(附答案)《菱形的性质与判定》典型例题+中考菱形探索题

中考菱形探索题探索性试题是中考中的热点之一．在中考试题中，出现了一些和相似三角形有关的中考探索试题．为帮助你复习好相似三角形有关内容，现请欣赏几道探索题．一.条件探索题条件探索性试题就是给出了结论，要求探索使结论成立所具备的条件．例1如图1，点E,F 分别是菱形ABCD 中BC,CD 边上的点（E,F 不与B,C,D 重合）在不连辅助线的情况下请添加一个条件，说明AE=AF,并证明.分析:本题主要是考查三角形全等的方法和菱形性质，由菱形性质可知AB AD =、B D ∠=∠，若用SAS 需要添加BE DF =条件;若用ASA 需要添加条件BAE DAF ∠=∠或BAF DAE ∠=∠;若用ASA 需要添加条件∠AEB=∠AFD.解:添加条件：BE DF =或BAE DAF ∠=∠或BAF DAE ∠=∠等.若添加条件BE DF =.证明如下：四边形ABCD 是菱形AB AD ∴=B D ∠=∠在ABE △和ADF △中AB AD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABE ADF ∴△≌△AE AF ∴=.评注:只需添加一条边或一个角满足三角形的判定方法即可，但是需注意添加边时，不能构成SSA 的形式.二.结论探索型探索结论试题是给出了条件，要求根据所给条件探索可能得到的结论．例2 如图2，在□ABCD 中，E F ，分别为边AB CD ，的中点，连接DE BF BD ，，．（1）求证：ADE CBF △≌△．（2）若AD BD ⊥，则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．分析：(1)问主要考查平行四边形的性质和全等三角形的判定；（2）问主要考查直角三角形的性质和菱形的判定.解:(1）在平行四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ．∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点∴AE =CF 在AED △和CFB △中，AD CB A C AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)AED CFB ∴△≌△． （2）若AD ⊥BD ，则四边形BFDE 是菱形．证明：AD BD ⊥，ABD ∴△是Rt △，且AB 是斜边（或90ADB ∠=） E 是AB 的中点，12DE AB BE ∴==． 由题意可知EB DF ∥且EB DF =，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴四边形BFDE 是菱形.评注:判定一个四边形是菱形一般是在平行四边形的基础上来判定.三.探索存在型存在性问题是指在一定的条件下,探索某种数学对象是否存在的问题.例3如图3，平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，1AB =，BC =．对角线AC BD ，相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC AD ，于点E F ，．⑴证明：当旋转角为90时，四边形ABEF 是平行四边形；⑵试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等；⑶在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数．分析:本题考查了平行四边形的性质以及旋转等知识.(1)当旋转角是90时,AB ∥EF ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得证；（2）易证△AOF ≌△COE,∴AF=EC.(3)由(2)知EO=FO,则EF 、BD 互相平分,若旋转到EF ⊥BD 位置, 四边形BEDF 是菱形,再根据勾股定理和等腰三角形性质计算旋转角的度数.解：⑴证明：当90AOF ∠=时，AB EF ∥，又AF BE ∥，∴四边形ABEF 为平行四边形． ⑵证明：四边形ABCD 为平行四边形，AO CO FAO ECO AOF COE ∴=∠=∠∠=∠，，．AOF COE ∴△≌△．AF EC ∴=⑶四边形BEDF 可以是菱形．理由：连接BF DE ，，由⑵知AOF COE △≌△，得OE OF =， EF ∴与BD 互相平分．∴当EF BD ⊥时，四边形BEDF 为菱形．在Rt ABC △中，2AC ==，1OA AB ∴==，又AB AC ⊥，45AOB ∴∠=，45AOF ∴∠=，AC ∴绕点O 顺时针旋转45时，四边形BEDF 为菱形．评注:本题是一道综合型的有关菱形的探索问题，求解时一定要抓住问题的实质，找准求解的切入点.《菱形的性质与判定》典型例题例1 如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且a AB AB DE =⊥,，求：（1）ABC∠的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD的面积．例2已知：如图，在菱形ABCD中，ABCE⊥于AD,于F．CFE⊥求证：.AE=AF例 3 已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的一点，D，︒=∠的度数.BAE，求CEF∠18EAF︒∠60==∠例4 如图，已知四边形ABCD和四边形BEDF都是长方形，且DFAD=．求证：GH垂直平分CF．例 5 如图，ABC D中，AB=，E、F在直线CD上，且AD2=．DE=CDCF求证：AFBE⊥．例6 如图，在Rt△ABC中，∠ACB，E为AB的中点，四边形BCDE90=是平行四边形．求证：AC与DE互相垂直平分参考答案例1 分析 （1）由E 为AB 的中点，AB DE ⊥，可知DE 是AB 的垂直平分线，从而DB AD =，且AB AD =，则ABD ∆是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出．（2）而OC AO BD AC =⊥,，利用勾股定理可以求出AC ．（3）由菱形的对角线互相垂直，可知.21BD AC S ⋅= 解 （1）连结BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴.AB AD =E 是AB 的中点，且AB DE ⊥，∴.DB AD =∴ABD ∆是等边三角形，∴DBC ∆也是等边三角形．∴.120260︒=⨯︒=∠ABC（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 与BD 互相垂直平分， ∴.212121a AB BD OB === ∴a a a OB AB OA 23)21(2222=-=-=，∴.32a AO AC == （3）菱形ABCD 的面积.23321212a a a BD AC S =⋅⋅=⋅= 说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点．例2 分析 要证明AF AE =，可以先证明DF BE =，而根据菱形的有关性质不难证明DCF BCE ∆≅∆，从而可以证得本题的结论．证明 ∵四边形ABCD 是菱形，∴D B CD BC ∠=∠=,，且︒=∠=∠90DFC BEC ，∴DCF BCE ∆≅∆，∴DF BE =，AD AB = ，∴DF AD BE AB -=-，∴.AF AE =例3 解答：连结AC .∵四边形ABCD 为菱形，∴︒=∠=∠60D B ，AD CD BC AB ===.∴ABC ∆与CDA ∆为等边三角形.∴︒=∠=∠=∠=60,BAC ACD B AC AB∵︒=∠60EAF ，∴CAF BAE ∠=∠∴ACF ABE ∆≅∆∴AF AE =∵︒=∠60EAF ，∴EAF ∆为等边三角形.∴︒=∠60AEF∵CEF AEF BAE B AEC ∠+∠=∠+∠=∠，∴CEF ∠+︒=︒+︒601860∴︒=∠18CEF说明 本题综合考查菱形和等边三角形的 性质，解题关键是连AC ，证AC F ABE ∆≅∆例4 分析 由已知条件可证明四边形BGDH 是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明GH 垂直平分CF ．证明：∵四边形ABCD 、BEDF 都是长方形∴BF DE //，CD AB //， 90=∠=∠BCD DFH ，BC AD =∴四边形BGDH 是平行四边形∵DF AD =，∴BC DF =在△DFH 和△BCH 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BC DF BHC DHF BCH DFH∴△DFH ≌△BCH ∴BH DH =，HC HF =∵四边形BGDH 是平行四边形∴四边形BGDH 是菱形∴GH 平分BHD ∠ ∴GH 平分FHC ∠ ∵HC HF =∴GH 垂直平分FC ．例5 分析 要证AF BE ⊥，关键是要证明四边形ABHG 是菱形，然后利用菱形的性质证明结论．证明 ∵四边形ABCD 是平行四边形∴CD AB //，CD AB =，BH AG //，∴E ∠=∠1 ∵ED CD =，∴ED AB =在△ABG 和△EDG 中 ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠ED AB E 321∴△ABG ≌△DEG ∴GD AG =∵AB AD 2= ∴AB AG =同理：BH AB = ∴BH AG =∵BH AG //∴四边形ABHG 是平行四边形∵BH AB = ∴四边形ABHG 是菱形 ∴BE AF ⊥．例6 分析 要证明AC 与DE 互相垂直平分，只要证明四边形ADCE 是菱形．所以要连结AD证明 ∵在Rt △ABC 中，E 为AB 的中点 ∴BE CE AE ==∵四边形BCDE 是平行四边形∴AB CD //，BE CD = ∴AE CD //，∴四边形ABCE 是平行四边形∵EC AE = ∴ADCE 是菱形 ∴AC 与DE 互相垂直平分．。