保险精算导论习题及答案

保险精算导论复习题
一、简答题
1.生存保险：
答：被保险人生存至约定期满时，保险人在年末支付保险金的保险。

2.寿命：
答：一个人从出生到死亡的时间长度，记为X，是一个连续型随机变量。

3.趸缴纯保险：
答：未来保险金给付在鉴单时的精算现值，即一次缴清的纯保费。

4.两全保险：
答：在保险期内被保险人发生保险责任范围内的死亡，保险人给付死亡保险金，被保险人生存至保险期满，保险人在期末给付生存保险金。

5.生存年金：
答：在年金受领人生存的条件下，按预先约定金额以连续方式或以一定的周期进行一系列的给付的保险。

6.责任准备金:
答：在保险契约生效后的时期，保险人对被保险人的一种负债平衡项。

7.精算等价原理:
答：保险金给付现值随机变量与保费现值随机变量之差的期望为0。

二、解释下列各符号的含义
1．)(:n x A P ：x 岁的人投保的期限h 年的半连续型n 年定期两全保险的年缴均衡纯保险。

2．x u t q /：x 岁的人活过x+t 岁，在随后的u 年内死亡的概率。

3．n x h k v :：x 岁的人投保的限期h 年缴费的全离散型两全保险的未来k
年的责任保险金。

4．1
:n x m A ：x 岁的人投保的延期m 年的、n 年期死亡即付的寿险的趸缴纯保费。

三、计算题
1.购买延期5年的25年定期生存年金，每年末领取500元，设年利率为6%，求其趸缴纯保费。

已知：1223.14116M 35=，1948.13305M 41=，1262.7481M 66=，
78.126513D 35=，19.88479D 41=，55.17168D 66= 解：25:3551a d A A 11255:2515:35-++-=
， 7058.0M M 354141356:36=+-=D D A 1881.0D D M M 35
66663531:35=+-=A 故：d a 31:356:3525:355A A 500500-⨯
==4573.3(元)
2.购买一份保额为30000元的全离散型终身寿险。

已知：保费百分比
费用每年为保费的20%，每千元保额的维持费每年为3元；发生死亡给付时的理赔费用为50元。

设年利率为6%，换算函数为：8711.10611M 55=，27.37196D 35=，求均衡毛保费。

解：由精算等价原理，得
555555553032.0A )5030000(a a G a
G ⨯+++= 故55
55558.090A 30050a a G +=， 其中2853.0D M A 555555== 0566.02
12=+'=d 6272.1215555=-=d
A a ，得)(19.961元=G 3.购买一份保额为20000元的全离散型终身寿险，已知：保费百分比费用第一年为保费的85%，以后各年为保费的15%；每千元保额的维持费第一年为30元，以后每年为10元。

设年利率为6%，求毛保费。

已知：1714.12667M 45=，46.69496D 45= 解：1823.0D M A 454545== 447.1414545=-=d
A a 447.1314545=-=a
a 由454545)15.0200()85.0600(A 20000a G G a G ++++=
得4545454515.085.020*********a a
a A G --++= )(9.598元= 4.已知死亡率：007005.055=q ，007735.056=q ，008524.057=q ，
009386
.058=q 计算概率563P ，553q ．
解：)1)(1)(1(585756563q q q P ---==0.9746
58553553q P q ⋅=58575655)1)(1)(1(q q q q ---==0.00917
5.设生存函数ωx x s -=1)(，ω<≤x 0．年利率为i ,
写出（1）)(X A P ，（2）)(X i A V ，（3）][L Var i 的表达式。

解：x x s t x s t f T -=+'-
=ω1)()()( ⎰-=x t t
x t f V A ω0dt )()(1)(x e x --=--ωσωσ （1）x
x
x A A A P -=1)(σ （2）dt x e A t x t
t x -⋅=⎰---+ωωσ10)()(1)
(t x e t x ---=---ωσωσ 故t x X t x x t a A P A A V ++-=)()(
σt x x t x A P A ++-⋅
-=A 1)( （3）)
(2)(1A 22t x t x e t x -----=-+ωσωσ
得])(][)
(1[][22
t x t x X t ar A A A P L V +-++=σ 6..购买一份保额为200000元的全离散型终身寿险，已知：保费百分比费用每年为保费的15%；每千元保额的维持费每年为5元；发生死亡给付时的理赔费用为100元。

设年利率为6%，换算函数为：1223.14116M 35=，78.126513D 35=，计算均衡毛保费。

解：35353535200515.0A )100200000(a
G a a G ⨯+++= 故35353585.010********A G a a += 111578.0D M A 35
3535==， 0566.01d =+=i i 7.1513535=-=d A a 得)(5.2849元=G
7.购买延期15年的30年的定期生存年金，每年初领取20000元，设年利率为6%。

换算函数为：27.69538650=N ，93.2668080=N ，78.12651335=N
计算此年金的精算现值。

解：2856324.535
805030:355=-=D N N a ）(64.1057122000030:355元=a
此年金精算现值为105712.64元。

8.设一个随机生存群体在x 岁时的生存人数)(100000)(x x l -=ω，其中ω
为极限年龄，ω<≤x 0。

年利率为i 。

写出均衡纯保费)(x A P 的表达式。

解：x
t f T -=ω1)( )
(1)(x e A x x --=--ωσωσ 故x x
x A A A P -=1)(σ
9.设生存函数ωx x s -=1)(，ω<≤x 0。

年利率为i ，写出（1）)(x A P ，
（2）)(x t A V 的表达式。

解：（1）x
t f T -=ω1)( )(1)(x e A x x --=--ωσωσ， 故x
x x A A A P -=1)(σ （2）)
(1)(t x e A t x t x ---=---+ωσωσ 故σt x x t x x t A A P A A V ++--=1)()(
10.购买一份保额为20000元的全离散型终身寿险，已知：保费百分比费用第一年为保费的85%，以后各年为保费的15%；每千元保额的维持费第一年为30元，以后每年为10元。

发生死亡给付时的理赔费用为100元，设年利率为6%，求毛保费。

已知：1714.12667M 45=，46.69469D 35=
解：由精算等价原理，得
454545452010203015.085.0)10020000(a Ga G A a
G ⨯+⨯++++=
故4545454515.085.020*********a a a A G --++= 其中1823.045
45
45==D M A
0566.01=+=i i d 447.1414545=-=d A a 447.1314545=-=a a 从而4862.60058.1163
.6953==G。