巧思妙解高考数学题
高考数学复习点拨巧构造妙解题
指数函数的单调性是指数函数的重要性质， 灵活应用此性质可以解决一些与之相关的问 题，使一些看似复杂的问题， 通过构造指数函数轻松获解． 那么在具体问题中应如何构造函 数呢？下面结合几例加以剖析．
一、确定代数式的符号
例 1 已知 x， y R ，3x 3y 3 x 3 y ，判断 x y 的符号．
c 1．
a
a
x
x
因为 f ( x) b
c 在 R 上是单调递减函数，
a
a
用心 爱心 专心
bc
所以若 m 1，则 f (1)
1，即 b c a ，显然不能构成三角形；
aa
若 m 1，则 f (m) f (1) ，
m
m
b 又 f (m)
c
1， f (1)
b
c
，
a
a
a
因此 b c a ，故能构成三角形；
5a
a 的取值范围．
x
x
解：据方程有负实根，并注意到 y 3 是单调递减的，从而得到
3
1，
4
4
于是问题就变为解不等式
评析： 本题构造函数 y
3a 2
3
1 ，可知 a 5 ．
5a
4
x
3
是关键，利用函数与方程的关系使问题得以顺利解决．
4
三、判断几何图形形状
例３ 已知 a，b，c， m 都是正数，且 am bm cm ，
m
c
1，
a
用心 爱心 专心
求当 m 取何值时，长分别为 a， b，c 的三条线段能构成三角形？
解：由于 am bm cm ，且 a，b，c， m 都是正数，
高考数学巧学巧解大全
最新高中数学巧学巧解大全高中数学活题巧解方法总论 一、代入法若动点),(y x P 依赖于另一动点),(00y x Q 而运动，而Q 点的轨迹方程已知（也可能易于求得）且可建立关系式)(0x f x =，)(0x g y =，于是将这个Q 点的坐标表达式代入已知（或求得）曲线的方程，化简后即得P 点的轨迹方程，这种方法称为代入法，又称转移法或相关点法。
【例1】（2009年高考广东卷）已知曲线C ：2x y =与直线l ：02=+-y x 交于两点),(A A y x A 和),(B B y x B ，且B A x x <，记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D .设点),(t s P 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合.若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；【巧解】联立2x y =与2+=x y 得2,1=-=B A x x ，则AB 中点)25,21(Q ，设线段PQ 的中点M 坐标为),(y x ，则225,221t y s x +=+=， 即252,212-=-=y t x s ，又点P 在曲线C 上，∴2)212(252-=-x y 化简可得8112+-=x x y ，又点P 是L 上的任一点，且不与点A 和点B 重合，则22121<-<-x ，即4541<<-x ，∴中点M 的轨迹方程为8112+-=x x y （4541<<-x ）.【例2】（2008年，江西卷）设),(00y x P 在直线m x =)10,(<<±≠m m y 上，过点P 作双曲线122=-y x 的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，定点M )0,(1。
过点A 作直线0=-y x 的垂线，垂足为N ，试求AMN ∆的重心G 所在的曲线方程。
【巧解】设1122(,),(,)A x y B x y ，由已知得到120y y ≠，且22111x y -=，22221x y -=，（1）垂线AN 的方程为：11y y x x -=-+， 由110y y x x x y -=-+⎧⎨-=⎩得垂足1111(,)22x y x y N ++，设重心(,)G x y所以11111111()321(0)32x y x x m x y y y +⎧=++⎪⎪⎨+⎪=++⎪⎩解得1139341934x y m x y x m y ⎧--⎪=⎪⎪⎨⎪-+⎪=⎪⎩由22111x y -= 可得11(33)(33)2x y x y m m--+-=即2212()39x y m --=为重心G 所在曲线方程 巧练一：（2005年，江西卷）如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.，求△APB 的重心G 的轨迹方程.巧练二：（2006年，全国I 卷）在平面直角坐标系xOy 中，有一个以)3,0(1-F 和)3,0(2F 为焦点、离心率为23的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P处的切线与x 、y 轴的交点分别为A 、B ，且向量OB OA OM +=，求点M 的轨迹方程二、直接法直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法叫直接法。
高中数学试题巧思妙解：解析几何
高中数学试题巧思妙解：解析几何下面仅对解析几何部分试题提出一些巧妙的解法，供参考。
1．（福建卷）双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F1、F2,若P 为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为 A.(1,3)B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞妙解： 设2PF m=，则12PF m=，所以2m a =。
又因为2PF c a≥-，所以3e ≤。
应选B 。
反思：“回到定义”是一种重要的解题手段，再巧妙利用“双曲线右支上的点中，右顶点到右焦点距离最小，为c a -”这一结论。
事实证明，熟记一些常用的小结论，对解答选择（填空）题非常有帮助。
进一步思考，满足122PF PF =的动点P 的轨迹为圆（阿罗尼圆），所以只需此圆与双曲线有公共点即可，但依此思路会陷入繁杂的运算中。
2．（江西卷） 已知12F F 、是椭圆的两个焦点．满足1MF ·2MF ＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A ．(0，1)B ．(0，21] C ．(0，22) D ．[22，1)妙解：等价于以线段12F F 为直径的圆在椭圆内部，必有c b <，因此离心率(0,2e ∈。
应选C 。
反思：避免大量运算，是解决此题的原则；结合图形，不断将问题转化是解决此题的关键。
椭圆上是否存在点与两焦点连线互相垂直，是高考中经常涉及到的的一个问题。
本题属于陈题翻新，有一定的新意。
3．（四川卷）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且||2||AK AF =，则△AFK 的面积为（A ）4 （B ）8（C ）16（D ）32妙解：自点A 作准线的垂线，垂足为M 。
则AF AM=，那么||2||AK AM =，所以AMK∆为等腰直角三角形，进一步知道AFK ∆也为等腰直角三角形。
所以△AFK 的面积为8。
应选B 。
巧用数形结合思想,妙解高考数学客观题
巧用数形结合思想，妙解高考数学客观题
高考数学客观题通常都是由简单的公式、定义、定理等基础知识组合而成，因此，在解答这类问题时，巧用数形结合思想可以让解题更加简单、直观。
以下是一些例子：
1. 长方形的对角线长度
在高考数学中，有一类问题涉及到长方形的对角线长度，常常需要使用勾股定理。
然而，如果我们将长方形对角线看作一个直角三角形的斜边，其它两条边是长方形的边长，那么就可以用勾股定理来快速求解。
2. 判定正方形的方法
题目中要求判断一个图形是否是正方形，我们通常可以通过对角线长度相等或各角度相等来判断。
但是，我们也可以利用正方形的特性，即边长相等、对角线相等、每个角都是直角，来简单地画出一个正方形。
3. 推导圆的相关公式
在高考数学中，圆的面积、周长、弧长等相关公式是十分重要的，如果需要记忆这些公式，我们可以从数形结合的角度出发进行推导。
例如，我们可以想象一个半径为r的圆，将其等分成n份，则每份所对应的圆心角度数是360°/n，由此得到了圆弧的长度公式。
同样的，我们可以画出一个边长为a的正方形，将其内切于一个半径为r的圆，推导出圆的面积公式。
总之，数形结合思想可以让我们更加深入地理解数学知识，并且在解题时能够增加直观性和易理解性，帮助我们更好地应对高考数学客观题。
巧借三角函数定义妙解2024年高考题
巧用三角函数定义，妙解2024年高考题近年来，高考数学的题目越来越注重考查学生的综合运用能力和创新思维。
其中，三角函数作为高中数学的重要知识点，常常出现在高考试题中。
本文将通过巧用三角函数定义，妙解2024年高考题。
`x−1/3=y−1/4=z`(1)证明：AD⊥AE且DG⊥GF.(2)求证：∠DGF不是直角。
(3)设∠DGF=α，求平面DGF与平面ABC的夹角。
首先，我们需要利用三角函数的定义来解决这道题目。
对于一般的三角形ABC，我们可以利用向量AB和向量AC的点乘来求解夹角BAC的余弦值，然后通过反余弦函数求解夹角BAC的角度值。
(1)首先，我们可以通过坐标点A(1,3,1)和直线l的方程来求解线段AD和AE的方向向量。
分别计算得到：向量AD=(1-1,3-1/4,1-1/3)=(0,3/4,2/3)向量AE=(1-1,1-1/4,1-1/3)=(0,-1/4,-2/3)然后，我们可以通过计算这两个方向向量的点乘来判断它们是否垂直。
即：AD·AE=0*0+(3/4)*(-1/4)+(2/3)*(-2/3)=0由于AD和AE的点乘等于0，所以可以证明AD⊥AE。
同样的方法，我们可以计算线段DG和GF的方向向量，并判断它们是否垂直。
结果证明也成立。
(2)我们需要求解∠DGF的角度值。
根据题目已知条件，我们可以通过向量DG和向量GF的点乘来计算它们的夹角余弦值。
向量DG和向量GF 的计算结果分别为：向量DG=(4-1,-1/4-3,-2/3-1)=(3,-17/4,-5/3)向量GF=(4-1,1-3/4,1-2/3)=(3,5/4,1/3)接下来，我们计算两个向量的点乘，并通过反余弦函数求夹角DGF的角度值。
计算得到：DG·GF=3*3+(-17/4)*(5/4)+(-5/3)*(1/3)=46/8=23/4cos∠DGF = (DG·GF)/(，DG，*，GF，) ≈ (23/4)/(，(3, -17/4, -5/3)，*，(3, 5/4, 1/3)，)因为夹角DGF的余弦值不等于0，所以可以证明∠DGF不是直角。
高考数学填空题巧思妙填一点通试题
卜人入州八九几市潮王学校2021年高考数学填空题巧思妙填一点通填空题是数学高考的三种基此题型之一，其求解方法分为：直接运算推理法、赋值计算法、规律发现法、特值猜想法、数形互助法等等.在解答问题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完好.合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的根本要求，在草纸上少写一点，在头脑里多考虑一点，这可能会加快解的速度.下面将按知识分类加以例说.1. 函数、不等式与导数例1〔2021年春季高考题〕函数]1,0[,53)(∈+=x x x f 的反函数=-)(1x f．点通：由35,[0,1]y x x =+∈，得[]5,8y ∈．解出15,33x y =-，从而115()33f x x -=-，[]5,8.x ∈从而应填[]8,5),5(31∈-x x .说明：原函数的值域是反函数的定义域．求反函数的程序为：先求原函数的值域，再反解．例2 〔2021年春季高考题〕不等式0121>+-x x的解集是． 点通：不等式0121>+-x x 等价于()()1210x x -+>，也就是()1102x x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，所以112x -<<，从而应填11,2x x x R ⎧⎫-<<∈⎨⎬⎩⎭． 说明：快速解答此题需要记住小结论：应用小结论：00aab b>⇔>． 例3 〔2021年春季高考题〕直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O为坐标原点，那么三角形OAB 面积的最小值为．点通：设直线l 为()10,0x y a b a b +=>>，那么有关系211a b+=．对211a b +=应用２元均值不等式，得211a b =+≥=8ab ≥．于是，三角形OAB 面积为142S ab =≥．从而应填４．说明：也可由211a b+=，得28ab a b ab =+≥⇒≥．特别注意，不等式中的等号是可以成立的．例4 〔2021年高考试题〕a ,b 为常数，假设22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++那么5a b -=.点通：由f(x)=x 2+4x+3,f(ax+b)=x 2+10x+24,得〔ax+b 〕2+4(ax+b)+3=x 2+10x+24,即a 2x 2+2abx+b 2+4ax+4b+3=x 2+10x+24,比较系数，得221,2410,4324.a ab a b b ⎧=⎪+=⎨⎪++=⎩解得1,7ab =-=-，或者1,3a b ==，所以52a b -=．说明：此题考察了复合函数解析式的运用，待定系数法及其相关的计算．例5假设函数3()3f x x x a =--在区间[0,3]上的最大值和最小值之差为_______．点通：显然有2()33f x x '=-．易知当1x =时，函数()f x 获得最小值2a --；当3x =时，函数()f x 取最大值18a -，后者与前者的差为20．说明：三次函数是高考的一个热门话题．连续函数在闭区间上必有最大值和最小值．2. 三角、向量与复数例６4sin 5θ=，且sin cos 1θθ->，那么sin 2θ=________. 点通：由4sin 5θ=可以读出3cos 5θ=±．而有条件sin cos 1θθ->，所以知道3cos 5θ=-，24sin 22sin cos 25θθθ==-.说明：记住一些常用的结论，有时可以快速解答问题，如：当5sin 13θ=时，12cos 13θ=±．看看上面的＂读出＂，“取舍〞，“用公式〞，想想解题思维的流程，会有什么启发？例7复数2lg(2)(331)()x x zx i x R -=+-+-∈在复平面内对应的点位于第______象限．点通：显然有2lg(3)lg30,x +>>而由222x x -+≥=，知道(221)0x x --+-<．说明：在解答当中，222xx -+≥你能直接看出来吗？复数在高考中是一个淡化的知识点，一般命制一道选择题或者填空题．例８22ππθ-<<，且sin cos ,a θθ+=其中()0,1a ∈，那么关于tan θ的值，在以下四个数值：①3-②13③13-④15-其中，a 的值可以是________． 点通：由题意知02πθ-<<，从而tan 0θ<.此时有即有1tan 0,θ-<<于是，排除①和②，应该填③，④．说明：应用范围估计，有时可以巧妙的解答一些选择或者填空题．试问：你有这样的解题经历吗？知识积累〔量的增加〕的过程也就是才能逐渐提升〔质的变化〕的过程．例９如图，设点O 在ABC ∆内部，且有02=++OC OB OA ，那么ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比为________． 点通：由条件得知1()2OBOA OC =-+，所以点O 是AC 边上的中线的中点，于是，那么ABC ∆的面积与AOC ∆的面积之比为2．说明：我们知道，等底等高的三角形，其面积相等；一共底三角形的面积之比，等于该底上对应高的比．3. 数列、排列组合、二项式定理与概率统计例10{}n a 是公差不为零的等差数列，假设n S 是{}n a 的前n 项和，那么._____lim=∞→nnn S na点通：特别取n a n =，有()21+=n n S n ，于是有CB().211212lim lim lim 2=+=+=∞→∞→∞→nn n n S na n n n n n 故应填2.说明：有时，选择特殊的数值、函数、数列、图形等，可快速解答某写填空题，这点应引起读者的重视．例11〔2021年高考题〕假设常数b 满足|b|>1，那么=++++-∞→n n n bb b b 121lim . 点通：一般解答：=++++-∞→nn n b b b b 121lim 11111lim lim lim (1)1nn n n n n n n n b b b b b b b b b →∞→∞→∞----==--=11b -．简便解答：2211111limlim nn nn n b b b b b b b -→∞→∞⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11111b b b==--． 说明：比较两个解答，你能想到什么？看来，活学活用是应时时提倡的．例12〔2021年高考试题〕用１、２、３、４、５、６、７、８组成没有重复数字的八位数，要求１与２相邻，３与４相邻，５与６相邻，而７与８不．相邻，这样的八位数一共有___________个．〔用数字答题〕点通：将１与２，３与４，５与６捆绑在一起排成一列有482333=⋅A 种，再将７、８插入4个空位中的两个有1224=A 种，故有5761248=⨯种．说明：相邻用捆绑法，不相邻用插空法．例13二项展开式12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的各项系数的绝对值之和为７２９，那么展开式中的常数项是．点通：二项展开式12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的各项系数的绝对值之和就是12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和，取1x =，得()213nn+=，那么有637293n ==，所以6n =．于是612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为66621661(2)()2(1)r r r r rr r r T C x C x x---+=-=-．令620r-=，得3r =．所以常数项为33362(1)160C -=-． 说明：只要细心计算，就不难得出正确之答案．当中的转化你能想的到吗？请多考虑，多体会．例14如图是一个边长为4的正方形及其内切圆，假设随机向正方形内丢一粒豆子，那么豆子落入圆内的概率是________．点通：因为正方形的面积是１６，内切圆的面积是4π，所以豆子落入圆内的概率是4164ππ=．说明：概率是高中的新知识，学习时应当紧扣课本的概念，透彻地理解概念的本质，这样就能快速解答问题．4.立体几何 例15三棱柱'''ABC A B C -的体积为１，P 为侧棱1B B 上的一点，那么四棱锥''P ACC A -的体积为____________．点通：设点P 到面ABC ，面'''A B C 的间隔分别为12,h h ，那么棱柱的高为12hh h =+，又记'''ABCA B C S SS==，那么三棱柱的体积为1V sh ==．而从三棱柱中取去四棱锥''P ACC A -的剩余体积为''''12121111()3333P ABC P A B C V V V sh sh s h h --=+=+=+=，从而''/121.33P ACC AV V V -=-=-=说明：立几试题的解答常用到几何体的割与补法，这种分与合思想需要我们反复的琢磨和体味．例16正三棱锥P －ABC 的底面边长为1，E 、F 、G 、H 分别是PA 、AC 、BC 、PB 的中点，四边形EFGH 的面积为S ，那么S 的取值范围是．点通：由题意可知AB PC ⊥，因此四边形EFGH 为矩形．设正三棱锥的侧棱4221,xx S x PA =⋅==则，设P 在平面上的射影为O ，连AO ，那么中，在ABC Rt AO ∆=,33AO PA >，从而123,33>>S x 即．故应填,12⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭． 说明：显然，点P 到平面ABC 的间隔可以无限大，这时S 也可以无限大．该问题可以在课本上找到它的影子，你知道吗？数学学习请别远离课本，因为有些考题的生长点就在课本上的． ５．解析几何例17如图，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB ⊥AB 时，，此类椭圆被称为“黄金椭圆〞．类比黄金椭圆， 可推算出“黄金双曲线〞的离心率e 等于_____________．点通：猜想出“黄金双曲线〞的离心率e 等于215+．事实上 对直角ABF 应用勾股定理，得222AF BF AB=+，即有()()()22222a c b c a b +=+++，注意到222,c bc a e a=-=，变形得210e e --=，从而1.2e = 说明：类比推理、类比发现是今年高考的一个新的亮点．这种问题的情景比较清新，构造比较巧妙，变化比较合理，是用＂活题＂考才能的典范．例18〔2021年高考试题〕连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是〔填写上所有正确选项的序号〕． ①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形④平行四边形⑤有一组对角相等的四边形点通：①菱形不可能．假设这个四边形是菱形，那么菱形的一条对角线垂直抛物线的对称轴，这时四xPABCEFGH边形的必有一个顶点在抛物线的对称轴上(非抛物线的顶点)；④平行四边形也不可能．因为抛物上四个点组成的四边形最多有一组对边平行．故连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是②③⑤．说明：针对②③⑤，你能构造出详细的图形吗？ 6．综合创新题例19有些计算机对表达式的运算处理过程实行“后缀表达式〞：运算符号紧跟在运算对象的后面，按照从左到右的顺序运算，如表达式7)2(3+-⨯x ，其运算为：+-,7,*,,2,,3x ，假设计算机进展运算：lg ,*,,2,,-x x ，那么使此表达式有意义的x 的范围为_____________．点通：计算机进展运算：lg ,*,,2,,-x x 时，它表示的表达式是()lg 2x x -，当其有意义时，得()20x x ->，解得02x x <>或．说明：解答问题的关键是：仔细地阅读问题，深入的理解题意，在此根底上，准确的写出所叙运算的表示式．例20某种汽车平安行驶的稳定性系数μ随使用年数t 的变化规律是μ＝μ0e－λt，其中μ0、λ是正常数．经检测，当t ＝2时，μμ0μ0时，该种汽车的使用年数为(结果准确到1，参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)．点通：μ0＝μ0(e－λ)2，得e －λ＝，于是μ0＝μ0(e －λ)t ⇒()t ，两边取常用对数，lg ， 解出t ＝＝1．说明：对一个等式的两边取对数，平方，取倒数，移项，等等细小的技巧我们可要熟滥于心呀．这种细节有时可能是解题思维受阻的关节所在．难怪说：成在细节，败也在细节．例21在某电视歌曲大奖赛中，最有六位选手争夺一个特别奖，观众A ，B ，C ，D 猜想如下：A 说：获奖的不是1号就是2号；A 说：获奖的不可能是3号；C 说：4号、5号、6号都不可能获奖；D 说：获奖的是4号、5号、6号中的一个．比赛结果说明，四个人中恰好有一个人猜对，那么猜对者一定是观众获特别奖的是号选手．点通：推理如下：因为只有一人猜对，而C 与D 互相否认，故C 、D 中一人猜对。
高考数学解题破题三十六计
此我们认识到“芝麻开门，点到成功”在使用对象上的真正意义
.
●对应训练
x2 1．如图把椭圆 25
y2 1
16 的长轴 AB 分成 8 份，过每个分点作
x 轴的
垂线交椭圆的上半部分于 P1， P2，…， P7 七个点， F 是椭圆的一个焦
点，则 |P1F|+|P2F|+…… +|P7F|=_______.
2 (n 1)n
2
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［法 2］ 第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和，即
111
an
3C
0 2
4C
1 3
5
C
2 4
1
nC
n n
3 1
1
(n
1)C
n n
2
根据第一问所推出的结论只需在原式
1
基础上增加一项
(n
1)C
n n
1
，则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结合给
顶点 . 因为三角形中任一个数，都等于对应的“脚下”两数之和，所以选择任何
一个“一头两脚”式的小三角形，都能解出
x = r+1.
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1
第 2 道填空，仍考虑以点带面，先抓无穷数列的首项
3.
［解Ⅱ］ 在三角形中先找到了数列首项
1
an
3 ，并将和数列
1 3
1 12
1 30
1 60
高考数学解题破题 36 计
第 1 计 芝麻开门 点到成功
●计名释义
七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么小的一点
. 《阿里巴巴》用“芝麻开门” ，
巧思妙解2011年高考数学题
巧思妙解2011年高考数学题（江苏卷）杨洪林1.（题18）如图，在平面直角坐标系x O y中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限.过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；（2）当k= 2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k ＞0，求证：PA⊥PB.【参考答案】（1）…….（2）…….（3）解法一将直线PA的方程y= kx代入，解得x=±.记μ=，则P（μ,μk）, A（-μ, -μk）,于是C（μ,0）.故直线AB的斜率为=，其方程为.代入椭圆方程得（2 + k2）x2 -2μk2x–μ2（3k2 + 2）= 0, 解得x =或x = - μ .因此B（, ），于是直线PB的斜率k1 === -.因此k1 k= - 1，所以PA ⊥ PB.解法二设P（x1, y1）,B（x2, y2）,则x1＞0, x2＞0, x1≠x2，A（-x1,-y1）,C（x1,0）.设直线PB、AB的斜率分别为k1、k2，因为C在AB上，所以k2 ===.从而k1k+1=2k1k2+1 = 2··+ 1 =+ 1= = = 0. 因此k1k = - 1，所以PA ⊥ PB.·巧思·①利用三角形中位线定理，便知OD∥PB（D为AB的中点），“证明PA ⊥PB”就转化为“证明OA ⊥OD”。
②将点A、B的坐标设为对称式（关于中点D对称），便得两个对称的等式，从而又得一个简单的关系式。
③利用所得的简单关系式和A、B、C三点共线的条件（k= k BC），必可得到k OA·k OD = -1AB（条件都已用到）。
·妙解·设AB的中点D（a,b），A（a+ m,b+ n），B（a - m,b - n），则C（-a -m,0），OD ∥PB.且（a + m）2 + 2（b + n）2= 4 =（a - m）2 +2（b - n）2am + 2bn = 0.k PA = = 2 k AC = 2 k AB = = - = - = -PA⊥PB.【评注】①“对称美”是数学美之一，设立“对称式”求解问题也是数学研究中经常采用的手法之一。
巧思妙解高考数学-7页文档资料
巧思妙解2019年高考数学题（北京卷）1.（文19）已知椭圆的离心率为，右焦点为（2,0）.斜率为1的直线与椭圆交于A,B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为.（1）求椭圆的方程；（2）求△PAB的面积.【参考答案】（1）……（2）设直线l的方程为由得设A、B的坐标分别为AB中点为E，则.因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.所以PE的斜率解得m = 2.此时方程①为解得所以所以|AB|=.此时，点P（—3，2）到直线AB：的距离所以△PAB的面积S=·巧思·①椭圆的方程中，y2的系数是x2系数的3倍，故由直线方程和椭圆方程合成的方程组中，消去x得关于y的一元二次方程，一定式子比较简单、运算比较方便。
②求出x=0或y A = 2 =y p后，便知△PAB又是直角三角形（ APB为直角），故其面积A可用∣PA∣2计算，而不必先求P到AB的距离d、再用∣AB∣·d计算。
③注意点P的坐标为（-3, 2），而椭圆的方程中，也有b = 2，故可猜想点A（0, 2）；再令x B= - 3,得B（-3, -1），果然有k AB = 1,于是△PAB又是直角三角形……·妙解·解法1：设l：x= y–2n ①, PD⊥AB于D∣AD∣=∣BD∣.①代入G：y2- ny+ n2- 3 = 02y D = y A + y B = n，且l PD：x + y + 1 = 0 ②.①②y= n- = n = 1y2- y- 2 = 0y A = 2 =y pDPA∥x轴PB∥y轴S△PAB = ∣PA∣2 = .解法2：椭圆G的上端点为C（0,2）PC⊥y轴，∣PC∣= 3.作PD⊥x轴，且使∣PD∣= 3D（-3,-1）在G上.k CD= 1AB与CD重合S△PAB = S△PCD= .【评注】①有关平面解析几何的命题，经常会出现一次方程和二次方程合成的方程组。
数学高考中的巧思妙解
剖析 3：同时按 x 、 y 的降幂（即将 x 、 y 同时作为主元）排列可得
x 2 y 2 xy 3( x y 1) ( x 2 2x 1) ( y 2 2 y 1) ( xy x y 1)
( x 1) 2 ( y 1) 2 ( x 1)( y 1)
x 3 3 3 5 y 1 x 2 x 2 4 2 4 4
2
1 3 5 5 y x 1 ( x 1) 2 . 2 4 4 4 1 1 当且仅当 y x 1 0 ， x 1 0 x 1 ， y 时等号成立. 2 2
( x 3) 2 4( x 2 3x 3) 3( x 1) 2 0 .
2 巧思妙解案例2
你会巧思妙解案例2吗？
数学既是神秘深奥的也是好玩有趣的！这就是数学教师独有的高雅的精 神享受！这就是数学王国对数学教师的最高奖赏！这就是数学迷宫吸引无数 人为之疯狂的魅力所在！试题是专家集体智慧结晶，因而这些试题呈现在我 们面前时显得高雅、高质、高贵，但命制试题又是有规律且可掌控的！应该 说绝大部分试题都是在原有试题（包括教科书例题、习题、高考试题、竞赛 试题乃至国际奥赛试题）上进行高质量加工、改编、拼接、组装、引申、拓 展．只是命题专家精心“无痕”“嫁接”，我们在短时间内难以发现“庐山 真面目”而已，这也是数学高深莫测的缘由之一．一旦寻觅到命制原创试题 专家的意图，顺着思路与构思，我们就可以从源头上找到真正的巧思妙解.
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二、诠释巧思妙解
思维是人脑对客观事物本质属性和内在联系的概括及间接反映.解题就是一种 思维活动.解题不仅要结果，而且要呈现解题活动的必要过程，更要充分暴露解题 的思维.巧思妙解则是解题的最高境界，因此巧思妙解的构思过程就是思维发散的 历程．而发散思维则指大脑在思维时呈现一种扩散状态的思维模式，主要表现为视 野广阔、多维发散，故而发散思维又称辐射思维、放射思维、扩散思维或求异思维 ．巧思妙解有利于培养学生发散思维，优化思维品质，激发创新意识及创造力． 安振平先生指出：“巧思妙解不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技， 而是一种高思维层次、高智力水平的艺术，是一种独立于史诗、音乐、绘画之外的 数学美．”罗增儒教授指出：“巧思妙解不是低层次技巧的堆切，而是对知识内容 的深层认识．巧思妙解不是特殊技巧的神秘操作，而是对题目结构特征的充分挖掘 ．”基于此，怎样才能对知识内容达到深层次的认识呢？怎样才能对题目的结构特 征进行充分挖掘呢？
巧借三角函数定义妙解2024年高考题
在2024年的高考数学试卷中，有一道与三角函数相关的题目引起了广泛的关注和讨论。
这道题目涉及到了三角函数的性质和运算，需要学生巧妙运用三角函数的定义和定理进行分析和解决。
下面我就来详细解析一下这道题目。
题目如下：已知函数 f(x) = sin(x) + 2cos(x) ，其中 -π/2 ≤ x ≤ π/2则f(x)的最小值是多少？要解决这道题目，首先我们需要明确三角函数的定义和性质。
首先，正弦函数 sin(x) 定义为对于任意实数 x ，在单位圆上以点(x,y) 为终点的弧所对应的 y 坐标值。
也就是说，sin(x) = y。
根据上述定义，我们可以发现sin(x) 的最大值是1，最小值是-1其次，余弦函数 cos(x) 定义为对于任意实数 x ，在单位圆上以点(x,y) 为终点的弧所对应的 x 坐标值。
也就是说，cos(x) = x。
根据上述定义，我们可以发现cos(x) 的最大值是1，最小值是-1接下来，我们来具体解答这道题目。
已知函数 f(x) = sin(x) + 2cos(x) ，其中 -π/2 ≤ x ≤ π/2我们知道 sin(x) 的最大值是1，最小值是-1而 cos(x) 的最大值是1，最小值是-1那么，sin(x) + 2cos(x) 的最大值应该是1 + 2 × 1 = 3 ，最小值应该是 -1 + 2 × (-1) = -3但是这里要注意题目给出了函数的定义域是-π/2≤x≤π/2，所以我们只需要考虑该区间内函数的取值情况。
我们知道，在该区间内，sin(x) 的最大值是1，最小值是-1而 cos(x) 的最大值是1，最小值是-1那么 f(x) = sin(x) + 2cos(x) 的最大值是1 + 2 × 1 = 3 ，最小值是 -1 + 2 × (-1) = -3所以我们得出结论，函数 f(x) = sin(x) + 2cos(x) 的最小值是 -3综上所述，我们巧妙运用了三角函数的定义和定理，解答了这道涉及到三角函数的高考题目。
巧用数形结合思想,妙解高考数学客观题
巧用数形结合思想，妙解高考数学客观题高考数学客观题，是考生们必须牢记的一道难关。
客观题通常会涉及到每个数学领域的知识点，在考试中非常重要。
在考试中如何妥善解决客观题呢？本文将通过妙用数形结合思想，为考生们详细介绍如何解答高考数学客观题。
一、初二数形结合思想初中阶段学习数学时，学生能掌握数量间的基本计算，但对于像集合等抽象概念，考生们并不能较好地理解。
在此情况下，可以采用数形结合思想。
将抽象的数学概念通过图形进行直观的展现，能够有助于学生们更加深入地理解题目中表达的实际意义，同时也是考试答题时提高速度与迅速筛选出不正确选项的好方法。
例如：现有一个等腰梯形ABCD，且AB=CD，AD与BC互相垂直，AD=3BC，以AB为底的三角形ADE和以CD为底的四边形CDEF面积相等。
已知阴影部分面积为9，则求图中未标明部分的面积。
1. 建立坐标系，以B为原点，AD为y轴，BC为x轴，因为题目已知AD=3BC，即坐标轴为3:1的比例。
2.求解三角形ADE和四边形CDEF面积。
由于SA(ADE) = SA(CDEF) 知：SA(ABCD) - SA(ADE) - SA(CDEF) = AAB × AD - (1/2) × AB × AE - (1/2) × CD × EF = 9得到： AE + EF = 6AB/CD由于AD = 3BC，即BD = AB - CD，且AE = AB - BD/3。
所以，AE = 3AB/4、EF = AB/4。
将EF/CD =1/4带入到公式中得到：AE/AB + EF/CD = 3/4+ 1/4 = 1，即AB/CD = 4/3。
所以，暂时无法求出AB和CD的长度，需要使用图形解法。
3.计算斜率。
两条直线的交点为一个角，设为 E。
由于AD ⊥ BC，则BD ⊥ DC，而CD ⊥ longitude 导线，导线斜率为0，而BD 斜率为1/3，因此BE 斜率为-3.与 BC 斜率相乘：斜率之积=-1，即 1/3 × (-3) = -1。
巧思维切入,妙方法破解——以一道高考题为例
试题研究２０２４年１月上半月㊀㊀㊀巧思维切入,妙方法破解以一道高考题为例◉江苏省张家港市乐余高级中学㊀刘晨玉㊀㊀双变元代数式的最值(最大值或最小值)或取值范围问题,是天津高考试卷中一副不变的熟悉 面孔 ,创新新颖,常考常新．破解此类问题,结合双变元代数式的基本特征,借助基本不等式思维㊁函数或方程思维㊁导数思维或其他重要不等式思维等加以切入与破解,合理融合基本不等式㊁函数与方程㊁导数等相关数学知识与数学思想方法,巧妙处理,正确破解．１真题呈现高考真题㊀(２０２１年高考数学天津卷第１３题)已知a＞０,b＞０,则１a＋a b２＋b的最小值为．２真题剖析此题以两个正参数所对应的代数式为问题背景,进而确定对应代数式的最值问题．题目代数关系式中两参数之间没有明显的线性联系,又不具有明显的对称性,剖析两参数之间的次数㊁加减与乘积等方面的关系,为进一步破解问题提供条件．结合所求解的代数关系式的特征,合理配凑,巧妙拆分,整体设参,正确构建等,借助基本不等式思维㊁其他重要不等式思维㊁函数或方程思维㊁导数思维等,合理转化,巧妙变换,进而得以确定相应的代数式的最值问题．３真题破解思维视角一:不等式思维．方法１:两步基本不等式法１．解析:由于a＞０,b＞０,利用基本不等式,可得１a＋ab２＋bȡ２１aˑab２＋b＝２b＋bȡ２２bˑb＝２２,当且仅当１a＝a b２,且２b＝b,即a＝b＝２时,等号成立．所以１a＋a b２＋b的最小值为２２．故填答案:２２．点评:根据所求代数式的基本特征,利用基本不等式,分两步来处理,第一步先消去参数a,结合代数式的变形与转化再进行第二步消参数b,进而得以确定代数式的最值．抓住代数式的基本特征,合理分步,巧妙借助基本不等式两步走,合理消参,确定最值．方法２:两步基本不等式法２．解析:由于a＞０,b＞０,利用基本不等式,可得１a＋ab２＋b＝１a＋b２＋ab２＋b２ȡ２１aˑb２＋２a b２ˑb２＝２b２a＋２a２b＝２b a＋２a bȡ２２b aˑ２a b＝２２,当且仅当１a＝b２,a b２＝b２,且２ba＝２ab,即a＝b＝２时,等号成立．所以１a＋a b２＋b的最小值为２２．故填答案:２２．点评:根据所求代数式的基本特征,巧妙配凑,合理分拆,借助合理的分配与组合,分别利用基本不等式,变形转化后再次利用基本不等式来处理,进而得以确定代数式的最值．抓住代数式的基本特征,合理分拆与分步,巧妙借助基本不等式,保留参数,巧妙两步走,确定最值．方法３:均值不等式法．解析:由于a＞０,b＞０,由均值不等式可得１a＋ab２＋b＝１a＋ab２＋b２＋b２ȡ４４１aˑab２ˑb２ˑb２＝２２,６６２０２４年１月上半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀当且仅当１a ＝a b ２＝b２,即a ＝b ＝２时,等号成立．所以１a ＋a b２＋b 的最小值为２２．故填答案:２２．点评:根据所求代数式的基本特征,巧妙配凑,合理分拆,利用代数式进行巧妙平均拆分处理,结合拆分后所对应的代数关系式,巧妙利用四次均值不等式,进而得以确定对应代数式的最值问题．抓住代数式的基本特征,巧妙配凑,合理分拆,巧妙借助均值不等式,直接确定最值．思维视角二:方程思维．方法４:待定系数法．解析:由于a ＞０,b ＞０,令１a ＋ab２＋b ＝t ＞０,变形整理,可得a ２＋(b ３－t b ２)a ＋b ２＝０．要使得关于参数a 的二次方程有正数解,则需满足b ３－t b ２＜０且Δ＝(b ３－t b ２)２－４b ２ȡ０．整理,可得b ３－t b ２＜０且(b ３－t b ２)２ȡ４b ２．又b ＞０,则b ３－t b ２ɤ－２b ,即t ȡb ＋２b．利用基本不等式,可得t ȡb ＋２b ȡ２b ˑ２b＝２２,当且仅当b ＝２b,即a ＝b ＝２时,等号成立．所以１a ＋a b ２＋b 的最小值为２２．故填答案:２２．点评:根据所求代数式进行待定系数法处理,将问题方程化,结合关于参数a 的二次方程有正数解,建立对应的不等式,分离参数,利用基本不等式来确定参数t 的最小值,进而得以求解代数式的最值问题．引入参数进行待定系数法处理,结合方程思维,利用不等式的求解以及基本不等式的应用来巧妙破解．思维视角三:导数思维．方法５:导数法．解析:由于a ＞０,b ＞０,构造函数f (a )＝１a ＋ab ２＋b ．求导,可得f ᶄ(a )＝－１a ２＋１b ２＝a ２－b２a ２b２＝(a ＋b )(a －b )a ２b２．当a ＞b 时,f ᶄ(a )＞０,f (a )单调递增;当a ＜b 时,f ᶄ(a )＜０,f (a )单调递增．故f (a )在(０,b )上单调递减,在(b ,＋ɕ)上单调递增．令f ᶄ(a )＝０,可得a ＝b ,此时f (a )ȡ１b ＋bb２＋b ＝２b ＋b ȡ２２b ˑb ＝２２,当且仅当２b＝b ,即a ＝b ＝２时,等号成立．所以１a ＋ab２＋b 的最小值为２２．故填答案:２２．点评:通过构造函数,结合相应函数的求导运算,利用导函数的零点确定函数的最值,进而确定此时对应的最值关系式,利用基本不等式确定相应的最值问题．导数法处理代数式的最值问题,是破解此类最值问题常见的思维方式,导数思维是解决函数最值问题的基本思维方法之一．４教学启示破解双变量或多变量代数式的最值问题,结合代数式的特征,合理借助不等式思维㊁函数与方程或导数思维等,合理配凑,巧妙拆分,整体设参,正确构建,利用不同的思维方式加以分析与破解．(１)首选不等式思维破解双变量或多变量关系条件下的代数式最值问题,关键是借助已知条件中的关系式,合理恒等变形,巧妙运算转化,结合不等式思维,特别是基本不等式以及不等式性质等加以合理转化与处理,进而直接确定对应代数式的最值问题．(２)函数与方程或导数思维函数与方程思维或导数思维,也是破解双变量或多变量关系条件下代数式最值问题的基本思维方式．通过函数与方程思维加以转化,或利用函数思维,结合函数的图象与性质进行求解;或利用方程思维,结合判别式的应用加以处理;或利用导数思维,通过求导来确定单调性㊁极值与最值等来分析与处理．(３)拓展思维,形成能力对于此类问题,要合理挖掘其丰富内涵,不断探究反思,举一反三,灵活变通,学会变式拓展,探究提升,真正达到融会贯通．从数学知识㊁数学思想方法与数学能力等层面融合,形成数学知识体系,转变为数学能力,有效应用于相应的数学解题中,真正形成良好的数学品质,有效提高数学能力,培养数学核心素养．Z７６。
秒解高考数学
插字母法(试用满足起点相同，中点在一条直线上)例.则，如插插一个字母在它们中间,C AB 证明:1.已知O,A,B 是平面向量上三点，直线AB 上有一点C,满足2==+OC O CB AC 则, A.OB OA -2 B.OB OA 2+ C.OB OA 3132- D.OB OA 3231+-解：所有答案都有O 开头，而O 在平面内，所以2.BD ABC 3B C ,=∆已知在,则ADA.()AB AC 231+B.()AB AC +231C.)3(41AB AC + D.)2(41AB AC +解：在则间加字母，分别在,B C A BD 解：()cb AB AC AD ACAD AD AB ACDA AD BA DCBD A DC BD 313231322222+=+=+-=+-+=+=，则之间分别加字母和==+=++∆m m m ,0MA D ABC .5成立，则使得实数若存在满足和点已知AM AC AB MC MB 3m 0,0=+=++=++++=++ACAB AM AM AM AC MA AB MA MA MC MB MA A MC MB ，则加字母和解：在秒解平面向量(试用满足起点相同，中点在一条直线上)插子母法（交叉相乘法)若AB=31AC,BC=AC 32 例1.在∆ABC 中，M 是BC 边靠近B点的三等分点，若===AM b AC a AB 则,,解析：a b AB AC AM 32313231+=+=2.在∆ABC 中，b c ==AC AB ，，若点D 满足DC BD 2=,则=ADA.cb 3132+ B.b3235c - C.c b 31-32D.c b 3231+解：c b AB AC AD 31323132+=+= 3.若D 为∆ABC 所在平面内一点CD BC 3=,则（）A.AC AB 3431+-B.AC AB 3431-C.AC AB 3134+D.AC AB 3134- 解ABAC AD AB AC AD AB AD AC 31434143,4143-=-=+=4.∆ABC 中，点D 在AB 上,CD 平分∠ACB,若b CA CB ==，a ，2||,1||==b a ，则=CD解证明：A2 1B D 3 CΘAC=2AB ，BC=3,AD 是∠BAC 平分线，∴BD 33=,DC=332 ,故BD:DC=1：2 5.设D,E 分别是∆ABC 的边AB,BC 上的点，AD=,32,21BC BE AB =若AC AB DE 21λλ+=(1λ, 2λ为实数)，则 1λ +2λ =6.已知AB =(-5，2),)02(，=AC D 是线段BC 上靠近点B 的四等分点，则=ADA.⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,41B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,41 C.⎪⎭⎫⎝⎛-23,413 D.⎪⎭⎫⎝⎛-23,413 面积综合应用 若：AD AB AO 3141+=,则 1.若点M 是∆ABC 所在平面的一点，且满足AC AB AM 35+=,则的面积比为与ABC ∆∆ABMA.51 B.52 C.53 D.5453ABC :=∆∆∴ABM 2.设O 在∆ABC 内部，且有032OA=++OC OB 的面积之比为的面积和则AOC ∆∆ABC （）3.设O 在∆ABC 的内部，且02=++OC OB OA ,则面积之比为（）的面积和AOC ABC ∆∆4.在ABC ∆所在平面有一点P,且满足AB PC PB PA =++ ,则ABC ∆∆与PAB 的面积之比为（）解：在则间加字母，,PC A PB 建立直角坐标系求向量的最值。
高考数学选择题神奇巧解专题43页_20200217083342
来确定答案。这种方法叫做特值代验法，是一种使用频率很高的方法。
【例题】、（93 年全国高考）在各项均为正数的等比数列an 中，若 a5a6 9 ，
则 log3 a1 log3 a2 log3 a10 （ ）
A、12
B、10
C、8
D、 2 log3 5
【解析】、思路一（小题大做）：由条件有 9 a5a6 a1q4 a1q5 a12q9, 从而 ， a1 a2 a3 a10 a110 q129 (a12q 9 )5 310
xa x 1
x
11 x 1
a
1
1 a x 1
。当
a 1时，图象如左；当 a 1 时图象如右。
由图象知，当 a 1 时函数 f (x) 在 (1, ) 上递增， f '(x) 0 ，同时 f (x) 0 的
解集为 (1, ) 的真子集，选 C）
【练习 7】、（06 湖南理 10）若圆 x2 y2 4x 4y 10 0 上至少有三个不同的点
A、-b1+b2+b3=0 B、b1-b2+b3=0 C、b1+b2-b3=0 D、b1+b2+b3=0 （提示：因为 a1+a2+a3=0，所以 a1、a2、a3 构成封闭三角形，不妨设其为正 三角形，则 bi 实际上是将三角形顺时针旋转 30 后再将其各边延长 2 倍，仍为 封闭三角形，故选 D。）
另外也可以这样解：先构造等腰△OAB，使 OB=AB， 再构造 R△OAC，如下图，因为 OC＞AC，所以选 A。）
【练习 9】、方程 cosx=lgx 的实根的个数是（ ）
A、1 B、2 C、3
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巧思妙解高考数学题[转载]1.（Ⅰ卷，文21）已知函数.（1）证明：曲线y= f（x）在x = 0处的切线过点（2，2）；（2）若f（x）在x = x0处取得极小值，x0∈（1，3），求a的取值范围.【参考答案】（1）.由得曲线y= f（x）在x = 0处的切线方程为.由此可知曲线y= f（x）在x= 0处的切线过点（2，2）.（2）由得①当 --1≤ a ≤-1时，没有极小值；②当或时，由得故x0 =x2 .由题设知，当时，不等式无解；当时，解不等式得.综合①②得的取值范围是.·巧思·①（1）中，利用“k切= k PQ”（P、Q为定点、切点），根据“两点决定一条直线”，可以避免求出切线方程，而“直截了当”地证明。
②（2）中，利用三次函数的中心对称性，先将f（x）化为“中心式”，求出对称中心（- a，c）；再利用x 3系数为正的三次函数的极大值点和极小值点分别在“中心点”的左、右，便得x0 ＞- a。
③将方程f ’（x0）= 0中含x0的项配平方，得到（x0+ a）2，“0＜x0+ a＜3 + a”便就有了作用；再将含a的项合并，得到2a（1-x0），“x0＞1”也就有了作用……如此，可避免解方程和分类讨论。
·妙解·（1）设P（2，2），切点Q（0，12a- 4）.k切= 3 - 6a = k PQ切线PQ.（2）f（x）可化为（x + a）3 + b（x + a）+c曲线y = f（x）关于点（- a，c）对称x0＞- a.题设f’（x0）=3（x02 + 2ax0+1 - 2a）= 00＜（x0+ a）2= a2 + 2a -1＜(3 + a）2，且2a（1- x0）= x02 + 1＞0（x0＞1）a＜0a∈（-2.5，--1）即为所求.【评注】①（1）中，证明过一已知点、斜率也已知的直线必过另一定点，不等于一定要先求出直线方程、再将坐标代入检验；解题要做到“能省则省”、能不“绕弯子”则尽量不“绕弯子”。
②（2）的求解过程，体现了命题的本意：为何函数式中x2的系数用3a而不用a？为何条件是“x0∈（1，3）”而不是“x0∈（0，3）”或“x0∈（2，3）”等？可谓“首尾呼应”、“问答相称”。
③二次函数的图像（抛物线）是轴对称图形，三次函数的图像（S形线）是中心对称图形；前者的定义域分为两个单调区间，后者的定义域为一个单调区间或分为三个单调区间；教师可补充介绍后者的性质。
2.（Ⅰ卷，理21、文22）已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为 -的直线与C交于A、B两点，点P满足.(1)证明：点P在C上；（2）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.【参考答案】(1)F（0，1），的方程为，代入并化简得.设，则由题意得所以点的坐标为.经验证点的坐标满足方程，故点在椭圆上.(2)由和题设知，，的垂直平分线的方程为.①设的中点为，则，的垂直平分线的方程为.②由①、②得、的交点为.，，，，，故，又，，所以，由此知、、、四点在以为圆心，为半径的圆上.·巧思·①将A、B的坐标设为对称式（关于中点D对称），可得两个对称的等式，由此又得两个简单的关系式；再利用“k DF = k DA”所得简单的关系式，便可求出点P的坐标及其它结果。
②利用平面几何中“圆的相交弦定理”的逆定理，证明“DA·DB=DP·DQ”，可得A、P、B、Q四点共圆.如此，可避免出现直线方程和复杂的代数式，而节省许多文字、减少不少篇幅。
③将（1）、（2）合并解答，则进一步节省许多文字、减少不少篇幅。
·妙解·（1）（2）F（1，0），设AB的中点D（a，b），A（a + m，b + n），B（a-m，b - n）（abm n≠0），则2（a +m）2 +(b + n）2 = 2，2（a- m）2 + (b -n）2 = 22am + bn = 0，2（a2 + m2）+（b2+ n2）= 2 ①，且k DF == k DA = -②，P、D、Q共线. ①②（a，b）=(，)，m2 =，n2=.P(-，-1)在椭圆C上，且DA·DB= m2 + n2==3（a2 + b2）= DP·DQ A、P、B、Q四点共圆.【评注】①“对称美”是数学美之一，设立“对称式”求解问题也是数学研究中常用手法之一。
②将初中数学知识与高中数学结合运用，可以“化难为易、化繁为简、化深为浅、化神为凡”。
3.（Ⅱ卷，文20）在平面直角坐标系x O y中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x–y +a = 0交于A，B两点，且，求a的值.【参考答案】（1）曲线与坐标轴的交点为（0，1），（3±2， 0）.故可设圆的圆心坐标为（3，t），则有32 +（t -1）2 =（2）2+ t 2.解得t=1，则圆的半径为= 3，所以圆的方程为（x-3）2 +（y -1）2 = 9.（2）设A（x1，y1）B（x2y2）其坐标满足方程组.消去y得到方程2x2 +（2a - 8）x + a2-2a + 1 = 0，由已知可得判别式△=56 - 16a - 4a2＞0.由韦达定理可得x1+x2 = 4 - a，x1x2= ，①由可得x1x2 + y1y2= 0，又y1 = x1 + a，y2 =x2 + a，所以2x1x2 + a（x1 + x2 ）+ a2 = 0，②由①②可得a = -1，满足△＞0，故a = -1.·巧思·①（1）中，利用“圆的切割线定理”的逆定理，便知y轴与圆相切，则圆心和半径立得。
②（2）中，将坐标轴平移，使圆心成为原点，则方程比较简单、运算比较方便。
③将点A、B的坐标设为对称式（关于中点对称并利用直线斜率为1的条件），可得两个对称的等式，由此又得两个简单的关系式，从而进一步方便了运算、缩减了过程。
·妙解·（1）曲线与坐标轴交于D（1，0），E（m，0），F（n，0）m +n= 6，mn =1OD2 = O E·OF切线OD圆心（3，1），半径r =3C：（x-3）2+（y -1）2= 9.（2）平移坐标轴，使C成为原点，则O（-3，-1），C：x2+ y 2= 9，直线：x–y+ 2+ a = 0.可设A（b + d，c+ d），B（b - d，c - d）（b + d）2+（c + d）2= 9，（b - d）2+（c- d）2= 9b2+ c2 +2d 2= 9 ①， b + c = 0 ②.（b+ d+3）（b–d +3）+（c+ d + 1）（c- d +1）= 0 ③.①②③2b = -1 a =（c +d）-（b +d）-2 = -2b -2 = - 1.【评注】①（1）中，平面几何知识的运用，使得解题的步骤“顺流直下”、“势如破竹”、“一气呵成”。
②（2）中，坐标轴的平移运动，使得圆的方程变为标准式而利于运算，其手法可广泛运用。
③关于中点（中间值）对称的式子的采用，使得一些相反的量可以抵消，其方法可以推广。
4.（Ⅱ卷，理20）在平面直角坐标系x O y中，已知点A(0，-1)，B点在直线y = -3上，M点满足∥，·=·，M点的轨迹为曲线C.（1）求C的方程；（2）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值.【参考答案】（1）设M(x，y)，由已知得B(x，-3)，A(0，-1).所以=（-x，-1-y），=(0，-3-y)，=(x，-2).再由题意可知（+）·= 0，即（-x， - 4 -2y）?(x， -2) = 0.所以曲线C的方程式为y=x-2.（2）设P(x，y)为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x，所以的斜率为x.因此l为，即.则O点到的距离.又，所以当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2.·巧思·①（1）中，利用平面几何中“线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，得出“MA =MB”后，再利用抛物线的定义，便得曲线C的方程；如此，可以避免出现点和向量的坐标，而节省文字和篇幅。
②（2）中利用“O到l的距离最小时，OP ⊥l”，可以避免出现直线l的方程和繁分式，而节省文字和篇幅。
·妙解·（1）设AB的中点为D，题设（+）·= 2·= 0MD⊥ABMA = MBC是以点A为焦点、以直线y= -3为准线的抛物线：x2 = 4（y + 2）.（2）题设O到l的距离最小时，OP ⊥l题意OP ⊥l时，求d= OP的最小值.设P（x，y） d 2= x2+ y2 = 4（y + 2）+ y2=（y + 2）2+ 4≥4d min = 2.（此时P（0，-2），l：y =-2）【评注】①（1）的解答的启发：利用定义（图形的定义、关系的定义等）解题虽然是常用方法，但有时给出的条件并非明显的“定义式”，这就需要将条件进行转化，使之符合某个定义。
②（2）的解答进一步展现了“转化”的思想：条件可以转化，结论可以转化，问题可以转化……可以单独转化，可以同时转化……转化为简单的式子、简单的情况、简单的要求……5.（Ⅱ卷，理21）已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求、的值；（2）如果当x＞0，且时，，求的取值范围.【参考答案】（1）……a=1，b=1.（2）由（1）知，f（x）=+，所以.考虑函数，则.①设k≤0，由知，当时，，h(x)递减.而，故当时，，可得；当x∈（1，+）时，h（x）＜0，可得h（x）＞ 0.从而当x＞0，且x1时，f（x）-（+）＞0，即f（x）＞+.②设0＜k＜1.由于=的图像开口向下，且，对称轴x =.当x∈（1，）时，（k-1）（x2 +1）+ 2x＞0，故(x）＞0，而h（1）= 0，故当x∈（1，）时，h（x）＞0，可得h（x）＜0，与题设矛盾.③设k≥1.此时x2+1≥2x，(x）＞0，而h（1）= 0，故当x∈（1，+）时，h（x）＞0，可得h（x）＜0，与题设矛盾.综合得，k的取值范围为（-，0].·巧思·①由于，故可考虑x→1时的极限：f（x）→1，→1（此处需要运用型极限的“罗必塔法则”），于是应有f（x）＞，亦即“f（x）-＞0”，因此问题便转化为证明这个不含k的不等式成立（若成立，则k≤0），从而避免了对k的取值情况的分类讨论。
②将“f（x）-”中含有ln x的两个式子“合二而一”，并使分子与分母“分离”，则所得函数的导函数易求且简单，从而进一步节省了文字、减少了篇幅。