巧思妙解高考数学题

巧思妙解高考数学题[转载]

1.（Ⅰ卷，文21）已知函数.

（1）证明：曲线y= f（x）在x = 0处的切线过点（2，2）；

（2）若f（x）在x = x0处取得极小值，x0∈（1，3），求a的取值范围.

【参考答案】

（1）.

由得曲线y= f（x）在x = 0处的切线方程为

.由此可知曲线y= f（x）在x= 0处的切线过点（2，2）.

（2）由得

①当 --1≤ a ≤-1时，没有极小值；

②当或时，由得

故x0 =x2 .由题设知，

当时，不等式无解；

当时，解不等式得.

综合①②得的取值范围是.

·巧思·

①（1）中，利用“k切= k PQ”（P、Q为定点、切点），根据“两点决定一条直线”，

可以避免求出切线方程，而“直截了当”地证明。

②（2）中，利用三次函数的中心对称性，先将f（x）化为“中心式”，求出对称中

心（- a，c）；再利用x 3系数为正的三次函数的极大值点和极小值点分别在“中心点”

的左、右，便得x0 ＞- a。

③将方程f ’（x0）= 0中含x0的项配平方，得到（x0+ a）2，“0＜x0+ a＜3 + a”便

就有了作用；再将含a的项合并，得到2a（1-x0），“x0＞1”也就有了作用……如此，可避免解方程和分类讨论。

·妙解·

（1）设P（2，2），切点Q（0，12a- 4）.k切= 3 - 6a = k PQ切线PQ.

（2）f（x）可化为（x + a）3 + b（x + a）+c曲线y = f（x）关于点（- a，c）对称x0＞- a.

题设f’（x0）=3（x02 + 2ax0+1 - 2a）= 00＜（x0+ a）2= a2 + 2a -1＜(3 + a）2，且2a（1- x0）= x02 + 1＞0（x0＞1）a＜0a∈（-2.5，--1）即为所求.

【评注】

①（1）中，证明过一已知点、斜率也已知的直线必过另一定点，不等于一定要先求出直线方程、再将坐标代入检验；解题要做到“能省则省”、能不“绕弯子”则尽量不“绕弯子”。

②（2）的求解过程，体现了命题的本意：为何函数式中x2的系数用3a而不用a？为何条件是“x0∈（1，3）”而不是“x0∈（0，3）”或“x0∈（2，3）”等？可谓“首尾呼应”、“问答相称”。

③二次函数的图像（抛物线）是轴对称图形，三次函数的图像（S形线）是中心对称图形；前者的定义域分为两个单调区间，后者的定义域为一个单调区间或分为三个单调区间；教师可补充介绍后者的性质。

2.（Ⅰ卷，理21、文22）已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为 -的直线与C交于A、B两点，点P满足.

(1)证明：点P在C上；

（2）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.

【参考答案】

(1)F（0，1），的方程为，代入并化简得

.

设，则

由题意得所以点的坐标为.

经验证点的坐标满足方程，故点在椭圆上.

(2)由和题设知，，的垂直平分线的方程为.①

设的中点为，则，的垂直平分线的方程为.②

由①、②得、的交点为.，

，，

，

，故，

又，，所以，

由此知、、、四点在以为圆心，为半径的圆上.

·巧思·

①将A、B的坐标设为对称式（关于中点D对称），可得两个对称的等式，由此又得两个简单的关系式；再利用“k DF = k DA”所得简单的关系式，便可求出点P的坐标及其它结果。

②利用平面几何中“圆的相交弦定理”的逆定理，证明“DA·DB=DP·DQ”，可得A、P、B、Q四点共圆.如此，可避免出现直线方程和复杂的代数式，而节省许多文字、减少不少篇幅。

③将（1）、（2）合并解答，则进一步节省许多文字、减少不少篇幅。

·妙解·

（1）（2）F（1，0），设AB的中点D（a，b），A（a + m，b + n），B（a-m，b - n）（abm n≠0），则2（a +m）2 +(b + n）2 = 2，2（a- m）2 + (b -n）2 = 22am + bn = 0，2（a2 + m2）+（b2+ n2）= 2 ①，

且k DF == k DA = -②，

P、D、Q共线. ①②（a，b）=(，)，m2 =，n2=.

P(-，-1)在椭圆C上，且DA·DB= m2 + n2==3（a2 + b2）= DP·DQ A、P、B、Q四点共圆.

【评注】

①“对称美”是数学美之一，设立“对称式”求解问题也是数学研究中常用手法之一。

②将初中数学知识与高中数学结合运用，可以“化难为易、化繁为简、化深为浅、化神

为凡”。

3.（Ⅱ卷，文20）在平面直角坐标系x O y中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上

（1）求圆C的方程；

（2）若圆C与直线x–y +a = 0交于A，B两点，且，求a的值.

【参考答案】

（1）曲线与坐标轴的交点为（0，1），（3±2， 0）.

故可设圆的圆心坐标为（3，t），则有32 +（t -1）2 =（2）2+ t 2.

解得t=1，则圆的半径为= 3，

所以圆的方程为（x-3）2 +（y -1）2 = 9.

（2）设A（x1，y1）B（x2y2）其坐标满足方程组.

消去y得到方程2x2 +（2a - 8）x + a2-2a + 1 = 0，

由已知可得判别式△=56 - 16a - 4a2＞0.

由韦达定理可得x1+x2 = 4 - a，x1x2= ，①

由可得x1x2 + y1y2= 0，

又y1 = x1 + a，y2 =x2 + a，所以2x1x2 + a（x1 + x2 ）+ a2 = 0，②

由①②可得a = -1，满足△＞0，故a = -1.

·巧思·