第十一讲 二面角及其度量

二面角及其度量
同学们可能经常谈论**同学是白羊座的，**同学是双子座的．可是你知道十二星座的由来吗？
我们知道，地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”．黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)为23°27′，它与天球相交的大圆为“黄道”．黄道及其附近的南北宽8°以内的区域称为黄道带．黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”．从春分(节气)点起，每30°便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、金牛座、双子座等等，这便是星座的由来．今天我们研究的问题之一就是二面角的平面角问题.
1.二面角的定义及表示方法
(1)平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做________．
(2)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做________；这条直线叫做二面角的________，每个半平面叫做二面角的________．棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作___________．若A∈α，B∈β，二面角也可以记作____________．
(3)二面角的平面角在二面角α－l－β的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做________________________．
(4)二面角的范围是[0，π]．
(5)平面角是直角的二面角叫做直二面角．
名师点拨：(1)二面角是图形，它是由两个半平面和一条棱构成的图形．
(2)符号α－l－β的含义是棱为l，两个面分别为α，β的二面角．
(3)两个平面相交，构成四个二面角．
2．设m1⊥α，m2⊥β，则角<m1，m2>与二面角α－l－β_________________.
用三垂线定理或特殊图形求二面角
【典题导入】【亮点题】
例题
1、如图，在四面体P－ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝AC＝PC，求二面角B－AP－
C的大小．
考点1
[思路分析] 首先考虑要作出二面角的平面角，可考虑通过B 向AC 作垂线．
[解析] 如图，过B 作BM ⊥AC 于M ，过M 作MN ⊥AP 于N ，连接BN ，由三垂线定理知：BN ⊥PA.
【方法提炼】
[方法总结] 利用三垂线定理作角时，在作垂线时一般利用面面垂直先作出垂线，确定垂足的位置． 【小试牛刀】
练1：如图：ABCD 是正方形，V 是平面ABCD 外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝AB ，求二面角A —VB
—C 的大小．
[解析] 取VB 的中点为E ，连接AE ，
CE.
∴∠MNB 为所求二面角的平面角， 设AB ＝BC ＝AC ＝PC ＝1， ∴BM ＝32，MN ＝2
4， ∴tan ∠MNB ＝32
24＝ 6.
故∠MNB ＝arctan 6，
即所求二面角B －AP －C 的大小为arctan 6.
∵VA＝AB＝BC＝VC，
∴AE⊥VB.
∴CE⊥VB.
∴∠AEC是二面角A—VB—C的平面角．设AB＝a，连接AC，在△AEC中，
AE＝EC＝
3
2a，AC＝2a，由余弦定理可知：
cos∠AEC＝(
3
2a)
2＋(
3
2a)
2－(2a)2
2×
3
2a×
3
2a
＝－
1
3，
∴所求二面角A—VB—C的大小为π－arccos 1 3.
向量法求二面角的平面角
【典题导入】【亮点题】
例2：已知PA⊥平面ABC，AC⊥BC ，PA=AC=1， BC=2. 求二面角A-PB-C的余弦值.
考点2
[思路分析] 当二面角的平面角不易作出，空间直角坐标系又易建立时，可考虑法向量法求二面角大小．
设平面P AB 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则 ⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ·AP →＝0m ·AB →＝0⇒
⎩⎪⎨⎪⎧
(x ，y ，z )·(0，0，1)＝0(x ，y ，z )·
(2，1，0)＝0⇒⎩⎪⎨
⎪⎧
z ＝0
y ＝－
2x
，
令x ＝1，则m ＝(1，－2，0)
设平面PBC 的法向量为n ＝(x ′，y ′，z ′)，则 ⎩⎪⎨
⎪⎧
n ·CB →＝0
n ·
CP →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧
(x ′，y ′，z ′)·
(2，0，0)＝0(x ′，y ′，z ′)·
(0，－1，1)＝0
⇒⎩⎪⎨
⎪⎧
x ′＝0，
y ′＝z ′.
令y ′＝－1，则n ＝(0，－1，－1)， ∴cos<m ，n >＝m ·n |m ||n |＝3
3.
由图可知二面角A －PB －C 是锐角， ∴二面角A －PB －C 的余弦值为3
3.
【方法提炼】
当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法解较为简捷，用法向量求二面角的大小时，有时不易判断两法向量的夹角的大小是否是二面角的大小(相等还是互补)，但我们完全可以根据图形观察得到结论，这是因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是很明显的． 【小试牛刀】
如图，四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD.底面ABCD 为边长是1的正方形，PA ＝1，求平面PCD 与平面PAB 夹角的大小．
[分析] 解答本题可首先求出平面PCD 和平面PAB 的法向量，再求其夹角大小，然后转化为平面PCD 与平面PAB 夹角的大小．
[解析] 如图建立空间直角坐标系．平面P AB 的法向量AD →＝(0,1,0)，DC →＝(1,0,0)，PD →
＝(0,1，－1)．
与空间角有关的翻折问题及最值问题
【典题导入】【亮点题】
例
3.正三角形ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A —DC —B(如图②)．在图②中求平面ABD 与平面EFD 所成二面角．
[思路分析] 翻折问题注意长度和角度的变化．本题中AD ，DB ，DE ，DF ，AC ，BC 均未变化，而AB ，EF 发生了长度变化．
考点2
[解析] 方法一：由已知CD ⊥AD ，CD ⊥BD ， ∴∠ADB 就是直二面角A —CD —B 的平面角， ∴AD ⊥BD .
以D 为原点建立空间直角坐标系，如图，则D (0,0,0)、A (0,0,2)、B (2,0,0)、C (0,23，0)，
E 、
F 分别是AC 、BC 的中点， ∴E (0，3，1)，F (1，3，0)．
设m ＝(x ，y ，z )是平面DEF 的一个法向量． 由⎩⎪⎨
⎪⎧
m ·DE →＝0m ·DF →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧
3y ＋z ＝0x ＋3y ＝0
，令y ＝1.
得⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝－3y ＝1z ＝－3，∴m ＝(－3，1，－3)．
同理可求得平面ABD 的一个法向量n ＝(0,1,0)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝17
＝7
7.
∴平面ABD 与平面EFD 所成的角为arccos 7
7.
【小试牛刀】
如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．设锐二面角C－AF－E的大小为θ，求tanθ的最小值．
[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，
一、选择题
1．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是()
A．相等B．互补
C．相等或互补D．不能确定
[答案]C
[解析]二面角的两个面对应平行，当方向相同时，两个二面角大小相等，当方向不同时，两个二面角大小互补．
2．已知平面α内有一个以AB为直径的圆，P A⊥α，点C在圆周上(异于点A，B)，点D、E分别是点A在PC、PB上的射影，则()
A．∠ADE是二面角A—PC—B的平面角
B．∠AED是二面角A—PB—C的平面角
C．∠DAE是二面角B—P A—C的平面角
D．∠ACB是二面角A—PC—B的平面角
[答案]B
[解析]由二面角定义及三垂线定理知选B.
3．正方形ABCD所在平面外一点P，P A⊥平面ABCD，若P A＝AB，则平面P AB与平面PCD所成的角的度数为()
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
[答案] B
[解析] ∠DP A 为二面角平面角，而在Rt △P AD 内，∠APD ＝45°.故选B.
4．如图正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1和DD 1的中点，则平面ECF 与平面ABCD 的夹角的余弦值为( )
A.33
B ．63 C.13 D ．
23
[答案] B
[解析] 以A 为坐标原点建系，由法向量法，可得cos θ＝
63
. 5．已知ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，将△DAE 和△CBE 分别沿DE 、CE 折起，使AE 与BE 重合，A 、B 两点重合后记为点P ，那么二面角P －CD －E 的大小为( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
[答案] A
[解析] 取CD 中点F ，由二面角定义知∠PFE 为其平面角，设PE ＝a ，则EF ＝2a ，∴sin θ＝
a 2a ＝12
， ∴二面角P —CD —E 为30°.
6．在边长为a 的正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B －AD －C 后，BC ＝1
2
a ，这时二面角B －AD －C 的大小为( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
[答案] C
[解析] ∠BDC 就是二面角B －AD －C 的平面角． ∵cos ∠BDC ＝BD 2＋DC 2－BC 22BD ·DC ＝14a 2＋14a 2－14a
22×12a ×12a ＝1
2
，
∴∠BDC ＝60°. 二、填空题
7．如图，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB ⊂α.B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________．
[答案]
34
[解析] 过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在平面β内过C 作l 的垂线．垂足为D ，连结AD ，由三垂线定理可知AD ⊥l ，故∠ADC 为二面角α－l －β的平面角，为60°，又由已知，∠ABD ＝30°，连结CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角．设AD ＝2，则AC ＝3，CD ＝1，AB ＝AD sin30°＝4，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝3
4
.
8．正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为23，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为________．
[答案] 60°
[解析] 设一个侧面面积为S 1，底面面积为S ，则这个侧面在底面上射影的面积为S
3，由
题意，得S 1S ＝23，设侧面与底面所成二面角为θ，则cos θ＝13S S 1＝S 3S 1＝1
2
，∴θ＝60°.
三、解答题
9.如图，四棱锥P —ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，CD ⊥PD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝AD ＝PB ＝3.点E 在棱P A 上，且PE ＝2EA .求二面角A —BE —D 的大小．
[解析] 以B 为原点，以BC 、BA 、BP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设平面EBD 的一个法向量为n 1＝(x ，y,1)， 因为BE →＝(0,2,1)，BD →
＝(3,3,0)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
n 1·BE →＝0n 1·BD →＝0
得⎩⎪⎨⎪⎧
2y ＋1＝0，3x ＋3y ＝0.
所以⎩⎨⎧
x ＝1
2，
y ＝－1
2.
于是n 1＝⎝⎛⎭⎫12，－1
2，1.又因为平面ABE 的一个法向量为n 2＝(1,0,0)， 所以，cos 〈n 1，n 2〉＝
16＝6
6
. 所以，二面角A —BE —D 的大小为arccos 66
.
一、选择题
1．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )
A ．150°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
[答案] C
[解析] 由条件，知CA →·AB →＝0，AB →·BD →
＝0， CD →＝CA →＋AB →＋BD →.
∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD → ＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →
〉 ＝(217)2，∴cos 〈CA →，BD →
〉＝－12
，
即〈CA →，BD →
〉＝120°， ∴二面角的大小为60°，故选C.
2．如图所示，已知点P 为菱形ABCD 外一点，且P A ⊥面ABCD ，P A ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则二面角C —BF —D 的正切值为( )
A.36 B ．
34
C.33
D ．233
[答案] D
[解析] 如图所示，连接BD ，AC ∩BD ＝O ，连接OF ，以O 为原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O －xyz ，设P A ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3，
∴B ⎝⎛
⎭⎫32，0，0，F ⎝
⎛⎭⎫0，0，12，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0，D (－32，0,0)，结合图形可知，OC →＝⎝⎛⎭⎫0，12，0且OC →为面BOF 的一个法向量，由BC →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，0，FB →
＝(32，0，－12)，可求得面BCF
的一个法向量n ＝(1，3，3)．
∴cos 〈n ，OC →〉＝217，sin 〈n ，OC →
〉＝277，
∴tan 〈n ，OC →
〉＝233
.
3.如图所示，M ，N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E ，现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A —DE —B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M ，N 的连线与AE 所成的角的大小为( )
A ．45°
B ．90°
C ．135°
D ．180°
[答案] B
[解析] 建系如图所示，由题意知△ABE 为等腰直角三角形，设CD ＝1，则BE ＝1，AB ＝1，AE ＝2，设BC ＝DE ＝2a ，则E (0,0,0)，A (1,0,1)，N (1，a,0)，D (0,2a,0)，M (12，a ，12)，所以MN →
＝(12，0，－12)，AE →＝(－1,0，
－1)，所以MN →·AE →＝(12，0，－12)·(－1,0，－1)＝0.故AE →⊥MN →
，从而MN
与AE 所成的角为90°.
4．三棱锥S －ABC 中， ∠SBA ＝∠SCA ＝90°，△ABC 是斜边AB ＝a 的等腰直角三角形，则以下结论中：
①异面直线SB 与AC 所成的角为90°；②直线SB ⊥平面ABC ；③平面SBC ⊥平面SAC ；④点C 到平面SAB 的距离是1
2
a .
其中正确结论的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
[答案] D
[解析] 由题意知AC ⊥平面SBC ，故AC ⊥SB ，∴SB ⊥平面ABC ，平面SBC ⊥平面SAC ，故①②③正确；取AB 的中点E ，连结CE ，可证得CE ⊥平面SAB ，故CE 的长度即为C 到平面SAB 的距离，其值为1
2
a ，故④正确．
二、填空题
5．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，各棱长都相等，E 为BB 1的中点，则平面AEC 与平面ABC 的夹角为________．
[答案] π
6
[解析] 以AC 中点为空间坐标系原点建系，平面ABC 的法向量n 1＝(0,0,1)，由OA →
＝(0，－1,0)，AE →
＝(3，1,1)．n 2＝(－1,0，3)
∴cos 〈n 1，n 2〉＝
32，∴〈n 1，n 2〉＝π6
. 6．(2013·龙岩高二检测)设平面ABC 的一个法向量为m ＝(1,1,0)，平面ABD 的一个法向量为n ＝(1,0，－1)，则二面角C －AB －D 的大小为________．
[答案] 60°或120°
[解析] 由二面角定义得cos<m ，n >＝12·2＝1
2
， ∴<m ，n >＝60°或120°.
即二面角C －AB －D 的大小为60°或120°.
7．已知点E 、F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1、CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于________．
[答案]
23
[解析] 本小题考查的内容是二面角的求法，可采用几何法或向量法．
方法一：(几何法)如图，延长FE 交BC 于P ，则AP 为面AEF 与面ABC 的交线，连结AC ，
w
∵PB ＝BC ，∴∠CAP ＝90°.由三垂线定理，∴∠F AP ＝90°， ∴∠F AC 为二面角的平面角． ∴tan ∠F AC ＝FC AC ＝232＝2
3
.
方法二：(向量法)建立如图，令棱长为3，
∴A (3,0,0)，E (3,3,1)，F (0,3,2)， 平面ABC 的法向量为(0,0,1)，
设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
n ·AE →＝0n ·AF →＝0
，∴⎩⎪⎨⎪⎧
3y ＋z ＝0
－3x ＋3y ＋2z ＝0，
令x ＝1，∴z ＝3，y ＝－1，∴n ＝(1，－1,3)，
令平面夹角为θ，∴cos θ＝31×|n |＝311，sin θ＝211，∴tan θ＝2
3.
三、解答题
8．如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，△P AB 为等边三角形．求二面角
B
－AC －P 的大小．
[解析] 建立如图的空间直角坐标系O －xyz ，则A (－1,0,0)，B (1,0,0)，P (0,0，3)，C (1,2,0)．
∴P A →＝(－1,0，－3)，PC →＝(1,2，－3)，OP →
＝(0,0，3)，设n ＝(x ，y ，z )为平面P AC 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧
n ·P A →＝0，n ·PC →＝0，
∴⎩⎨⎧
－x －3z ＝0，
x ＋2y －3z ＝0，
令z ＝1，得x ＝－3，y ＝3， 得n ＝(－3，3，1)．
又∵OP →
是平面ABCD 的一个法向量，设二面角B －AC －P 的大小为θ，且为锐角，则cos θ＝|cos<n ，OP →
>|＝|n ·OP →|n |·|OP →|
|＝37×3＝77，
∴二面角P －AC －B 的大小约为arccos
7
7
. 9．如图，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．
(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值； (2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成夹角的正弦值．
[解析] (1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)，所以A 1B →＝(2,0，－4)，C 1D →
＝(1，－1，－4)．
因为cos 〈A 1B →，C 1D →
〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010，
所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为310
10.
(2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 因为AD →＝(1,1,0)，AC 1→
＝(0,2,4)， 所以n 1·AD →＝0，n 1·AC 1→
＝0，
即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2， 所以，n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量． 取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)， 设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ. 由|cos θ|＝
|n 1·n 2||n 1||n 2|＝29×1＝23
，得sin θ＝5
3. 因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为5
3
.。