从函数角度看数列
高中数学-数列
数列的概念及简单表示法一、数列的概念1.数列定义：按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项2.数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集)为定义域的函数a n＝f(n).当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值3.数列有三种表示法：是列表法、图象法和通项公式法二、数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列a n＋1＞a n其中n∈N＋递减数列a n＋1＜a n常数列a n＋1＝a n按其他标准分类有界数列存在正数M，使|a n|≤M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列三、数列的两种常用的表示方法1.通项公式：如果数列{a n}的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个函数式a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式2.递推公式：如果已知数列{a n}的第1 项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式四、通项公式的求法：1.观察法：仔细观察数列的项和项数之间的关系，可分离出随项数变化的部分和不变的部分，从而找到规律.如数列2 , -1,10 , -17 , 26 , -37 ，，先将数列变为 2 , -5 , 10 , -17 , 26 , -37 ，，显然3 7 9 11 13 3 5 7 9 11 13S ⎪ ⎪ ⎨ - S 分母为2n +1，分子为n 2 +1，奇数项正偶数项负，乘以(-1)n +1即可.故n +1n 2 +1 a n = (-1)2n +1 .又如数列 7，77，777， ，可写成 7 ⨯ 9, 7 ⨯ 99, 7⨯999, 999，而 9，99，999，依次又可写成10 -1,102-1,103-1， ，因此，这个数列的通项公式为a = 7 (10n -1)2. 公式法：（1） 已知数列{a n }的前 n 项和S n ，则 a n= ⎧⎪S 1⎪⎩ nn -1 n9(n = 1) (n ≥ 2) （2） 对于等差数列和等比数列，把已知条件代入其通项公式、前 n 项和公式列出方程（组）求解3.累加法：形如a n +1 = a n + f (n )，当 f (1) + f (2) + + f (n ) 的值可求时用此法 ⎧an - a n -1 = f (n -1) ⎪a - a = f (n - 2) ⎪ n -1⎨n -2 ⇒ a n = f (n -1) + f (n - 2) +... f (2) + f (1) + a 1, (n ≥ 2) ⎪... ⎪⎩a 2 - a 1 = f (1)（1） 若 f (n ) 是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和（2） 若 f (n ) 是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和（3） 若 f (n ) 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和（4） 若 f (n ) 是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和4. 累乘法：形如a = f (n )a ⎛或 a n +1 = f (n ) ⎫，当 f (1) f (2)f (n ) 可求时，用此法.⎧ a n⎪ a= f (n -1) n +1n⎪⎝a n⎭⎪ n -1 ⎪ a n -1⎪ a f (n - 2) ⎨ n -2 ⎪... ⎪ a 2 = af (1) ⎩ 1 将上述n -1个式子两边分别相乘，可得： a n = f (n -1) ⋅ f (n - 2) ⋅...⋅ f (2) f (1)a 1, (n ≥ 2)=⎩5. 构造法：当已知非常数数列的首项（或前几项）及递推公式时用此法 （1）对于一阶递推公式： a n +1 = pa n + q ， ( p 为常数，p ≠ 1) 给出的数列，两边各加q 得， a+ q = p (a +q ) ，这样就构造出一个等比数列⎧a +q ⎫ ，其公比 p -1 n +1 p -1 n p -1 ⎨ n p -1⎬⎩ ⎭为 p ，首项是a +q ，∴ a + q= (a + q ) p n -1 ，即a = (a + q ) p n -1 - q 1p -1 n p -1 1 p -1 n 1p -1 p -1（2）对于二阶递推公式： a n +1 = pa n + qa n -1 （p , q 为常数） 给出的数列，设 a + xa =y (a + xa ) (*)，显然⎧ y - x = p.把方程组的解代入(*)便可构成一个等 n +1 n n n -1 ⎨xy = q比数列，继而可以求出通项公式（3）以 a = ma n 给出的数列（p , q , m 均为非零整数），当m = q 时，可以构造一个 n +1pa n + q等差数列；当m ≠ q 时，可以构造一个一阶递推公式6. 周期数列举例：通过计算前有限项发现周期，继而求出某些项或 S n1n n 等 差 数 列 及 其 前 n 项 和一、等差数列的概念1. 定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示 2. 数学语言表达式： a n +1 - a n = d ( n ∈N ＋，d 为常数)，或a n - a n -1 = d ( n ≥2，d 为常数)3. 等差中项：如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么 A 叫做 x 和 y 的等差中项，且有 A =x + y 2二、等差数列的通项公式与前n 项和公式1. 若等差数列{a n }的首项是a ，公差是d ，则其通项公式为a = a + (n -1)d = dn + a - d (n ∈ N *)n11通项公式的推广： a = a + (n - m )d ( m ， n ∈N) ⇒ d =a n - a mnm＋n - m2. 等差数列的前n 项和公式S= na + n (n -1) d = n (a 1 + a n ) = d n 2 + (a - 1 d )n n 12 22 1 2 (其中n ∈N ＋， a 1 为首项，d 为公差， a n 为第n 项)数列{a }是等差数列⇔ S = An 2+ Bn(A , B 为常数)三、等差数列的性质1. 非零常数列既是等差数列又是等比数列2. 数列{ a n }为等差数列⇔ a n = pn + q （p,q 是常数）3. 数列{λa n + b }（ λ, b 为常数）仍为等差数列4. 若m + n = p + q (m , n , p , q ∈ N + )，则a m + a n = a p + a q5. 等差数列{a n }中，若项数成等差数列，则对应的项也成等差数列6. 等差数列{a n }中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等差数列p +nq 2k 2k n n 7. 若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d8. 若{a n }、{b n }是等差数列，则{ka n } 、{ka n + pb n }{a }( p , q ∈ N *)…也成等差数列 9.单调性：{a n }的公差为d ，则： （1） d > 0 ⇔ {a n }为递增数列 （2） d < 0 ⇔ {a n }为递减数列 （3） d = 0 ⇔ {a n }为常数列( k 、 p 是非零常数)、10. 若等差数列{a n }的前n 项和S n ，则S k 、S 2k - S k 、S 3k - S … 是等差数列 11. 等差数列{a n }的单调性：当d ＞0 时， {a n }是递增数列；当d ＜0 时， {a n }是递减数列；当d ＝0 时， {a n }是常数列12. 若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k 、a k + m 、a k +2m …(k ，m ∈N ＋)是公差为md的等差数列13. 若数列{a}是等差数列，前n 项和为S ，则⎧S n ⎫也是等差数列，其首项和{a}的首 nn⎨ n ⎬ n项相同，公差是{a n⎩ ⎭}公差的 1214. 若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别为 x - d , x , x + d ；若四个数成等差数列，则通常可设这四个数分别为 x - 3d , x - d , x + d , x + 3d 四、等差数列前n 项的性质1. 若等差数列{a n }的前n 项和S n ，则S k 、S 2k - S k 、S 3k- S … 是等差数列2. 若数列{a } {b } 都是等差数列，其前 n 项和分别为S T ，则a n= 2n -1n,nn ,nbTn 2n -13. 若数列{a }的前n 项和S = An 2+ Bn +C (A , B 为常数,C ≠ 0) ，则数列{a n }从第二项起是等差数列sn⎨ 2n偶奇 中 偶 奇 偶偶4. 若数列{a n }是等差数列的充要条件是前n 项和公式S n = f (n ) ，是n 的二次函数或一次函数且不含常数项，即 S = An 2 + Bn (A , B 为常数,A 2 +B 2 ≠ 0)5. 等差数列{a n }中，若a < 0,d > 0 （ a ≤ 0 的n 的最大值为k ）则S 有最小值S ，前n 项绝对值的和T n 1 = ⎧⎪-s n nn ≤ k；若a > 0,d< 0，（ n a n ≥ k0 的n 的最大 ⎪⎩s n - 2s k n ≥ k + 1值为k ）则S 有最大值S ，前n 项绝对值的和T = ⎧⎪s nn ≤ kn k n⎨ ⎪⎩2s k - s n n ≥ k + 16. 等差数列{a n }中，若项数为奇数2n - 1，则中间项为a ， S =(2n-1)a ，S - S = n - 1 d s n + a ， 奇 = 奇 偶 2 1S n - 1 若n 为偶数，则S = nd2若n 为奇数，则S - S =a (中间项)7. 等差数列{a n }中，若项数n 为奇数，设奇数项的和和偶数项的和分别为S 、S ，则sn + 1 s a n奇=；若项数n 为偶数， 奇= 2S n - 1S a n + 12五、等差数列的前 n 项和的最值等差数列{a n }中1. 若a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值2. 若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值六、等差数列的四种判断方法1. 定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列2. 等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列3. 通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列4. 前 n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列1- S 偶 偶 奇mb n 等 比 数 列 及 其 前 n 项 和一、等比数列的概念1. 定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q ( q ≠0)表示 2.数学语言表达式： a n= q ( n≥2， q 为非零常数)，或 an +1 = q ( n ∈N ， q 为非零常数)＋a n -1 a n3. 等比中项：如果三个数x ，G ，y 组成等比数列，那么G 叫做 x 与 y 的等比中项，其中G = ±二、等比数列的通项公式及前n 项和公式1. 若等比数列{a }的首项为a ，公比是q ，则其通项公式为a = a q n -1n通项公式的推广： a n 1= a q n - mn 1a (1- q n )a - a q 2. 等比数列的前n 项和公式：当q ＝1 时， S n = na 1 ;当q ≠1 时， S n =11- q= 1 n1- q三、等比数列的性质 1. q = 1 ⇒{a n }为常数列2. q < 0 ⇒{a n } 为摆动数列3. 若正项数列{a n }为等比数列，则数列{log a a n }为等差数列4. 若{a }是等比数列，则{λa }（λ 为不等于零的常数），{a 2}⎧ 1 ⎫ {a r }(r ∈ Z ) 是等n n n⎨ a ⎬ n ⎩ n ⎭比数列，公比依次是q ，q 2 1 q r ，若数列{a } ，{b }都是等比数列且项数相同，则⎧ a n ⎫是等比数列， ， n nq ⎨ ⎬ ⎩n ⎭ 5. 若数列{a }为等差数列，则数列{ba n}为等比数列6. 若 m + n = p + q (m , n , p , q ∈ N + ) ，则 a⋅ a = a ⋅ a ，当 p = q 时， a ⋅ a = a 2 即a p 是a m 和a n 的等比中项mnpqm n p7. 相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k 、a k + m 、a k +2m …仍是等比数列，公比为xy1 1 1 1 2n ⎩ n ⎩ q m （即若项数成等差数列，则对应的项也等比数列）8. 任意两数a , b 都存在等差中项为a + b，但不一定都存在等比中项，当且仅当a , b 同号时 2才存在等比中项为9. 任意常数列都是等差数列，但不一定都是等比数列，当且仅当非零的常数列即是等差数列又是等比数列10. 等比数列{a n }的单调性：（1） 当q ＞1， a ＞0 或 0＜ q ＜1， a ＜0 时，数列{a n }是递增数列 （2） 当q ＞1， a ＜0 或 0＜ q ＜1， a ＞0 时，数列{a n }是递减数列 （3） 当q ＝1 时，数列{a n }是常数列11. 当q ≠－1，或q ＝－1 且 n 为奇数时，S n 、S 2n - S n 、S 3n - S 仍成等比数列，其公比为q n12. 等比差数列{a n }: a n +1 = qa n + d , a 1 = b (q ≠ 0) 的通项公式为⎧b + (n -1)d q = 1⎪ a n = ⎨bq n+ (d - b )q n -1 - d ；⎪q -1 q ≠ 1 ⎧nb + n (n -1)d(q = 1)其前 n 项和公式为 s n ⎪ ⎨(b - d ) 1- q + d n(q ≠ 1)⎪1- q q -1 1- q（四）判断给定的数列{a n }是等比数列的方法（1）定义法： an +1 = q （不为 0 的常数）⇔数列{a a n}为等比数列（2）中项法： a ⋅ a= a2⇔数列{a }为等比数列mn +2n +1n（3）前n 项和法：数列{a n }的前n 项和S n = A - Aq n （A 是常数， A ≠ 0, q ≠ 0, q ≠ 1 ）⇔数列{a n }为等比数列= nS 1 1 ⎨ - S 数 列 求 和一、公式法1. 等差数列的前n 项和公式： S n2. 等比数列的前n 项和公式 （1） 当q ＝1 时， S n = na 1= na 1+n (n -1) d = n (a 1 + a n)2 2a (1- q n )a - a q（2） 当q ≠1 时， S n = 11- q = 1 n1- q3. 已知数列{a n }的前 n 项和S n ，则 a n= ⎧⎪S 1⎪⎩ nn -1 (n = 1) (n ≥ 2) 4. 差比数列求和：通项为a n b n 型，其中{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，称为差比数列.求和方法为（设 d ， q 分别是{a n }，{b n }的公差、公比）：令S n = a 1b 1 + a 2b 2 + + a n b n …①，两边同乘以q 得qS n = a 1b 1q + a 2b 2q + + a n b n q ， ∴qS n = a 1b 2 + a 2b 3 + + a n b n +1 …②，①-②得 (1- q )S n = a 1b 1 + (a 2 - a 1)b 2 + + (a n - a n -1)b n - a n b n +1 = a 1b 1 + d b 2 + d b 3 + + d b n -1 + d b n - a n b n +1 = a 1b 1 + d (b 2 + b 3 + + b n -1 + b n ) - a n b n +1= a 1b 1 + d ⨯b (1- qn) 1- q-a nb n +1，∴当q ≠ 1时， Sn = a 1b 1 - a n b n +1 + d ⨯ 1- q b (1- q n) (1- q )2二、观察法：仔细观察数列的项和项数之间的关系，可分离出随项数变化的部分和不变的部分，从而找到规律.1.数列 2 , -1,10 , - 17 , 26 , - 37 ， ，先将数列变为 2 , - 5 , 10 , - 17 , 26 , - 37， ，分母379 111335 79 11 13n +1n 2 +1 为2n +1，分子为n 2 +1，奇数项正偶数项负，乘以(-1)n +1即可.故a = (-1)2n +1 .2.又如数列 7，77，777， ，可写成 7 ⨯ 9, 7 ⨯ 99, 7 ⨯999,9 9 9，而 9，99，999，依次又可写成10 -1,102-1,103 -1， ，因此，这个数列的通项公式为a = 7 (10n -1)n9n⎪ ⎪ 3. 周期数列举例：通过计算前有限项发现周期，继而求出某些项或 S n三、累加法：形如a n +1 = a n + f (n )，当 f (1) + f (2) + + f (n ) 的值可求时用此法⎧an - a n -1 = f (n -1) ⎪a - a = f (n - 2) ⎪ n -1⎨n -2 ⇒ a n = f (n -1) + f (n - 2) +... f (2) + f (1) + a 1, (n ≥ 2) ⎪... ⎪⎩a 2 - a 1 = f (1)（1） 若 f (n ) 是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和（2） 若 f (n ) 是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和（3） 若 f (n ) 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和（4） 若 f (n ) 是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和四、累乘法：形如a= f (n )a ⎛或 a n +1 = f (n ) ⎫，当 f (1) f (2)f (n ) 可求时用此法.⎧ a n⎪ a= f (n -1) n +1n⎪⎝a n⎭⎪ n -1 ⎪ a n -1⎪ a f (n - 2) ⎨ n -2 ⎪... ⎪ a 2 = af (1) ⎩ 1 将上述n -1个式子两边分别相乘，可得： a n = f (n -1) ⋅ f (n - 2) ⋅...⋅ f (2) f (1)a 1, (n ≥ 2)五、构造法：当已知非常数数列的首项（或前几项）及递推公式时用此法1. 对于一阶递推公式： a n +1 = pa n + q ， ( p 为常数，p ≠ 1) 给出的数列，两边各加qp -1得， a +q = p (a +q) ，这样就构造出一个等比数列⎧a + q ⎫ ，其公比为 n +1p -1 np -1 ⎨ n p -1⎬⎩ ⎭p ，首项是a +q ，∴ a + q= (a + q ) p n -1 ，即a = (a + q ) p n -1 - q 1p -1 n p -1 1 p -1 n 1p -1 p -12. 对于二阶递推公式： a n +1 = pa n + qa n -1 （p , q 为常数） 给出的数列， =⎩设 a + xa =y (a + xa ) (*)，显然⎧y - x = p.把方程组的解代入(*)便可构成一个等n +1n n n -1⎨xy = q比数列，继而可以求出通项公式3. 以 a= ma n 给出的数列（ p , q , m 均为非零整数），当m = q 时，可以构造一个等n +1pa n + q差数列；当m ≠ q 时，可以构造一个一阶递推公式 4. 形如a n +1 = pa n + q （其中 p , q 均为常数且 p ≠ 0 ）型的递推式：（1） 若 p = 1时，数列{ a n }为等差数列 （2） 若q = 0 时，数列{ a n }为等比数列（3） 若 p ≠ 1 且q ≠ 0 时，数列{ a n }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种：法一：设a n +1 + λ = p (a n + λ) ,展开移项整理得a n +1 = pa n + ( p -1)λ ,与题设a = pa + q 比较系数（待定系数法）得λ =q, ( p ≠ 0) ⇒ a + q = p (a + q)n +1np -1 n +1p -1n p -1⇒ a + q= p (a + q ) ,即⎧a + q ⎫构成以a + q为首项，以 p 为公比的等比 np -1 n -1 p -1 ⎨ n p -1⎬ 1 p -1⎩ ⎭数列.再利用等比数列的通项公式求出⎧a + q ⎫的通项整理可得a . ⎨ n p -1⎬ n法二：由a= pa ⎩ ⎭ + q 得a = pa + q (n ≥ 2) 两式相减并整理得a n +1 - a n= p , 即 n +1 n n n -1 a - an n -1{a n +1 - a n }构成以a 2 - a 1 为首项，以 p 为公比的等比数列.求出{a n +1 - a n }的通项再转化为累加法便可求出a n .5. 形如a n +1 = pa n + f (n ) ( p ≠ 1) 型的递推式： （1） 当 f (n ) 为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设a n + An + B = p [a n -1 + A (n -1) + B ] ，通过待定系数法确定 A 、B 的值，转化成以a 1 + A + B 为首项，以 p 为公比的等比数列{a n + An + B } ，再利用等比数列的通项公式求出{a n + An + B } 的通项整理可得a n .法二：当 f (n ) 的公差为d 时，由递推式得： a n +1 = pa n + f (n ) ， a n = pa n -1 + f (n -1)两式相减得： a n +1 - a n = p (a n - a n -1 ) + d ，令b n = a n +1 - a n 得： b n = pb n -1 + d 转化为“4”求出 b n ，再用累加法便可求出a n .（2） 当 f (n ) 为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设a n + λ f (n ) = p [a n -1 + λ f (n -1)]，通过待定系数法确定λ 的值，转化成以 a 1 + λ f (1) 为首项，以 p 为公比的等比数列{a n + λ f (n )} ，再利用等比数列的通项公式求出{a n + λ f (n )} 的通项整理可得a n .法二：当 f (n ) 的公比为q 时，由递推式得： a n +1 = pa n + f (n ) ——①，a n = pa n -1 + f (n -1) ，两边同时乘以q 得a n q = pqa n -1 + qf (n -1) ——②，由①②两式相减得a - a q = p (a - qa ) ，即 a n +1 - qa n= p ，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出a . n +1 n n n -1 a - qa nn n -1法三：递推公式为an +1 = pa n + q n （其中p ，q 均为常数）或a = pa n + rq n （其中p ，q, r 均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以q n +1 ，得：a n +1 = p • a n + 1 ，引入辅助数列{b }（其中b = a n ），得： b = p b + 1 再应用类型 q n +1 q q n qn n q nn +1 q n q“4”的方法解决。
数列极限与函数极限的关系
数列极限与函数极限的关系数列和函数是数学中重要的概念，它们之间存在着密切的联系。
数列极限与函数极限是数学中的两个基本概念，它们之间有着紧密的关系。
本文将分别从数列极限和函数极限两个方面展开讨论，并阐述它们之间的关系。
一、数列极限数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。
数列中的每个元素称为项，用{a_n}表示。
数列有着重要的性质，其中之一就是数列的极限。
数列{a_n}的极限，记作lim(n→∞)a_n = A，表示当n趋向于无穷大时，数列的项a_n无限接近于A。
其中，A称为数列的极限值。
一个数列有极限存在，意味着数列的项在某个值上趋于稳定。
通过数列的极限，我们可以推导数列的性质和规律，从而解决各种数学问题。
二、函数极限函数是数学中常见的一种概念，函数的极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值的变化趋势。
函数极限在微积分中有着重要的应用，是求导、求积分等运算的基础。
设函数f(x)在点x=a的某个邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-A|<ε，那么就称函数f(x)在x=a处的极限存在，记作lim(x→a)f(x) = A。
其中，A称为函数的极限值。
函数极限可以帮助我们研究函数的性态以及函数在某个点上的表现，从而解决各种数学问题。
三、数列极限与函数极限是密不可分的。
事实上，数列极限是函数极限的一种特殊情况。
对于一个数列{a_n}，我们可以构造一个函数f(x)，使得当x取整数时，f(x)的值与数列{a_n}的对应项相等。
换句话说，数列{a_n}可以看作是函数f(x)在整数点处的取值。
当数列{a_n}的极限存在时，函数f(x)在整数点处的极限也存在，并且两者的极限值相等。
即lim(n→∞)a_n = lim(x→∞)f(x)。
这个关系可以帮助我们从函数的角度来理解和研究数列的性质。
通过函数的极限性质，我们可以更加深入地理解数列的收敛性和发散性。
例谈用函数观点看数列最值问题
例谈用函数观点看数列最值问题
在数学中，数列是指按一定规律排列的一系列数的集合。
数列最值问题是在给定的数列中寻找最大值或最小值的问题。
在解决这类问题时，我们可以运用函数观点。
我们可以将数列看作是一个函数的图像。
具体来说，将数列中的第n个数表示为an，则数列可以看作是一个自然数到实数的映射。
可以定义一个函数f(n)=an来表示数列。
通过这个函数，我们可以方便地运用函数的性质和方法来解决数列最值问题。
我们可以通过函数的导数来判断数列的增减性。
通过观察数列函数的导数，我们可以知道数列的增减规律，从而进一步确定数列的最值点。
如果数列是递增的，那么最小值一定在数列的第一个数上；如果数列是递减的，那么最大值一定在数列的第一个数上。
我们还可以通过导数的一阶导数、二阶导数等来判断数列的凹凸性，从而进一步推断数列的最值点。
我们还可以运用函数的极值性质来解决数列最值问题。
对于数列函数f(n)，如果它在某个区间上具有极大值或极小值，那么这个极值点也是数列的最值点。
通过求解函数的极值点，我们可以得到数列的最值点，进而找到数列的最值。
我们还可以通过函数的图像来观察数列的变化和趋势。
在数列最值问题中，我们可以将函数图像理解为数列的数值变化，从而更直观地看出数列的最值点。
通过观察数列函数图像的拐点、极值点等特征，我们可以找到数列的最值点。
三角函数与数列的联系
三角函数与数列的联系三角函数是指正弦、余弦、正切等与三角比例有关的函数，而数列则是按照一定规律排列的一系列数值。
虽然它们看似属于不同的数学概念，但事实上，在一些特定的情况下，三角函数与数列之间存在着密切的联系。
本文将探讨三角函数与数列的联系，并给出相应的数学证明和应用示例。
一、三角函数与等差数列的联系1. 正弦函数与等差数列的联系在单位圆上，对于一个角θ，其对应的坐标为(x,y)，其中x=cosθ，y=sinθ。
如果将θ固定为一定的角度，那么对应的x和y坐标就构成了一个等差数列。
具体来说，当角度从0递增到2π时，正弦函数的取值sinθ也是递增的，对应的y坐标也是递增的，而且等差数列的公差就是单位圆上的弦长。
2. 余弦函数与等差数列的联系同样在单位圆上，对于一个角θ，其对应的坐标为(x,y)，其中x=cosθ，y=sinθ。
如果将θ固定为一定的角度，而y坐标对应的正弦值保持不变，那么x坐标就构成了一个等差数列。
具体来说，当角度从0递增到2π时，余弦函数的取值cosθ也是递减的，对应的x坐标也是递减的，而且等差数列的公差同样是单位圆上的弦长。
二、三角函数与等比数列的联系1. 正弦函数与等比数列的联系正弦函数在某些情况下与等比数列也存在联系。
我们将单位圆上的角度限定在0到π/2之间。
把这个区间等分为n份，每个小份的角度是π/2n。
对应的正弦值即为sin(π/2n)，将它们放在一起可以得到一个等比数列。
例如，当n=4时，对应的角度分别为0、π/8、π/4、3π/8，那么对应的正弦值就构成了等比数列。
2. 余弦函数与等比数列的联系与正弦函数类似，余弦函数在某些情况下也与等比数列存在联系。
同样将单位圆上的角度限定在0到π/2之间，把这个区间等分为n份，每个小份的角度是π/2n。
对应的余弦值即为cos(π/2n)，将它们放在一起可以得到一个等比数列。
三、三角函数与斐波那契数列的联系斐波那契数列是指从0和1开始，后续每一项都等于前两项之和的数列。
等差数列知识点、例题。练习
等差数列知识点、例题。
练习数列的概念和性质（一）练习一、定义：按一定次序排成的一列数叫做数列.：1. 从函数的角度看，数列可以是定义域为N*(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值;2. 如果两个数列的数完全相同而顺序不同，则它们不是相同的数列;3. 在同一个数列中，一个数可以重复出现;4. 数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做第1项，第2项。
. 二、数列的表示：通项公式：an f(n)1.解析法递推公式：an 1 f(an)一、巩固提高1. 数列1，3，6，10，15，。
的通项an可以等于( ) (A)n2 (n 1) (B)n(n 1)n(n＋1)2(C) (D) n 2n＋2 222. 数列－1，0，－13，0，－25，0，－37，0，。
的通项an可以等于( )nn（－1）1（－1）1(6n 5) (B)(6n 5) (A)22nn（－1）1（－1）1(6n 5) (D) (6n 5) (C)223..巳知数列{an}的首项a1＝1，an 1 2an 1(n 2)，则a5为( )(A) 7 (B)15 (C)30 (D)31 二、能力提升5. 根据数列的前几项，写出数列{an}的一个通项公式: （1）__，，，，，。
; 3__4，，，。
; __（2）2，－6，12，－20，30，。
; （3）一、巩固提高数列的概念和性质（二）练习1.若数列{an}的前n项和Sn 2n 1，则a1与a5的值依次为( )2(A) 2，14 (B)2，18 (C)3，4 (D)3，18 2.若数列{an}的前n项和Sn 4n2 n 2，则该数列的通项公式为( ) (A)an 8n 5 (n N*) (B) an 8n 5(n N*)(n 1) 5(C)an 8n 5(n 2) (D)an *8n 5(n 2,n N)5.已知数列{an}满足a1＝1，当n 2时，恒有a1a2。
用函数的眼光看数列问题
常数 项 ) 此 时( 可以应用二次函数的知识求 ( 解等 差数 列的 通项公 式及 最值 问题 . 当 7 时( 是 常数 数列 ( / & * + , A + . ,/ , $ 若 + 则 A 的 一次 函数 ( ( $C & , 是 关于 , 若 + 则 / & ( A / & . $ , 结论 ? 非 常数 数 列 * 是 等 差 数 列的 + , 充要 条件 是数 列 * 的前 , 项和 公式 A + , , 是关 于正 整数 , 的 二次 函数 ’ 无常 数项 ) . 结论 D 数列 * 的前 , 项和 为 A 非常 + ( , , 数数列 * 是 等 差 数 列 的 充 要 条 件 是 数 列 + , 的 通 项 公 式 是 关 于 正 整 数 ,的 一 次 函 ,* 数. A ,
的通 项公 ,* 式是 关于 正整 数 ,的一 次函 数 ( A F , A , F 是 数列 A , 的两 / ( / F F , , , A , A , 项( 故 而设 列 * 的 通项 为 @ / + , 8 : ( , , , J + F8 : / ( F 由 I F + , 8 : / . K , =
差数 列 ( 那 么通 项公 式为 + , 9$ ) 7 /, 78 + /+ , 8: . ,/ + $8 ’ $9 7 据此 可以 有 结论 6 非 常数 数 列 * 是 等 差 数列 的 + , 充要 条 件 是数 列 * 的 通 项是 关 于 正 整 数 , + , 的一 次函 数 . 例6 在 等差 数列 * 中( 已知 + + & ( , ;/ $ 求数 列 * 的通 项公 式 . + $ ( + $ #/ % , 分析 常规 方 法是 求 解 首 项和 公 差 ( 代 入通 项公 式 . 下 面应 用 结论 $ 提 供的 方 法 ( 用 一次 函数 的思想 求解 . 解法 6 ’ 待 定系 数法 ) 数 列 是 等差 数列 ( < * + , = 设 数列 * 的通 项公 式为 + , ; + 8 : / $ > ( 为常 数 ) + , 8 : ’ + ( : ( ,/ + 则有 解得 $ # + 8 : / % $ . +/ % ( : /9 ; . = + ,/ % , 9 ; . 解法 ? ’ 直 线的 斜率 ) < 数 列* 是 等差 数列 ( + , 其通 项公 式 + 的一 = , 是关 于正 整数 , 次函 数 ( 那 么图 像是 直线 上的 一群 孤立 的点 ( = = 三 点共线 ( ’ ; ( $ & ) ( ’ $ # ( % $ ) ( ’ , ( + , ) 任 两点 的斜 率相 等 ( 即 + ,9 $ & % $ 9 $ & / . , 9 ; $ # 9 ; = + ,/ % , 9 ; . 评析 解法 $ 是直 接应 用结 论 $ 进 行求
从函数的观点看等差数列
从函数的观点看等差数列课标指出，要用函数的观点来认识数列。
对于一个数列n a ，如果从函数的观点来看，就是定义在正整数集上的函数。
下标n 表示的是自变量。
这时，有一个量很重要，它就是，1n n a a +-它的含义是，当自变量变化一个单位时，因变量变化的量。
换句话说，它就是函数的‘变化率’。
也就是说，它相当于连续变量时，函数的导数。
我们都知道微积分在数学上的重要地位。
而微积分中，最重要的概念之一就是导数。
用导数研究函数是微积分的重要组成部分，也是我们学习的主要内容。
因此，不难想见，在数列的研究中，1n n a a +-的重要作用。
事实上，和导数一样，当1n n a a +-大于零时，数列递增，当1n n a a +-小于零时，数列递减。
1n n a a +-的绝对值大时，数列的变化幅度大，当1n n a a +-的绝对值小时，数列的变化幅度小。
1n n a a +-起着和函数导数一样的作用，可以用它来分析数列的增，减，极大、极小值等。
1n n a a +-和导数一样重要，但是，它又十分简单。
特别是，和导数比，它不需要引进极限的概念。
上述讨论表明，在数列的研究中，1n n a a +-起着重要的作用。
它是数列的变化率，是数列的‘导数’，是数列的‘斜率’。
而等差数列就是1n n a a +-等于常数的数列。
我们记做1n n a a +-d =，并称d 为公差。
这个公差d ，就是变化率，就是‘导数’，就是‘斜率’。
d 是常数，就是指，变化率是常数；‘导数’是常数；‘斜率’是常数。
我们知道，在连续变量中，导数或斜率是常数的函数是一次函数：y kx b =+。
它的图象是一条直线。
这个直线虽然可以用直线上的两个点来决定（两点式方程），但更方便的是，用直线上一点和直线的斜率来决定（点斜式方程），即，用一点和一个方向来决定该直线。
同样，在等差数列中，我们最常用的方法是，用一项（相当于直线上的一点）和公差（即斜率）来决定该等差数列，即通项公式：1(1)n a a n d =+-。
高考数学题型全归纳：用函数观点看数列问题(含答案)
用函数观点看数列问题
新教材将数列安排在函数之后学习，强调了数列与函数知识的密切联
系．从函数的观点出发，变动地、直观地研究数列的一些问题，一方面有利于
认识数列的本质，另一方面有利于加深对函数概念的理解．本文拟用函数的观点来认识一些数列问题．
1 数列的本质
数列可看作一个定义域为N*(或它的有限子集{1，2，3，,，n})的函数，用图象表示是一群孤立的点．例如，对于公差不为零的等差数列{a n}来说，它的通项是关于n的一次函数，从图象上看，表示这个数列各点均匀地分布在一
次函数y=ax+b(a≠0)的图象上；它的前n项和S n是关于n的无常数项的二次函数，因此S n/n也是关于n的一次函数．
式是________．
考虑到a n是关于n的一次函数，故pn＋q与(n－1)或(2n－1)是同类因式．由待定系数法知：
p＋q=0(舍去)或p＋2q=0．
例2 等差数列{a n}中，a p=q，a q=p(p≠q)求a p+q．
解由于等差数列的通项a n是关于n的一次函数，故三点(p，q)，(q，p)，(p＋q，ap＋q)共线．
解由题设知：公差a≠0．。
函数观点看数列
令 （ 一 “ ＝ 厂 ） ＝ ＝
厂 （ 一— ， ） ３ ｎ
—
二
（ Ｎ ， ≥ ＋） 则
２
－ —
ａ和 Ｓ 是 与 指 数 相 关 的 函 数 ． 此许 多 数 列 问 题 因
可 以用 函数 的性质 进行 分析 、 决． 解
１ 利 用 对 称
＃
＝
２ ｎ ４
１ ３
２ 一 ６ 即 ｂ 】 ＝ ｎ ６ 则 ｎ ， 一ｂ ＝ ２ 一 ， ＝
ｂ 一 ｂ ， 一 一 ４， 一 ｂ ＝ ｂ ２＝ ＝一 ２， ， …
数
Ｌ 璧
ｆ（ ＋ ２ 一 ＿（ ＋ １ 一 ｆ（ 则 ｖ（ － ｚ ） 厂 ） ）， ， ｚ十 ３ 一 ／（ ＋ ２ 一 ） ）
ａ。 一 １１ ． 一 １
关 于 的 二 次 函 数 ， 开 口 向 下 ， 此 可 得 在 对 称 轴 且 由
４＋ ９
一 ＿
一
处 取 得 最 大 值． ， 又 ｚ ∈Ｎ＋， ７ 故 ２ —６或 ７
时 ， 最 大 ． Ｓ
彰彝言 墨
题用 叠加 法 求 出 ｂ ， 的通 项 公 式 ， 第 （ ） ａ 在 ２ 问欲 求
以 求 得 ， 是 利 用 等 差 数 列 的 前 项 和 公 式 的 对 称 但 性 ， 更 加 简洁． 则
解 设 Ｓ ＝ａ 。 ｂ （ ＜ Ｏ ， Ｓ ， 以 Ｓ ＝ ｎ ＋ ｎ 口 ＝ ）Ｓ 一 。 所 是
时 ， （） 最小值 ， ＿ 有 厂 而 ∈Ｎ＋，
所 以 ｎ＝８或 ９ ， 有 最小值 ， ＝ ＝ 时 ａ 即最小 值为 ａ 一 。
量
（ ； ） ≥２ －
．
又 ” １也 适 合 上 式 ， 有 ： 一 故
数学知识点：数列的概念及简单表示法_知识点总结
数学知识点：数列的概念及简单表示法_知识点总结
一般地按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项，数列的一般形式可以写成，简记为数列{an}，其中数列的第一项a1也称首项，an是数列的第n项，也叫数列的通项2、数列的递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第2项（或某一项）开始的任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方法。
从函数角度看数列：
数列可以看作是一个定义域为正整数集N'（或它的有限子集{l，2，3，…，n}）的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，这里说的函数是一种特殊函数，其特殊性为自变量只能取正整数，且只能从I开始依次增大．可以将序号作为横坐标，相应的项作为纵坐标描点画图来表示一个数列，从数列的图象可以看出数列中各项的变化情况。
特别提醒：
①数列是一个特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题,学习规律，即用共性来解决特殊问题；
②还要注意数列的特殊性（离散型），由于它的定义域是N'或它的子集{1，2，…，n}，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性．。
高三数列复习讲义24323
复习数列1、数列，是按照一定顺序排列而成的一列数，从函数角度看，这种顺序法则就是函数的对应法则，因此数列可以看作是一个特殊的函数，其特殊性在于：第一，定义域是正整数集或其子集；第二，值域是有顺序的，不能用集合符号表示。
研究数列，首先研究对应法则——通项公式：a n =f(n)，n ∈N +，要能合理地由数列前n 项写出通项公式，其次研究前n 项和公式S n ：S n =a 1+a 2+…a n ，由S n 定义，得到数列中的重要公式：⎩⎨⎧≥-==-2n S S 1n Sa 1n n1n 。
一般数列的a n 及S n ,，除化归为等差数列及等比数列外，求S n 还有下列基本题型：列项相消法，错位相消法。
2、等差数列（1）定义，{a n }为等差数列⇔a n+1-a n =d （常数），n ∈N +⇔2a n =a n-1+a n+1（n ≥2，n ∈N +）； （2）通项公式：a n =a n +(n-1)d ，a n =a m +(n-m)d ； 前n 项和公式：2)a a (n d 2)1n (n na S n 11n +=-+=； （3）性质：a n =an+b ，即a n 是n 的一次型函数，系数a 为等差数列的公差； S n =an 2+bn ，即S n 是n 的不含常数项的二次函数；若{a n }，{b n }均为等差数列，则{a n ±n n },{∑=k1i ka},{ka n +c}（k ，c 为常数）均为等差数列；当m+n=p+q 时，a m +a n =a p +a q ，特例：a 1+a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2=…；当2n=p+q 时，2a n =a p +a q ； 当n 为奇数时，S 2n-1=(2n-1)a n ；S 奇=21n +a 中，S 偶=21n -a 中。
3、等比数列 （1）定义：n1n a a +=q （q 为常数，a n ≠0）；a n 2=a n-1a n+1（n ≥2，n ∈N +）； （2）通项公式：a n =a 1q n-1，a n =a m q n-m ;前n 项和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==1q q 1q a a q 1)q 1(a 1q na S n 1n 11n ；（3）性质当m+n=p+q 时，a m a n =a p a q ，特例：a 1a n =a 2a n-1=a 3a n-2=…，当2n=p+q 时，a n 2=a p a q ，数列{ka n }，{∑=k1i ia}成等比数列。
从函数角度来进一步认识数列和利用函数解决数列问题
从函数角度来进一步认识数列和利用函数解决数列问题Ξ□张秀萍(南宁市第三十六中学,广西南宁530003)[摘 要] 数列与函数知识有着密切的联系,有关数列的概念、等差(比)数列的通项及前n 项和等知识,可利用函数来理解,许多数列问题都可以借助函数来解决。
[关键词] 函数;数列;函数图像;通项公式;前n 项和公式[中图分类号] G 63315 [文献标识码] A [文章编号] 1002-5227(2008)S -0134-03数列是高中数学重要内容之一,在实际生活和生产中有着广泛的应用。
学习数列,有助于培养学生观察、分析、归纳、猜想及综合运用知识解决问题的能力;在知识结构方面,数列与函数知识有密切的联系,在数列有关概念、通项公式与前n 项和公式中,函数的思想贯穿始终。
我们可以利用函数来认识数列的概念,等差(比)数列的通项公式、前n 项和公式等知识,可以借助函数来解决数列问题。
1 数列的概念和图像数列的定义 按一定次序排列的一列数叫数列。
数列中的每一项的序号与这一项有下面的对应关系:序号123…↓↓↓项a 1a 2a 3…↓↓↓函数值f (1)f (2)f (3)… 联系已学过的函数知识,可以把数列看作一种定义域为正整数集N 3(或它的有限子集{1,2,…,n })的特殊函数,数列的本质就是一种特殊的函数,数列的通项公式即相应函数的解析式。
既然数列是函数,就可以用图像来表示。
数列的图像是一群孤立的点,这使学生看到了不仅可以有自变量连续变化的函数,还可以有自变量离散变化的函数。
2 等差数列的通项公式和前n 项和公式 (1)教科书中用不完全归纳法推导出等差数列的通项公式:a n =a 1+(n -1)d ,公式变形:a n =d n +(a 1-d )。
在给定首项a 1和公差d 的情况下,若d ≠0,则通项公式a n =d n +(a 1-d )看作是关于n 的一次Ξ[收稿日期] [作者简介] 张秀萍(),女,中学一级教师,长期从事高中数学教学工作。
【高中数学】高中数列知识蕴含的主要数学思想
【高中数学】高中数列知识蕴含的主要数学思想1.函数思想因为数列的通项公式、前n项和公式都是关于n的函数，所以一些数列问题可从函数的角度出发，运用函数思想来解答.相关的问题有：数列的单调性问题、求基本量问题、最值问题等.上述问题可利用数列所对应函数的特征、数列所对应函数的性质来解答.2.方程思想等差、等比数列都有5个基本量，运用方程思想可做到“知三求二”.在已知某些量的情况下，通过列方程或方程组求解其它量.此外，本章经常使用的待定系数法其实就是方程思想的体现.3.转化与化归思想本章的转化思想的运用，主要体现在把非特殊数列问题转化成特殊数列问题来解答，如：求递推数列的通项公式可通过构造转化成特殊数列求通项公式，非特殊数列的求和问题可转化成特殊数列的求和问题等.化归思想指的是把问题转化到研究对象最基础知识点上去解决，如：用等差、等比数列及等差、等比中项的定义，证明一个数列是等差或等比数列等.4.分类讨论思想本章的分类讨论思想主要体现在解决一些含参数列问题上，尤其是等比数列求和或相关问题时，若含参数，一定不要忽略对q=1的讨论.5.数形结合思想借助数列所对应函数的图象解答某些问题，会十分的直观、快捷.如：解答等差数列前n项和的最值问题，我们可结合二次函数的图象.6.归纳思想归纳思想是指由个别事实概括出一般性结论的数学思想.在本章中，根据数列的前若干项归纳数列的通项公式，或根据若干图形中子图形的个数归纳第n个图形中子图形的个数（其实也是求通项公式）都是运用归纳思想的典型例子.7.类比思想类比思想是指由一类对象具有某些特征，推出与它相似的某一对象也具有这些特征的数学思想，它的推理方式是由特殊到特殊的推理.等差数列和等比数列作为两类特殊的数列，有很多相似之处，比如，在等差数列中，若，则；在等比数列中，若，则有.通过类比可推导出很多有用的结论，发现很多有趣的性质.8.整体思想在研究数列（是等差或等比数列的前k项的和）时，就利用了整体思想，即把看作数列中的一项，依此类推，即可得出此数列的特征.首页上一页12下一页末页共2页感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高中数学竞赛数列
竞赛辅导数列(等差数列与等比数列)数列是高中数学中一个重要课题，也是数学竞赛中常常出现问题。
数列最根本是等差数列与等比数列。
所谓数列，就是按肯定次序排列一列数。
假如数列{a n}第n项a n 与项数(下标)n之间函数关系可以用一个公式a n=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列通项公式。
从函数角度看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它有限子集{1，2，…n})函数当自变量从小到大依次取值时对应一列函数值，而数列通项公式也就是相应函数解析式。
为理解数列竞赛题，首先要深入理解并娴熟驾驭两类根本数列定义、性质有关公式，把握它们之间(同构)关系。
一、等差数列假如一个数列从第二项起，每一项与它前一项差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列公差，公差常用字母d表示。
等差数列{a n}通项公式为：前n项和公式为：从(1)式可以看出，是一次数函()或常数函数()，()排在一条直线上，由(2)式知，是二次函数()或一次函数()，且常数项为0。
在等差数列{}中，等差中项：且随意两项关系为：它可以看作等差数列广义通项公式。
从等差数列定义、通项公式，前项和公式还可推出：假设二、等比数列假如一个数列从第2项起，每一项与它前一项比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列公比。
公比通常用字母表示。
等比数列{a n}通项公式是：前项和公式是：在等比数列中，等比中项：且随意两项关系为假如等比数列公比满意0＜＜1，这个数列就叫做无穷递缩等比数列，它各项和(又叫全部项和)公式为：从等比数列定义、通项公式、前项和公式可以推出：另外，一个各项均为正数等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列各项做指数构造幂，那么{}是等比数列。
在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构〞。
重要不仅是两类根本数列定义、性质，公式；而且蕴含于求和过程当中数学思想方法和数学才智，也是极其宝贵，诸如“倒排相加〞(等差数列)，“错位相减〞(等比数列)。
如何运用函数思想解答等差数列问题
函数与数列之间关系紧密.数列可以看成是定义在正整数集或者是和其对应的子集上的函数.由于自变量为正整数，所以函数的图象不是连续的，是由一些孤立的点构成的.因此，我们在解答等差数列问题时，可以将等差数列看作一种特殊的函数，灵活运用函数思想来辅助解题，借助函数的概念、图象、性质来分析问题，从而提升解题的效率.例1.已知等差数列的前n 项公式和S n ，若S 5=60,S 20=840,求S 30.解：由于等差数列的前n 项公式和S n 是关于n 的二次函数，所以可设S n =pn 2+qn ,则S 5=25p +5q =60，S 20=202p +20q =840，解得p =2,q =2所以S n =2n 2+2n ，将n =30代入上式可得S 30=1860解答本题若采用常规方法，需根据等差数列的前n 项公式，设S n =na 1+n (n -1)2d ，将已知条件代入进行计算，计算量会非常大.将等差数列的前n 项和与二次函数联系起来，设S n =pn 2+qn ，运用函数思想来解题，则便于计算.例2.已知数列a n 的各项都是正数，且a 0=1,a n +1=12a n(4-a n),n ∈N.证明:a n <a n +1<2，n ∈N.解：设a n =x ,则f (x )=12x (4-x )，将其变形可得f (x )=-12(x -2)2+2，又因为-12(x -2)2≤0，所以f (x )=-12(x -2)2+2<2成立，即a n +1<2.又f (x )-x =-12x 2+2x -x =-12x (x -2)>0，所以f (x )>x ，即a n +1>a n .综上可得a n <a n +1<2成立.根据数列与函数的关系，可将a n +1=12a n (4-a n )看作关于a n 的二次函数.通过配方，将函数解析式转化为顶点式，根据二次函数的性质确定函数的最值，进而证明a n <a n +1<2成立.例3.在等差数列{}a n 中，a 1>0,S 4=S 9，问当n 取何值时，S n 有最大值.解：设等差数列的前n 项和S n =na 1+n (n -1)2d ，根据S 4=S 9可得S 4=4a 1+6d =S 9=9a 1+36d ，解得a 1=-6d ，则S n =d 2n 2-132nd =d2（n -132d ）2+1694，由a 1>0得d <0,所以抛物线的开口向下且点(n ,S n )在抛物线上，又因为n 为正整数，所以当n =b -2a =132时，S n 取最大值，但n 为正整数，所以n 取6和7时，S n 有最大值.如果采用常规方法解答本题，直接用等差数列前n 项和公式求解的话，必须先根据已知等式条件求出a 1与d 的关系，然后由S k >S k +1,S k >S k -1且k 为正整数求出满足条件的n 的值.这里，我们将等差数列前n 项和与函数关联起来，构造出函数模型，利用二次函数的对称性和单调性求得最值以及n 的取值.例4.已知数列{}a n 满足a 1=3,a n =2a n -1-4,n ≥2.求该数列的通项公式.解：令f (x )=2x -4，由x =3x -4可得f (x )的不动点是x =2.所以a n -2=3a n -1-4-2=3(a n -1-2),n ≥2，可得{}a n 是首项为3、公比为3的等比数列，探索与研究51则a n -2=(a 1-2)3n -1=3n -1，可得数列的通项公式为a n =3n -1+2.我们将该数列看作函数，结合已知的递推式求出函数f (x )的不动点，由此构造出新的等比数列，利用等比数列的通项公式求得数列的通项公式.在解题时，灵活运用函数思想，借助函数的性质来解题，能将数列问题化繁为简，大大提升解题的效率.例5.已知递增数列{}a n ，对任意正整数n ，都有a n =n 2+bn >0恒成立，求b .解法一：由{}a n 是递增数列可知a n +1-a n >0对于一切n ∈Ν∗恒成立，即2n +1+b >0恒成立，所以b >-(2n +1)对于一切n ∈Ν∗恒成立，可设f ()n =-(2n +1)，则f ()n 是单调递减函数，有最大值为f ()1=-3，所以b 的取值范围是b >-3.解法二：可将a n =n 2+bn 看作是二次函数f ()x =x 2+bx ，则其定义域为{}xx ≥1,x ∈Ν∗，由{}a n 是递增数列可知f ()x 是递增函数，递增区间为[1,+∞)，且抛物线的对称轴为x =-b 2，因为函数f ()x 的图象是由一些孤立的点构成的，所以函数的对称轴x =-b2在x =1.5左侧，即-b2<1.5，解得b >-3.例6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=3，a n +1=2a n +2n +1-1(n ∈N *)．（1）求实数λ使{}a n +λ2n为等差数列，并由此求出a n 与S n ；（2）求n 的所有取值，使S na n∈N *，说明你的理由．解：（1）a n =n ·2n +1，S n =T n +n =(n -1)·2n +1+2+n .（2）S n a n =(n -1)⋅2n +1+n +2n ⋅2n +1=2+n -2n+1n ⋅2n +1，结合y =2x及y =12x 的图象可知2n >n 2恒成立，∴2n +1>n ，即n -2n +1<0，∵n ·2n +1>0，∴S na n<2.当n =1时，S n a n =S 1a 1=1∈N *；当n ≥2时，∵a n >0且{a n }为递增数列，∴S n >0且S n >a n ，∴S n a n >1，即1<S na n<2，∴当n ≥2时，S na n∉N *.综上可得n =1.解答本题主要运用了指数函数y =2x及一次函数y =12x 图象和性质，将的表达式进行放缩，从而求得n 的可能取值.此题是恒成立问题.由于b 是未知的，并且仅仅根据已知条件无法得到问题的答案，因此考虑运用函数思想，将数列恒成立问题转化为函数最值问题来求解.解法一是通过构造一次函数，利用一次函数的单调性求得函数的最值，进而求得b 的取值范围；解法二是构造二次函数，根据二次函数的单调性和对称性使问题获解.一般地，对于较为复杂的等差数列问题，我们可以根据数列与函数的关系，构造出函数模型，将S n 看作关于n 的二次函数S n =d 2n 2+æèöøa 1-d2n ，那么点(n ,S n )是抛物线y =d 2x 2+æèöøa 1-d 2x 上的离散的点，这样便可运用函数思想来解题.利用待定系数法可求出函数的解析式，即数列的和的表达式；根据二次函数的对称性以及对称轴，便可简便地求出S n 取最大值时n 的取值；根据二次函数的性质建立使不等式恒成立的关系式；等等.根据数列与函数之间的关系对数列问题进行转化，能有效地拓宽解题的思路，提升解题的效率.（作者单位：云南省会泽一中文渊中学）探索与研究52。
从函数视角解决数列问题
一
例 ４ （ ０ ０年 成 都 市 诊 断 性 试 题 ） 知 等 差 数 列 ２０ 已 ｛ｎ ， 差 为 ｄ， 比 数 列 ｛ ， 比 为 ｑ（ ａ｝ 公 等 ｂ ｝公 ｑ＞ １ ， ） 若 ＝
ｂ ＝ ２， ４ ｂ ２ ａ ： ４．
（ ）比 较 ａ １ 与 ｂ ， 与 ｂ 叻 大小 ； ３的
Ｓ ＋ ＝ ０ ．
为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
＋ 寺（ …＋ ｎ∈Ｎ ， （ ＋ ） ｆｎ等 ）则ｆｎ １一 （）
于 （ ） ．
＆ ｃ． ＋ Ｄ． 一
此 二 次 函 数 图像 的 对 称 轴 ， 此 Ｉ ｍ ＋ｎ） 厂 ０）＝０， 因 厂 （ ＝Ｉ （ 即
另 由 争 ａ 手ｎ得 争 ＋一 解 ＝ ＋ ｌ ） ＝ ｎ 一 ， 一
一
例 ３ 在 等 差 数 列 ｛ｎ 中 Ｓ ａ｝ 是 其 前 ｎ 项 和 ， 差 为 公 ｄ≠ ０ ． （ ）若 ：ｍ ， ：ｎ ｍ≠ｎ 求 ‰ ． １ ‰ （ ） （ ）若 ｓ ２ ＝ｓ （ ｍ≠ｎ） 求 ｓ ＋ ． 点 拨 （ ） ａ ： ａ ＋ （ 一 １ ：ｄ １由 ｎ 。 ｎ ） ｎ＋ （ ｌ ） 知 ： ａ —ｄ 可 是 关 于 ｎ 的 一 次 式 ， 三 点 （ ‰） （ ％） （ ＋ｎ， 则 ｍ， 、 ｎ， ｍ ） 线 ， 据 任意 两点斜 率 相等 得 ａ＋ 共 根 ｍ ：０
＼ １ ， ｎ／ （，ｎ，ｆ ｎ 一ｍ＋ １ ｎ ＼ ， ｍ＋ 共线， ’Ｓ＋： ．。。 易求 ０ 当然 “ … …
此 题 可 以 用 其 他 很 多 方 法 来 解 决 ，但 是 我 们 从 中 不 难 发 现利 用 函数 图像 直观 简便 ．
Ｉ）＿ 丁＋＿ ＿ 丁＋ ＋ 的 念 厂 ：＿ ＿ ＋＿ … 丢 概 的 （ ÷ ÷ ÷
戴上“函数眼镜”看数列
=1 (1 y)(1 z) < 1 .
综上所述,原不等式成立. 此题目证明应用了函数的如下性质: 函数 f (x) = ax + b 在 x ∈[α, β] 上的图象 是 一 条 线 段 , 显 然 对 一 切 x ∈[α, β] 都 有 f (x) ≤max{ f (α), f (β)} .
数学家希尔伯特在巴黎世界数学家代表 大会曾说过:“数学科是一个不可分割的有机 整体,它的生命力在于各部分之间的联系.”的
确,数学最为迷 人之处是不同分支之间有许 多相互影响,预 想不到的联系有时会奇迹般 地展观在你的眼前.以上通过函数思想构造
函数证明不等式就是一个很好的例子.
·28·
戴上“函数眼镜”看数列
松快捷, Sn 是关于 n 的无常数项的二次函数, 所以它是等差数列,其图象的对称轴为 n = 35 ,
4
又 n ∈N* ,所以 n = 9 时, Sn 取得最大值. 在等比数列 {an} 中,通项公式 an = a1qn 1
= a1qn'(n ' ∈N) , 得 an = f (n ') = a1qn' 是关 n ' 于 的指数函数形式.
a1n(q ≠1),
Sn = f (n) = a1 (1
qn ) .(q ≠1)
1q
2 妙用函数图象,速解数列疑难
数形结合是高中数学中最为常见的数学
思想方法, 也是高考的考察重点. 图象能化抽
象问题为具体,化复杂问题为简单,在数列问
题中,常常遇到 使用通性通法解决棘手问题
从函数观点解数列问题
一
解 ：・ ＝ ＋１十１＋ （ Ｎ ） ・ ｎ １ 下 下 …＋ ｎＥ ． ． Ｓ
Ｚ ｊ ｎ
・
．
．
ｓ－ ｝｝． ， ＋＋＋ ＝ ＋ ． 。 ｎ － ＝ ＋ ＋ ＋＋ ） 击 ． ＿ １ ． ‘
式 ｆｎ ＞ｌ ｇ （ １］一 ［ ｇ ＝Ｄ 恒成立． （） ＇ ｍ ｍ一 ） １ －ｍ］ ｌ ｏ ｏｃ 不等式①甘
ｆ ｙ 号铮 ， 啬
分 ：题 可 ｆ）… 十 … ∈’但 析由 意 知 （ ｌ 六 … ， ‘ Ｎ， ｍ ＿ … ｎ ）
此式无法求和化 简． 的一步是用函数的思想， ｆｎ （ ￡Ｎ） 关键 将 （） １ ． ｌ
恒 立只 砉＞ ｍ） 万［ｍｍ① 成 ． 成 ，要 Ⅱ （１一 １ ＿］ 恒 立 。 —］１ ｏ １ ２ ２１ ｇ ）
由ｆ Ｏ ．≠ ｍ ｍ 由 ｌ ＞ｇ
Ｌ ｍ一１ ＞Ｏ 且 ｍ 一１≠ ０
得ｍｌ ≠ ． 得 ＞且ｍ ２ 且 ≠
．
设 ｙ ￣ ｇ （ １］， ｙ ０ ＝ Ｏｍｍ一 ） 则 ＞ ．
．
．（＋ ） １ ＋ 』 ｎ １＝
ｎ
￣＋４ ＂ ＂ ｌ
－
丽１
・ ．
递 推 公 式 也 是 表 示 相 应 函 数 的 一 种 方 式 ， 因为 只 要 给 定 一 个 自
变 量 的 值 ｎ 就 可 以通 过 递 推 公 式 确 定 相 应 的 值 ｆｎ ， 此 数 列 ， （） 因
从 函数观点解数列 问题
◎ 漳 浦第一 中学 吴金祥
列 是 高 中 数 学 重 要 内容 之 一 ，它 在 教 材 中起 着 承 前 启 后
等差数列的概念
－1)d＝n2，∴an＝2n.
跟踪训练1.已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，数列{bn}中，bn＝3an＋4，问： 数列{bn}是否为等差数列？并说明理由． 解：数列{bn}是等差数列．理由：∵数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列， ∴an＋1－an＝d(n∈N*)． ∴bn＋1－bn＝(3an＋1＋4)－(3an＋4)＝3(an＋1－an)＝
4
44
跟踪训练1．在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，求a10.
2.－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？ 解：由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得an＝－5－4(n－1)＝－4n－1，由题意知， －401＝－4n－1.得n＝100，即－401是这个数列的第100项．
3.通项公式：
an= a1＋(n－1)d (n∈N*) 变式：an＝am＋(n－m)d (n,m∈N*) .
4.通项公式与函数关系：等差数列的通项公式为一次型函数an=kn+b,n∈N*
2.从数列相对函数的特殊性探究：
数列相对于函数的特殊性体现在自变量取值的“有序性、离散性”，因此，可探究 以下内容： （1）相邻项比较分析、递推思想等方法； （2）前n项求和问题。
3.从“理论与实际问题相结合”探究：
从现实中的同类问题入手进行“比较、分析、抽象、概括”，建立数学模型，并 用数学的理论和方法解决之。
③等差数列{an}的单调性与公差d有关. 当d>0时，等差数列{an}为递增数列； 当d＝0时，等差数列{an}为常数列； 当d<0时，等差数列{an}为递减数列．
(2) 等差数列通项公式的变式：an＝am＋(n－m)d (n,m∈N*) .
等差数列与等比数列知识点及题型归纳总结
等差数列与等比数列知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念 1.数列(1)定义：按照一定顺序排列的一列数就叫做数列. (2)数列与函数的关系.从函数的角度来看,数列是特殊的函数.在()y f x =中,当自变量x N *∈时,所对应的函数值(1),(2),(3),f f f 就构成一数列,通常记为{}n a ,所以数列有些问题可用函数方法来解决.2.等差数列 (1)定义：一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一常数,则该数列叫做等差数列,这个常数叫做公差,常用字母d 表示,即1()n n a a d n N *+-=∈.(2)等差数列的通项公式.若等差数列{}n a 的首项是1a ,公差是d ,则其通项公式为11(1)()n a a n d nd a d =+-=+-,是关于n 的一次型函数.或()n m a a n m d =+-,公差n m a a d n m-=-(直线的斜率)(,,m n m n N *≠∈).(3)等差中项.若,,x A y 成等差数列,那么A 叫做x 与y 的等差中项,即2x yA +=或2A x y =+,.在一个等差数列中,从第2项起(有穷等差数列的末项除外),每一项都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上,等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项.(4)等差数列的前n 项和2111()2(1)2222n n a a n a dn n d d S na n n +--==+=+(类似于2n S An Bn =+),是关于n 的二次型函数(二次项系数为2d且常数项为0).n S 的图像在过原点的直线(0)d =上或在过原点的抛物线(0)d ≠上.3.等比数列(1)定义.：一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个非零常数,则该数列叫做等比数列,这个常数叫做公比,常用字母q 表示,即1(q 0,)n na q n N a *+=≠∈. (2)等比数列的通项公式. 等比数列的通项1111()(,0)n n n a a a qc q c a q q-==⋅=≠,是不含常数项的指数型函数. (3)m n mna q a -=. (4)等比中项如果,,x G y 成等比数列,那么G 叫做x 与y 的等比中项,即2G xy =或G =两个同号实数的等比中项有两个).(5)等比数列的前n 项和111(1)(1)(1)11n n n na q S a a qa q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩注①等比数列的前n 项和公式有两种形式,在求等比数列的前n 项和时,首先要判断公比q 是否为1,再由q 的情况选择相应的求和公式,当不能判断公比q 是否为1时,要分1q =与1q ≠两种情况讨论求解.②已知1,(1),a q q n ≠(项数),则利用1(1)1n n a q S q -=-求解;已知1,,(1)n a a q q ≠,则利用11n n a a qS q-=-求解.③111(1)(0,1)111n n n n a q a aS q kq k k q q q q--==⋅+=-≠≠---,n S 为关于n q 的指数型函数,且系数与常数互为相反数.例如等比数列{}n a ,前n 项和为212n n S t +=+,则t =.解:等比数列前n 项和21224n n n S t t +=+=⋅+,则2t =-.二、基本性质1.等差数列的性质 (1)等差中项的推广.当(,,,)m n p q m n p q N *+=+∈时,则有m n p q a a a a +=+,特别地,当2m n p +=时,则有2m n p a a a +=.(2)等差数列线性组合.①设{}n a 是等差数列,则{}(,)n a b b R λλ+∈也是等差数列.②设{},{b }n n a 是等差数列,则1212{}(,)n n a b R λλλλ+∈也是等差数列. (3)有限数列.①对于项数为2n 的等差数列,有: (Ⅰ)21()n n n S n a a +=+.(Ⅱ)11,,,n n n nS a S na S na S S nd S a ++==-==偶奇奇偶偶奇. ②对于项数为21n -的等差数列,有; (Ⅰ)21(21)n n S n a -=-.(Ⅱ),(1),,1n n n S nS na S n a S S a S n ==--==-奇奇奇偶偶偶.(4)等差数列的单调性及前n 项和n S 的最值. 公差0{}n d a >⇔为递增等差数列,n S 有最小值; 公差0{}n d a <⇔为递减等差数列,n S 有最大值; 公差0{}n d a =⇔为常数列. 特别地 若10a d >⎧⎨<⎩,则n S 有最大值(所有正项或非负项之和);若100a d <⎧⎨>⎩,则n S 有最小值(所有负项或非正项之和).(5)其他衍生等差数列.若已知等差数列{}n a ,公差为d ,前n 项和为n S ,则: ①等间距抽取2(1),,,,p p t p t p n t a a a a +++-为等差数列,公差为td . ②等长度截取232,,,m m m m m S S S S S --为等差数列,公差为2m d .③算术平均值312,,,123S S S 为等差数列,公差为2d . 2.等差数列的几个重要结论(1)等差数列{}n a 中,若,(,,)n m a m a n m n m n N *==≠∈,则0m n a +=. (2)等差数列{}n a 中,若,(,,)n m S m S n m n m n N *==≠∈,则()m n S m n +=-+. (3)等差数列{}n a 中,若(,,)n m S S m n m n N *=≠∈,则0m n S +=.(4)若{}n a 与{b }n 为等差数列,且前n 项和为n S 与n T ,则2121m m m m a S b T --=. 3.等比数列的性质 (1)等比中项的推广.若m n p q +=+时,则m n p q a a a a =,特别地,当2m n p +=时,2m n p a a a =.(2)①设{}n a 为等比数列,则{}n a λ(λ为非零常数),{}n a ,{}mn a 仍为等比数列.②设{}n a 与{b }n 为等比数列,则{b }n n a 也为等比数列.(3)等比数列{}n a 的单调性(等比数列的单调性由首项1a 与公比q 决定).当101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩时,{}n a 为递增数列;当1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩时,{}n a 为递减数列.(4)其他衍生等比数列.若已知等比数列{}n a ,公比为q ,前n 项和为n S ,则: ①等间距抽取2(1),,,,p p t p t p n t a a a a +++-为等比数列,公比为tq .②等长度截取232,,,m m m m m S S S S S --为等比数列,公比为mq (当1q =-时,m 不为偶数).4.等差数列与等比数列的转化(1)若{}n a 为正项等比数列,则{log }(c 0,c 1)c n a >≠为等差数列. (2)若{}n a 为等差数列,则{c }(c 0,c 1)n a>≠为等比数列. (3)若{}n a 既是等差数列又是等比数列{)n a ⇔是非零常数列. 题型归纳及思路提示题型1 等差、等比数列的通项及基本量的求解 思路提示利用等差(比)数列的通项公式或前n 项和公式,列出关于1,()a d q 基本量的方程或不等式从而求出所求的量.一、求等差数列的公差及公差的取值范围例6.1 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若244,20S S ==,则该数列的公差d =( ). A.7 B.6 C.3 D.2解析 212124S a a a d =+=+= ①414620S a d =+= ②由式①②可解得3d =,故选C.评注 求解基本量用的是方程思想.变式1 (2012福建理2)等差数列{}n a 中,15410,7a a a +==则数列{}n a 的公差为( ). A.1 B.2 C.3 D.4变式2 已知等差数列首项为31,从第16项起小于1,则此数列公差d 的取值范围是( ). A.(,2)-∞- B.15,27⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ C.(2,)-+∞ D.15,27⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、求等比数列的公比例6.2 在等比数列{}n a 中,201320108a a =,则公比q 的值为( ). A.2 B.3 C.4 D.8 解析 因为201320108a a =,所以3201320108,a q a ==则2q =,故选A. 变式1 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1234,2,a a a 成等差数列,若11a =,则4S =( ). A.7 B.8 C.15 D.16变式2 (2012浙江理13)设公比为(0)q q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若224432,32S a S a =+=+,则q =.变式3 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若123,2,3S S S 成等差数列,则{}n a 的公比为.三、求数列的通项n a例6.3 (1)(2012广东理11)已知递增等差数列{}n a 满足21321,4a a a ==-,则n a =.(2)(2012辽宁理14)已知等比数列{}n a 为递增数列,且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=,则数列{}n a 的通项公式n a =.解析 (1)利用等差数列的通项公式求解.设等差数列公差为d ,则由2324a a =-得,212(1)4d d +=+-,所以24d =,得2d =±,又该数列为递增的等差数列,所以2d =.故1(1)21()n a a n d n n N *=+-=-∈.(2)由数列{}n a 为等比数列,设公比为q ,由212()5n n n a a a +++=,得22()5n n n a a q a q +=,即22(1)5q q +=,解得12q =或2.又25100a a =>,且数列{}n a 为递增数列,则2q =. 因此5532q a ==,所以2()n n a n N *=∈.变式1 n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,264,1S S a ==,则n a =.变式2 已知两个等比数列{},{b }n n a ,满足11122331,1,2,4a b a b a b a =-=-=-=,求数列{}n a 的通项公式.例6.4 在等差数列{}n a 中,138a a +=,且4a 为2a 和9a 的等比中项,求数列{}n a 的前n 项和为n S .解析 设该数列的公差为d ,前n 项和为n S .由已知,得211228,(3)a d a d +=+=11()(8)a d a d ++,所以114,(3)0a d d d a +=-=,解得14,0a d ==或11,3a d ==,即数列{}n a 的首项为4,公差为0,或首项为1,公差为3.所以数列的前n 项和为4n S n =或232n n nS -=.变式1 已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-,则其通项n a =;若它的第k 项满足58k a <<,则k =.变式2 已知数列{}n a 的前n 项和1(nn S a a =-为非零实数),那么{}n a ( ).A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或者是等差数列,或者是等比数列D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列题型2 等差、等比数列的求和 思路提示求解等差或等比数列的前n 项和n S ,要准确地记住求和公式,并合理选取公式,尤其是要注意其项数n 的值;对于奇偶项通项不统一和含绝对值的数列的求和问题要注意分类讨论.主要是从n 为奇数、偶数,项n a 的正、负进行分类.一、公式法(准确记忆公式,合理选取公式)例6.5 在等比数列{}()n a n N *∈中,若1411,8a a ==,则该数列的前10项和为( ). 8910111111.2.2 C.2 D.22222A B ----解析 由334111,82a a q q q ====得,所以1010911()1221212S -==--,故选B. 变式1 {}n a 是由正数组成的等比数列,n S 为前n 项和,已知2431,7a a S ==,则n S =.变式2 设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈,则()()f n =.1342222.(81).(81).(81).(81)7777n n n n A B C D +++----二、关于等比数列求和公式中q 的讨论例6.6 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若396,,S S S 成等差数列,求数列的公比q .解析 若1q =,则3161913,6,9S a S a S a ===,因为10a ≠,所以3692S S S +≠,与396,,S S S 成等差数列矛盾,故1q ≠.由题意可得3692S S S +=,即有369111(1)(1)2(1)111a q a q a q q q q---+=---,整理得363(21)0q q q --=,又0q ≠,故63210q q --=,即33(21)(1)0q q +-=.因为31q ≠,所以312q =-,所以q ==变式1 设数列{}n a 是等比数列,其前n 项和为n S ,且333S a =,则其公比q =.变式2 求和2311357(21)(2,,)n n S x x x n x n n N x R -*=+++++-≥∈∈.三、关于奇偶项求和问题的讨论例6.7 已知数列{}n a 的通项公式为12(1)n n a n -=-,求其前n 项和为n S . 解析 (1)当n 为偶数时,222221234(1)n S n n =-+-++--22222(12)(34)[(1)]n n =-+-++--[37(21)]n =-+++-(321)(1)222nn n n +-+=-=-. (2)当n 为奇数时,则1n +为偶数,所以211(1)(2)(1)(1)22n n n n n n n S S a n +++++=-=-++=. 综上,(1)()2(1)()2n n n n S n n n +⎧-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为正偶数为正奇数.评注：本题中，将n 为奇数的情形转化为n 为偶数的情形，可以避免不必要的计算，此技巧值得同学们借鉴和应用。
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等差、等比数列的综合应用（一）
——从函数角度看数列
一、学习目标：
（1）复习巩固等差、等比数列的相关知识及运算；
（2）从函数角度加深对等差、等比数列的理解，拓宽学生的知识范围和解题思路；
（3) 进一步加深对数学知识的结构性和整体性认识，培养问题的转化和知识的迁移能力。
二、学习重难点：
等差数列前n 项和的一元二次函数形式的理解和运用。
三、知识回顾：
（1）等差数列：通项n a = 前n 项和n S =
（2）等比数列：通项n a = 前n 项和n S =
总结：
四、例题讲解：
例1：（1）等比数列的前n 项和S n =k ·3n ＋1，则k 的值为__________； -1
（2）在等差数列{}n a 中，若10a <且53S S =，试问这个数列的前几项之和最小？
4S
例2：在等差数列{}n a 中，s n 是其前n 项和，公差为0≠d .
（1）若n a =m ，m a =n(m ≠n)，求n m a + 0
（2）若n m S S =(m ≠n)，求n m S + 0
思考：已知等差数列m S n =，n S m = 则m n S +=__________。
n m --
例3：设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且313S 和
414S 的等差中项为1，而515S 是313S 和414S 的 等比中项，求n a 。
1=n a 或5
32512+-=n a n
例4：数列{}n a 的前n 项和为2122
n S n n =-，数列{}n b 满足1n n n a b a += （1）判断数列{}n a 是否为等差数列； 2
5-=n a n （2）求数列{}n b 中的最大项和最小项。
33max ==b b 12min -==b b
思考：已知数列{}n a 是首项为a ，公差为1的等差数列，1n n n
a b a +=，若对任意*n N ∈，都有8n b b ≥成立，则实数a 的取值范围是__________。
)7,8(--
五、课堂练习：
1．已知数列｛a n ｝中，156
2+=n n a n (n ∈N*)，则该数列{}n a 的最大项是第__________项。
12或13
2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知,65S S <,876S S S >=则在下列结论中正确的是__________。
①②④ ①0<d ②07=a ③59S S > ④n S S S 均为76,中的最大值
3.已知等差数列{}n a ，公差为d ，等比数列{}n b ，公比为q(q>１) ，若a 2=b 2=2，a 4=b 4。
(1)比较a 1与b 1，a 3与b 3的大小；（2）猜想a n 与b n (n ≥ 5)的大小关系。
（1）11b a <，33b a > （2）n n b a <
六、课时小结：
七、课后作业。