向量的概念线性运算及向量的坐标表示

向量的概念、线性运算及向量的坐标表示

【教学目标】

1、理解有关向量的概念，掌握向量加减法作图。

2、掌握实数与向量的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件

3、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

4、培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力。 【教学重难点】

理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算 【考点分析】

从近几年高考试题看，平面向量的概念、线性运算及坐标表示是向量的数量积及其应用的基础知识，在高考中直接考查以选择或填空题为主。 【课前热身】

1. O 是正六边形ABCDE 的中心，且OA a =，OB b =，AB c =，在以A ，B ，C ，D ，E ，O 为端点的向量中：

（1）与相等的向量有； （2）与相等的向量有；

（3）与相等的向量有。

2.化简OP QP MS MQ -+-=

3．在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点满足2BD DC =，则AD =____（用，表示）． 4．在四边形ABCD 中，||||,==且，那么四边形ABCD 为__________。

5．一架飞机向西飞行100km ，然后改变方向向南飞行100km ，则飞机两次位移的和为

6.若1e 、是表示平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（ ）

A.1e +和1e —

B.31e —2和61e —4

C.1e +3和31e +

D.和1e +

7. 与向量(125)=，a 平行的单位向量为

8. 已知O 是坐标原点，A (2,-1)，B (-4,8)，且30AB BC +=,则OC 的坐标为.

【知识点梳理】基本知识回顾：附页 【典型例题与变式练习】

题型一 平面向量线性运算

【例1】 平行四边形ABCD 中，M,N 分别是DC,BC 的中点.已知,AM c AN d ==，试用c ，d

表示AB ，AD .

＊【例2】设,是两个不共线的非零向量.

（1）若AB =-，3BC =+ 2，CD =-8-2，求证：A, C,D 三点共线；

O A

B

C D

E

F

（2）若-k 和k -2共线，求实数k 的值。

【变式训练1】设,是两个不共线的非零向量，为实数，若b a

,起点相同，为何值时，)

(3

1,,b a b t a +三向量的终点在同一直线上？

【变式训练2】设、OB 不共线，点P 在AB 上，求证：OP =+OB 且1＝μλ+，

∈μλ、R .

题型二 平面向量的坐标运算

【例4】平面内向量(3,3),(1,2),p q ==-(4,1)r =。

（Ⅰ）求满足条件p xq yr =+的实数,x y ；（Ⅱ）若(2)p tr +⊥，求实数的值。

【变式训练1】四边形ABCD 中，)3,2(),,(),1,6(--===CD y x BC AB

若DA BC //，BD AC ⊥，求y x ,的值及四边形ABCD 的面积。

【变式训练2】已知向量(3,4),(6,3),OA OB =-=-(5,(3))OC m m =--+.

（1）若点A 、B 、C 不能构成三角形，求实数m 应满足的条件； （2）若△ABC 为直角三角形，求实数m 的值。

【方法与技巧总结】

1. 向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况；

2. 掌握向量的共线与垂直；

【巩固练习】

1．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →

，则PA PC +=uu r uu u r ___ ___．

2．在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则平行四边形ABCD 的形状是_______．

3.设与是两个不共线的向量，且向量a b λ+与()

2b a --共线，则的值等于。 4．设点是线段BC 的中点，点在直线BC 外，2

16BC =，

AB AC AB AC +=-，则AM ______

5. 在四边形ABCD 中，=a +2b ，=－4a －b ，=－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为

6.已知点A(2，3)、B(5，4)、C(7，10)，若点P 满足()AP AB AC R λλ=+∈,当=，点P 在直线y=x 上；当=，点P 在第四象限。

7. 已知点A(3，1)、B(-1，3)，若点C 满足OC OA OB αβ=+,其中,R αβ∈,且1,αβ+=则点C 的轨迹方程是 【拓展训练】

1.在ABC △中，AB c =，AC b =．若点满足2BD DC =，则AD =（ A ）

A ．2133

b c +

B ．52

33

c b -

C ．21

33

b c -

D ．12

33

b c +

2.若(2,4)AB =，(1,3)AC =, 则BC =（ B ）

A ． （1，1）

B ．（－1，－1）

C ．（3，7）

D ．（-3,-7）

3.已知平面向量(1,2)a =，(2,)b m =-，且//，则23a b +＝（ B ）

A 、(5,10)--

B 、(4,8)--

C 、(3,6)--

D 、(2,4)--

4.已知平面向量=（1，－3），=（4，－2），a b λ+与垂直，则是（ A ）

A. －1

B. 1

C. －2

D. 2

6.已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，

，(12)B --，，(31)C ，，且2B C A D =，则顶点的坐标为（ A ）

A ．722⎛⎫

⎪⎝⎭

，

B ．122⎛

⎫- ⎪⎝

⎭，

C ．(32)，

D ．(13)，

7.设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则2a b -=( A )

（Ａ）()7,3 （Ｂ）()7,7 （Ｃ）()1,7 （Ｄ）()1,3

8.设向量(12)(23)==，，

，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ．2 9.（如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题： A ．2AC AF BC +=B ．22AD AB AF =+

C ．AC A

D AD AB ⋅=⋅D ．()()AD AF EF AD AF EF ⋅=⋅ 其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．A 、B 、D

A

B

D

E

C

F