抛物线高三复习专题
2023年新高考数学一轮复习9-5 抛物线(真题测试)含详解
专题9.5 抛物线（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线24y x =上一点M 到x 轴的距离是2，则点M 到焦点F 的距离为（ ）A B ．2C ．D ．32．（2023·全国·高三专题练习）抛物线21:4E y x =的焦点到其准线的距离为（ ） A ．18B ．14C ．2D ．43．（2022·全国·高考真题（文））设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（ ）A ．2B ．C ．3D ．4．（2021·全国·高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ）A ．1B ．2C ．D ．45．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）．A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP6.（2019·全国·高考真题（文））若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．87．（山东·高考真题（文））已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 ,A B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．1x = B ．1x =- C ．2x =D ．2x =-8.（2017·全国·高考真题（理））已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16B ．14C ．12D ．10二、多选题9．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2|OP OQ OA ⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>10．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（ ）A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒11．（2022·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，抛物线E 的方程为214y x =，E 的焦点为F ，直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 的中点到x 轴的距离为2，则下列结论正确的是（ ）A ．E 的准线方程为116y =- B ．AB 的最大值为6C ．若2AF FB =，则直线AB 的方程为1y x =+D ．若OA OB ⊥，则AOB 面积的最小值为1612．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线Γ：()220x py p =>，过其准线上的点(),1T t -作的两条切线，切点分别为A ，B ，下列说法正确的是（ ） A ．2p =B ．当1t =时，TA TB ⊥C ．当1t =时，直线AB 的斜率为2D ．TAB △面积的最小值为4三、填空题13．（2018·北京·高考真题（文））已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：26y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，线段FA 的长度为半径的圆交C 的准线于M ，N 两点，且A ，F ，M 三点共线，则AF =______．15．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点是点F ，则该双曲线的离心率等于______.16.（2021·北京·高考真题）已知抛物线24y x =的焦点为F ，点M 在抛物线上，MN 垂直x 轴与于点N .若6MF =，则点M 的横坐标为_______； MNF 的面积为_______．四、解答题17.（2017·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)．过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点． (1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．18.（2019·全国·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．19．（2019·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．20．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =． (1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．21.（2020·全国·高考真题（理））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.22.（2021·全国·高考真题（文））已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.专题9.5 抛物线（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线24y x =上一点M 到x 轴的距离是2，则点M 到焦点F 的距离为（ ）A B ．2C ．D ．3【答案】B【分析】有题意可知()1,2M ±,由焦点(1,0)F 则可求出点M 到焦点F 的距离. 【详解】M 到x 轴的距离是2，可得()1,2M ±，焦点(1,0)F 则点M 到焦点的距离为2. 故选:B.2．（2023·全国·高三专题练习）抛物线21:4E y x =的焦点到其准线的距离为（ ） A ．18B ．14C ．2D ．43．（2022·全国·高考真题（文））设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（ ）A ．2B ．C ．3D ．故选：B4．（2021·全国·高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ） A ．1 B ．2 C．D ．45．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）．A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP【详解】如图所示：．故选：B.6.（2019·全国·高考真题（文））若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．87．（山东·高考真题（文））已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 ,A B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．1x = B ．1x =- C ．2x = D ．2x=-8.（2017·全国·高考真题（理））已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16 B ．14C ．12D ．10二、多选题9．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2|OP OQ OA ⋅> D ．2||||||BP BQ BA ⋅>所以2212||||(1)||15BP BQ k x x k ⋅=+=+>，而2||5BA =，故D 正确.故选：BCD10．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)Cy px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（ ） A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒33选项；由0OA OB ⋅<，0MA MB ⋅<求得，易得(,0)2p F ，由AF AM =3(4p OA OB ⋅=又(4p MA MB ⋅=-又360AOB AMB OAM OBM ∠+∠+∠+∠=，则180OAM OBM ∠+∠<，D 正确. 故选：ACD.11．（2022·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，抛物线E 的方程为214y x =，E 的焦点为F ，直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 的中点到x 轴的距离为2，则下列结论正确的是（ ）A ．E 的准线方程为116y =- B ．AB 的最大值为6C ．若2AF FB =，则直线AB 的方程为1y x =+D ．若OA OB ⊥，则AOB 面积的最小值为16 ，联立抛物线，由2AF FB =解出A 即可求出面积最小值，即可判断D 选项.【详解】由2AF FB =得直线设直线AB 的方程为4A B x x =-.由于2AF FB =，所以22x =±，所以2124A A y x ==，直线AB 的方程为),y OA ⊥所以AOB 面积的是小值为故选：BCD.12．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线Γ：()220x py p =>，过其准线上的点(),1T t -作的两条切线，切点分别为A ，B ，下列说法正确的是（ ） A ．2p =B ．当1t =时，TA TB ⊥C ．当1t =时，直线AB 的斜率为2D ．TAB △面积的最小值为4220x y ，故AB k C ，切线方程TA ：的方程为1xt y -=-三、填空题13．（2018·北京·高考真题（文））已知直线l过点（1,0）且垂直于x轴，若l被抛物线24y ax=截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：26=的焦点为F，y xA为C上一点且在第一象限，以F为圆心，线段FA的长度为半径的圆交C的准线于M，N两点，且A，F，M三点共线，则AF=______．【答案】6【分析】根据圆的几何性质以及抛物线的定义即可解出．故答案为：6．15．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F与双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M，N两点，且线段MN的中点是点F，则该双曲线的离心率等于______.M在抛物线上，所以M在双曲线上，22cb=-故答案为：16.（2021·北京·高考真题）已知抛物线24y x=的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直x轴与于点N.若6MF=，则点M的横坐标为_______；MNF的面积为_______．FMNS.【FMNS=故答案为：四、解答题17.（2017·北京·高考真题（理））已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点．故A 为线段BM 的中点.18.（2019·全国·高考真题（理））已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |． 利用3AP PB =可得y ()22,B x y 1252x x ∴+= 3AP PB = ∴则419AB =+⋅19．（2019·北京·高考真题（理））已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．D p，过F的直线交C于20．（2022·全国·高考真题（理））设抛物线2=>的焦点为F，点(),0:2(0)C y px pMF=．M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，3(1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．21.（2020·全国·高考真题（理））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.）(),0F c ，的方程为x =21c=+，解得抛物线2C 的方程为24y cx =，联立24x c y cx=⎧⎨=⎩，43CD =即223c ac +01e <<，解得（2）[方法一由椭圆的第二定义知所以12-a22.（2021·全国·高考真题（文））已知抛物线2=>的焦点F到准线的距离为2．C y px p:2(0)（1）求C的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值. ，则(99PQ QF ==-)09,10y ，由P 在抛物线上可得Q 的轨迹方程为的斜率0025OQ y k x ==(1,0),9=PQ QF ，所以29(1)9x y =-=-，所以的斜率为244=y x t 方法四利用参数法，由题可设()24,4(0),(,)>P t t t Q x y ，求得x,y 关于t 的参数表达式，得到直线OQ 的斜率关于t 的表达式，结合使用基本不等式，求得直线OQ 斜率的最大值.。
抛物线课件-2025届高三数学一轮复习
A. 2
B. 3
[解析]
2
C. 4
2
D. 8
由题意，知抛物线的焦点坐标为( ，0)，椭圆的焦点坐标为(±
2
所以 ＝ 2 ，解得 p ＝8，故选D.
D )
2 ，0)，
5. 已知抛物线 y 2＝2 px ( p ＞0)的焦点为 F ，点 M (2，2 2 )为抛物线上一点，则
｜MF｜＝(
A. 2
2
即 p ＝2，所以A选项正确.
＝ − 3（ − 1),
对于B，不妨设 M ( x 1， y 1)， N ( x 2， y 2)， x 1＜ x 2，联立方程得 2
= 4，
1
消去 y 并整理得3 x 2－10 x ＋3＝0，解得 x 1＝ ， x 2＝3.由抛物线的定义得，｜ MN｜＝
x 1＋ x 2＋ p ＝
B )
B. 3
C. 4
D. 5
[解析] 因为点 M (2，2 2 )为抛物线上一点，所以将点 M 的坐标代入抛物线的方程
y 2＝2 px ( p ＞0)，可得 p ＝2，所以抛物线的方程为 y 2＝4 x ，可得其准线方程为 x ＝
－1.根据抛物线的定义，得｜ MF ｜＝2－(－1)＝3.故选B.
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
1
S △ AOB ＝ ×｜ AB ｜× ×
2
2
由(2)的推导过程可得，
sin
1
｜｜
2
＋
＝ 2 ，
1−cos
1+cos
si
1
2
α＝ × 2 × ×
2
si
2
＋
高考数学专题《抛物线》习题含答案解析
专题9.5 抛物线1.（2020·全国高考真题（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9【答案】C 【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选：C.2．（2020·北京高三二模）焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（ ） A ．x 2＝4y B ．y 2＝4x C ．x 2＝8y D ．y 2＝8x【答案】D 【解析】根据题意，要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上， 设其标准方程为22(0)y px p =>， 又由焦点到准线的距离为4，即p ＝4， 故要求抛物线的标准方程为y 2＝8x ， 故选：D.3.（全国高考真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k =（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D 【解析】由抛物线的性质可得(1,2)221kP y k ⇒==⇒=，故选D. 4．（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ） A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)练基础【答案】B 【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.5.（2019·四川高三月考（文））若抛物线22y px =的准线为圆2240x y x ++=的一条切线，则抛物线的方程为（ ） A.216y x =- B.28y x =-C.216y x =D.24y x =【答案】C 【解析】∵抛物线22y px =的准线方程为x=2p-，垂直于x 轴． 而圆2240x y x ++=垂直于x 轴的一条切线为4x =-， 则42p=，即8p =． 故抛物线的方程为216y x =． 故选：C ．6.（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________． 【答案】(x -1)2+y 2=4. 【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2， 焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1， 以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.7.（2019·山东高三月考（文））直线l 与抛物线22x y =相交于A ，B 两点，当AB 4=时，则弦AB 中点M 到x 轴距离的最小值为______. 【答案】32【解析】由题意，抛物线22x y =的焦点坐标为（0，12），根据抛物线的定义如图，所求d=111A B AF BF 113M 2222A B AB M ++--==≥= 故答案为：32． 8.（2021·沙湾县第一中学（文））设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且直线AB 的倾斜角为4π，则线段AB 的长是____，焦点F 到A ，B 两点的距离之积为_________.【答案】8 8 【分析】由题意可得直线AB 的方程为1y x =-，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去y 后，利用根与系数的关系，结合抛物线的定义可求得答案 【详解】解：由题意得(1,0)F ，则直线AB 的方程为1y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由241y x y x ⎧=⎨=-⎩，得2610x x -+=， 所以12126,1x x x x +==， 所以12628AB x x p =++=+=，因为11221,122=+=+=+=+p pAF x x BF x x ， 所以()()1212121116118AF BF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++=++=， 故答案为：8，89．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点(),3A m -到焦点F 的距离为5，则m 的值为__________；抛物线方程为__________. 【答案】答案见解析 答案见解析 【分析】由于抛物线的开口方向未定，根据点(),3A m -在抛物线上这一条件，抛物线开口向下，向左、向右均有可能，以此分类讨论，利用焦半径公式列方程可得p 的值，根据点(),3A m -在抛物线上可得m 的值. 【详解】根据点(),3A m -在抛物线上，可知抛物线开口向下，向左、向右均有可能， 当抛物线开口向下时，设抛物线方程为22x py =-（0p >）， 此时准线方程为2py =，由抛物线定义知(3)52p --=，解得4p =.所以抛物线方程为28x y ，这时将(),3A m -代入方程得m =±当抛物线开口向左或向右时，可设抛物线方程为22y ax （0a ≠），从p a =知准线方程为2ax =-，由题意知()25232am am⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解此方程组得11192a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，22192a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，33912a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，44912a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，综合（1）、（2）得92m =，22y x =； 92m =-，22y x =-；12m =，218y x =； 12m =-，218y x =-；m =±28xy .故答案为：92，92-，12，12-，±22y x =，22y x =-，218y x =，218y x =-，28x y .10.（2019·广东高三月考（理））已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点，直线:2l y kx =+与T 相交于,A B 两点.()1若1k =，求FA FB +的值；()2点(3,2)C --，若CFA CFB ∠=∠，求直线l 的方程.【答案】（1）10（2）3240x y +-= 【解析】（1）由题意，可得()0,1F ，设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x =-，又由22121144x x FA FB +++=+()2121222104x x x x +-=+=.（2）由题意，知211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3.3FC =--， 由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC =又2114x FA =+，2214x FB =+，则FA FC FB FC FA FC FB FC =， 整理得()1212420x x x x ++-=，解得32k =-， 所以直线l 的方程为3240x y +-=.1．（2021·吉林长春市·高三（理））已知M 是抛物线24y x =上的一点，F 是抛物线的焦点，若以Fx 为始边，FM 为终边的角60xFM ∠=，则FM 等于（ ） A ．2 B C ．D ．4【答案】D 【分析】设点200,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，取()1,0a =，可得1cos ,2FM a <>=，求出20y 的值，利用抛物线的定义可求练提升得FM 的值. 【详解】设点()00,M x y ，其中2004y x =，则()1,0F ，2001,4y FM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取()1,0a =，则211cos ,2y FM a FM a FM a-⋅<>===⋅⎛，可得4200340480y y -+=，因为20104y ->，可得204y >，解得2012y =，则20034y x ==，因此，014MF x=+=. 故选：D.2.（2017·全国高考真题（文））过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线交C 于点M （在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MNl ⊥，则点M 到直线NF 的距离为（）A. B. D.【答案】A 【解析】设直线l 与x 轴相交于点P ，与直线MN 相交于点Q ，(1,0)F ，设||||MN MF m ==，因为||2,30PF NQM =∠=，所以||4,||2QF QM m ==， 所以42m m +=，解得：4m =，设00(,)M x y ，由焦半径公式得：014x +=， 所以03x=，0y =，所以sin sin 42NP MNF NFP NF ∠=∠===，所以点M 到直线NF 的距离为||sin 4NM MNF ⋅∠=⋅=3．（2020·广西南宁三中其他（理））已知抛物线28C y x =：的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若PQ =，则直线PF 的方程为（ ）A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y ++=【答案】B 【解析】过Q 点作QH PM ⊥于H ，因为PQ =，由抛物线的定义得PQ =，所以在Rt PQH ∆中，4PQH π∠=，所以4PFM π∠=，所以直线PF 的斜率为1k =-，所以直线PF 的方程为()()012y x -=--， 即20x y +-=， 故选B.4.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅的值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C 【解析】因为抛物线21:4C y x =的焦点为(1,0)F ，又直线l 经过1C 的焦点F ，设直线:(1)l y k x =-，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则121=x x由题意可得：1111=-=+-=AB AF BF x x ， 同理2=CD x ，所以12cos01︒⋅=⋅⋅==AB CD AB CD x x . 故选C5．【多选题】（2022·全国高三专题练习）已知抛物线21:C y mx =与双曲线222:13y C x -=有相同的焦点，点()02,P y 在抛物线1C 上，则下列结论正确的有（ ）A ．双曲线2C 的离心率为2B ．双曲线2C 的渐近线为y x = C ．8m =D ．点P 到抛物线1C 的焦点的距离为4【答案】ACD 【分析】由双曲线方程写出离心率、渐近线及焦点，即可知A 、B 、C 的正误，根据所得抛物线方程求0y ，即知D 的正误. 【详解】双曲线2C 的离心率为2e ==，故A 正确；双曲线2C 的渐近线为y =，故B 错误； 由12,C C 有相同焦点，即24m=，即8m =，故C 正确； 抛物线28y x =焦点为()2,0，点()02,P y 在1C 上，则04y =±，故()2,4P 或()2,4P -，所以P 到1C 的焦点的距离为4，故D 正确． 故选：ACD ．6．【多选题】（2021·海南鑫源高级中学）在下列四个命题中，真命题为（ ）A ．当a 为任意实数时，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是243x y =B ．已知双曲线的右焦点为(5，0)，一条渐近线方程为2x -y =0，则双曲线的标准方程为221205x y -= C ．抛物线y =ax 2(a ≠0)的准线方程14y a=-D ．已知双曲线2214x y m +=，其离心率()1,2e ∈，则m 的取值范围(-12，0)【答案】ACD 【分析】求出直线定点设出抛物方程即可判断A ；根据渐近线方程与焦点坐标求出,a b 即可判断B ；根据抛物线方程的准线方程公式即可判断C ；利用双曲线离心率公式即可判断D ． 【详解】对A 选项，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点为()2,3P -，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程设为22x py =，将点()2,3P -代入可得23p =，所以243x y =，故A 正确；对B 选项，知5,2bc a==，又22225a b c +==，解得225,20a b ==，所以双曲线的标准方程为221520x y -=，故B 错； 对C 选项，得21x y a =，所以准线方程14y a=-，正确；对D 选项，化双曲线方程为2214x y m-=-，所以()1,2e =，解得()12,0m ∈-，故正确．故选：ACD7．（2021·全国高二课时练习）已知点M 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，若点M 到两定点(,)A p p ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和最小，则点M 的坐标为______．【答案】,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，根据抛物线的定义可得||||MF MB =， 易知当A ，B ，M 三点共线时||MB MA +取得最小值且为||AB ，进而可得结果. 【详解】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，由抛物线的定义，知点M 到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与点M 到准线的距离相等，即||||MF MB =，所以||||||||MF MA MB MA +=+， 易知当A ，B ，M 三点共线时，||MB MA +取得最小值， 所以min 3(||||)||2p MF MA AB +==，此时点M 的坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为：2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，8．（2021·全国高二课时练习）抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为______.【分析】设=AF a ，=BF b ，根据中位线定理以及抛物线定义可得()12MN a b =+，在AFB △中，由余弦定理以及基本不等式可得)AB a b ≥+，即可求得MN AB 的最大值．【详解】设=AF a ，=BF b ，作AQ 垂直抛物线的准线于点Q ，BP 垂直抛物线的准线于点P .由抛物线的定义，知AF AQ =，BF BP =.由余弦定理得()2222222cos120AB a b ab a b ab a b ab =+=︒=++=+-.又22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()()()22221344a b ab a b a b a b +-≥+-+=+，当且仅当a b =时，等号成立，∴)AB a b ≥+，∴()1a b MN AB +≤=MN AB9．（2020·山东济南外国语学校高三月考）抛物线C ：22y x =的焦点坐标是________；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=________.【答案】1,02⎛⎫⎪⎝⎭9【解析】抛物线C ：22y x =的焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭． 过A 作AM ⊥准线交准线于M ，过B 作BN ⊥准线交准线于N ，过P 作PK ⊥准线交准线 于K ，则由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+． 再根据P 为线段AB 的中点，119(||||)||4222AM BN PK +==+=， ∴9AF BF +=，故答案为：焦点坐标是1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，9AF BF +=．10.（2019·四川高考模拟（文））抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，抛物线过点(),1P p .（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程与其准线l 的方程；（Ⅱ）过F 点作直线与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C 的准线l 上.【答案】（Ⅰ）抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由221p p =⨯，得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-.（Ⅱ）根据题意直线AB 的斜率一定存在，又焦点()0,1F ，设过F 点的直线方程为1y kx =+，联立241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，得，2440x kx --=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x =-.∴()22221212122168x x x x x x k +=+-=+.由214y x =得，1'2y x =，过A ，B 的抛物线的切线方程分别为 ()()1112221212y y x x x y y x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 即21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相加，得()()2212121148y x x x x x =+-+，化简，得()221y kx k =-+，即()21y k x k =--， 所以，两条切线交于点()2,1k -，该点显然在抛物线C 的准线l ：1y =-上.1．（2021·全国高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．D ．4【答案】B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d == 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B.2．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（ ） A B C ．2D ．3练真题【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c ya b-=，解得2b y a =±，所以22b AB a =, 又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a c ，所以222212a cbc =-=，所以双曲线的离心率ce a== 故选：A.3．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）． A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP【答案】B 【解析】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.4.（2021·全国高考真题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 【答案】32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果. 【详解】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直， 所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p ,因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =， (6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=，所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.5．的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：1636．（2020·浙江省高考真题）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【答案】（Ⅰ）1(,0)32；【解析】 （Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++， 由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++， 又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142,?22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤ 所以，p，此时A . 法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m xm+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当m t ==p .。
抛物线+讲义 高三数学一轮复习
8.7.1 抛物线一、课标要求1.了解抛物线的定义几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.2.通过对抛物线的学习，进一步体会数形结合的思想.二、知识梳理1.抛物线的定义（1）定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离_____的点的轨迹.（2）焦点：________叫做抛物线的焦点.（3）准线：________叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=−2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=−2py(p>0)图形顶点对称轴焦点离心率准线方程范围开口方向三、典例探究例1 已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p= ( )A. 2B. 3C. 6D. 9变式：已知抛物线y2=8x在第一象限内的一点A到其焦点的距离为8，则点A的纵坐标为( )A. 2√3B. 6C. 4D. 4√3例2设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3,2)，则|PB|+|PF|的最小值为 ______.变式：设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3,2)，求点P到A(−1,1)的距离与点P到直线x=−1的距离之和的最小值.四、课堂练习1、平面中到点A(1,0)和直线x=−1的距离相等的点的轨迹方程为( )A. y2=2xB. y2=4xC. x2=2yD. x2=4y2、若抛物线x2=my上一点(t,2)到其焦点的距离等于4，则m= ( )A. 8B. 4C. 2D. 123、过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1)，Q(x2,y2)两点，若x1+x2=6，则|PQ|等于( )A. 9B. 8C. 7D. 64、已知△ABC的三个顶点都在抛物线T:y2=2px(p>0)上，C(2,−8)，且抛物线的焦点F为△ABC的重心，则|AF|+|BF|= ( )A. 40B. 38C. 36D. 345、若F为抛物线C:y2=4x的焦点，点M(m,4)在C上，直线MF交C 的准线于点N，则|FN|= ( )A. 54B. 103C. 5D. 126、设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|=|BF|，则|AB|= ( )A.2B. 2√2C. 3D. 3√2。
高三第一轮复习抛物线课件理
特点：对称性、 不变性、可逆性
应用：解决实际问 题，如求抛物线的 顶点、焦点等
注意事项：选择合 适的对称点或对称 直线，避免出现错 误
抛物线在实际生 活中的应用
物理中的抛物线运动
抛物线运动是物体在重力作用下，沿着抛物线轨迹运动的一种运动形式。 抛物线运动的特点是物体在运动过程中，速度、加速度和位移都是变化的。 抛物线运动的应用广泛，如炮弹、火箭、卫星等物体的运动都可以用抛物线运动来描述。 抛物线运动在物理学中具有重要的理论意义和实际应用价值。
抛物线与直线、圆的区别：抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而直线是直线方程，其 图像是一条直线；抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而圆是圆方程，其图像是一个圆。
与双曲线的联系与区别
抛物线与双曲线都是二次曲线，具有共同的性质和特点
抛物线是开口向上的曲线，双曲线是开口向下的曲线
抛物线与双曲线的焦点位置不同，抛物线的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴 上
抛物线在工程学中的应用： 如桥梁设计、建筑设计等
抛物线在生物学中的应用： 如种群增长、生态平衡等
抛物线与其他曲 线的联系与区别
与直线、圆的关系
抛物线与直线的关系：抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而直线是直线方程，其图像是 一条直线。
抛物线与圆的关系：抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而圆是圆方程，其图像是一个圆。
抛物线的几何变 换
平移变换
平移变换的定义：将抛物线沿x轴或y轴移动一定距离 平移变换的公式：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数 平移变换的图形：抛物线沿x轴或y轴移动后的图形 平移变换的应用：解决实际问题，如求抛物线的顶点、对称轴等
伸缩变换
定义：将抛物线沿x轴或y轴进行伸缩变换，得到新的抛物线 伸缩变换公式：x'=kx，y'=ky，其中k为伸缩系数 伸缩变换对抛物线形状的影响：k>1时，抛物线变长；k<1时，抛物线变短 伸缩变换对抛物线顶点的影响：k>1时，顶点向上移动；k<1时，顶点向下移动 伸缩变换对抛物线对称轴的影响：伸缩变换不改变抛物线的对称轴位置
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结
抛物线知识点总结_高三数学知识点总结抛物线是高三数学中一个重要的知识点。
在此，我将总结抛物线的基本性质、方程与图像、相关的计算方法等内容，以便于高三学生复习与应用。
抛物线的基本性质：1. 定义：抛物线是平面上到定点的距离与定直线的距离相等的点的轨迹。
2. 具体形状：抛物线是对称的开口向上或向下的曲线，由一个二次方程所描述。
3. 基本公式：抛物线的一般方程为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实数且a≠0。
4. 坐标轴位置：抛物线的顶点为(xv, yv)，且抛物线关于x轴对称。
当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。
抛物线方程与图像：1. 定点和距离：设定点为F(h, k)，直线为y=p，则抛物线上任意一点P(x, y)到定点的距离PF等于直线的距离PM，即PF=PM。
2. 方程表示：由定点和直线的距离相等得：(x-h)^2+(y-k)^2=(y-p)^2，整理后得到抛物线方程。
3. 顶点坐标：通过对抛物线一般方程进行配方，找到最小值的x坐标xv，再将xv带入一般方程求出y坐标yv，则顶点坐标为(xv, yv)。
4. 对称轴：抛物线的对称轴为x=h，方程为y=k。
5. 函数图像：根据方程求出抛物线上的点，再将这些点连线得到抛物线的图像。
抛物线的相关计算方法：1. 零点：抛物线与x轴相交的点称为零点。
通过令y=0，将抛物线方程改写为二次方程形式ax^2+bx+c=0，再求解此二次方程，可得到抛物线的零点。
2. 判别式：对于一般二次方程ax^2+bx+c=0，判别式Δ=b^2-4ac可以判断方程的解的情况。
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴有两个交点；当Δ=0时，方程有一个实数根，即抛物线与x轴有一个交点；当Δ<0时，方程没有实数根，即抛物线与x轴没有交点。
3. 对称性：由抛物线方程的对称轴得知，点P(x, y)关于对称轴对称的点为Q(2h-x, y)。
高三第一轮复习--抛物线
角度一.动弦中点到坐标轴距离最短问题
例1.已知抛物线x 4 y上有一条长为6的动弦AB,
2
则AB的中点到x轴的最短距离为 3 A. 4 3 B. 2 C.1
D.2
AA1 BB1 由中位线定理得 MM 1 2 因为 AB AF BF AA1 BB1 AA1 BB1
p 0, 2
y
p 2
x 2 2 py p 0
p y 2
2 例： 1 y =4 x 2 4 x =8y
2 2 y 3x 2 5 y 4 x
2 3 x =8y 2 6 x = 9y
判断上述抛物线方程中哪些焦点是在x轴上，哪些 焦点在y轴？并判断焦点坐标及准线方程
p x 2
K
ห้องสมุดไป่ตู้
o
F
x
二、抛物线的标准方程
图形
标准方程 焦点坐标 准线方程
y 2 2 px
p 0
y 2 2 px p 0
p ,0 2
p ,0 2
x
p 2
p x 2
x2 2 py
p 0
p 0, 2
（2）因为 FA FB x1 , y1 1 x2 , y2 1 8 x1 x2 y1 1 y2 1 8 4k = 9 3 解得k 4 l的方程为4 x 3 y 3 0或4 x +3 y +3 0
点F：焦点 定义 定直线：准线 MF =1 MN
二、抛物线的标准方程
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方 程，其中 p 为正常数，表示焦点在 x 轴正半上。
高三数学知识点总结抛物线
高三数学知识点总结抛物线高中数学抛物线切线方程1、已知切点Q(x0，y0)，若y?=2px，则切线y0y=p(x0+x);若x?=2py，则切线x0x=p(y0+y)等。
2、已知切点Q(x0，y0)若y?=2px，则切线y0y=p(x0+x)。
若x?=2py，则切线x0x=p(y0+y)。
3、已知切线斜率k若y?=2px，则切线y=kx+p/(2k)。
若x?=2py，则切线x=y/k+pk/2(y=kx-pk?/2)。
抛物线相关性质1、过抛物线焦弦两端的切线的交点在抛物线的准线上。
2、过抛物线焦弦两端的切线互相垂直。
3、以抛物线焦弦为直径的圆与抛物线的准线相切。
4、过抛物线焦弦两端的切线的交点与抛物线的焦点的连线和焦点弦互相垂直。
5、过焦弦两端的切线的交点与焦弦中点的连线，被抛物线所平分。
高三学习数学的窍门有哪些1、做题后加强反思高三学生一定要明确一点，就是现在正在做的题，一定不是考试的题。
所以高三学生做题不是目的，学会运用数学题目的解题思路和方法才是正道。
因此，高三学生对于每道题都要加以反思。
2、主动复习总结高三学生想要学好数学，进行章节总结是非常重要的。
在初中的时候，都是教师替学生做总结;但是到了高中之后，就需要学生自己来做了。
所以高三学生需要自己常总结，主动复习。
怎样学好高中数学的方法技巧1.先看笔记后做作业有的高一学生感到，老师讲过的，自己已经听得明明白白了。
但是，为什么自己一做题就困难重重了呢?其原因在于，学生对教师所讲的内容的理解，还没能达到教师所要求的层次。
因此，每天在做作业之前，一定要把课本的有关内容和当天的课堂笔记先看一看。
能否坚持如此，常常是好学生与差学生的最大区别。
尤其练习题不太配套时，作业中往往没有老师刚刚讲过的题目类型，因此不能对比消化。
如果自己又不注意对此落实，天长日久，就会造成极大损失。
2.做题之后加强反思学生一定要明确，现在正做着的题，一定不是考试的题目。
而是要运用现在正做着的题目的解题思路与方法。
高三抛物线的知识点归纳
高三抛物线的知识点归纳一、抛物线的定义及方程抛物线是二次函数的图像，它的一般方程可以表示为 y = ax^2 + bx+ c。
在这个方程中，a、b、c 是常数，其中 a 决定抛物线的开口方向和大小，b 影响抛物线沿着 x 轴的位置，而 c 则决定了抛物线与y 轴的交点。
二、抛物线的性质1. 开口方向：当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
2. 对称性：抛物线是轴对称图形，对称轴为直线 x = -b/(2a)。
3. 顶点：抛物线的最高点或最低点称为顶点，其坐标可以通过公式(-b/(2a), -Δ/(4a)) 计算得出，其中Δ = b^2 - 4ac 称为判别式。
4. 焦点和准线：对于开口向上或向下的抛物线，可以定义一个焦点和一条准线。
焦点位于距离顶点 a/(4a) 的位置，准线则是与抛物线对称轴平行且距离顶点 a/(2a) 的直线。
三、抛物线的应用1. 物理现象：在物理学中，抛物线常用于描述物体在重力作用下的抛射运动轨迹。
2. 工程建筑：在建筑设计中，抛物线形状常用于拱桥、穹顶等结构，以实现良好的力学性能。
3. 艺术设计：在艺术领域，抛物线因其优美的曲线被广泛应用于雕塑和装饰品的设计。
四、解题技巧1. 确定方程：根据题目条件确定抛物线的一般方程 y = ax^2 + bx + c。
2. 计算顶点：通过公式 (-b/(2a), -Δ/(4a)) 快速求出抛物线的顶点坐标。
3. 判断交点：通过代入 x 值或 y 值，可以求出抛物线与 x 轴或 y轴的交点。
4. 应用对称性：利用抛物线的对称性简化计算，特别是在求解与抛物线相关的最值问题时。
五、例题分析例1：已知抛物线 y = 2x^2 - 4x + 3，求其顶点坐标和对称轴方程。
解：首先计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4*2*3 = 16 - 24= -8。
由于Δ < 0，该抛物线与 x 轴无交点。
抛物线高三复习专题
一、抛物线的方程例1求满足以下条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：〔1〕过点〔－3，2〕；〔2〕焦点在直线x－2y－4=0上.〔3〕抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M〔-3，m〕到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值〔4〕点M及点F〔4,0〕的距离比它到直线0xl的距离小1，:=5+求点M的轨迹方程〔5〕斜率为1的直线经过抛物线px2的焦点，及抛物线相交y=于两点A、B，线段的长为6，求抛物线的方程〔6〕一抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面，一竹排上载有一宽4米、高6米的大木箱，问能否平安通过？〔7〕点P 、Q 是抛物线22y mx =上两点，PQ 垂直于这条抛物线的对称轴，且||5OP =，O 为坐标原点，||6PQ =，那么 m 的值为 ．〔8〕．抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，那么a 的值为〔 〕A ．81B ．－81C ．8D ．－8〔9〕．在抛物线y px 22=上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，那么p 的值为〔 〕 A. 12B. 1C. 2D. 4〔10〕. 抛物线方程为x y 82=，那么它的焦点坐标是 ，准线方程是 ， 假设该抛物线上一点到y 轴的距离等于5，那么它到抛物线的焦点等于 ， 抛物线上的M到焦点的距离是4，那么点M的坐标是 。
〔11〕. 抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，那么点M 的纵坐标是〔 〕 A ．1617B ．1615 C ．87D ．0〔12〕过抛物线y 2= 4x 的焦点作直线交抛物线于P(x 11)、Q(x 22)两点，假设x 12=6,那么 ︱︱的值为〔 〕A. 10B. 8C. 5D. 6〔13〕斜率为2的直线经过抛物线x y 42=的焦点，及抛物线相交于B A ,两点，那么=||AB 。
〔14〕抛物线x y 22=上的两点B A ,到焦点的距离和是5，那么线段AB的中点到y 轴的距离是 。
高三一轮总复习高效讲义第8章第6节抛物线课件
[思维升华] 求抛物线标准方程的方法 (1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数 p)，那么只需求出 p 即可． (2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在 x 轴上的抛物线的标准方 程可设为 y2＝ax(a≠0)，焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程可设为 x2＝ay(a≠0)，a 的正 负由题设来定．这样就减少了不必要的讨论．
由抛物线的定义可知，点 P 到准线 l 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离，
∴点 P 到直线 l 的距离与点 P 到直线 3x＋4y＋7＝0 的距离之和的最小值为点 F(1，
0)到直线 3x＋4y＋7＝0 的距离，即
|3＋7| 32＋42
＝2．
答案：(1)B (2)2
[思维引申] (换条件)本例(1)中的 B 点坐标改为(3，4)，则|PB|＋|PF|的最小值为 ________．
解析：因为抛物线 C 顶点在原点，焦点在 y 轴上，故设抛物线方程为 x2＝my， 又抛物线过点(2，1)，所以 22＝m，即 m＝4，所以抛物线方程为 x2＝4y． 答案：x2＝4y
4．过抛物线 y2＝4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果 x1＋ x2＝6，则|AB|＝________．
考点 3 抛物线的几何性质[典例引领]
【例 3】 (1)已知抛物线 y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线的焦点
坐标为( )
A．(－1，0)
B．(1，0)
C．(0，－1)
D．(0，1)
(2)已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点，
因此焦点坐标为0，－4 ． 答案：D
2．已知点1，1 在抛物线 C：y2＝2pxp>0 上，则 C 的焦点到其准线的距离为( )
高三抛物线知识点大全
高三抛物线知识点大全一、定义和性质抛物线是指平面上一个动点到一个固定点的距离和到一条固定直线的距离之差等于一个常数的轨迹图形。
具体而言，抛物线由一个焦点F和一条直线（直线称为准线，不过关于准线也可以成为直轴）组成。
二、基本方程抛物线的基本方程为：y² = 2px （p≠0）其中p为焦点到准线的距离（也称为焦距），p的绝对值表示抛物线开口的方向和大小。
三、焦点与准线之间的关系1. 焦点在抛物线的顶点上方并且与准线不相交。
2. 焦点与准线的距离等于顶点到准线的距离。
四、顶点的坐标抛物线的顶点坐标为（0，0）。
五、对称轴对称轴是指过抛物线顶点且垂直于准线的直线。
对称轴的方程为x = 0。
六、焦点的坐标焦点的坐标为（p，0）。
七、准线方程准线的方程为y = -p。
八、参数变换抛物线方程y² = 4ax可以通过参数变换的方式转化为y² = 2px 的形式。
其中参数变换公式如下：x = at²y = 2at九、焦距与顶点到准线的距离的关系焦距绝对值的平方等于抛物线顶点到准线的距离。
十、焦点和顶点到准线距离的关系焦点与顶点到准线的距离之比等于1：2。
十一、切线斜率抛物线上一点处的切线斜率等于该点的横坐标除以2p。
十二、离心率离心率是一个用于衡量抛物线形状的指标，定义为焦点到准线的距离与焦距之比，即e = √(1 + (1/p^2))。
十三、焦点和准线的位置关系焦点在准线之上时，抛物线开口朝上；焦点在准线之下时，抛物线开口朝下。
十四、抛物线与直线的关系1. 抛物线与x轴交点：若y = 0时，解方程y² = 2px，可求得两个交点。
2. 抛物线与y轴交点：若x = 0时，解方程y² = 2px，可求得一个交点。
十五、抛物线与直线的切点将直线方程代入抛物线方程，解方程组可以求得抛物线与直线的切点。
十六、抛物线的焦半径焦半径是指从焦点引出一个与抛物线相切的直线段。
高三抛物线的知识点归纳
高三抛物线的知识点归纳抛物线是高中数学中一个重要的几何形状，它具有很多特殊的性质和应用。
本文将对高三阶段学习抛物线时需要掌握的知识点进行归纳和总结。
一、抛物线的基本定义与性质1. 抛物线的定义：抛物线是平面上到一个定点F（焦点）和一条定直线D（准线）的距离之比为定值（离心率）的点集合。
2. 抛物线的几何特征：对称轴、焦点、准线、顶点。
3. 抛物线的方程：标准形式、一般形式。
4. 抛物线的性质：对称性、单调性、开口方向、顶点坐标计算等。
5. 抛物线的图像与实际应用：拱桥、炮弹运动路径等。
二、抛物线的顶点和焦点1. 抛物线的顶点：抛物线的顶点是抛物线曲线的最高或最低点，对称轴上的点。
2. 求抛物线的顶点：配方法、二次函数的顶点公式。
3. 抛物线的焦点：焦点是指满足抛物线定义的那个固定点，与准线和顶点构成一个等边三角形。
三、抛物线的对称性与轴线方程1. 抛物线的对称轴：对称轴是抛物线的一个特殊直线，使抛物线左右对称。
2. 对称轴的性质：过焦点、顶点的直线，与抛物线的曲线图像有对称关系。
3. 对称轴的方程：求解对称轴的方程，考虑焦点坐标、顶点坐标等信息。
四、抛物线的判定条件1. 抛物线的离心率：离心率决定了抛物线的形状和特征。
2. 离心率的计算和判定：通过焦点和顶点的距离关系计算离心率，在图像上判断抛物线的形状和方向。
五、抛物线的方程及其应用1. 抛物线的标准方程：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不为零。
2. 抛物线方程的求解：已知焦点和准线，求解抛物线的方程。
3. 抛物线方程的应用：物体的抛射运动、摄影、建筑设计等领域。
六、抛物线与其他数学概念的关系1. 抛物线与二次函数：抛物线可以看作是二次函数的一种特殊形式。
2. 抛物线与直线：抛物线与直线有着密切的联系，焦点、准线与直线的交点等。
3. 抛物线与导数：通过求解抛物线的导函数，可以得到切线的斜率和切线方程。
七、抛物线的综合应用1. 抛物线在物理学中的应用：炮弹的抛射运动、天体的运动轨迹等。
高考数学复习重难点三种抛物线解题方法(核心考点讲与练)
重难点14三种抛物线解题方法（核心考点讲与练）能力拓展题型一:定义法求焦半径一、单选题1．（2022·全国·模拟预测（文））对于正数a ，p ，抛物线()24y a px -=的焦点为1F ，抛物线24y x =-的焦点为2F ，线段12F F 与两个抛物线的交点分别为P ，Q ．若123F F =，1PQ =，则22a p +的值为（）A ．6B ．254C ．7D ．2742．（2022·湖北·模拟预测）已知抛物线C 的焦点为F ，点,A B 在抛物线上，过线段AB 的中点M 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为N ，以AB 为直径的圆过点F ，则MNAB的最大值为（）A ．12B C ．2D ．13．（2022·广东佛山·模拟预测）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，过焦点且斜率为的直线l 与抛物线C 交于A ，B （A 在B 的上方）两点，若AF BF λ=，则λ的值为（）A BC ．2D4．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，Q 为C 上一点，M 为C 的准线l 上一点且//QM x 轴.若O 为坐标原点，P 在x 轴上，且在点F 的右侧，4OP =，QF QP =，120MQP ∠=︒，则准线l 的方程为（）A ．165x =-B ．25x =-C ．45x =-D ．85x =-二、多选题5．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线24y x =，焦点为F ，直线l 与抛物线交于A ，B 两点，则下列选项正确的是（）A ．当直线l 过焦点F 时，以AF 为直径的圆与y 轴相切B ．若线段AB 中点的纵坐标为2，则直线AB 的斜率为1C ．若OA OB ⊥，则弦长AB 最小值为8D ．当直线l 过焦点F 且斜率为2时，AB ，AF ，BF 成等差数列6．（2022·福建泉州·模拟预测）已知A （a ，0），M （3，-2），点P 在抛物线24y x =上，则（）A ．当1a =时，PA 最小值为1B ．当3a =时，PA 的最小值为3C ．当1a =时，PA PM +的最小值为4D ．当3a =时，PA PM -的最大值为27．（2022·全国·模拟预测）已知O 为坐标原点，抛物线E 的方程为214y x =，E 的焦点为F ，直线l 与E 交于A ，B 两点，且AB 的中点到x 轴的距离为2，则下列结论正确的是（）A ．E 的准线方程为116y =-B ．AB 的最大值为6C ．若2AF FB = ，则直线AB 的方程为14y x =±+D ．若OA OB ⊥，则AOB 面积的最小值为168．（2022·广东佛山·模拟预测）已知直线l ：2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与抛物线C ：()220y px p =>相交于A ，B 两点，点A 在x 轴上方，点()1,1M --是抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（）A ．2p =B ．2k =-C ．MF AB ⊥D ．25FA FB =9．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交该抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，点T （-1，0），则下列结论正确的是（）A ．124y y =-B ．111AF BF+=C ．若三角形TAB 的面积为S ，则S 的最小值为D ．若线段AT 中点为Q ，且2AT BQ =，则4AF BF -=三、解答题10．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）曲线C 10x +=，点D 的坐标()1,0，点P 的坐标()1,2.(1)设E 是曲线C 上的点，且E 到D 的距离等于4，求E 的坐标：(2)设A ，B 是曲线C 上横坐标不等于1的两个不同的动点，直线PA ，PB 与y 轴分别交于M ､N 两点，线段MN 的垂直平分线经过点P .证明；直线AB 的斜率为定值，并求出此值.11．（2022·河南焦作·三模（理））已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线8y =与抛物线C 交于点P ，且5||2PF p =．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作抛物线C 的两条互相垂直的弦AB ，DE ，设弦AB ，DE 的中点分别为P ，Q ，求PQ 的最小值．12．（2022·贵州毕节·三模（理））已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且点F 与()22:21M x y +-= 上点的距离的最大值为114．(1)求p ；(2)当01p <≤时，设B ，D ，E 是抛物线C 上的三个点，若直线BD ，BE 均与M 相切，求证：直线DE 与M 相切．题型二：定义转换法求距离的最值问题一、单选题1．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知定点(3,3)M -，点P 为拋物线2:4C x y =上一动点，P 到x 轴的距离为d ，则||d PM +的最小值为（）A ．4B ．5C1D2．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（文））已知抛物线28y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，则9AF BF-的最小值为（）A ．1B ．32C ．52D ．63．（2022·河北张家口·三模）已知点P 是抛物线24y x =上的动点，过点P 向y 轴作垂线，垂足记为N ，动点M 满足||||PM PN +最小值为3，则点M 的轨迹长度为（）A ．163πB ．8πC ．163π+D ．8π+4．（2022·全国·模拟预测）已知点P 为抛物线2:4C y x =上的动点，点F 为抛物线的焦点，点()3,2A ，设点Q 为以点P 为圆心，PF 为半径的圆上的动点，QA 的最大值为Q d ，当点P 在抛物线上运动时，则Q d 的最小值为（）A ．B C ．4D ．55．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知M 是抛物线212x y =上一点，F 为其焦点，()3,6C ，则MF MC +的最小值为（）A ．10B ．9C ．8D ．76．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 且倾斜角为4π的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，||8AB =，过A ，B 两点分别作抛物线的切线，交于点Q ．下列说法正确的是()A ．QA QB⊥B ．AOB (O 为坐标原点)的面积为C ．112||||AF BF +=D ．若()1,1M ，P 是抛物线上一动点，则||||PM PF +的最小值为52二、多选题7．（2022·河北·模拟预测）设抛物线2:8C x y =的焦点为F ，准线为l ，()00,P x y 为C 上一动点，(2,1)A ，则下列结论正确的是（）A ．当02x =时，抛物线C 在点P 处的切线方程为220x y --=B ．当04x =时，||PF 的值为6C ．||||PA PF +的最小值为3D ．||||PA PF -8．（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）已知F 是抛物线24y x =的焦点，P 是抛物线24y x =上一动点，Q 是()()22:411C x y -+-= 上一动点，则下列说法正确的有（）A ．PF的最小值为1B ．QF C ．PF PQ +的最小值为4D ．PF PQ +19．（2022·福建福州·三模）已知抛物线()220y px p =>的准线为l ，点M 在抛物线上，以M 为圆心的圆与l 相切于点N ，点()5,0A 与抛物线的焦点F 不重合，且MN MA =，120NMA ∠=︒，则（）A ．圆M 的半径是4B ．圆M 与直线1y =-相切C ．抛物线上的点P 到点A 的距离的最小值为4D ．抛物线上的点P 到点A ，F 的距离之和的最小值为4三、填空题10．（2021·山东·青岛西海岸新区第一高级中学高三期末）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点(002p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线2px=MA ，若2MA AF=，则AF =___________.四、解答题11．（2022·浙江·高三专题练习）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，经过拋物线22:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线1l 与2C 交于,P Q 两点，2C 在点P 处的切线2l 交1C 于,A B 两点，如图.(1)当直线PF 垂直x 轴时，2PF =，求2C 的准线方程；(2)若三角形ABQ 的重心G 在x 轴上，且2a b <，求PF QF的取值范围.题型三：定义法求焦点弦一、单选题1．（2022·河北石家庄·高三阶段练习）过抛物线2:4C y x =的焦点作直线交抛物线于A ，B 两点，若A 、B 两点横坐标的等差中项为2，则||AB =）A ．8B ．6C ．D ．42．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 分别作两条直线12,l l ，直线1l 与抛物线C 交于A 、B 两点，直线2l 与抛物线C 交于D 、E 两点，若1l 与2l 的斜率的平方和为2，则AB DE +的最小值为（）A ．24B ．20C ．16D ．12二、多选题3．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知抛物线24y x =，过焦点F 作一直线l 交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，以下结论正确的有（）A ．AB 没有最大值也没有最小值B ．122AB x x =++C ．124y y =-D ．111FA FB+=4．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y 、()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则（）A ．若126x x +=，则8PQ =B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设()0,1M ，则1PM PP +≥D ．过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条三、填空题5．（2022·全国·模拟预测）抛物线2:2C y px =的焦点F 恰好是圆()2211x y -+=的圆心，过点F 且倾斜角为45︒的直线l 与C 交于不同的A ，B 两点，则AB =______．6．（2022·辽宁·模拟预测）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，直线l 过点F 与C 交于A ，B 两点，与C 的准线交于点P ，若3AP BP =，则l 的斜率为______．四、解答题7．（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3π的直线被E 所截得的弦长为16.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点C 为抛物线上的任意一点，以C 为圆心的圆过点F ，且与直线12y =-相交于,A B 两点，求FA FB FC ⋅⋅的取值范围.8．（2022·全国·模拟预测）直线l ：kx －y －k ＝0过抛物线C ：()220y px p =>的焦点F ，且与C 交于不同的两点A ，B ．(1)若AF ，BF ，AB 成等差数列，求实数k 的值；(2)试判断在x 轴上存在多少个点()(),00T t t >，总在以AB 为直径的圆上．高考一轮复习专项。
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高三专题复习 ----抛物线一、选择题（每小题 5 分，共计 60 分。
请把选择答案填在答题卡上。
）1．抛物线x2 4 y 上一点 A 的纵坐标为 4，则点 A 与抛物线焦点的距离为（）(A) 2(B) 3(C) 4(D) 52．抛物线 y=4 x2上的一点 M 到焦点的距离为1，则点 M 的纵坐标是（）17157( D ) 0( A )( B )( C )161683．抛物线以原点为顶点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线x 2 y40 上，则抛物线的方程为（）（ A ）y216x（ B）x28 y（ C）x28y 或 y216x（D ）x28 y 或 y216x 4．过抛物线y24x 的焦点作直线交抛物线于点P x1, y1,Q x2 , y2两点，若x1x2 6 ，则PQ 中点 M 到抛物线准线的距离为（）（ A ） 5（B ） 4（ C）3（ D） 2 5．设抛物线 y2=8 x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（）（ A） [－1，1]（ B ）[ － 2， 2]（ C） [－ 1， 1]（ D） [－ 4， 4] 226．已知点A(2,0)、 B(3,0)uuur uuurx2，则点P的轨迹是（，动点 P( x, y)满足 PA PB）（ A ）圆（ B）椭圆（ C）双曲线（ D）抛物线7.若抛物线的顶点在原点,对称轴在坐标轴上,且焦点在直线x － y+1=0上,则此抛物线方程为（）(A)x 2=2y,y 2=－2x (B) x2=－2y,y 2=2x(C) x 2 =－ 4y,y 2=4x(D) x2=4y,y 2 =－4x8．如果方程y=kx+3 表示倾斜角为钝角的直线,那么方程kx 2+3y2=1 表示的曲线是（）(A) 圆 ;(B) 抛物线 ;(C)椭圆 ;(D) 双曲线 .9．过抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A （ x1，y1），B（ x2， y2）两点，如果x1+x 2=6 ，那么|AB|=（）(A)10;(B)8;(C)6;(D)4.10．定点 P(0,2)到曲线 y=| 1x2－1|上点的最短距离为（）2(A)5(B)1(C)2(D)611．一元二次方程ax2 +bx+c=0 (a,b,c ∈ R，且 a≠ 0)的判别式是1，两根之积为－8， .则（ b， c）的轨迹是（）(A) 椭圆(B) 双曲线(C)抛物线(D) 两个点12．过抛物线焦点 F 的直线与抛物线相交于 A 、 B 两点，若 A 、 B 在抛物线的准线上的射影分别是 A 1， B1，则∠ A 1FB 1等于（）(A)45 0;(B)60 0 ;(C)900 ;(D)120 0.题号123456789101112答案D B C B C D D D B B A C 二 .填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20 分） .13．抛物线x8y2的准线方程为x=﹣ 1/3214．抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴且焦点在双曲线y 2x291 上，则抛物线的标准方程4为x2 =± 12Y15．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y 轴，在抛物线上有一点M ( a,4) 到焦点F的距离5， 抛物 的 准方程x 2=-4Y， a 的a=± 416.抛物y 2=－ 12x 的一条弦的中点M （－ 2，－ 3）， 此弦所在直 的方程是2x-y+1=0.三、解答 ：解答 写出文字 明、 明 程或演算步 （本大 共6 个大 ，共72 分） .17.（本小 分12 分）已知抛物 点在原点，焦点在x 上，又知此抛物 上一点A （ 4，m ）到焦点的距离 6. 不同的两点 A 、 B ，且（ 1）求此抛物 的方程；AB 中点横坐2，求（ 2）若此抛物 方程与直 k的 .y kx2 相交于解：（ 1）由 意 抛物 方程y 22 px，其准 方程xP，⋯⋯⋯⋯2 分2∵ A （ 4， m ）到焦点的距离等于A 到其准 的距离4P6p4 ∴此抛物 的方程y 28x ⋯⋯⋯⋯ 6 分2（ 2）由y 2 8x 消去 y 得 k 2 x 2 (4k 8)x40 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分y kx 2∵直 ykx 2 与抛物 相交于不同两点k 0⋯⋯⋯⋯ 10 分A 、B ， 有解得 k 1且k 0 解得 k 2或 k1（舍去）∴所求 k 的 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分18. （本小 分12 分） 在ABC 中，角 A 、B 、C 所 的 分1a 、b 、c ，且 cos A.3（Ⅰ）求 sin 2BCcos2 A 的 ；（Ⅱ）若 a3 ，求 bc 的最大 .2解析 : ( Ⅰ)sin 2 B Ccos 2A1[12=cos(BC )] (2 cos 2 A 1)2=1(1 cos A)(2cos 2A 1) =1(1 1 ) ( 21) =122 399( Ⅱ) ∵ b 2c 2 a 2cos A12bc3∴2bc b2c2a22bc a 2,又∵ a3∴ bc9 . 34当且当 b=c= 3,bc=9, 故 bc 的最大是9.24419.（本小分12 分）正方形的一条 AB 在直 y=x+4 上，点 C、 D 在抛物 y2=x 上，求正方形的 .解： CD的方程 y=x+b, 由y x b消去 x 得 y2 -y+b=0 ， C(x 1,y 1 ),D(x 2,y 2),y1+y2=1,y 1y2=b,y2x∴｜ CD｜ =11( y1y1 ) 24y1 y2=24b8b ，又AB与CD的距离d=, 由 ABCD正k 22方形有 28b =4b2 或5 2 ., 解得 b=-2 或 b=-6. ∴正方形的 3220. （本小分12 分）已知等差数列 { a n} 中， a2=8,前 10 和 S10=185.（ 1）求数列 { a n} 通；（2）若从数列 { a n} 中依次取第 2 、第 4 、第 8 ，⋯，第2n，⋯，按原来的序成一个新的数列{ b n} ，求数列 { b n} 的前 n和 T n.a1 d8【解】（ 1） { a n } 公差 d,有10 910a1 d 1852解得 a1=5,d=3∴ a n=a1+(n－1)d=3n+2(2)∵ b n=a 2n =3×2n+2∴ T n 1 2n12n1+22n n=b +b +⋯+b =(3×2 +2)+(3×2 +2)+⋯ +(3 ×2+2)=3(2+⋯ +2 )+2 n=6×2 +2 n－6.21.（本小分 12 分）在斜三棱柱 ABC — A B C中，111AC=BC ， D AB 的中点，平面 A B C ⊥平面ABB A，11111B1异面直 BC1与 AB 1互相垂直 .C1 A 1（ 1）求： AB 1⊥平面 A 1CD ；B（ 2）若 CC1与平面 ABB 1A1的距离1，且 A 1C=37 ，C AAB 1=5，求三棱 A 1— ACD 的体三棱 A 1— ACD 的体 =5/322. （本小分12 分）函数 f (x) ( x 1)ln( x 1) ，若所有的x 0 ，都有 f ( x)ax 成立，求数 a 的取范 .令g（x） =（ x+1） ln（ x+1 ） -axg ' ( x) =ln（x+1）+1-a令g' ( x) =0，得x=e a-1-1（ 1）当a≤1，所有x>0, 有g'(x) >0∴g(x) 在 [0,+ ∞)上是增函数⋯⋯数 a 的取范 (- ∞ ,1 ]。
抛物线课件高三数学一轮复习
＝0，解得 p ＝－42（舍去）或 p ＝6.故选C.
法二
根据抛物线的定义及题意得，点 A 到 C 的准线 x ＝－ 的距离为
2
12，因为点 A 到 y 轴的距离为9，所以 ＝12－9，解得 p ＝6.故选C.
2
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高中总复习·数学（提升版）
2. （2024·全国乙卷13题）已知点 A （1， 5 ）在抛物线 C ： y 2＝2 px
1｜≥3，故点 M 到 x 轴的距离 d ≥2，故最短距离为2.
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高中总复习·数学（提升版）
抛物线的标准方程与几何性质
【例3】 （1）已知 F 为抛物线 C ： y 2＝2 px （ p ＞0）的焦点，过 F
作垂直于 x 轴的直线交抛物线于 M ， N 两点，以 MN 为直径的圆交 y 轴
于 C ， D 两点，且｜ CD ｜＝3，则抛物线方程为（
上，则 A 到 C 的准线的距离为
9
4
.
解析：∵点 A （1， 5 ）在抛物线 y 2＝2 px 上，∴5＝2 p ，得 p ＝
5
5
9
，∴点 A 到准线的距离为 xA ＋ ＝1＋ ＝ .
2
2
4
4
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高中总复习·数学（提升版）
直线与抛物线的位置关系
【例4】 （多选）（2024·新高考Ⅱ卷10题）设 O 为坐标原点，直线 y
2. 抛物线性质的应用技巧
（1）利用抛物线方程确定其焦点、准线时，关键是将抛物线方程
化成标准方程；
（2）要结合图形分析，灵活运用平面图形的性Байду номын сангаас简化运算.
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高中总复习·数学（提升版）
抛物线(高三一轮复习)
可知当A，P，H三点共线时周长最小，为6＋2 2，故选C.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
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命题点2 抛物线的标准方程
例2 (1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其
准线于点C，准线与对称轴交于点M，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程
A．y2＝4x或y2＝16x B．y2＝x或y2＝8x C．y2＝2x或y2＝4x D．y2＝x或y2＝4x
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
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解析 (1)由抛物线定义，知|BF|等于B到准线的距离，因为|BC|＝2|BF|，所以∠
BCM＝30°，又|AF|＝3，从而A
p2＋32，3
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思维点睛► 求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法； (2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论．
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数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
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针对训练
1．(2023·张家界质检)若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点
2
3
，A在抛物线上，代入抛物线方程y2＝
2px，得247＝p2＋3p，解得p＝32. 故抛物线方程为y2＝3x.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
(2)设P为(x0，y0)，则M→P ＝(x0，y0－2)， 又Fp2，0，∴M→F ＝p2，－2. ∵MF⊥PM，∴M→F ·M→P ＝0，
第八章 平面解析几何
第7讲 抛物线
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 课标解读
高三抛物线的知识点
高三抛物线的知识点一、概念介绍抛物线是解析几何中的一种曲线，它具有特殊的对称性和独特的性质。
具体而言，抛物线是一种由平面上一动点P和定点F （焦点）以及定直线d（准线）所确定的曲线。
在抛物线上，任意点P到焦点F的距离等于该点到准线d的距离。
二、一般方程抛物线的一般方程可以表示为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，且a ≠ 0。
这是抛物线的标准形式，它描述了不同抛物线的形状和位置。
三、顶点坐标对于抛物线的一般方程y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，抛物线的顶点坐标可以通过以下公式计算得到：顶点的横坐标 x = -b / (2a)顶点的纵坐标 y = (4ac - b^2) / (4a)四、对称性质抛物线具有对称性，即抛物线的焦点F关于抛物线的准线d对称，抛物线上的任意一点P与准线d之间的距离等于点P的对称点P'与准线d之间的距离。
五、焦点与准线的关系在抛物线上，焦点F的横坐标等于准线d与抛物线的顶点的横坐标的平均值。
即焦点的横坐标 x_F = (2a^2 - b) / (4a)六、抛物线的方向抛物线的开口方向由a的值所决定。
当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
七、焦距和准线长度的关系在抛物线上，焦距等于准线长度的绝对值。
即焦距的长度等于|4a|。
八、抛物线的性质总结1. 抛物线是关于y轴对称的；2. 焦点F在抛物线的对称轴上，对称轴与准线d垂直；3. 抛物线的拱度由参数a的绝对值决定，|a|越小则拱度越大，反之越小；4. 抛物线与x轴的交点称为抛物线的零点。
九、高三学习抛物线的重要性抛物线是高三数学课程的重要内容之一，它在解析几何、函数与方程等领域发挥着重要作用。
学习抛物线的知识点有以下几个重要的作用：1. 拓展思维：抛物线的独特形状和性质需要学生用几何的思维去理解和分析，培养了学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
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一、抛物线的方程例1求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：（1）过点（－3，2）；（2）焦点在直线x－2y－4=0上.（3）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M（-3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值（4）点M与点F（4,0）的距离比它到直线0xl的距离小1，+:=5求点M的轨迹方程（5）斜率为1的直线经过抛物线px2的焦点，与抛物线相交y=于两点A、B，线段的长为6，求抛物线的方程（6）一抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上载有一宽4米、高6米的大木箱，问能否安全通过？（7）点P 、Q 是抛物线22y mx =上两点，PQ 垂直于这条抛物线的对称轴，且||5OP =，O 为坐标原点，||6PQ =，则 m 的值为 ．（8）．抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为（ ）A ．81B ．－81C ．8D ．－8（9）．在抛物线y px 22=上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为（ ） A. 12B. 1C. 2D. 4（10）. 已知抛物线方程为x y 82=，则它的焦点坐标是 ，准线方程是 ， 若该抛物线上一点到y 轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点等于 ， 抛物线上的M 到焦点的距离是4，则点M 的坐标是 。
（11）. 抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ） A ．1617 B ．1615 C ．87D ．0（12）过抛物线y 2= 4x 的焦点作直线交抛物线于P(x 11)、Q(x 22)两点，若x 12=6,则 ︱︱的值为（ ）A. 10B. 8C. 5D. 6（13）斜率为2的直线经过抛物线x y 42=的焦点，与抛物线相交于B A ,两点，则=||AB 。
（14）抛物线x y 22=上的两点B A ,到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到y 轴的距离是 。
（15）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点（m ，－2）到焦点的距离等于4，则m 的值为 . 16．方程22sin cos 1x y αα+=表示的曲线不可能是（ ） ()A 直线 ()B 抛物线 ()C 圆 ()D 双曲线二、抛物线的定义（1）已知抛物线x 2= 4 y 的焦点F 和点A(-1,8)为抛物线上一点，则︱︱+︱︱的最少值是（ ）A. 16B. 6C. 12D. 9（2）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且||1F P 、||2F P 、||3F P成等差数列， 则有（ ）A ．321x x x =+B ． 321y y y =+C ．2312x x x =+ D. 2312y y y =+（3）P 是抛物线y 2=4x 上的一个动点，又F 是抛物线的焦点，A(2,5)，则︱︱+︱︱的最少值是 .（4）已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82=的焦点是抛物线上的动点,当MF MA +最小时, M 点坐标是 ( ) A. )0,0( B. )62,3( C. )4,2( D. )62,3(-（5）抛物线2y x =-上的点到直线4x + 3y - 8 =0距离的最小值是 A 、14B 、34C 、85D 、3（6）抛物线x 214上的点到直线y = 45的距离最短，则该点的坐标为A. (0,0)B. (1,4)C. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭D. (5,1) （7）已知抛物线x y 42=，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(),(),2211y x B y x 、两点，则y 2212y +的最小值是 8．以抛物线22(0)y px p =>的焦半径||PF 为直径的圆与y 轴位置关系是（ ）()A 相交 ()B 相切 ()C 相离()D 以上三种均有可能三、抛物线的几何性质1. 过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于)(422R a a a ∈++，则这样的直线（ ） A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1条或2条 D.不存在2. 如果1P ，2P ，…，8P 是抛物线24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，8x ，F 是抛物线的焦点，若)(,,,21*∈N n x x x n 成等差数列且45921=+++x x x ，则||5F P =（ ）． A ．5 B ．6 C ． 7 D ．93. 设O 是坐标原点，F 是抛物线24y x =的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60，则OA 为 ．4. (山东省威海市 2008年普通高中毕业年级教学质量检测) 抛物线,42F x y 的焦点为=准线为l ，l 与x 轴相交于点E ，过F 且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，⊥l ，垂足为B ，则四边形的面积等于（ ）A ．33B ．34C ．36D ．38四、抛物线和直线的综合应用：例1斜率为1的直线经过抛物线x2=的焦点，与抛物线相交y4于两点A、B，求线段的长Array变式1.斜率为1的直线经过抛物线px2的焦y=点，与抛物线相交于两点A、B，线段的长为6，求抛物线的方程变式2.过抛物线px2=的焦点F任作一条直线y2m，交这抛物线于A、B两点，求证：以为直径的圆和这抛物线的准线相切．例2：设0p是一常数，如图，过点Q（2p，0）的直线与抛物>线px2=交于相并两点A、B，以线段为直径作⊙H（H为圆心），y2试证抛物线顶点O在⊙H上，并求当⊙H的面积最小时，直线的方程。
变式1：设A 、B 为抛物线px y 22=上的点,且 90=∠AOB (O 为原点),则直线必过的定点坐标为.变式2：如图所示，F 为抛物线)0(22>=p px y 的焦点，A （4，2）为抛物线内一定点，P 为抛物线上一动点，PF PA +的最小值为8。
（1）求抛物线的方程；（2）若 O 为坐标原点，问是否存在点M ，使过点M 的动直线与抛物线交于B 、C 两点。
且︒=∠90BOC ，证明你的结论。
例3：已知抛物线x y 42=的准线与x 轴交于M 点，过M 作直线与抛物线交于A 、B 两点，若的垂直平分线与x 轴交于E （0,0x ）。
（1）求0x 的取值范围；（2）ABE ∆能否是正三角形？若能，求0x 的值；若不能，请说明理由。
变式1：已知抛物线)0(22>=p px y 过动点M （0,a ）且斜率为1的直线l 与抛物线交于不同的两点A 、B ，p AB 2≤。
（1）求a 的取值范围；（2）若线段的垂直平分线交x 轴于点N ，求NAB ∆面积的最大值。
例4 .(理) 已知抛物线24的焦点为F，过焦点F且不平行x y于x轴的动直线l交抛物线于,A B两点，抛物线在两点处的切线交于点M，（1）求证三点的横坐标成等差数列（2）求点M的轨迹（3）设直线交抛物线于两点，求四边形面积的最小值（文）设抛物线y 2=2 (p>0)被直线24截得的弦长长为。
（2）设直线上一点Q，使得A、Q、B三点到抛物线准线的距离成等差数列，求Q点坐标；(3)在抛物线上求一点M使M到Q点距离与M到焦点距离之和最小 .导数在解析几何中的应用例1：例:2：已知过点()1,0-P 的直线l 与抛物线y x 42=交于两点()11,y x A 、()22,y x B 。
1l 、2l 分别是该抛物线在A 、B 两点处的切线。
M 、N 分别是1l 、2l 与直线1-=y 的交点。
⑴求直线l 的斜率的取值范围 ⑵试比较PM 与PN 的大小，说明理由。
例3过y轴正方向上一点()cy=交于C,0任作一直线，与抛物线2xA、B两点。
一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线:交于点P、Q。
若P为线段AB的中点，求证：AQ为此抛=cl-y物线的切线例4：已知曲线C上的动点()F的距离比到直线P x y满足到点()1,0,l y=-的距离小1．:2（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）动点E在直线l上，过点E分别作曲线C的切线,EA EB，切点为A、B．求证：直线AB恒过一定点，并求出该定点的坐标.例5、已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是直线上的两动点，且(0).AF FB λλ=>过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M 。
（I ）证明∙FM AB 为定值；（）设ABM ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值。
例6：设抛物线42与直线3x的交点为A、B，点M在抛物线的弧上运动，设S 达到最大值时，点M的坐标为（p，h）MAB（1）求过点（p，h）的切线方程；（2）证明：若与直线平行的直线截抛物线42的弦为，则被直线平分。