在一汽车工厂中，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的。
其一是紧固三只螺栓，其二是焊接两处焊点。
以X 表示由机器人紧固的螺栓不良的数目，以Y 表示由机器人焊接的焊点不良的数目。
据积累资料知),(Y X 具有分布律： Y X 0 1 2 3 0 0.840 0.030 0.020 0.010 1 0.060 0.010 0.008 0.002 20.0100.0050.0040.001(1)求EX ;(2)求]|[j Y X E =，2,1,0=j ;(3)验证 ∑====2}{]|[j j Y P j Y X E EX .解: (1) X 的分布律为 X 0 1 2 3 P0.9100.0450.0320.013148.0=EX .(2) Y 的分布律为 Y 0 1 2 P0.9000.0800.0200=Y 时，X 的条件分布律为X|0=Y 0 123P0.840/0.90.030/0.90.020/0.90.010/0.991]0|[==Y X E ;1=Y 时，X 的条件分布律为X|1=Y 0 123P0.060/0.080.010/0.080.008/0.080.002/0.084.0]1|[==Y X E ;2=Y 时，X 的条件分布律为X|2=Y0 1 2 3P 0.010/0.02 0.005/0.02 0.004/0.02 0.001/0.028.0]2|[==Y X E .(3) EX j Y P j Y X E j ==⨯+⨯+⨯===∑=148.002.08.008.04.09.091}{]|[2.2．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=-.,00,),(其他，y x e y x f y(1)求EX;(2)对任意0>y ,求]|[y Y X E =;(3)验证⎰+∞==0)(]|[dy y f y Y X E EX Y .解: (1)当0>x 时, X 的概率密度为x xy xX e dy e dy y x f x f -+∞-+∞===⎰⎰),()(.1)(0===⎰⎰+∞-+∞dx xe dx x xf EX x X .(2) 对任意0>y , Y 的概率密度为y yy yY ye dx e dx y x f y f --===⎰⎰0),()(.⎪⎩⎪⎨⎧<<==.,0,0,1)(),()|(|其他y x y y f y x f y x f Y Y X21)|(]|[0|ydx y xdx y x f x y Y X E yY X ====⎰⎰+∞ (3)EX dy ye y dy y f y Y X E y Y ==Γ=⋅==⎰⎰+∞-+∞1)3(212)(]|[03．写出六种常见分布（退化、二项、泊松、均匀、指数、正态）的特征函数．分布 记号 概率密度或分布律)x (f特征函数)t (ψ退化 {c} 1}{==c X Pict e0-1 b(1,p) .1,0,}{1===-x q p x X P x x q pe it +二项b(n,p) 独立同分布于b(1,p)的n 个r.v.的和..,,1,0,}{1n x q p C x X P x x x n ===-n it q pe )(+泊松 )(P λ.,2,1,0,!}{ ===-x e x x X P xλλ)1(-it e eλ均匀U(a,b))(1)(),(x I ab x f b a -=t a b i e e iatibt )(--标准正态 N(0,1)2221)(x e x f -=π22t e-正态),(N 2σμ222)(21)(σμσπ--=x e x f2)(2t t i eσμ-指数 )(E λ)()(),0(x I e x f x +∞-=λλit-λλ4．关于独立随机变量序列}{n X ，下列哪些命题是正确的． (1)若 ,2,1,||=+∞<k X E k ，则∏∏===nk k nk k EX X E 11；(2) 若 ,2,1,2=+∞<k EX k ，则∑∑===nk k n k n VarX X Var 11)(；(3) 设)(t f k 为k X 的特征函数，)(t f n S 为∑==nk k n X S 1的特征函数，则∏==nk k S t f t f n 1)()(．(4) 设)(t k φ为k X 的矩母函数，)(t n S φ为∑==nk k n X S 1的矩母函数，则∑==nk k S t t n1)()(φφ．解：（4）错，应为 ∏==nk k S t t 1)()(φφ．5．设ηξ,是相互独立，且都为均值0，方差1的随机变量，令t t X ηξ+=)(，求随机过程}0),({≥t t X 的均值函数和相关函数. 解：;0)()()]([)(=+==ηξμtE E t X E t X;1)()()()]([)(222t D t D t D t X D t x +=+=+==ηξηξσ.1)()()()()()]()([),(22ts E E s t tsE E s X t X E s t R x +=+++==ηξηξ6．X (t )=Y cos(t )+Z sin(t ), t >0，Y , Z 相互独立，且 EY =EZ =0，DY =DZ =σ2. 讨论随机过程{X (t ), t >0}的平稳性.解： 0sin cos )]([)(=+==tEZ tEY t X E t X μ；)]()([),(s X t X E s t R X =).cos(sin sin cos cos )()cos sin sin (cos sin sin cos cos 22222s t EZ s t EY s t YZ E s t s t EZ s t EY s t -=⋅+⋅=++⋅+⋅=σ因)(t X μ为常数，),(s t R X 仅与s t -=τ有关，故)}({t X 是宽平稳过程.7．在电报信号)(t X 的传输过程中，信号由不同的电流符号A A -,给出，而电流的发送又有一个任意的持续时间，电流符号的转换是随机的. 设)(t X 在],0(t 时间内的变号次数)(t N 是参数为λ的泊松过程，且可以表示为)()1)(0()(t N X t X -=，又设)0(X 与}0),({≥t t N 独立，且5.0})0({})0({=-===A X P A X P ，求}0),({≥t t X 的均值函数.解：=)]([t X E 0.8．考虑电子管中的电子发射问题，设单位时间内到达阳极的电子数目N 服从参数为λ的泊松分布. 每个电子携带的能量构成一个随机变量序列 ,,21X X 已知}{k X 与N 独立，}{k X 之间互不相关并且具有相同的均值和方差2,σμ==k k DX EX . 单位时间内阳极接收到的能量为∑==Nk kXS 1. 求S 的均值.解：∑∑+∞=====1}{]|[n Nk kn N P n N XE ES∑∑+∞====01}{][n nk k n N P X E ∑+∞===01}{n n N P nEX∑+∞===01}{n n N nP EX λμ=⋅=1EX EN .9．随机过程}0),({≥t t W 称为参数为2σ的维纳过程, 如果 (1) 0)0(=W ；(2),0t s <≤∀))(,0(~)()(2s t N s W t W --σ；(3) ,0v u t s <<<≤∀ 增量)()(s W t W -与)()(u W v W -相互独立．(1)求}0),({≥t t W 的均值函数)]([t W E 和相关函数)]()([s W t W E . (2)}0),({≥t t W 是否为宽平稳过程？证明：(1),0≥∀t ),0(~)(2t N t W σ, 故0)]([)(==t W E t W μ；又,0t s <≤∀))(,0(~)()(2s t N s W t W --σ, 且增量)()(s W t W -与)(s W 相互独立，故)]()([)]())()([()]()([),(s W s W E s W s W t W E s W t W E s t R W +-==s s W D s W E s W t W E 2)]([)]([)]()([σ=+-=从而),min(),(2s t s t R W σ=.(2)由于),(s t R W 与出发时刻),min(s t 有关，因而}0),({≥t t W 不是宽平稳过程.10． 下面四个随机过程中哪些不是宽平稳过程(A) 随机相位正弦波过程：}0),cos()({≥Φ+=t t t X λ，其中),(~ππ-ΦU ，λ是常数. (B) 白噪声序列: },1,0,{ =n X n 是一列两两互不相关（即m n X EX m n ≠=,0）的随机变量序列，且满足2,0σ==n n DX EX . (C) 移动平均序列：},2,1,0,{11 ±±==∑=-+n a X ki in i n ε，其中},2,1,0,{ ±±=n n ε为白噪声序列，k a a a ,,,21 为任意实数.(D) 强度为λ的泊松过程}0),({≥t t N ，其中)(t N 表示到时刻t 为止事件A 发生的次数. 解: D .。
[理学]2009-第一学期数理统计与随机过程研试题-精品文档
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北京工业大学2009-20010学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。
考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。
考试时允许使用计算器。
考试时间120分钟。
考试日期：2009年12月31日一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？三、某公司在为期10年内的年利润表如下：(1)求该公司年利润对年份的线性回归方程;(2)对回归方程进行显著性检验：（取05.0=α）；(3)解释回归系数的意义；（4）求第11年利润的预测区间（取050.=α）。
四、用三种不同材料的小球测定引力常数，实验结果如下：在单因素试验方差分析模型下，检验材料对引力常数的测定是否有显著影响？取显著性水平05.0=α, 计算结果保留三位小数。
五、某大型设备在任何长度为t 的时间区间内发生故障的次数{}+∞<≤t t N 0),(是强度λ的Poisson 过程，记设备无故障运行时间为T 。
（1）求})(|)({4365==N N P ； （2）求自相关函数),(t s R N ，写出推导过程；（3）求T 的概率分布函数； （4）已知设备已经无故障运行了10小时，求再无故障运行8小时的概率。
六、（15分）设{,}n X n T ∈是一个齐次马尔可夫链，其状态空间}4,3,2,1{,=I ，一步转移概率矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2/12/1004/12/14/1004/14/12/1002/12/1P （1）求}4,2,1,3,2{54321=====X X X X X P ；（2）求}1|3{2==+n n X X P ；（3）讨论此链是否具有遍历性，若是遍历的求其极限分布。
随机过程考试题及答案
随机过程考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 随机过程的数学定义中，通常不包括以下哪一项？A. 样本空间B. 事件集合C. 概率测度D. 随机变量答案：D2. 以下哪个不是随机过程的分类？A. 离散时间随机过程B. 连续时间随机过程C. 确定性过程D. 马尔可夫过程答案：C3. 在随机过程中，以下哪个是描述过程统计特性的参数？A. 均值B. 方差C. 协方差D. 所有以上选项答案：D4. 以下哪个不是随机过程的数学期望的性质？A. 线性B. 非负性C. 可加性D. 乘法性答案：D5. 随机过程的协方差函数描述了什么？A. 过程的均值B. 过程的方差C. 过程的自相关性D. 过程的非线性答案：C二、填空题（每题2分，共10分）1. 随机过程的样本函数是定义在时间轴上的______函数。
答案：随机2. 随机过程的平稳性包括______平稳性和宽平稳性。
答案：严3. 随机过程的遍历性是指过程的统计特性可以通过______观测得到。
答案：足够长时间4. 马尔可夫过程的特点是无后效性，即过程的未来状态只依赖于当前状态，而不依赖于______。
答案：过去状态5. 随机过程的谱密度函数是自相关函数的______。
答案：傅里叶变换三、计算题（每题15分，共30分）1. 给定一个随机过程X(t)，其自相关函数为R_X(τ)=e^(-|τ|)，求该过程的功率谱密度S_X(f)。
答案：S_X(f)=\frac{1}{1+π^2f^2}2. 已知一个离散时间随机过程Y(n)，其均值为μ_Y=0，方差为σ_Y^2=1，且满足Y(n)=Y(n-1)+W(n)，其中W(n)为均值为0，方差为1的白噪声过程。
求Y(n)的自相关函数R_Y(k)。
答案：R_Y(k)=\begin{cases} 1, & k=0 \\ \frac{1}{2^{|k|}}, & k\neq 0 \end{cases}四、简答题（每题5分，共20分）1. 简述随机过程与随机变量的区别。
《数理统计与随机过程》试题
一、(本题10分)设11,,,n n X X X + 是来自总体2(,)N μσ的简单样本，记2,n X S 为前n个样本的均值和方差，试求证：(1)T t n =-二、（本题15 分）设1,,n X X 是来自总体2(,)N μσ的样本，其中μ已知，1）试求出2σ的极大似然估计2ˆσ。
2）证明2ˆσ是2σ的无偏估计。
3）证明2ˆσ是较2211()1nii S XX n ==--∑更有效的估计。
三、(本题15分)设1216,,,X X X 是总体~(,4)X N μ的样本，1）试证：对假设01:0:0H H μμ=↔≠，其两个拒绝域1{2 1.645}W X =≤-与2{1.52 2.125}W X =≤≤有相同的显著性水平0.05.α=2）求μ的置信度为95.0的单侧置信下限。
四、（本题15 分）某研究所推出一种感冒新药，为证明其疗效，选择了200名感冒患者，将其分为两组，一组不服药，另一组服药，数天后治愈情况如下表：试在显著性水平05.0=α的水平下，检验这种感冒新药是否有明显的疗效。
五、(本题15分)考察温度x 0C 对产量y （kg ）的影响，测得 10组数据如下表：( 1010102211142.5,18.6,20125,3564.1,8365iii i i i i x y x y x y ========∑∑∑ )应用线性模型,10~110=++=i x y i i i εββ其中),,0(~2σεN i 且相互独立1）试求回归方程及回归决定系数2R 。
2）试检验回归方程的显著性(0.05α=)。
3）当自变量042x =0C 时，求预测值0y 及其95%的预测区间。
六、(本题15分)设随机相位正弦波过程()cos()X t A t ωξ=+，其中A 为常数，随机变量ξ服从[0,2]π上的均匀分布，证明：()X t 为宽平稳过程；七、(本题15分)在某城市的地价预测研究中，将每月的地价分为“上涨”、“持平”、“下跌”三个状态，用1、2、3表示，用n X 表示第n 月的地价状态，则可以认为}2,1,0,{ =n X n 为齐次马尔可夫链，转移概率矩阵为：1/21/201/31/31/31/61/21/3P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（1）试说明该马氏链是遍历链；（2）求其平稳分布，并给出实际意义的解释。
随机过程试题及答案
随机过程试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 随机过程的数学定义是什么？A. 一系列随机变量的集合B. 一系列随机事件的集合C. 一系列随机数的集合D. 一系列随机函数的集合答案：A2. 马尔可夫链的无记忆性是指什么？A. 未来的状态只依赖于当前的状态B. 未来的状态只依赖于过去的状态C. 未来的状态只依赖于过去和现在的状态D. 未来的状态不依赖于任何状态答案：A3. 布朗运动的增量具有什么性质？A. 独立性B. 均匀分布C. 正态分布D. 指数分布答案：A4. 随机过程的平稳性是指什么？A. 过程的统计特性随时间不变B. 过程的统计特性随时间变化C. 过程的状态随时间不变D. 过程的状态随时间变化答案：A5. 泊松过程是哪种类型的随机过程？A. 连续时间随机过程B. 离散时间随机过程C. 离散空间随机过程D. 连续空间随机过程答案：A二、填空题（每题2分，共10分）1. 随机过程的样本函数是定义在时间轴上的______函数。
答案：随机2. 随机过程的独立增量性质是指在不相交的时间间隔内，随机过程的增量是______的。
答案：相互独立3. 随机过程的遍历性是指在足够长的时间后，随机过程的统计特性将______。
答案：趋于稳定4. 随机过程的平稳性分为严格平稳和______平稳。
答案：宽5. 一个随机过程的自相关函数是描述该过程在不同时间点的______的函数。
答案：相关性三、简答题（每题10分，共20分）1. 简述什么是随机过程的遍历性。
答案：随机过程的遍历性是指在足够长的时间后，随机过程的统计特性将趋于稳定，即过程的统计特性不随时间变化而变化，表现出一种长期的行为模式。
2. 描述随机过程的平稳性与独立增量性质的区别。
答案：随机过程的平稳性是指过程的统计特性随时间不变，即在任意时间点上，过程的统计特性都相同。
而独立增量性质是指在不相交的时间间隔内，随机过程的增量是相互独立的，即一个时间间隔内的增量不影响另一个时间间隔内的增量。
随机过程期末考试题库及答案pdf
随机过程期末考试题库及答案pdf1. 随机过程期末考试题库及答案pdf以下是随机过程期末考试的题库及答案，供同学们参考。
一、选择题1. 假设随机过程{X(t), t≥0}是独立增量过程，那么下列哪个说法是正确的？A. X(t)的增量是独立的B. X(t)的增量是平稳的C. X(t)的增量是独立且平稳的D. X(t)的增量是相关且非平稳的答案：C2. 马尔可夫链具有以下哪种性质？A. 无记忆性B. 有记忆性C. 有周期性D. 以上都不是答案：A二、填空题1. 如果随机过程{X(t), t≥0}的自相关函数R(τ)满足R(τ) = R(-τ)，则该过程是__________的。
答案：对称2. 随机过程{X(t), t≥0}的均值函数为μ(t)，若μ(t) = 0，则称该过程为__________。
答案：零均值三、简答题1. 简述什么是泊松过程，并给出其特征。
答案：泊松过程是一种计数过程，其特征包括：- 在任意不相交的时间间隔内发生事件是相互独立的。
- 在任意小的时间间隔内，事件的发生次数服从泊松分布。
- 事件的平均发生率是恒定的。
2. 描述布朗运动的基本性质。
答案：布朗运动的基本性质包括：- 连续性：样本路径是连续的。
- 无记忆性：未来的行为不依赖于过去。
- 独立增量：不同时间间隔的增量是相互独立的。
- 正态分布：任意时间间隔的增量服从以零为均值的正态分布。
四、计算题1. 假设随机过程{X(t), t≥0}是标准布朗运动，求X(t)的均值和方差。
答案：对于标准布朗运动，X(t)的均值为0，方差为t。
2. 给定马尔可夫链的状态转移矩阵P，求状态i在时间t+1时刻的概率。
答案：设状态i在时间t时刻的概率为pi(t)，则状态i在时间t+1时刻的概率为pi(t+1) = Σ(pi(t) * Pij)，其中Pij是状态i转移到状态j的概率。
以上是随机过程期末考试题库及答案的部分内容，希望对同学们的复习有所帮助。
随机过程试题及答案
随机过程试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 随机过程的数学定义中，通常需要满足哪些条件？A. 样本空间、概率测度、随机变量B. 样本空间、概率测度、随机函数C. 样本空间、随机变量、随机函数D. 概率测度、随机变量、随机函数答案：B2. 马尔可夫链的无记忆性指的是什么？A. 过程的未来状态仅依赖于当前状态B. 过程的未来状态仅依赖于过去的状态C. 过程的未来状态依赖于当前和过去的状态D. 过程的未来状态依赖于所有历史状态答案：A3. 在随机过程中，如果一个过程的任何有限维分布都是联合正态的，则称该过程为什么？A. 正态过程B. 高斯过程C. 联合正态过程D. 多元正态过程答案：B4. 以下哪个不是平稳随机过程的性质？A. 一阶矩不随时间变化B. 任意两个不同时间点的协方差仅依赖于时间差C. 过程的均值随时间变化D. 过程的自相关函数仅依赖于时间差答案：C5. 随机过程的谱密度函数与自相关函数之间的关系是什么？A. 互为傅里叶变换B. 互为拉普拉斯变换C. 互为Z变换D. 互为梅林变换答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 如果随机过程的样本路径是连续的，则称该过程为_________。
答案：连续过程2. 随机过程的样本函数是定义在时间轴上的_________。
答案：随机变量3. 对于一个平稳过程，其自相关函数R(τ)仅依赖于时间差τ，而不依赖于绝对时间t，即R(t1, t2) = R(t1 - t2) = R(τ)，其中τ = t2 - t1。
这种性质称为_________。
答案：时间平移不变性4. 随机过程的遍历性是指过程的_________等于其统计平均。
答案：时间平均5. 随机过程的遍历性分为_________遍历性和_________遍历性。
答案：强，弱三、简答题（每题10分，共20分）1. 简述什么是泊松过程，并给出其概率质量函数。
答案：泊松过程是一种描述在固定时间或空间间隔内随机事件发生次数的随机过程。
2009-2010(1)《概率统计》(64)试题答案及评分标准
答案及评分标准专业班级姓名学号开课系室统计系考试日期 2010.01.18注 意 事 项1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．本试卷共七道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 3．在第三页有第一题和第二题答题卡，请将答案填写在答题卡上，答在其它位置不得分。
一．填空题（20分＝2×10）：1. 一个袋子中有5只黑球3只白球，从中任取两次，每次取一只（不放回），若以A 表示：“取到的两只球均为白球”；B 表示：“取到的两只球至少有一只白球”。
则=)(A P __(1)___；=)(B P __(2)___。
2. 设离散型随机变量X 的分布律为()(0,1,2,3)2AP X k k k===+，则A =__(3)___；(3)P X <=__(4)___。
3. 设随机变量1~(18,)3X B 、~(3)Y P ，且相互独立，则：(2)D X Y +=__(5)___；2(2)E X Y -=__(6)___。
4. 设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，用切比雪夫不等式估计{}≤≥-4EX X P __(7)___。
5. 设总体126~(0,3),,,,X N X X X 为来自X 的一个样本，设22123456()()Y X X X X X X =+++++，则当C =__(8)___时，2~(2)CY χ。
6. 设12,,,n X X X 是来自参数为λ的泊松分布总体X 的一个简单随机样本，X 为样本均值，则未知参数λ的矩估计量ˆλ=__(9)___。
7. 设随机过程()X t X ≡（随机变量），EX a =，2(0)DX σσ=>，则()X t 的自相关函数为_ (10)___。
二、选择题(每题2分，满分20分)： 1. 下列各命题中，【 (11) 】为真命题。
(A ) 若()0P A =，则A 为不可能事件； (B ) ()A B B A -= ；(C ) 若A 与B 互不相容，则()1P A B = ；(D ) 设12,,,n A A A 为n 个事件，若对,,1,2,,i j i j n ∀≠= ，均有()()()i j i j P A A P A P A =，则12,,,n A A A 相互独立。
研究生随机过程考试题及答案
R 0 2
由于二阶导数在=0 存在，故过程是均方可微的。
1 1 1 2 1 3 2 6 3 1 1 1 2 1 2 3 2 2 9 3 5 1 2 3 3 9 6 1 2 3 1
得：
8 9 6 , 2 , 3 23 23 23 8 9 即极限分布为： , , 23 23
所以具有平稳性。
1 t lim T 2T
T
T
A cost dt
T
T
lim
A sin T cos 0 m T
故均值具有各态历经性。
t t lim
lim A 2
2
1 T 2T A 2T
t t cos0 t , t ，其中0 是常数，为均
匀分布在[0,2]上的随机变量，且 t , t 与相 互独立， R()和 S()分别是 t , t 的相关函数 与功率谱密度，试证：
故为平稳过程
（2）
S e j R d e j
1 R cos 0 d 2
e
j
1 e R 2
j0
e j0 d 2
1 j 0 e R d e j 0 R d 4
硕士生《随机过程》考试题
1、 （10 分） 有随机过程{(t)， -<t<}和{(t)， -<t<}， 设(t)=A sin( t+)， (t)=B sin( t++), 其中 A， B，
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北京工业大学2009-20010学年第一学期期末
数理统计与随机过程(研) 课程试卷
学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。
考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛
骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。
可以看笔记、作业，但不允许看其它任何打印或复印的资料。
考试时允许使用计算器。
考试时间120分钟。
考试日期：2009年12月31日
一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？
解：这是单个正态总体
),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法.
解 85:0=μH ，85:1≠μH
选统计量
n s x T /0
μ-= 已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ， 计算得n s x T /0μ-=
31.328/88580=-=
查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>，故拒绝0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为该班的英语成绩为85分.
解：由极大似然估计得.2ˆ==x λ
在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。
则}{k X P =有估计
=i p ˆ ,7,0,!2}{ˆ2===-k k e k X P k
=0ˆp
三、某公司在为期10年内的年利润表如下：
(1)求该公司年利润对年份的线性回归方程;(2)对回归方程进行显著性检验：（取05.0=α）；(3)解释回归系数的意义；（4）求第11年利润的预测区间（取050.=α）。
四、用三种不同材料的小球测定引力常数，实验结果如下：
在单因素试验方差分析模型下，检验材料对引力常数的测定是否有显著影响？取显著性水平05.0=α, 计算结果保留三位小数。
五、某大型设备在任何长度为t 的时间区间内发生故障的次数{}+∞<≤t t N 0),(是强度λ的Poisson 过程，记设备无故障运行时间为T 。
（1）求})(|)({4365==N N P ； （2）求自相关函数),(t s R N ，写出推导过程；
（3）求T 的概率分布函数； （4）已知设备已经无故障运行了10小时，求再无故障运行8小时的概率。
六、（15分）设{,}n X n T ∈是一个齐次马尔可夫链，其状态空间}4,3,2,1{,=I ，
一步转移概率矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=2/12/1004/12/14/1004/14/12/1002/12/1P （1）求}4,2,1,3,2{54321=====X X X X X P ；
（2）求}1|3{2==+n n X X P ；
（3）讨论此链是否具有遍历性，若是遍历的求其极限分布。
七、设X(t)是平稳随机过程，若)2cos()()(Θ+=t t X t Y π，其中Θ是在)2,0(π上服从均匀分布的随机变量且与X(t)独立，问)(t Y 是否是平稳随机过程？
标准答案（仅供参考）
一．这是单个正态总体
),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法.
解 85:0=μH ，85:1≠μH
选统计量
n s x T /0
μ-= 已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ， 计算得n s x T /0μ-=
31.328/88580=-=
查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>，故拒绝0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为该班的英语成绩为85分.
七．解：设)(,)(τμx x R c t =，
)]2[cos()()]([)(Φ+∏==t E t t Y E t X Y μμ
0)2cos(2120=+∏=⎰∏θθd t
τ
τττ∏=-=-∏⋅=Θ++∏+-∏==2cos )()(2cos 2
1)(]}2)(2cos[21)(2cos 21{),()]
()([),(X X X Y R t s s t R s t s t E s t R s Y t Y E s t R 其中 所以，是平稳随机过程
五 解： （}1|3{2==+n n X X P =1/8。
中无零元，所以遍历
3)3(P 。
⎩⎨⎧=+++=1
),,,(),,,(.432143214321ππππππππππππP 的解，具体求解略平稳分布为以下方程组
解得平稳分布为7/1,7/24321====ππππ。