第十章 统计与概率10-5古典概型与几何概型

第10章 第5节

一、选择题

1．一个口袋中有12个红球，x 个白球，每次任取一球(不放回)，若第10次取到红球的概率为12

19

，则x 等于( )

A ．8

B ．7

C ．6

D ．5

[答案] B

[解析] 由概率的意义知，每次取到红球的概率都等于1212＋x ，∴1212＋x ＝12

19，∴x ＝7.

2．(2010·银川模拟)将一颗骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为m 和n ，则函数y ＝

2

3mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是( )

A.12

B.56

C.34

D.23

[答案] B

[解析] 由题可知，函数y ＝2

3mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上单调递增，所以y ′＝2mx 2－n ≥0

在[1，＋∞)上恒成立，所以2m ≥n ，则不满足条件的(m ，n )有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)共6种情况，所以满足条件的共有30种情况，则函数y ＝2

3mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上单

调递增的概率为P ＝3036＝5

6

，故选B.

3．(2010·大连一中)分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m >n 的概率为( )

A.7

10

B.310

C.35

D.25

[答案] A

[解析] 建立平面直角坐标系(如图所示)，则由图可知满足m >n 的点应在梯形OABD 内，所以所求事件的概率为P ＝S 梯形OABD S 矩形OABC ＝710

.

4．(2010·瑞安中学)国庆阅兵中，某兵种A 、B 、C 三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B 先于A 、C 通过的概率为( )

A.16

B.13

C.12

D.23

[答案] B

[解析] 用(A ，B ，C )表示A 第一，B 第二，C 第三的次序，则所有可能的次序有(A ，B ，C )，(A ，C ，B )，(B ，A ，C )，(B ，C ，A )，(C ，A ，B )，(C ，B ，A )共6种，其中B 先于A 、C 通过的有(B ，C ，A )和(B ，A ，C )两种，

故所求概率为P ＝26＝1

3

.

5．(文)(2010·陕西宝鸡)点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到定点A 的距离|PA |<1的概率为( )

A.14

B.12

C.π4

D ．π

[答案] C

[解析] 由题意可知，当动点P 位于扇形ABD 内时，动点P 到定点A 的距离|P A |<1，根据几何概型可知，动点P 到定点A 的距离|P A |<1的概率为S 扇形ABD S 正方形ABCD ＝π

4

，故选C.

(理)(2010·广州市)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )

A.π

12

B ．1－

π12

C.π6

D ．1－π

6

[答案] B

[解析] 到点O 的距离小于等于1的点，组成一个以O 为球心，1为半径的半球， ∵V 正方体＝23＝8，V 半球＝12×43π×13＝2π

3.

故所求概率为P ＝8－

2π38＝1－π

12

.

6．(2010·广东广州六中)在区间[－π2，π2]上随机取一个数x ，则使cos x 的值介于0到1

2

之

间的概率为( )

A.13

B.2π

C.12

D.23

[答案] A

[解析] ∵x ∈[－π2，π2]，∴要使0≤cos x ≤12，应有－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π

2，由几何概型

知，所求概率

P ＝⎝⎛⎭⎫π2－π3＋⎣⎡⎦⎤

⎝⎛⎭⎫－π3－⎝⎛⎭⎫－π2π2－⎝⎛⎭⎫－π2

＝13.

7．m ∈{－2，－1,0,1,2,3}，n ∈{－3，－2，－1,0,1,2}，且方程x 2

m ＋y

2

n 1有意义，则方

程x 2

m ＋y

2

n

＝1可表示不同的双曲线的概率为( ) A.36

25 B ．1 C.9

25

D.1325

[答案] D [解析] 由题设知⎩⎨

⎧

m >0n <0

或⎩⎨

⎧

m <0n >0

，

1°

⎩⎨⎧ m >0n <0时有不同取法3×3＝9种．

2°

⎩⎨⎧

m <0n >0

时有不同取法2×2＝4种，

∴所求概率P ＝9＋45×5＝13

25

.

8．(文)(2010·山东肥城联考)若a 是从区间[0,3]内任取的一个数，b 是从区间内[0,2]任取的一个数，则关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的概率是( )

A.34

B.23

C.49

D.12

[答案] B

[解析] 试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤30,0≤b ≤2}，由Δ＝4a 2

－4b 2

≥0及a >0，b >0知，构成事件“关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }．