第六章 简单超静定问题

A
B
2.装配应力 2.装配应力
静定结构中当结构尺寸有误差时， 静定结构中当结构尺寸有误差时，只会引起 结构几何位置的变化，内部不会产生应力。 结构几何位置的变化，内部不会产生应力。 图示静定结构， 杆短， 杆长， 图示静定结构，1杆短，2杆长，装配时不会 产生装配应力。 产生装配应力。 超静定结构中当构件 尺寸有误差时， 尺寸有误差时，会引起强 迫装配， 迫装配，从而内部会产生 附加应力。 附加应力。
§6-2
拉压超静定问题
一、拉压超静定问题的求解 二、温度应力和装配应力
一、拉压超静定问题的求解
例题： 例题：求图示杆的支反力 解： AB 杆受力如图 由： A a F B b
F B A
FA
a
∑F
y
=0
A B 得： F + F = F
b
F B 本问题为共线力系， 本问题为共线力系，只有一个独立平衡方程
(
)
∆l1
例题
图示结构, 3根杆的抗拉刚度相同 根杆的抗拉刚度相同， EA， 图示结构, 3根杆的抗拉刚度相同，均为 EA， 3 杆比设计尺寸短了δ，若：3根杆均为圆钢杆 杆比设计尺寸短了δ d = 40mm, E = 200GPa, l =1 , δ = 0.5mm,α = 300 m
D
2
C
3
α α
B
1
l
A
根杆的装配应力。 求：3根杆的装配应力。
δ
解： 3根杆的装配内力为： 根杆的装配内力为：
δ EAcos2 α FN1 = FN2 = (2cos3 α +1)l
F3 N 2 EAcos α δ EAcos = 2cos3 α +1 l
3
D
2
C
3
α α
B
1
l
(
)
A
δ
3根杆的装配应力为： 根杆的装配应力为 装配应力
∆l1
D
C
2 3 1
B
平衡方程 FN1 = FN2
FN3 = 2FN1 cosα l
α α
补充方程
FN3l FN1l δ= + EA EAcos2 α
A
解得： 解得：
δ EAcos α FN1 = FN2 = (2cos3 α +1)l
2 3
A1
∆l3
A3 A2 A
δ
2δ EAcos α FN3 = 2cos3 α +1 l
静平衡方程 补充方程
各杆的内力
各杆的应力、 各杆的应力、变形
适用于求解超静定梁） 方法2 方法2： 变形比较法（适用于求解超静定梁） 1、建立相当系统：解除多余约束，代以多余约 建立相当系统：解除多余约束， 束反力。 束反力。 由梁的变形条件，求出多余约束反力。 2、由梁的变形条件，求出多余约束反力。 求出多余约束反力后，按静定梁求解。 3、求出多余约束反力后，按静定梁求解。 相当系统的内力图，应力和变形即为原超静 相当系统的内力图，应力和变形即为原超静 定梁的结果。 定梁的结果。
温度应力与杆的横截面面积A， 无关。 温度应力与杆的横截面面积 ，杆的长度 l 无关。
无法用加大横截面面积的方法来 减小温度应力
杆中的温度应力为 F 杆中的温度应力为： RA 温度应力 F σT = RA = Eαl ∆t A
A
B
FRB
l
通过一组数据说明温度应力的大小： 通过一组数据说明温度应力的大小： 钢材的热膨胀系数 αl =12.5×10−6 (0C−1) , E = 200GPa 求：温度升高
2
∆l2
D D’
B
补充方程
FN2 = 2FN1 cos α
B’
(c)
静平衡方程
FN1 + 2FN2 cosα = 3F (a)
A
FN1
FN2
B F α
补充方程
FN2 = 2FN1 cos2 α (c)
A
联解( (c),得 联解(a) (c),得:
3F FN1 = 4cos3 α +1
6F cos2 α F2= N 4cos3 α +1
∆l = ∆lT − ∆lF = 0
B
FRB
物理方程
∆lT =αl l∆t
FRAl ∆lF = EA
∆lT
联解， 联解，得： F = F = EAαl ∆t RA RB
杆端的约束力为： 杆端的约束力为：
F RA
A
B
FRB
F = F = EAαl ∆t RA RB
l
F 杆中的温度应力 温度应力为 杆中的温度应力为： σT = RA = Eαl ∆t A
现有两个未知力，本问题为一次超静定问题 现有两个未知力，本问题为一次超静定问题 需要建立一个补充方程
FA + F = F B
(∆B )F +(∆B )F
变形条件： 变形条件：
B
= 0A
FA
A A A
a 物理条件： 物理条件： Fa (∆B )F = EA F F F b Fl (∆B )FB = − B B B B B EA F F B 补充方程： 补充方程： B (∆B )F FB Fa F l a b B = F = F FA = F B EA EA l l
第六章 简单超静定问题
§6-1 超静定问题及其解法 §6-2 拉压超静定问题 §6-3 扭转超静定问题 §6-4 简单超静定梁
§6—1 超静定问题及其解法 1
一、关于超静定的基本概念 二、求解超静定问题的基本方法
一、关于超静定的基本概念
静定问题与静定结构——未知力(内力或外力)个 未知力(内力或外力) 静定问题与静定结构 未知力 数等于独立的平衡方程数 超静定问题与超静定结构——未知力个数多于独 超静定问题与超静定结构 未知力个数多于独 立平衡方程数 超静定次数 ——未知力个数与独立平衡方程数 未知力个数与独立平衡方程数 之差 保持结构静定多余的约束 多余约束 —— 保持结构静定多余的约束
例题
两端固支的直杆AB，长度为l 抗拉刚度为EA， 两端固支的直杆 ，长度为 ，抗拉刚度为 ， 热膨胀系数为α 。 热膨胀系数为 l。 求：温度升高 ∆ t
A
0
后杆内的应力。 后杆内的应力。 c
B
l
解： 本问题为一次超静定 静平衡方程
A B
∑F =0
x
F =F RA RB
F RA
A
l
∆lF
变形协调方程
B
D
B
C
D
αα
αα
A F
B D
A F
பைடு நூலகம்
A F
二、求解超静定问题的基本方法 方法1： 方法 ： 寻找补充方程法（适用于求解拉压超
静定） 静定） 因为未知力个数超过了独立的平衡方程数， 超过了独立的平衡方程数 因为未知力个数超过了独立的平衡方程数，必须寻 找补充方程。 找补充方程。 寻找补充方程的途径： 寻找补充方程的途径： 利用结构的变形条件 结构受力后变形不是任意的，必须满足以下条件： 结构受力后变形不是任意的，必须满足以下条件： 1、结构的连续性 、 2、变形与内力的 、 协调性 变形协调方程 物理方程 补充方程
(∆B )F
B
例题 图示结构,1、 杆的抗拉刚度相同，均为E ,3杆 图示结构,1、2杆的抗拉刚度相同，均为E1A1,3杆 ,1 的抗拉刚度为E 受力如图。 的抗拉刚度为E3A3，受力如图。
D
2
C
3 1
B
各杆的内力。 求：各杆的内力。
l
α α
A F
解： 本问题为一次超静定 对节点A 对节点A ∑Fx = 0: FN1sinα − FN2sinα = 0
A2 A1
变形协调方程和物理方程 可得到补充方程。 方程和物理方程， 由变形协调方程和物理方程，可得到补充方程。
FN1l FN3l = cosα E1A cosα E3 A 1 3
E3 A 3 FN3 = FN1 E1A cos2 α 1
平衡方程 FN1 = FN2
2FN1 cosα + FN3 = F
2
1
图示静不定结构， 杆短了， 图示静不定结构，3杆短了，装配时会 产生装配应力。 产生装配应力。
2
3
1
装配应力：超静定结构因构件尺寸误差， 装配应力：超静定结构因构件尺寸误差，引起 强迫装配而产生的应力。 强迫装配而产生的应力。
例题
图示结构, 3根杆的抗拉刚度相同 均为EA 根杆的抗拉刚度相同， EA， 图示结构, 3根杆的抗拉刚度相同，均为EA， 3杆 比设计尺寸短了δ 比设计尺寸短了δ。 强迫装配后， 求：强迫装配后，各杆 的轴力。 的轴力。
δ Ecos2 α δ 2 E cos3 α (σ )1 = (σ )1 = (σ )3 = 3 (2cos α +1)l (2cos3 α +1)l
装配应力为 3根杆的装配应力为： 根杆的装配应力
l D
2
C
3
α α
B
1
∑F = 0: F
y
N3
+ FN1cosα + FN2cosα − F = 0
A F
F 得到： 得到： N1 = FN2
2FN1 cosα + FN3 = F
FN3 FN2 α α FN1 F
还需要建立一个补充方程 还需要建立一个补充方程
结构变形特点： 结构变形特点：
D C
2 3 1
D ′ = 2C ′ C ′ = ∆ 1 D C C l
α l A a a a 1 2 B F
∆l2 D ′= D cosα
变形协调方程 ∆l2 = 2∆l1 (b) cosα