三角函数题型及解法

高中数学常见三角函数题型及解法

近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来.在考查三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数性质和图象的考查力度.三角函数的命题趋于稳定,会保持原有的考试风格，尽管命题的背景上有所变化，但仍属基础题、中档题、常规题.实施新课标后，新一轮基础教育的改革增添了与现代生活和科学技术发展相适应的许多全新的内容，它们会吸引命题者关注的目光.

三角函数试题可以归纳为以下几种典型题型。

1、三角函数的概念及同角关系式

此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律.解此类题注意必要的分类讨论以及三角函数值符号的正确选取.

例1（10全I 卷理2）记cos(80)k -︒=,那么tan100︒= A.21k k - B.-21k k - C.21k - D.-21k - 解：Θ222sin801cos 801cos (80)1k =-=--=-o o o ,

∴tan100tan80︒=-o 2sin 801.cos80k k

-=-=-o o 。故选B 评注：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.同时熟练掌握三角函数在各象限的符号.

例2（10全1卷文1）cos300︒=(A)32-(B)-12(C)12

(D)32 解：()1cos300cos 36060cos602

︒=︒-︒=︒= 评注：本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 2、三角函数的化简求值

这类题主要考查三角函数的变换.解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值.

例3（10重文数15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P （点P 不在C 上）且半径相等.设第i 段弧所对的圆心角为(1,2,3)i i α=，则

23

23

1

1

cos cos sin sin 3333αααααα++-=____________

解：

又Θ1232αααπ++=，∴123

1cos 32

ααα++=- 评注：本题以过同一点的三段圆弧为背景，考查了三角恒等变形中公式逆用的基本技

巧，将已知与求解合理转化，从而达到有效地求解目的.

例4（10全1理数14)已知α为第三象限的角，3cos 25α

=-,则tan(2)4πα+=. 解：Θα为第三象限的角∴ππ+k 2<α<ππ2

32+k

∴ππ24+k <2α<ππ34+k (Z K ∈)

又Θ

3cos 25α=-<0,∴4sin 25α=,∴sin 24tan 2cos 23

ααα==- ∴tan(2)4πα+=41tan tan 2134471tan tan 2143παπα-+==--+. 评注：本题主要考查了同角三角函数的关系和二倍角公式的灵活运用。是一道综合性较强的题目。

3、)sin(ψω+=x A y 的图象和性质

图像变换是三角函数的考察的重要内容，.解决此类问题的关键是理解ψω,,A 的意义，特别是ω的判定，以及伸缩变换对ψ的影响。

例5（10全2理数7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像 （A ）向左平移4π个长度单位（B ）向右平移4

π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位（D ）向右平移2

π个长度单位 解：Θsin(2)6y x π=+=sin 2()12

x π+， sin(2)3y x π=-=sin 2()6

x π=-， ∴将sin(2)6y x π=+的图像向右平移4π个长度单位得到sin(2)3

y x π=-的图像，故选B. 评注：本题主要考查三角函数的图象变换中的平移变换、伸缩变换，特别是函数sin()y A x ωϕ=+中的ω对函数图象变化的影响是历年考生的易错点，也是高考的重点。

例6（10辽理数5）设ω>0,函数y=sin(ωx+

3π)+2的图像向右平移34π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是 （A ）23(B)43(C)32

(D)3 解：Θ将y=sin(ωx+3

π)+2的图像向右平移34π个单位后为4sin[()]233y x ππω=-++4sin()233x πωπω=+-+ ∴43ωπ=2k π,即32k ω=又Θ0ω>，k ≥1故32k ω=≥32，所以选C

评注：本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对三角函数图像知识灵活掌握的程度。

4、三角形中的三角函数

此类题主要考查在三角形中三角函数的利用.解三角形的关键是在转化与化归的数学思想的指导下，正确、灵活地运用正弦、余弦定理、三角形的面积公式及三角形内角和等公式定理.

例7（10津理数7）在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c

，若22a b -=

，sin C B =，则A=

（A ）030（B ）060（C ）0120（D ）0150

解：由正弦定理得23232c b c b R =⇒= 所以cosA=2222+c -a 322b bc c bc bc +==33322

bc bc bc -+=，所以A=300 评注：解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。

通过恰当地使用正弦、余弦定理将有关的边角确定，从而解决问题。

.例8（10苏卷13）、在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，

6cos b a C a b +=，则tan tan tan tan C C A B +=________。 解：Θ22

6cos 6cos b a C ab C a b a b +=⇒=+ =44

212

2

222==⋅-+c c ab c ab c b a 评注：三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.

5、三角应用题

此类题主要考查三角函数实际应用.解决三角应用题的关键是认真阅读题目，正确理解题意，运用所学知识建立适当的三角模型，准确无误的计算等。

例9（10京文7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，

顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，

该八边形的面积为

（A ）2sin 2cos 2αα-+；（B ）sin 33αα+

（C ）3sin 31αα+（D ）2sin cos 1αα-+

解：Θ四个等腰三角形面积之和4⨯2

1=⨯⨯⨯αsin 112αsin ∴由余弦定理可得正方形的边长为=⨯⨯⨯-+αcos 21121122αcos 22-，

∴正方形的面积为αcos 22-，∴所求八边形的面积为2sin 2cos 2αα-+

评注：本题主要考查解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想．

例10（10福理19．）某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇。

（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

（Ⅱ）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。

解：（Ⅰ）Θ要使小艇航行距离最短，理想化的航行路线为OT ，