模糊数学 第二章 模糊模式识别汇总

有相对 Minkowski 贴近度：
p
A,
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
1 n
n i 1
1/ p
Axi
Bxi
p
,
3.5.31
p
A,
B
1
b
1
a
b a
Axi Bxi p dx1/ p
3.5.32
10
若分别取相对 Hamming 距离 (p =1) 和相对Euclid 距离 (p =2) 时，可得相对 Hamming 贴近度：
4
2.1 F集的 贴近度 表示两个模糊集接近程度的度量，称为贴近度。
正如 “距离” 的概念一样，贴近度也有公理化的数 学定义。 定义 2.7 映射
σ： F ( X ) F ( X ) → [0, 1]
(A, B) ↦ σ (A, B)， 称为贴近度(函数) ，如果它满足条件：
5
( σ1 ): σ (A, A) =1， σ (, X) = 0； ( σ2 ): σ (A, B) = σ (B, A)；
1A, B 1
1 n
n i 1
Axi Bxi ,
3.5.33
1
A,
B
1
b
1
a
b a
Axi Bxi dx
3.5.34
11
以及相对Euclid 贴近度：
2 A, B 1
1 n
n i 1
Axi
Bxi
1/ 2
2
,
3.5.35
2 A, B 1
1
ba
b a
Axi
Bxi 2 dx1/ 2
( σ3 ): ABCF (X) σ(A, C) σ(A, B) σ(B, C)称 σ
(A, B) 为 A 与 B 的贴近度。若将 ( σ1 ) 换为下面的 ( σ4 )， 则称 σ 为 严格贴近度函数， ( σ4): σ (A, B) =1 A = B，且 σ (, X) = 0。
6
( σ3’): 设 A，B，CF (X)，若它们满足
是F (X) 上的贴近度。
证明： 验证 v1 ( A⊝B) 符合定义 3.5.7 的三条公理 (σ1) (σ3)。
(σ1): x X， A F (X) ，因为 ( A⊝A) (x) = ½，
故由 (3.5.19) 式可知， v1 ( A⊝ A) = σ ( A, A) =1。
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(σ2): 因 A⊝B= B⊝ A，故 σ ( A, B) = σ ( B, A) 。 (σ3’): 设 | A(x)－C(x)| | A(x)－B(x)|，则
2 F模式识别
模式识别是科学、工程、经济、社会以至生活中 经常遇到并要处理的基本问题。这一问题的数学模式 就是在已知各种标准类型(数学形式化了的类型)的前 提下，判断识别对象属于哪个类型？对象也要数学形 式化，有时数学形式化不能做到完整，或者形式化带 有模糊性质，此时识别就要运用模糊数学方法。
1
在科学分析与决策中，我们往往需要将搜集到 的历史资料归纳整理，分成若干类型，以便使用管 理。当我们取到一个新的样本时，把它归于哪一类 呢？或者它是不是一个新的类型呢？这就是所谓的 模式识别问题。在经济分析，预测与决策中，在知 识工程与人工智能领域中，也常常遇到这类问题。
3.5.36
容易验证，上述各式定义的贴近度 σ 均满足
定义 3.5.7 的三条公理。
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2. 用模糊度来表示贴近度
定义 3.5.9 设 A，B F (X) ，xX，令
(A⊝B) (x)=1 1 Ax Bx, 2
称 ⊝ 为“模糊均差”。
3.5.37
显然，A⊝BF (X)，且 A⊝B≥1/2。
13
命题 3.5.3 令 σ ( A, B) = v1 ( A⊝B)，则 v1 ( A⊝B)
( A⊝C ) (x) ( A⊝B) (x) 1/2 , 从而 σ ( A, C ) = v1 ( A⊝C ) v1 ( A⊝B) = σ (A, B) 。
事实上，我们可以很容易地直接验证。 若采用 (3.5.23) 式定义，则有
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σ( A, B) = v1 ( A⊝B) =
2 n
n i1
| (A⊝B) (xi) ∩ (A⊝B) (xi) |
又由 A BCF (X)，有
| A(x) － C(x) | | C(x)－B(x)| ( x X )
从而
σ ( A, C ) σ ( B, C )。
故
σ ( A, C ) σ ( A, B) σ ( B, C )。
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贴近度的形式很多，下面介绍几种常见的贴近度公式。
1. 用距离定义贴近度
定义 3.5.8 设 d p(A, B) 是F (X) 上的 Minkowski 距离，
| A(x)－C(x)| | A(x)－B(x)| ( x X )，
则有
σ ( A, C ) σ ( A, B)。
命题：( σ3’) ( σ3 )。
证明：设 A BCF (X)，则
| A(x)－C(x)| | A(x)－B(x)| ( x X )
7
从而
σ ( A, C ) σ ( A, B)。
3
例2. 医生给病人的诊断过程实际上是模糊模型识别 过程。设论域 X = {各种疾病的症候} (称为症候群空 间) 。各种疾病都有典型的症状，由长期临床积累的 经验可得标准模型库 = {心脏病，胃溃疡，感冒，…}， 显然，这些模型(疾病)都是模糊的。病人向医生诉说 症状(也是模糊的)，由医生将病人的症状与标准模型 库的模型作比较后下诊断。这是一个模糊识别过程， 也是一个模糊集对标准模糊集的识别问题。
用 d p(A, B) 定义贴近度 σ p(A, B) 如下：
A, B 1 kd p A, B ,
3.5.30
其中 k, α 是两个适当选择的参数，使0≤σ p(A, B)≤ 1
d
p
A,
B
n i 1
Axi
Bxi
p
1
/
p
,
p 1.
9
若取 k =1, α =1，取相对闵氏距 d p A, B ，便
本节介绍两类模式识别的模糊方法。一类是元 素对标准模糊集的识别问题 —— 点对集；另一类 是模糊集对标准模糊集的识别问题 —— 集对集。
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例1. 苹果的分级问题 设论域 X = {若干苹果}。苹果被摘下来后要分
级。一般按照苹果的大小、色泽、有无损伤等特征来 分级。于是可以将苹果分级的标准模型库规定为 = {Ⅰ级，Ⅱ级，Ⅲ级，Ⅳ级}，显然，模型Ⅰ级，Ⅱ级， Ⅲ级，Ⅳ级是模糊的。当果农拿到一个苹果 x0 后， 到底应将它放到哪个等级的筐里，这就是一个元素 （点）对标准模糊集的识别问题。