高二数学期末考试试题及其答案

禄劝一中高中2018-2019学年高二（上）期末
数学模拟试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.
1．（5分）已知集合M ={1，2，3}，N ={2，3，4}，则下列式子正确的是（ ） A ．M ⊆N B ．N ⊆M C ．M ∩N ={2，3} D ．M ∪N ={1，4} 2.已知向量，则2
等于（ ）
A ．（4，﹣5）
B ．（﹣4，5）
C ．（0，﹣1）
D ．（0，1）
3.在区间（1，7）上任取一个数，这个数在区间（5，8）上的概率为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
4.要得到函数y =sin （4x ﹣）的图象，只需将函数y =sin4x 的图象（ ） A ．向左平移单位 B ．向右平移单位 C ．向左平移
单位
D ．向右平移
单位
5.已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，给出下面四个命题： ①m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥α ②α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n ③m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α ④α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β 其中正确命题的序号是（ ） A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．②③
6.执行如图所以的程序框图，如果输入a =5，那么输出n =（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
7.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨)的几组对应数据：根据上表提供的数据，若求出关于的线性回归方程为，那么表中的值为 A ． B ． C ． D ． 8.已知f （x ）=（x ﹣m ）（x ﹣n ）+2，并且α、β是方程f （x ）=0的两根，则实数m ，n ，α，β的大小关系可能是（ ）
A x y y
x ˆ0.70.35y
x =+t 3 3.15 3.5 4.5
x 3456y 2.5t 4 4.5
A．α＜m＜n＜βB．m＜α＜β＜n C．m＜α＜n＜βD．α＜m＜β＜n
9.已知某锥体的三视图（单位：cm）如图所示，则该锥体的体积为（）
A．2cm3B．4cm3C．6cm3D．8cm3
10.在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，，，则的值为（）A．B．C．D．
11.已知一个三角形的三边长分别是5，5，6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是（）
A．1﹣B．1﹣C．1﹣D．1﹣
12.已知函数f（x）=，x1，x2，x3，x4，x5是方程f（x）=m的五个
不等的实数根，则x1+x2+x3+x4+x5的取值范围是（）
A．（0，π）B．（﹣π，π）C．（lg π，1）D．（π，10）二、填空题（每题5分，满分20分）
13．若直线2x+（m+1）y+4=0与直线mx+3y+4=0平行，则m=．
14.已知=﹣1，则tanα=．
15.若变量x、y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为．
16.已知函数()
3,0
1
,0
2
+≥⎧
⎪
=⎨⎛⎫
<
⎪
⎪
⎝⎭
⎩
k
kx x
f x
x ，若方程()
()20
f f x-=恰有三个实数根，则实数k的
取值范围是
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b sin B=（2a+c）sin A+
（2c+a）sin C．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若b=，A=，求△ABC的面积．
18.已知：
、、是同一平面上的三个向量，其中=(1，2).
① 若||=2，且∥，求的坐标. ② 若||=，且+2与2-垂直，求与的夹角.
19．设S n 是等差数列{a n
}的前n 项和，已知S 3=6，a 4=4． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若b n =3
﹣3
，求证：
+
+…+
＜．
20为了了解某省各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了人，回答问题“某省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表．
（1）分别求出的值；
a b c a c 5c a c b 2
5
a b a b a b n y x b a ,,,
（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？
（3）在（2）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．
21.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，侧面BB1C1C是矩形，D、E 分别是线段BB1、AC1的中点．
（1）求证：DE∥平面A1B1C1；
（2）若平面ABC⊥平面BB1C1C，BB1=4，求三棱锥A﹣DCE的体积．
22.已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．
（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；
（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；
（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积
最大．
禄劝一中高中2018-2019学年高二（上）期末
数学模拟试卷参考答案
一.选择题（每小题5分，共12分）
二、填空题（每小题5分，共12分） 13. -3 14.
15. 3 16. 11,3
⎛⎤
-- ⎥
⎝
⎦
17（Ⅰ）解：∵2b sin B =（2a +c ）sin A +（2c +a ）sin C ， 由正弦定理得，2b 2=（2a +c ）a +（2c +a ）c ， 化简得，a 2+c 2﹣b 2+ac =0． ∴
．
∵0＜B ＜π， ∴B =
．
（Ⅱ）解：∵A =，∴C =．
∴sin C =sin =
=
．
由正弦定理得，，
∵，B =
，
∴
．
∴△ABC 的面积
=
．
18. 解：①设 ∵∥且||=2
∴
∴∴=(2,4)或=(-2，-4) .
),(y x c =→
c a c 5⎩⎨⎧=+=-20
022
2y x y x 2±=x c c
②∵（+2）⊥（2-）∴（+2）·（2-）=0, ∴22+3·-22=0
∴2||2+3||·||-2||2=0 ∴2×5+3××
-2×=0,∴= -1 ∴θ=,∵θ∈[0，π],∴θ=π.
19．解：（1）设公差为d ，则
，
解得，
∴a n =n ．
（2）证明：∵b n =3﹣3=3n +1﹣3n =2•3n ，
∴
=，
∴{}是等比数列．
∵=，q =，
∴++…+==（1﹣）＜．
20解：（1）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为， …（1分） 再结合频率分布直方图可知
,
a b a b a b a b a a b b a a b θcos b 525θcos 4
5
θcos π2πk +2536
.09
==
n 10010
025.025
=⨯∴1000.01100.55a =⨯⨯⨯=
，
…（4） （2）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为： 第2组：
人； 第3组：
人； 第4组：
人 …（8分） （3）设第2组2人为：A 1，A 2；第3组3人为：B 1，B 2，B 3；第4组1人为：C 1． 则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：（A 1,A 2），（A 1,B 1），（A 1,B 2），（A 1,B 3），（A 1,C 1），（A 2,B 1），（A 2, B 2），（A 2,B 3），（A 2,C 1），（B 1,B 2），（B 1,B 3），（B 1,C 1），（B 2,B 3），（B 2,C 1），（B 3,C 1）共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件， …（10分） ∴所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是：． …（12分） 21.（1）证明：取棱A 1C 1的中点F ，连接EF 、B 1F 则由EF 是△AA 1C 1的中位线得EF ∥AA 1，EF =AA 1 又DB 1∥AA 1，DB 1=AA 1 所以EF ∥DB 1，EF =DB 1
故四边形DEFB 1是平行四边形，从而DE ∥B 1F 所以DE ∥平面A 1B 1C 1
（Ⅱ）解：因为E 是AC 1的中点，所以V A ﹣DCE =V D ﹣ACE =
过A 作AH ⊥BC 于H
因为平面平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，所以AH ⊥平面BB 1C 1C ， 所以
=
=
所以V A ﹣DCE =V D ﹣ACE =
=
279.01003.0100=⨯⨯⨯=b 2.0153
,9.020
18
==
==
y x 2654
18
=⨯3654
27
=⨯1654
9
=⨯5
1
153==
P
22.解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4，
则圆心C的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2；
（2）设直线l的方程为y=kx，
联立方程组，
消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0，
则有：；
所以为定值；
（3）解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离，所以，
≤，
当且仅当，即时，△CDE的面积最大，
从而，解之得b=3或b=﹣1，
故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．
解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，
所以≤2，
当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时；
设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离，
由，得，
由，得b=3或b=﹣1，
故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．。